2015山东高考理科数学真题及答案.pdf

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1、;.20152015 山东高考理科数学真题及答案山东高考理科数学真题及答案第第卷（共卷（共 5050 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1 10 0 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2015 年山东，理 1】已知集合2|430 x xx，|24Bxx，则AB（）（A）1,3（B）1,4（C）2,3（D）2,4（2）【2015 年山东，理 2】若复数z满足i1iz，其中i是虚数单位，则z（）（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i（3）【2015 年山东，理 3】

2、要得到函数sin(4)3yx的图象，只需将函数sin4yx的图像（）（A）向左平移12个单位（B）向右平移12个单位（C）向左平移3个单位（D）向右平移3个单位（4）【2015 年山东，理 4】已知菱形 ABCD 的边长为a，60ABC，则=（）（A）232a（B）234a（C）234a（D）232a（5）【2015 年山东，理 5】不等式|1|5|2xx的解集是（）（A）(,4)（B）(,1)（C）(1,4)（D）(1,5)（6）【2015 年山东，理 6】已知,x y满足约束条件020 xyxyy若zaxy的最大值为 4，则a（）（A）3（B）2（C）-2（D）-3（7）【2015 年山东

3、，理 7】在梯形ABCD中，2ABC，/ADBC，222BCADAB将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A）23（B）43（C）53（D）2（8）【2015 年山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N，从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布2(,)N，则()68.26%P，(22)95.44%P）（A）4.56%（B）13.59%（C）27.18%（D）31.74%（9）【2015 年山东，理 9】一条光线从点(2,3)射出，经y轴反射与圆22(3)(2)1xy相切，则反射

4、光线所在的直线的斜率为（）（A）53或35（B）32或23（C）54或45（D）43或34（10）【2015 年山东，理 10】设函数31,1,()2,1.xxxf xx则满足()()2f af f a的取值范围是（）;.（A）2,13（B）0,1（C）2,)3（D）1,)第第 IIII 卷（共卷（共 100100 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分（11）【2015 年山东，理 11】观察下列各式：0010113301225550123377774;4;4;4;CCCCCCCCCC照此规律，当*nN时，012121212121nn

5、nnnCCCC（12）【2015 年山东，理 12】若“0,tan4xxm”是真命题，则实数m的最小值为（13）【2015 年山东，理 13】执行右边的程序框图，输出的T的值为（14）【2015 年山东，理 14】已知函数()xf xab(0,1)aa的定义域和值域都是 1,0，则ab（15）【2015 年山东，理 15】平面直角坐标系xOy中，双曲线22122:1(0,0)xyCabab的渐近线与抛物线22:2(0)Cxpy p交于点,O A B，若OAB的垂心为2C的焦点，则1C的离心率为三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 题，共题，共 7575 分分（16）【2015 年山

6、东，理 16】（本小题满分 12 分）设2()sin coscos()4f xxxx（）求()f x的单调区间；（）在锐角ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，若()0,12Afa，求ABC面积;.（17）【2015 年山东，理 17】（本小题满分 12 分）如图，在三棱台DEFABC中，2,ABDE G H分别为,AC BC的中点（）求证：/BD平面FGH；（）若CF 平面ABC，,45ABBC CFDEBAC，求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小（18）【2015 年山东，理 18】（本小题满分 12 分）设数列na的前n项和为nS，已知233nnS（）求数列na的通

7、项公式；（）若数列 nb满足3lognnna ba，求数列 nb的前n项和nT（19）【2015 年山东，理 19】（本小题满分 12 分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如 137，359，567 等）在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得-1 分；若能被 10 整除，得 1 分（）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；（）若甲参加活动，求甲得分X

8、的分布列和数学期望EX（20）【2015 年山东，理 20】（本小题满分 13 分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，左、右焦点分别是12,F F,以1F为圆心，以 3 为半径的圆与以2F为圆心，以 1 为半径的圆相交，交点在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）设椭圆2222:144xyEab，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于,A B两点，射线PO交椭圆E于点Q（i）求|OQOP的值；（ii）求ABQ面积最大值（21）【2015 年山东，理 21】（本题满分 14 分）设函数2()ln(1)()f xxa xx，其中aR（）讨论函

9、数()f x极值点的个数，并说明理由；（）若0 x，()0f x 成立，求a的取值范围;.20152015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷卷）数学数学（理科理科）第第卷（共卷（共 5050 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1 10 0 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2015 年山东，理 1】已知集合2|430 x xx，|24Bxx，则AB（）（A）1,3（B）1,4（C）2,3（D）2,4【答案】C【解析】2|4

10、30|13Ax xxxx，(2,3)AB，故选 C（2）【2015 年山东，理 2】若复数z满足i1iz，其中i是虚数单位，则z（）（A）1 i（B）1 i（C）1 i（D）1 i【答案】A【解析】2(1 i)iii1iz ，1 iz ，故选 A（3）【2015 年山东，理 3】要得到函数sin(4)3yx的图象，只需将函数sin4yx的图像（）（A）向左平移12个单位（B）向右平移12个单位（C）向左平移3个单位（D）向右平移3个单位【答案】B【解析】sin4()12yx，只需将函数sin4yx的图像向右平移12个单位，故选 B（4）【2015 年山东，理 4】已知菱形 ABCD 的边长为a

11、，60ABC，则=（）（A）232a（B）234a（C）234a（D）232a【答案】D【解析】由菱形 ABCD 的边长为a，60ABC可知18060120BAD，2223()()cos1202BD CDADABABAB ADABa aaa ，故选 D（5）【2015 年山东，理 5】不等式|1|5|2xx的解集是（）（A）(,4)（B）(,1)（C）(1,4)（D）(1,5)【答案】A【解析】当1x 时，1(5)42xx 成立；当15x时，1(5)262xxx，解得4x，则14x；当5x 时，1(5)42xx 不成立综上4x，故选 A（6）【2015 年山东，理 6】已知,x y满足约束条件

12、020 xyxyy若zaxy的最大值为 4，则a（）（A）3（B）2（C）-2（D）-3;.【答案】B【解析】由zaxy得yaxz，借助图形可知：当1a，即1a 时在0 xy时有最大值 0，不符合题意；当01a ，即10a 时在1xy时有最大值14,3aa，不满足10a；当10a ，即01a时在1xy时有最大值14,3aa，不满足01a；当1a，即1a 时在2,0 xy时有最大值24,2aa，满足1a，故选 B（7）【2015 年山东，理 7】在梯形ABCD中，2ABC，/ADBC，222BCADAB将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A）23（B）4

13、3（C）53（D）2【答案】C【解析】2215121 133V，故选 C（8）【2015 年山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N，从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布2(,)N，则()68.26%P，(22)95.44%P）（A）4.56%（B）13.59%（C）27.18%（D）31.74%【答案】D【解析】1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P，故选 D（9）【2015 年山东，理 9】一条光线从点(2,3)射出，经y轴反射与圆22(3)(2)1xy相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（

14、A）53或35（B）32或23（C）54或45（D）43或34【答案】D【解析】(2,3)关于y轴对称点的坐标为(2,3)，设反射光线所在直线为3(2),yk x即230kxyk，则22|3223|1,|55|11kkdkkk，解得43k 或34，故选 D（10）【2015 年山东，理 10】设函数31,1,()2,1.xxxf xx则满足()()2f aff a的取值范围是（）（A）2,13（B）0,1（C）2,)3（D）1,)【答案】C【解析】由()()2f aff a可知()1f a，则121aa 或1311aa，解得23a，故选 C第第 IIII 卷（共卷（共 100100 分）分）;

15、.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分（11）【2015 年山东，理 11】观察下列各式：0010113301225550123377774;4;4;4;CCCCCCCCCC照此规律，当*nN时，012121212121nnnnnCCCC【答案】14n【解析】0121012121212121212121211(2222)2nnnnnnnnnnCCCCCCCC021122223121212121212121210121212112121212121211()()()()211()2422nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnCCCCC

16、CCCCCCCCC（12）【2015 年山东，理 12】若“0,tan4xxm”是真命题，则实数m的最小值为【答案】1【解析】“0,tan4xxm”是真命题，则tan14m，于是实数m的最小值为 1（13）【2015 年山东，理 13】执行右边的程序框图，输出的T的值为【答案】116【解析】11200111111236Txdxx dx （14）【2015 年山东，理 14】已知函数()xf xab(0,1)aa的定义域和值域都是 1,0，则ab【答案】32【解析】当1a 时1010abab，无解；当01a时1001abab，解得12,2ba，则13222ab（15）【2015 年山东，理 15

17、】平面直角坐标系xOy中，双曲线22122:1(0,0)xyCabab的渐近线与抛物线22:2(0)Cxpy p交于点,O A B，若OAB的垂心为2C的焦点，则1C的离心率为【答案】32【解析】22122:1(0,0)xyCabab的渐近线为byxa，则22222222(,),(,)pbpbpbpbABaaaa22:2(0)Cxpy p的焦点(0,)2pF，则22222AFpbpaakpbba，即2254ba，2222294cabaa，32cea三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 题，共题，共 7575 分分;.（16）【2015 年山东，理 16】（本小题满分 12 分）设2

18、()sin coscos()4f xxxx（）求()f x的单调区间；（）在锐角ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，若()0,12Afa，求ABC面积解：（）由111111()sin21cos(2)sin2sin2sin22222222f xxxxxx，由222,22kxkkZ得,44kxkkZ，则()f x的递增区间为,44kkkZ；由3222,22kxkkZ得3,44kxkkZ，则()f x的递增区间为3,44kkkZ（）在锐角ABC中，11()sin0,sin222AfAA，6A，而1a，由余弦定理可得2212cos23(23)6bcbcbcbcbc，当且仅当bc时等号成立

19、，即12323bc，11123sinsin22644ABCSbcAbcbc故ABC面积的最大值为234（17）【2015 年山东，理 17】（本小题满分 12 分）如图，在三棱台DEFABC中，2,ABDE G H分别为,AC BC的中点（）求证：/BD平面FGH；（）若CF 平面ABC，,45ABBC CFDEBAC，求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小解：（）证明：连接DG，DC，设DC与GF交于点T，在三棱台DEFABC中，2ABDE，则2ACDF，而G是AC的中点，DFAC，则/DFGC，所以四边形DGCF是平行四边形，T是DC的中点，DG FC又在BDC，是BC的中点，则T

20、HDB，又BD 平面FGH，TH 平面FGH，故/BD平面FGH（）由CF 平面ABC，可得DG 平面ABC而，ABBC，45BAC，则GBAC，于是,GB GA GC两两垂直，以点G为坐标原点，,GA GB GC所在的直线，分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，设2AB,则1,2 2,2DECFACAG,;.22(0,2,0),(2,0,0),(2,0,1),(,0)22BCFH，则平面ACFD的一个法向量为1(0,1,0)n ，设平面FGH的法向量为2222(,)nxyz，则2200nGHnGF ，即22222202220 xyxz，取21x，则221,2yz，2(1,1,2)n ，12

21、11cos,21 12n n ，故平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60（18）【2015 年山东，理 18】（本小题满分 12 分）设数列na的前n项和为nS，已知233nnS（）求数列na的通项公式；（）若数列 nb满足3lognnna ba，求数列 nb的前n项和nT解：（）由233nnS 可得111(33)32aS，11111(33)(33)3(2)22nnnnnnaSSn，而1 1133a，则13,13,1nnnan（）由3lognnna ba及13,13,1nnnan，可得3111log3113nnnnnabnan2311123133333nnnT，2234111123

22、213333333nnnnnT，22312231211111111111111()33333333333333311212131132133193922 33182 313nnnnnnnnnnnnTnnn11321124 3nnnT（19）【2015 年山东，理 19】（本小题满分 12 分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如 137，359，567 等）在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若

23、能被 5 整除，但不能被 10 整除，得-1 分；若能被 10 整除，得 1 分（）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；（）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX解：（）125，135，145，235，245，345；;.（）X的所有取值为-1，0，132112844443339992111(0),(1),(1)31442CCCCCP XP XP XCCC 甲得分X的分布列为：X0-11P231141142211140(1)13144221EX （20）【2015 年山东，理 20】（本小题满分 13 分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为

24、32，左、右焦点分别是12,F F,以1F为圆心，以 3 为半径的圆与以2F为圆心，以 1 为半径的圆相交，交点在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）设椭圆2222:144xyEab，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于,A B两点，射线PO交椭圆E于点Q（i）求|OQOP的值；（ii）求ABQ面积最大值解：（）由椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32可知32cea，而222abc则2,3ab cb，左、右焦点分别是12(3,0),(3,0)FbFb,圆1F：22(3)9,xby圆2F：22(3)1,xby由两圆相交可得22 34b，即132b，交点222(,1()3

25、3bb在椭圆C上，则222221(3)43134bbbbb，整理得424510bb，解得21b，214b（舍去），故21b，24a，椭圆C的方程为2214xy（）（i）椭圆E的方程为221164xy，设点00(,)P xy，满足220014xy，射线000:(0)yPO yx xxx，代入221164xy可得点00(2,2)Qxy，于是22002200(2)(2)|2|xyOQOPxy（ii）点00(2,2)Qxy到直线AB距离等于原点O到直线AB距离的 3 倍：0022|22|311kxymmdkk，221164ykxmxy，得224()16xkxm，整理得222(14)84160kxkmx

26、m;.2222226416(41)(4)16(164)0k mkmkm，22221|16(164)14kABkmk22222211|164|34 1646221414mmkmSAB dkmkk 22221646122(41)mkmk，当且仅当2222|164,82mkmmk等号成立而直线ykxm与椭圆22:14xCy有交点P，则2244ykxmxy有解，即222224()4,(14)8440 xkxmkxkmxm有解，其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k mkmkm，即2214km，则上述2282mk不成立，等号不成立，设2|(0,114mtk，则222|16466(4

27、)14mkmSt tk在(0,1为增函数，于是当2214km时max6(4 1)16 3S，故ABQ面积最大值为 12（21）【2015 年山东，理 21】（本题满分 14 分）设函数2()ln(1)()f xxa xx，其中aR（）讨论函数()f x极值点的个数，并说明理由；（）若0 x，()0f x 成立，求a的取值范围解：（）2()ln(1)()f xxa xx，定义域为(1,)，21(21)(1)121()(21)111axxaxaxafxaxxxx，设2()21g xaxaxa，当0a 时，1()1,()01g xfxx，函数()f x在(1,)为增函数，无极值点当0a 时，228(

28、1)98aaaaa，若809a时0，()0,()0g xfx，函数()f x在(1,)为增函数，无极值点若89a 时0，设()0g x 的两个不相等的实数根12,x x，且12xx，且1212xx，而(1)10g ，则12114xx ，所以当1(1,),()0,()0,()xxg xfxf x 单调递增；当12(,),()0,()0,()xx xg xfxf x单调递减；当2(,),()0,()0,()xxg xfxf x单调递增因此此时函数()f x有两个极值点；当0a 时0，但(1)10g ，121xx ，所以当2(1,),()0,()0,()xxg xfxf x 单调递増；当2(,),(

29、)0,()0,()xxg xfxf x单调递减，所以函数只有一个极值点综上可知当809a时()f x的无极值点；当0a 时()f x有一个极值点；当89a 时，()f x的有两个极值点;.（）由（）可知当809a时()f x在(0,)单调递增，而(0)0f，则当(0,)x时，()0f x，符合题意；当819a时，2(0)0,0gx，()f x在(0,)单调递增，而(0)0f，则当(0,)x时，()0f x，符合题意；当1a 时，2(0)0,0gx，所以函数()f x在2(0,)x单调递减，而(0)0f，则当2(0,)xx时，()0f x，不符合题意；当0a 时，设()ln(1)h xxx，当(

30、0,)x时1()1011xh xxx，()h x在(0,)单调递增，因此当(0,)x时()(0)0,ln(1)0h xhx，于是22()()(1)f xxa xxaxa x，当11xa 时2(1)0axa x，此时()0f x，不符合题意综上所述，a的取值范围是01a另解：（）2()ln(1)()f xxa xx，定义域为(1,)21(21)(1)121()(21)111axxaxaxafxaxxxx，当0a 时，1()01fxx，函数()f x在(1,)为增函数，无极值点设222()21,(1)1,8(1)98g xaxaxa gaaaaa ，当0a 时，根据二次函数的图像和性质可知()0g

31、 x 的根的个数就是函数()f x极值点的个数若(98)0aa，即809a时，()0g x，()0fx函数在(1,)为增函数，无极值点若(98)0aa，即89a 或0a，而当0a 时(1)0g 此时方程()0g x 在(1,)只有一个实数根，此时函数()f x只有一个极值点；当89a 时方程()0g x 在(1,)都有两个不相等的实数根，此时函数()f x有两个极值点；综上可知当809a时()f x的极值点个数为 0；当0a 时()f x的极值点个数为 1；当89a 时，()f x的极值点个数为 2（）设函数2()ln(1)()f xxa xx，0 x，都有()0f x 成立，即2ln(1)(

32、)0 xa xx当1x 时，ln20恒成立；当1x 时，20 xx，2ln(1)0 xaxx；;.当01x时，20 xx，2ln(1)0 xaxx；由0 x 均有ln(1)xx成立故当1x 时，2ln(1)11xxxx(0,)，则只需0a；当01x时，2ln(1)1(,1)1xxxx ，则需10a，即1a综上可知对于0 x，都有()0f x 成立，只需01a即可，故所求a的取值范围是01a另解：（）设函数2()ln(1)()f xxa xx，(0)0f，要使0 x，都有()0f x 成立，只需函数函数()f x在(0,)上单调递增即可，于是只需0 x，1()(21)01fxaxx成立，当12x

33、 时1(1)(21)axx，令210 xt ，2()(,0)(3)g tt t ，则0a；当12x 时12()023f；当102x，1(1)(21)axx，令21(1,0)xt ，2()(3)g tt t 关于(1,0)t 单调递增，则2()(1)11(13)g tg ，则1a，于是01a又当1a 时，2(0)0,0gx，所以函数()f x在2(0,)x单调递减，而(0)0f，则当2(0,)xx时，()0f x，不符合题意；当0a 时，设()ln(1)h xxx，当(0,)x时1()1011xh xxx，()h x在(0,)单调递增，因此当(0,)x时()(0)0,ln(1)0h xhx，于是22()()(1)f xxa xxaxa x，当11xa 时2(1)0axa x，此时()0f x，不符合题意综上所述，a的取值范围是01a【评析】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求