2014内蒙古考研数学一真题及答案.pdf

《2014内蒙古考研数学一真题及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014内蒙古考研数学一真题及答案.pdf（14页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、12014 内 蒙 古 考 研 数 学 一 真 题 及 答 案一、选 择 题 1 8 小 题 每 小 题 4 分，共 3 2 分 下 列 曲 线 有 渐 近 线 的 是（A）x x y s i n（B）x x y s i n 2（C）xx y1s i n（D）xx y12s i n【分 析】只 需 要 判 断 哪 个 曲 线 有 斜 渐 近 线 就 可 以【详 解】对 于xx y1s i n，可 知 1 xyxl i m 且 01 xx yx xs i n l i m)(l i m，所 以 有 斜 渐近 线 x y 应 该 选（C）2 设 函 数)(x f 具 有 二 阶 导 数，x f x

2、f x g)()()(1 1 0，则 在,1 0 上（）（A）当 0)(x f 时，)()(x g x f（B）当 0)(x f 时，)()(x g x f（C）当 0)(x f 时，)()(x g x f（D）当 0)(x f 时，)()(x g x f【分 析】此 题 考 查 的 曲 线 的 凹 凸 性 的 定 义 及 判 断 方 法【详 解 1】如 果 对 曲 线 在 区 间,b a 上 凹 凸 的 定 义 比 较 熟 悉 的 话，可 以 直 接 做 出 判 断 如 果对 区 间 上 任 意 两 点2 1x x,及 常 数 1 0，恒 有)()()()(2 1 2 11 1 x f x

3、f x x f，则 曲 线 是 凸 的 显 然 此 题 中 x x x,1 02 1，则)()()(2 11 x f x f)()()(x g x f x f 1 1 0，而)()(x f x x f 2 11，故 当 0)(x f 时，曲 线 是 凸 的，即)()()()(2 1 2 11 1 x f x f x x f，也 就是)()(x g x f，应 该 选（C）【详 解 2】如 果 对 曲 线 在 区 间,b a 上 凹 凸 的 定 义 不 熟 悉 的 话，可 令x f x f x f x g x f x F)()()()()()(1 1 0，则 0 1 0)()(F F，且2)()

4、(x f x F，故 当 0)(x f 时，曲 线 是 凸 的，从 而 0 1 0)()()(F F x F，即0)()()(x g x f x F，也 就 是)()(x g x f，应 该 选（C）3 设)(x f 是 连 续 函 数，则 yydy y x f dy11102),(（）210011010 x xdy y x f dx dy y x f dx),(),(（）01011 10102xxdy y x f dx dy y x f dx),(),(）s i n c os s i n c os)s i n,c os()s i n,c os(1021020dr r r f d dr r r

5、 f d（）s i n c os s i n c os)s i n,c os()s i n,c os(1021020r dr r r f d r dr r r f d【分 析】此 题 考 查 二 重 积 分 交 换 次 序 的 问 题，关 键 在 于 画 出 积 分 区 域 的 草 图【详 解】积 分 区 域 如 图 所 示如 果 换 成 直 角 坐 标 则 应 该 是 x xdy y x f dx dy y x f dx101010012),(),(，（A），（B）两 个 选 择 项 都 不 正 确；如 果 换 成 极 坐 标 则 为 s i n c os s i n c os)s i n,

6、c os()s i n,c os(1021020r dr r r f d r dr r r f d 应 该 选（D）若 函 数 dx x b x a x dx x b x a xR b a2 21 1)s i n c os(m i n)s i n c os(,，则 x b x a s i n c os1 1（）x s i n 2（）x c o s 2（）x s i n 2（）x c o s 2【详 解】注 意3 232dx x，22 2 dx x dx x s i n c os，0 dx x x dx x xs i n c os c os，32 dx x x s i n，所 以 b b a d

7、x x b x a x 42 322 2 3 2)()s i n c os(所 以 就 相 当 于 求 函 数 b b a 42 2 的 极 小 值 点，显 然 可 知 当 2 0 b a,时 取 得 最 小 值，所以 应 该 选（A）5 行 列 式d cd cb ab a0 00 00 00 0等 于（A）2)(bc ad（B）2)(bc ad（C）2 2 2 2c b d a（D）2 2 2 2c b d a【详 解】200 0000 000 00 00 00 0)()()(bc ad bc ad bc bc ad add cb abcd cb aadd ccb abd cdb aad c

8、d cb ab a 应 该 选（B）6 设3 2 1,是 三 维 向 量，则 对 任 意 的 常 数 l k,，向 量3 1 k，3 2 l 线 性 无 关 是向 量3 2 1,线 性 无 关 的（A）必 要 而 非 充 分 条 件（B）充 分 而 非 必 要 条 件（C）充 分 必 要 条 件（D）非 充 分 非 必 要 条 件【详 解】若 向 量3 2 1,线 性 无 关，则（3 1 k，3 2 l）Kl k),(),(3 2 1 3 2 11 00 1，对 任 意 的 常 数 l k,，矩阵 K 的 秩 都 等 于 2，所 以 向 量3 1 k，3 2 l 一 定 线 性 无 关 4而

9、当0000100013 2 1,时，对 任 意 的 常 数 l k,，向 量3 1 k，3 2 l 线 性无 关，但3 2 1,线 性 相 关；故 选 择（A）7 设 事 件 A，B 想 到 独 立，3 0 5 0.)(,.)(B A P B P 则)(A B P（）（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4【详 解】)(.)(.)()()()()()(.)(A P A P A P B P A P A P A B P A P B A P 5 0 5 0 3 0 所 以 6 0.)(A P，)(A B P 2 0 5 0 5 0.)(.)()(A P A B P B P 故 选 择（B）8

10、 设 连 续 型 随 机 变 量2 1X X,相 互 独 立，且 方 差 均 存 在，2 1X X,的 概 率 密 度 分 别 为)(),(x f x f2 1，随 机 变 量1Y 的 概 率 密 度 为)()()(y f y f y fY 2 1211，随 机 变 量)(2 1 221X X Y，则（A）2 1 2 1D Y D Y E Y E Y,（B）2 1 2 1D Y D Y E Y E Y,（C）2 1 2 1D Y D Y E Y E Y,（D）2 1 2 1D Y D Y E Y E Y,【详 解】)()()(2 2 1 2 1 12121Y E E X E X dy y f

11、y f y E Y，2221 2 12 21212121E X E X dy y f y f y E Y)()(，2 2 122 1 2 12 1 2212 2221 12 21 141414141412141412121D Y X D X D X X E X D X DX E X E X E X E E X E X Y E Y E D Y)()()()()()()()()()(故 应 该 选 择（D）二、填 空 题（本 题 共 6 小 题，每 小 题 4 分，满 分 2 4 分.把 答 案 填 在 题 中 横 线 上）9 曲 面)s i n()s i n(x y y x z 1 12 2在

12、点),(1 0 1 处 的 切 平 面 方 程 为 5【详 解】曲 面)s i n()s i n(x y y x z 1 12 2在 点),(1 0 1 处 的 法 向 量 为),(|,),(1 1 2 11 0 1 y xz z，所 以 切 平 面 方 程 为 0 1 1 0 1 1 2)()()(z y x，即 0 1 2 z y x 1 0 设)(x f 为 周 期 为 4 的 可 导 奇 函 数，且 2 0 1 2,),()(x x x f，则)(7 f【详 解】当 2 0,x 时，C x x dx x x f 2 1 22)()(，由 0 0)(f 可 知 0 C，即 x x x f

13、 22)(；)(x f 为 周 期 为 4 奇 函 数，故 1 1 1 7)()()(f f f 1 1 微 分 方 程 0)l n(l n y x y xy 满 足31 e y)(的 解 为【详 解】方 程 的 标 准 形 式 为xyxydxdyl n，这 是 一 个 齐 次 型 方 程，设xyu，得 到 通 解 为1 C xxe y，将 初 始 条 件31 e y)(代 入 可 得 特 解 为1 2 xxe y 1 2 设 L 是 柱 面 12 2 y x 和 平 面 0 z y 的 交 线，从 z 轴 正 方 向 往 负 方 向 看 是 逆 时 针 方向，则 曲 线 积 分 Ly dz

14、z dx【详 解】由 斯 托 克 斯 公 式 R Q Pz y xdxdy dz dx dy dzR dz Q dy P dxL可 知 xyDLdxdy dxdy dz dx dy dz y dz z dx 其 中 102 2y xz y:取 上 侧，12 2 y x y x Dxy|),(1 3 设 二 次 型3 2 3 12221 3 2 14 2 x x x ax x x x x x f),(的 负 惯 性 指 数 是 1，则 a 的 取 值 范围 是【详 解】由 配 方 法 可 知232 23 223 13 2 3 12221 3 2 14 24 2x a x x ax xx x x

15、ax x x x x x f)()()(),(由 于 负 惯 性 指 数 为 1，故 必 须 要 求 0 42 a，所 以 a 的 取 值 范 围 是 2 2,61 4 设 总 体 X 的 概 率 密 度 为 其 它,),(02322 xxx f，其 中 是 未 知 参 数，nX X X,2 1是 来 自 总 体 的 简 单 样 本，若niiX C12是2 的 无 偏 估 计，则 常 数C=【详 解】222 22532 dxxx X E)(，所 以21225 C n X C Enii，由 于niiX C12是2 的 无 偏 估 计，故 125 C n，nC52 三、解 答 题1 5（本 题 满

16、 分 1 0 分）求 极 限)l n()(l i mxxdt t e txtx 1112112【分 析】先 用 等 价 无 穷 小 代 换 简 化 分 母，然 后 利 用 洛 必 达 法 则 求 未 定 型 极 限【详 解】21 121 1111112 2212 1122112 xxox xxx e xxdt t e txxdt t e txxxxtxxtx)(l i m)(l i m)(l i m)l n()(l i m1 6（本 题 满 分 1 0 分）设 函 数)(x f y 由 方 程 0 62 2 3 y x xy y 确 定，求)(x f 的 极 值【详 解】解：在 方 程 两 边

17、 同 时 对 x 求 导 一 次，得 到0 2 2 32 2 2)()(xy y y x xy y，（）即2 222 32x xy yxy ydxdy 7令 0 dxdy及 0 62 2 3 y x xy y，得 到 函 数 唯 一 驻 点 2 1 y x,在（）式 两 边 同 时 对 x 求 导 一 次，得 到（0 2 2 3 4 2 4 62 2 y y x xy y y x xy y y y)()(把 0 1 2 1)(,y y x 代 入，得 到 0941)(y，所 以 函 数)(x f y 在 1 x 处 取 得 极 小 值 2 y 1 7（本 题 满 分 1 0 分）设 函 数)(

18、u f 具 有 二 阶 连 续 导 数，)c os(y e f zx 满 足x xe y e zyzxz222224)c os(若0 0 0 0)(,)(f f，求)(u f 的 表 达 式【详 解】设 y e uxc os，则)c os()(y e f u f zx，y e u f y e u fxze u fxzx x y xc os)(c os)(,)(c os 2 222;y e u f y e u fyzy e u fyzx x xc os)(s i n)(,s i n)(2 222；x x xe y e f e u fyzxz2 22222)c os()(由 条 件x xe y e

19、 zyzxz222224)c os(，可 知u u f u f)()(4这 是 一 个 二 阶 常 用 系 数 线 性 非 齐 次 方 程 对 应 齐 次 方 程 的 通 解 为：u ue C e C u f2221)(其 中2 1C C,为 任 意 常 数 对 应 非 齐 次 方 程 特 解 可 求 得 为 u y41*故 非 齐 次 方 程 通 解 为 u e C e C u fu u412221)(8将 初 始 条 件 0 0 0 0)(,)(f f 代 入，可 得1611612 1 C C,所 以)(u f 的 表 达 式 为 u e e u fu u411611612 2)(1 8（

20、本 题 满 分 1 0 分）设 曲 面)(:12 2 z y x z 的 上 侧，计 算 曲 面 积 分：dxdy z dz dx y dy dz x)()()(1 1 13 3【详 解】设 112 21y xz:取 下 侧，记 由1,所 围 立 体 为，则 高 斯 公 式 可 得 4 7 37 3 36 6 7 3 31 1 3 1 3 1 1 11210202 22 22 2 3 321 rdz r r dr ddxdy dz y xdxdy dz y x y xdxdy dz y x dxdy z dz dx y dy dz x)()()()()()()()(在 112 21y xz:取

21、 下 侧 上，0 1 1 1 1 11 13 3 dxdy dxdy z dz dx y dy dz x)()()()(，所 以dxdy z dz dx y dy dz x)()()(1 1 13 3=4 1 1 113 3 dxdy z dz dx y dy dz x)()()(1 9（本 题 满 分 1 0 分）设 数 列 n nb a,满 足2020 n nb a,，n n nb a a c os c os 且 级 数 1 nnb 收 敛（1）证 明 0 nna l i m；9（2）证 明 级 数 1 n nnba收 敛【详 解】（1）证 明：由n n nb a a c os c os，

22、及2020 n nb a,可 得20 n n nb a a c os c os，所 以20 n nb a，由 于 级 数 1 nnb 收 敛，所 以 级 数 1 nna 也 收 敛，由 收 敛 的 必 要 条 件 可 得 0 nna l i m（2）证 明：由 于2020 n nb a,，所 以2 2 2 2n n n n n n n na b a b b a b a s i n,s i n2 2 22 222 222 2 2nnnnn nnn n n nnn n n nnn nnnbbbba bba b b aba b b abb aba s i n s i nc os c os由 于 级

23、数 1 nnb 收 敛，由 正 项 级 数 的 比 较 审 敛 法 可 知 级 数 1 n nnba收 敛 2 0（本 题 满 分 1 1 分）设 3 0 2 11 1 1 04 3 2 1A，E 为 三 阶 单 位 矩 阵（1）求 方 程 组 0 A X 的 一 个 基 础 解 系；（2）求 满 足 E A B 的 所 有 矩 阵【详 解】（1）对 系 数 矩 阵 A 进 行 初 等 行 变 换 如 下：3 1 0 02 0 1 01 0 0 13 1 0 01 1 1 04 3 2 11 3 4 01 1 1 04 3 2 13 0 2 11 1 1 04 3 2 1A，1 0得 到 方

24、程 组 0 A X 同 解 方 程 组 4 34 24 132x xx xx x得 到 0 A X 的 一 个 基 础 解 系 13211（2）显 然 B 矩 阵 是 一 个 3 4 矩 阵，设4 4 43 3 32 2 21 1 1z y xz y xz y xz y xB对 矩 阵)(A E 进 行 进 行 初 等 行 变 换 如 下：1 4 1 3 1 0 01 3 1 2 0 1 01 6 2 1 0 0 11 4 1 3 1 0 00 1 0 1 1 1 00 0 1 4 3 2 11 0 1 1 3 4 00 1 0 1 1 1 00 0 1 4 3 2 11 0 0 3 0 2

25、10 1 0 1 1 1 00 0 1 4 3 2 1)(A E由 方 程 组 可 得 矩 阵 B 对 应 的 三 列 分 别 为 1321011214321cxxxx，1321043624321cyyyy，1321011134321czzzz，即 满 足 E A B 的 所 有 矩 阵 为 3 2 13 2 13 2 13 2 13 1 3 4 3 12 1 2 3 2 11 6 2c c cc c cc c cc c cB其 中3 2 1c c c,为 任 意 常 数 2 1（本 题 满 分 1 1 分）1 1证 明 n 阶 矩 阵1 1 11 1 11 1 1 与n 0 02 0 01

26、0 0 相 似【详 解】证 明：设 A1 1 11 1 11 1 1，Bn 0 02 0 01 0 0 分 别 求 两 个 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量 如 下：11 1 11 1 11 1 1 nn A E)(，所 以 A 的 n 个 特 征 值 为 03 2 1 nn,；而 且 A 是 实 对 称 矩 阵，所 以 一 定 可 以 对 角 化 且00 A；10 02 01 0 nnnB E)(所 以 B 的 n 个 特 征 值 也 为 03 2 1 nn,；对 于 1 n 重 特 征 值 0，由 于 矩 阵 B B E)(0 的 秩 显 然 为 1，所 以 矩 阵 B 对 应

27、1 n重 特 征 值 0 的 特 征 向 量 应 该 有 1 n 个 线 性 无 关，进 一 步 矩 阵 B 存 在 n 个 线 性 无 关 的 特征 向 量，即 矩 阵 B 一 定 可 以 对 角 化，且00 B从 而 可 知 n 阶 矩 阵1 1 11 1 11 1 1 与n 0 02 0 01 0 0 相 似 2 2（本 题 满 分 1 1 分）1 2设 随 机 变 量 X 的 分 布 为212 1)()(X P X P，在 给 定 i X 的 条 件 下，随 机 变 量 Y 服从 均 匀 分 布 2 1 0,),(i i U（1）求 Y 的 分 布 函 数；（2）求 期 望).(Y E

28、【详 解】（1）分 布 函 数)/()/()()/()()/(),(),()()(2 1212 2 1 12 1 X y Y P X y Y PX P X y Y P X P X y Y PX y Y P X y Y P y Y P y F当 0 y 时，0)(y F；当 1 0 y 时，yyy y F432 2121)(；当 2 1 y 时，21412 2121 yyy F)(；当 2 y 时，1)(y F 所 以 分 布 函 数 为 2 12 14 211 0430 0yyyy yyy F,)(（2）概 率 密 度 函 数 为 其 它,)()(02 1411 043yyy F y f，43

29、4 432110 dyyy dy Y E)(2 3（本 题 满 分 1 1 分）1 3设 总 体 X 的 分 布 函 数 为 0 00 12xx ex Fx,),(，其 中 为 未 知 的 大 于 零 的 参 数，nX X X,2 1是 来 自 总 体 的 简 单 随 机 样 本，（1）求)(),(2X E X E；（2）求 的 极 大 似 然 估 计 量（）是 否 存 在 常 数 a，使 得 对 任 意 的 0，都 有 0 a P nnl i m【详 解】（）先 求 出 总 体 X 的 概 率 密 度 函 数0 0022xx exx fx,),(，dx e xe de x dx exE Xx

30、 x x x000 022 2 2 22|；;dt t e dx e x dx exE Xt x x02020321 1 22 2（）极 大 似 然 函 数 为 其 它,),()(002121 1ixininninix e x x f Lnii 当 所 有 的 观 测 值 都 大 于 零 时，niiniix n x n L n L12112 l n l n l n)(，令 0 dL d)(l n，得 的 极 大 似 然 估 计 量 为nxnii 12；（）因 为nX X X,2 1独 立 同 分 布，显 然 对 应 的2 2221 nX X X,也 独 立 同 分 布，又 有（）个 可 知 2iE X，由 辛 钦 大 数 定 律，可 得 0112 nii inE X xnP l i m，由 前 两 问 可 知，nxnii 12，2iE X，所 以 存 在 常 数 a，使 得 对 任 意 的 0，都 有1 40 a P nnl i m