2013北京考研数学二真题及答案.pdf

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1、2 0 1 3 北 京 考 研 数 学 二 真 题 及 答 案一、选 择 题：1 8 小 题，每 小 题 4 分，共 3 2 分，下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项符 合 题 目 要 求 的，请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.（1）设 c os 1 s i n()x x x，其 中()2x，则 当 0 x 时，()x 是（）（A）比 x 高 阶 的 无 穷 小（B）比 x 低 阶 的 无 穷 小（C）与 x 同 阶 但 不 等 价 的 无 穷 小（D）与 x 等 价 的 无 穷 小（2）设 函 数()y f x 由 方

2、程 c os()l n 1 x y y x 确 定，则2l i m()1nn fn（）（A）2（B）1（C）1（D）2（3）设 函 数s i n,0()=2,2x xf xx，0()()xF x f t dt，则（）（A）x 是 函 数()F x 的 跳 跃 间 断 点（B）x 是 函 数()F x 的 可 去 间 断 点（C）()F x 在 x 处 连 续 但 不 可 导（D）()F x 在 x 处 可 导（4）设 函 数111,1(1)()=1,l nx exf xx ex x，若 反 常 积 分1()f x dx 收 敛，则（）（A）2（B）2（C）2 0（D）0 2（5）设()yz f

3、 x yx，其 中 函 数 f 可 微，则x z zy x y（）（A）2()y f x y（B）2()y f x y（C）2()f x yx（D）2()f x yx（6）设kD 是 圆 域 2 2(,)|1 D x y x y 在 第 k 象 限 的 部 分，记()(1,2,3,4)kkDI y x dx dy k，则（）（A）10 I（B）20 I（C）30 I（D）40 I（7）设 矩 阵 A,B,C 均 为 n 阶 矩 阵，若,B A B C 则 可 逆，则（A）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 A 的 行 向 量 组 等 价（B）矩 阵 C 的 列 向 量 组 与 矩 阵

4、A 的 列 向 量 组 等 价（C）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 B 的 行 向 量 组 等 价（D）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 B 的 列 向 量 组 等 价（8）矩 阵1 11 1aa b aa 与2 0 00 b 00 0 0 相 似 的 充 分 必 要 条 件 为（A）a 0,b 2（B）为任意常数 b a,0（C）0,2 b a（D）为任意常数 b a,2 二、填 空 题：9 1 4 小 题，每 小 题 4 分，共 2 4 分，请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.(9)1l n(1)l i m(2)xxxx(1 0)设 函 数1()1

5、xtf x e d t，则()y f x 的 反 函 数1()x f y 在 0 y 处 的 导 数0 ydxdy(1 1)设 封 闭 曲 线 L 的 极 坐 标 方 程 为 c os 3()6 6r，则 L 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面积 为(1 2)曲 线2a r c t a nl n 1x ty t 上 对 应 于 1 t 的 点 处 的 法 线 方 程 为(1 3)已 知3 21x xy e x e，22x xy e x e，23xy x e 是 某 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程的 3 个 解，该 方 程 满 足 条 件00 xy01xy 的 解 为

6、 y（1 4）设i jA(a)是 三 阶 非 零 矩 阵，|A|为 A 的 行 列 式，i jA 为i ja 的 代 数 余 子 式，若i j i ja A 0(i,j 1,2,3),_ A 则三、解 答 题：1 5 2 3 小 题，共 9 4 分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.（1 5）（本 题 满 分 1 0 分）当 0 x 时，1 c os c os 2 c os 3 x x x 与nax 为 等 价 无 穷 小，求 n 与 a 的 值。（1 6）（本 题 满 分 1 0 分）设 D 是 由

7、 曲 线13y x，直 线(0)x a a 及 x 轴 所 围 成 的 平 面 图 形，,x yV V 分 别 是 D 绕 x轴，y 轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积，若 10y xV V，求 a 的 值。（1 7）（本 题 满 分 1 0 分）设 平 面 内 区 域 D 由 直 线 3,3 x y y x 及 8 x y 围 成.计 算2Dx dx dy。（1 8）（本 题 满 分 1 0 分）设 奇 函 数()f x 在 1,1 上 具 有 二 阶 导 数，且(1)1 f.证 明：（I）存 在 0,1（），使 得()1 f；（I I）存 在 0,1（），使 得()()1

8、f f。（1 9）（本 题 满 分 1 1 分）求 曲 线3 31(0,0)x x y y x y 上 的 点 到 坐 标 原 点 的 最 长 距 离 与 最 短 距 离。（2 0）（本 题 满 分 1 1 分）设 函 数1()l n f x xx，（I）求()f x 的 最 小 值（I I）设 数 列 nx 满 足1l n 1nnxx，证 明 l i mnnx 存 在，并 求 此 极 限.（2 1）（本 题 满 分 1 1 分）设 曲 线 L 的 方 程 为21 1l n(1)4 2y x x x e，（1）求 L 的 弧 长；（2）设 D 是 由 曲 线 L，直 线 1,x x e 及 x

9、 轴 所 围 平 面 图 形，求 D 的 形 心 的 横 坐 标。（2 2）（本 题 满 分 1 1 分）设1 0 1,1 0 1aA Bb，当,a b 为 何 值 时，存 在 矩 阵 C 使 得 A C C A B，并 求 所 有矩 阵 C。（2 3）（本 题 满 分 1 1 分）设 二 次 型 2 21 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3,2 f x x x a x a x a x b x b x b x，记1 12 23 3,a ba ba b。（I）证 明 二 次 型 f 对 应 的 矩 阵 为 2T T；（I I）若,正 交 且 均 为 单 位 向 量，证 明 二

10、 次 型 f 在 正 交 变 化 下 的 标 准 形 为 二 次 型2 21 22 y y。参 考 答 案一、选 择 题：1 8 小 题，每 小 题 4 分，共 3 2 分，下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项符 合 题 目 要 求 的，请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.（1）设 c os 1 s i n()x x x，其 中()2x，则 当 0 x 时，()x 是（）（A）比 x 高 阶 的 无 穷 小（B）比 x 低 阶 的 无 穷 小（C）与 x 同 阶 但 不 等 价 的 无 穷 小（D）与 x 等 价 的 无 穷

11、 小【答 案】（C）【解 析】因 为20 0s i n()c os 1 1l i m l i m2x xx xx x，所 以0l i m s i n()0 xx，因 此 当 0 x 时，()0 x，所 以 s i n()()x x，所 以0 0s i n()()1l i m l i m2x xx xx x，所 以()x 是 与 x 同 阶 但 不 等 价 的 无 穷 小。（2）设 函 数()y f x 由 方 程 c os()l n 1 x y y x 确 定，则2l i m()1nn fn（）（A）2（B）1（C）1（D）2【答 案】（A）【解 析】由 于(0)1 f，所 以2()(0)2l

12、 i m()1 l i m 2 2(0)2 n nf fnn f fnn，对 此 隐 函 数 两 边 求 导 得()s i n()1 0yy x y x yy，所 以(0)1 f，故2l i m()1 2nn fn。（3）设 函 数s i n,0()=2,2x xf xx，0()()xF x f t dt，则（）（A）x 是 函 数()F x 的 跳 跃 间 断 点（B）x 是 函 数()F x 的 可 去 间 断 点（C）()F x 在 x 处 连 续 但 不 可 导（D）()F x 在 x 处 可 导【答 案】（C）【解 析】000s i n 1 c os,0()()s i n 2 2(1

13、),2xxxt dt x xF x f t dtt dt dt x x，由 于 l i m()l i m()2x xF x F x，所 以()F x 在 x 处 连 续；()()1 c osl i m l i m 0 x xF x F xx x，()()2()l i m l i m 2x xF x F xx x，所 以()F x 在 x 处 不 可 导。（4）设 函 数111,1(1)()=1,l nx exf xx ex x，若 反 常 积 分1()f x dx 收 敛，则（）（A）2（B）2（C）2 0（D）0 2【答 案】（D）【解 析】111,1(1)()=1,l nx exf xx

14、ex x 因 为1 1()()()eef x dx f x dx f x dx，当 1 x e 时，1 1 2 21 1 1 11 1 1 1 1 1()l i m l i m(1)(1)2(1)2(1)e e ef x d x d x d xx x e，要 使211 1l i m 2(1)存 在，需 满 足 2 0；当 x e 时，1 11 l n 1 1 1l i m()l n l n l ne ed xdxx x x，要 使1 1l i m()l n 存 在，需 满 足 0；所 以 0 2。（5）设()yz f x yx，其 中 函 数 f 可 微，则x z zy x y（）（A）2()

15、y f x y（B）2()y f x y（C）2()f x yx（D）2()f x yx【答 案】（A）【解 析】已 知()yz f x yx，所 以22()()z y yf x y f x yx x x，所 以1 1()()()()2()x z zf x y y f x y f x y y f x y y f x yy x y x x。（6）设kD 是 圆 域 2 2(,)|1 D x y x y 在 第 k 象 限 的 部 分，记()(1,2,3,4)kkDI y x dx dy k，则（）（A）10 I（B）20 I（C）30 I（D）40 I【答 案】（B）【解 析】令 c os,s

16、i n x r y r，则 有101()(s i n c os)(c os s i n)3kkDI y x dx dy r dr r r d 故 当 2 k 时，,2，此 时 有220.3I 故 正 确 答 案 选 B。（7）设 矩 阵 A,B,C 均 为 n 阶 矩 阵，若 A B C，且 C 可 逆，则（）（A）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 A 的 行 向 量 组 等 价（B）矩 阵 C 的 列 向 量 组 与 矩 阵 A 的 列 向 量 组 等 价（C）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 B 的 行 向 量 组 等 价（D）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵

17、 B 的 列 向 量 组 等 价【答 案】（B）【解 析】由 A B C 可 知 C 的 列 向 量 组 可 以 由 A 的 列 向 量 组 线 性 表 示，又 B 可 逆，故 有1 C B A，从 而 A 的 列 向 量 组 也 可 以 由 C 的 列 向 量 组 线 性 表 示，故 根 据 向 量 组 等 价 的 定 义可 知 正 确 选 项 为（B）。（8）矩 阵1 11 1aa b aa 与2 0 00 b 00 0 0 相 似 的 充 分 必 要 条 件 为（A）0,2 a b（B）为任意常数 b a,0（C）0,2 b a（D）为任意常数 b a,2【答 案】(B)【解 析】由 于

18、1 11 1aa b aa 为 实 对 称 矩 阵，故 一 定 可 以 相 似 对 角 化，从 而1 11 1aa b aa 与2 0 00 b 00 0 0 相 似 的 充 分 必 要 条 件 为1 11 1aa b aa 的 特 征 值 为 0,2 b。又21 1()(2)2 1 1aE A a b a b aa，从 而 为任意常数 b a,0。二、填 空 题：9 1 4 小 题，每 小 题 4 分，共 2 4 分，请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.(9)1l n(1)l i m(2)xxxx【答 案】12e【解 析】原 式=0l n(1)l n(1 1)l i mx

19、xxxe，0 0 0l n(1)l n(1)1l n(1 1)1 1(1()12l i m l i m l i m2x x xx xx o xx xx x x 因 此 答 案 为12e.(1 0)设 函 数1()1xtf x e d t，则()y f x 的 反 函 数1()x f y 在 0 y 处 的 导 数0 ydxdy【答 案】111 e【解 析】0 111 1 11,|1 1 1xy xx xdy dx dxedx dy dye e e(1 1)设 封 闭 曲 线 L 的 极 坐 标 方 程 为 c os 3()6 6r，则 L 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面积 为【答 案】

20、12【解 析】所 围 图 形 的 面 积 是26 6061 1 c os 6c os 32 2 12S d d(1 2)曲 线2a r c t a nl n 1x ty t 上 对 应 于 1 t 的 点 处 的 法 线 方 程 为【答 案】l n 2 04y x【解 析】2 2211 111tdyt ttdxt，1|1,tdydx当 1 t 时，,l n 24x y，故 法 线 方 程 为 l n 2 04y x.(1 3)已 知3 21x xy e x e，22x xy e x e，23xy x e 是 某 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方程 的 3 个 解，该 方 程

21、满 足 条 件00 xy01xy 的 解 为 y【答 案】3 2 x x xy e e x e【解 析】由 题 意 知：3,x xe e 是 对 应 齐 次 方 程 的 解，2 xx e 是 非 齐 次 方 程 的 解，故 非 齐 次 的 通 解 为3 21 2x x xy C e C e x e，将 初 始 条 件 代 入，得 到1 21,1 C C,故 满 足 条 件 的 解 为3 2 x x xy e e x e。（1 4）设i jA(a)是 三 阶 非 零 矩 阵，|A|为 A 的 行 列 式，i jA 为i ja 的 代 数 余 子 式，若i j i ja A 0(i,j 1,2,3

22、),_ A 则【答 案】1【解 析】0i j i ja A 由 可 知，*TA A 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 33 32 21 10i i i i i i j j j j j ji j i jj iA a A a A a A a A a A a Aa a 2*,=-1.TA A A A A 从 而 有 故三、解 答 题：1 5 2 3 小 题，共 9 4 分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.（1 5）（本 题 满 分 1 0 分）当 0 x 时，1 c o s c o s 2 c

23、o s 3 x x x 与nax 为 等 价 无 穷 小，求 n 与 a 的 值。【解 析】因 为 当 0 x 时，1 c o s c o s 2 c o s 3 x x x 与nax 为 等 价 无 穷 小所 以01 c os c os 2 c os 3l i m 1nxx x xax 又 因 为：1 c os c os 2 c os 31 c os c os c os c os 2 c os c os 2 c os c os 2 c os 31 c os c os(1 c os 2)c os c os 2(1 c os 3)x x xx x x x x x x x xx x x x x x

24、 即0 01 c os c os 2 c os 3 1 c os c os(1 c os 2)c os c os 2(1 c os 3)l i m l i mn nx xx x x x x x x x xax ax 02 2 2 2 2 201 c os c os(1 c os 2)c os c os 2(1 c os 3)l i m()1 1 1()(2)()(3)()2 2 2l i m()n n nxn n nxx x x x x xax ax axx o x x o x x o xax ax ax 所 以 2 n 且1 4 91 72 2 2aa a a（1 6）（本 题 满 分 1

25、0 分）设 D 是 由 曲 线13y x，直 线(0)x a a 及 x 轴 所 围 成 的 平 面 图 形，,x yV V 分 别 是 D 绕 x轴，y 轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积，若 10y xV V，求 a 的 值。【解 析】由 题 意 可 得：1 523 303()5axV x dx a 1 73 30627ayV x x dx a 因 为：10y xV V 所 以7 53 36 310 7 77 5a a a（1 7）（本 题 满 分 1 0 分）设 平 面 内 区 域 D 由 直 线 3,3 x y y x 及 8 x y 围 成.计 算2Dx dx dy。

26、【解 析】1 22 2 2D D Dx dx dy x dx dy x dx dy 2 3 6 82 20 23 3x xx xx dx dy x dx dy 4163（1 8）（本 题 满 分 1 0 分）设 奇 函 数()f x 在 1,1 上 具 有 二 阶 导 数，且(1)1 f.证 明：（I）存 在 0,1（），使 得()1 f；（I I）存 在 0,1（），使 得()()1 f f。【解 析】（1）令()(),(0)(0)0,(1)(1)1 0,F x f x x F f F f 则 0,1 使 得()0,()1 F f 即（2）令()()1),xG x e f x 则()0,G

27、又 由 于()f x 为 奇 函 数，故()f x 为 偶 函 数，可 知()0 G,则,1,1 使()0,G 即()1()0 e f e f，即()()1 f f（1 9）（本 题 满 分 1 1 分）求 曲 线3 31(0,0)x x y y x y 上 的 点 到 坐 标 原 点 的 最 长 距 离 与 最 短 距 离。【解 析】本 题 本 质 上 是 在 条 件3 31(0,0)x x y y x y 下 求 函 数2 2(,)f x y x y 的最 值。故 只 需 求 出2 2x y 在 条 件3 31 x x y y 下 的 条 件 极 值 点，再 将 其 与 曲 线 端 点 处

28、（0,1,1,0）的 函 数 值 比 较，即 可 得 出 最 大 值 与 最 小 值。由 于 函 数2 2x y 与2 2x y 的 增 减 性 一 致，故 可 以 转 化 为 求2 2x y 的 条 件 极 值 点：构 造 拉 格 朗 日 函 数 2 2 3 3,1 L x y x y x x y y，求 其 驻 点 得223 32 3 02 3 01 0Lx x yxLy y xyLx x y y 为 了 求 解 该 方 程 组，将 前 两 个 方 程 变 形 为222 32 3x y xy x y 进 一 步 有2 22 22 32 3x y y x yx y x x y，故2 2 2

29、23 3 x x y y x y 即 3 0 x y x y x y。则 有 0 或 0 x y 或 3 0 x y x y。当 0 时，有 0 x y，不 可 能 满 足 方 程3 31 0 x x y y；当 3 0 x y x y，由 于 0,0 x y，也 只 能 有 0 x y，不 可 能 满 足 第 三 个 方 程；故 必 有 0 x y，将 其 代 入3 31 0 x x y y 得3 22 1 0 x x，解 得 1,1 x y。可 知 1,1 点 是 唯 一 的 条 件 极 值 点。由 于(1,1)2 f，(0,1)(1,0)2 f f，故 曲 线3 31(0,0)x x y

30、 y x y 上 的 点 到坐 标 原 点 的 最 长 距 离 为 2 与 最 短 距 离 为 1。（2 0）（本 题 满 分 1 1 分）设 函 数1()l n f x xx，（I）求()f x 的 最 小 值（I I）设 数 列 nx 满 足1l n 1nnxx，证 明 l i mnnx 存 在，并 求 此 极 限.【解 析】（I）2 21 1 1()xf xx x x，则 当 0,1 x 时，()0 f x；当 1,x 时，()0 f x。可 知()f x 在 0,1 上 单 调 递 减，在 1,上 单 调 递 增。故()f x 的 最 小 值 为(1)1 f。（2）、由 于 11l n

31、 nnxx，则n nx x1 11，即n nx x 1，故nx 单 调 递 增。又 由 于 111l n l n nn nxx x，则 e xn，故nx 有 上 界，则 由 单 调 有 界 收 敛 定 理 可 知，nnx l i m 存 在。令 a xnn l i m，则aaxx nnn1l n1l i m，由 于 111l n nnxx，则11l n aa，故 1 a。（2 1）（本 题 满 分 1 1 分）设 曲 线 L 的 方 程 为21 1l n(1)4 2y x x x e，（1）求 L 的 弧 长；（2）设 D 是 由 曲 线 L，直 线 1,x x e 及 x 轴 所 围 平 面

32、 图 形，求 D 的 形 心 的 横 坐 标。【解 析】（1）由 弧 长 的 计 算 公 式 得 L 的 弧 长 为2 221 11 1 11 l n 14 2 2 2e exx x dx dxx 212121 114 4 212 214eexdxxxdxxe（2）由 形 心 的 计 算 公 式 可 得，D 的 形 心 的 横 坐 标 为 24 213211 1l n3 2 34 21 14 7l n4 2eex x x dxe eex x dx（2 2）（本 题 满 分 1 1 分）设1 0 1,1 0 1aA Bb，当,a b 为 何 值 时，存 在 矩 阵 C 使 得 A C C A B

33、，并 求 所 有矩 阵 C。【解 析】由 题 意 可 知 矩 阵 C 为 2 阶 矩 阵，故 可 设1 23 4x xCx x，则 由 A C C A B 可 得 线性 方 程 组：2 31 2 41 3 42 3011x axax x axx x xx ax b（1）0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 11 0 1 1 0 1 0 1 0 11 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 01 0 1 1 10 1 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1aa a a a a aa aa b a b a ba aab a 由 于 方 程 组

34、（1）有 解，故 有 1 0,1 0 a b a，即 1,0,a b 从 而 有0 1 0 0 1 0 1 1 11 0 1 0 1 1 0 01 0 1 1 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0aa aa b，故 有1 1 22 11 23 14 21,.x k kx kk kx kx k 其 中、任 意从 而 有1 2 11 21 k k kCk k（2 3）（本 题 满 分 1 1 分）设 二 次 型 2 21 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3,2 f x x x a x a x a x b x b x b x，记1 12 23 3,a ba ba

35、b。（I）证 明 二 次 型 f 对 应 的 矩 阵 为 2T T；（I I）若,正 交 且 均 为 单 位 向 量，证 明 二 次 型 f 在 正 交 变 化 下 的 标 准 形 为 二 次 型2 21 22 y y。【解 析】(1)2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 1 2 1 21 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3(2)(2)(2)(4 2)(4)(4 2)f a b x a b x a b x a a b b x xa a b b x x a a b b x x 2 2 2 21 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1 2 1 3

36、 1 1 2 1 32 2 2 21 2 1 2 2 2 2 3 2 3 1 2 2 2 3 1 2 2 2 32 2 2 21 3 1 3 2 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3 1 3 2 3 32 2 22 2 2 22 2 22T Ta b a a b b a a b b a a a a a b b b b bf a a b b a b a a b b a a a a a b b b b ba a b b a a b b a b a a a a a b b b b b 则 的 矩 阵 为（2）,2,T T T T T TA A 令 A=2 则 2 2，则1,2 均 为 A 的 特 征 值，又 由 于()(2)()()2T T T Tr A r r r，故 0 为 A的 特 征 值，则 三 阶 矩 阵 A 的 特 征 值 为 2,1,0，故 f 在 正 交 变 换 下 的 标 准 形 为2 21 22 y y