线性代数复习 (1).docx

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1、第一章 行列式一、二阶行列式abcd=ad-bc, 对角线法则例1 1324=14-32=-2例2 21-12=22-1-1=5例3 如果131k=1, 则k= .解: 131k=1k-31=k-3即有k-3=1, 故有k=4. 二、三阶行列式abcdefghi=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg例4 1-1211123-1=11-1+-112+213-113-11-1-212=-1+-2+6-3-1-4=-5. 对角线法则只适合计算二阶和三阶行列式.三、余子式和代数余子式1、元素aij的余子式例5 a11a12a13a21a22a23a31a32a33中元素a21的余子式为M21

2、=a12a13a32a33, 即就是划去元素a21所在的行和所在的列中的元素, 乘余的元素按原位置构成的行列式.又如元素a33的余子式为M33=a11a12a21a22.2、元素aij的代数余子式例6 上例中元素a21的代数余子式为A21=-12+1M21例7 行列式1-104-5-3236中, 元素-3的余子式为M23=1-123=13-12=5,元素-3的代数余子式为A23=-12+3M23=-15=-5.四、行列式按行(列)展开行列式D等于它的某一行(列)所有元素与它们的代数余子式乘积之和. 例8 计算行式D=310-12-123-140-20005.解 因为第四行中有三个零元素,可按第

3、四行展开,得D=5-14+43102-12-140对上面计算得到的三阶行列式,再按第三列展开,得D=52-12+331-14=-1034-1-1=-1013=-130练习: 计算1234234134124123=160.练习: 已知a1a2a3a4a2a2a4a5a3a2a5a6a4a2a6a7, 求A13+A23+A33+A43.A13+A23+A33+A43=a1a21a4a2a21a5a3a21a6a4a21a7=0练习:D=304022220-70053-22, 求第四行元素的余子式之和.提示: 将余子式转化为代数余子式.M41+M42+M43+M44=-A41+A42-A43+A44

4、=304022220-700-11-11=-28.五、行列式的性质性质1: 行列式与它的转置行列式相等.D=1234=-2, 转置行列式DT=1324=-2性质2: 行列式互换两行(列), 行列式变号.132213321=-213132321推论: 行列式中有两行(列)的元素对应相同,则此行列式为零.132132456=0性质3: 行列式某一行(列)中所有元素的公因子,可以提到行列式符号的外面.236428213=2236214213=22136114113例9 已知a11a12a13a21a22a23a31a32a33=1,则 a112a12-3a13a212a22-3a23a312a32-

5、3a33=2-3a11a12a13a21a22a23a31a32a33=-6 a112a12+2a11-3a132a214a22+4a21-6a23a312a32+2a31-3a33=-12.性质4: 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式值为零.123246352=2123123352=0性质5: abc+de+f=abce+abdf性质6: 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数K后加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式的值不变.例如, 1234=123+144+24=12712=-2例10: 计算行列式D=701410123-1-1070-2-5.解: 按第二列展开,得D=-1

6、-13+27141127-2-5=7141127-2-5对上面得到的三阶行列式, 先把第二行元素的-1倍加到第一行上, 得D=7-11-14-21127-2-5=6021127-2-5再把第二行的2倍加到第三行上,得D=6021127-2-5=60211290-1按第二列展开,得D=1-12+2629-1=-6-18=-24例11. 下列与行列式abcd的值相等的是( D )(A) -acbd(B) cdab(C) 2a2cbd(D) abc+2ad+2b例12 关于行列式的性质叙述, 错误的是( B )(A) 行列式等于它的转置行列式(B) 行列式互换两行, 行列式的值不变(C) 行列式的某

7、行所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面(D) 行列式如果有两行元素完全相同, 行列式的值为0. 练习: 计算a100b10a2b200b3a30b400a4=(a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4).提示: 按照第一行展开, 再计算.练习: 计算1-11x-11-1x+1-11x-11-1x+1-11-1=x4.提示: 将第2,3,4列加到第1列上, 再计算. 练习: 求5阶行列式中包含因子a13a25的并带负号的所有项.所有项:-a13a25a31a42a54, a13a25a32a41a54, a13a25a34a42a51,-a13a25a34a41a52, a13a25a31a

8、52a44, -a13a25a32a44a51,练习:计算 D=123410123-1-10120-5=12340-2-2-20-7-10-1200-3-9=-24.第二章 矩阵及其运算一. 矩阵概念 m行n列的数表, A=Amn=aijmn1. 几种特殊矩阵(1) 方阵: 行数与列数相同的矩阵abcdefghi是一个3阶矩阵. (2) 单位矩阵E=100010001就是一个三阶单位矩阵(3) 对角阵,方阵a000b000c, 记作diag(a,b,c)2. 矩阵的同型: 两个矩阵行数相同, 列数也相同. 矩阵相等: 矩阵A与B相等是指, 两个矩阵的行数一样, 列数也一样, 并且对应位置的元素

9、相等,例1 矩阵A=1x2y34与矩阵B=z32534相等, 则x=3, y=5, z=1.二. 矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法abcdef123456=a1b2c3d4e5f62. 数与矩阵的乘法kabcdef=kakbkckdkekf3. 矩阵与矩阵的乘法AmsBsn=Cmn123456abcdef=a+2c+3eb+2d+3f4a+5c+6e4b+5d+6f运算规律:(1) 不满足交换律 ABBAA=1-123, B=1324AB=-1-1818, BA=781010, ABBA.A34B42存在, B42A34不存在.(2) ABC=ABC=ABC(AC)B(3) AB+C=AB+A

10、C; B+CA=BA+CA(4) (A)B=A(B)*方阵的幂Ak=AAAk个满足的运算规律:AmAn=Am+n; (Am)n=Amn不满足的:AkBkABk4. 矩阵的转置A=123456, AT=142536.运算规律:(1) ATT=A;(2) A+BT=AT+BT;(3) AT=AT(4) ABT=BTAT.对称矩阵: A为n阶方阵, 且满足AT=A. 例如1-2-1-230-100练习: 设A=12-20-11, B=13-2021-114, 求ATB-2AT.ATB-2AT=1-2-120113-2021-114-21-2-1201=2-2-8170-2-4-2402=02-6-3

11、7-2.5. 方阵的行列式A=123045006, A=123045006=24.运算规律(A,B为n阶方阵, 为数):(1) AT=|A|;(2) A=n|A|;(3) AB=AB=|BA|.A=2a2b2c2d2e2f2g2h2i, A=222abcdefghi练习: 设A是3阶矩阵, 2A=23A=16, 则A=2练习: 设A是3阶矩阵, 且A=2, 则2A3=? 2A3=8AAA=8A3=64.伴随矩阵:行列式|A|的各元素的代数余子式所构成的如下矩阵:A=a11a12a1na21a22a2nan1an2ann,A*=A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn伴随矩阵满足性

12、质:AA*=A*A=|A|E.练习: 设A是3阶方阵, A=-2, 设A=(a1,a2,a3), 令B=(a3-2a1, 3a2,a1), 求|B|. 提示: B=a3-2a1, 3a2,a1=a3,3a2,a1=3|a3,a2,a1| =-3a1,a2,a3=-3-2=6.练习: 设A是n阶可逆阵, 求A*=An-1.A*=A-1AA*=A-1An=An-1三. 逆矩阵1. 定义: n阶矩阵A, AA-1=A-1A=E. A-1称为A的逆矩阵.2. 性质: (1) 一个矩阵的逆矩阵存在的话是唯一的.(2) A可逆, A-1可逆, A-1-1=A.(3) A可逆, AT可逆, AT-1=A-1

13、T.(4) A可逆,0, A可逆, A-1=1A-1.(5) A,B同为n阶可逆阵, 则AB可逆的, AB-1=B-1A-1.(6) A可逆, A0, A-1=1|A|.3. 逆矩阵存在的充要条件: A可逆A0A是非奇异矩阵A是满秩矩阵(它的秩等于它的行数)4. 求逆矩阵的公式:A-1=1|A|A*A,E初等行变换化为行最简形矩阵 (E,A-1) abcd-1=1ad-bcd-b-ca.练习: 求逆矩阵(1) A=2332A-1=-152-3-32(2) A=1234, A-1=-124-2-31(3) B=00-1-2003-26B,E=00-1100-2000103-26001-20001

14、000-11003-26001 1000-1/2000-11000-260-3/211000-1/200-260-3/2100-11001000-1/20010-33/4-1/2001-100 A-1=0-1/20-33/4-1/2-100 四. 矩阵方程:(1) AX=B A-1AX=A-1B EX=A-1B X=A-1B(2) XA=B X=BA-1(3) AXB=C X=A-1CB-1五. 分块矩阵A=A110000A2200000000AnnA=A11A22|Ann|A-1=A11-10000A22-100000000Ann-1练习: A00B-1=A-100B-1 0AB0-1=0B

15、-1A-10练习: 求矩阵的逆矩阵.A=4300-1000003-600-33 A-1=0-1001/34/30000-1/3-2/300-1/3-1/3 练习: 设A=033110-123, AB=A+2B,求B.解: 由AB=A+2B AB-2EB=A A-2EB=A B=A-2E-1AA-2E-1=-2331-10-121-1, 第三章 线性方程组一、矩阵的初等行变换：（1）互换两行；（2）某一行乘以一个不为零的数；（3）将某行的k倍加到另一行对应元素上去。二、行变换通常的目标：（1）行阶梯形矩阵：求矩阵的秩，判定向量组的线性相关性例如200203-2300020000122121-2-

16、21-2-4-312210-3-6-40-4-6-412210-12-24-160-12-18-1212210-12-24-160064(2)行最简形矩阵：求解线性方程组，求向量组的最大无关组例如，100001-2000010000三、线性方程组的解：（1）齐次线性方程组 n元齐次线性方程组Ax=0:(1) 只有零解的条件RA=n(2) 有非零解（有无穷多解）的条件RAn（2）非齐次线性方程组 n元非齐次线性方程组Ax=b(1) 无解充要条件RAR(A,b)(2) 唯一解充要条件RA=RA,b=n(3) 无穷多解充要条件RA=RA,bn四、求解线性方程组的解例 2x1+3x2+x3=4x1-2

17、x2+4x3=-53x1+8x2-2x3=134x1-x2+9x3=-6解：对增广矩阵进行初等行变换：23141-24-538-2134-19-61-24-5231438-2134-19-61-24-507-714014-142807-714 1-24-501-1200000000102-101-1200000000 得到原方程组的同解方程组x1+2x3=-1x2-x3=2 移项 x1=-2x3-1x2=x3+2令x3=c(cR), 得到方程组的通解x1=-2c-1x2=c+2x3=c (cR)练习: 求解线性方程组2x1+3x2+x3=0x1-2x2+4x3=03x1+8x2-2x3=04x

18、1-x2+9x3=0解: 对系数矩阵进行初等行变换:A=2311-2438-24-191-2423138-24-191-2407-7014-1407-7 1-2401-100000010201-1000000 得到原方程组的同解方程组x1+2x3=0x2-x3=0 移项 x1=-2x3x2=x3令x3=c(cR), 得到方程组的解x1=-2cx2=cx3=c (cR)非齐次线性方程组解有三种情况：无解、唯一解和无穷多解齐次线性方程组解有两种情况：只有零解和无穷多解（非零解）五、矩阵的秩求矩阵的秩方法：（1）定义法：最高阶非零子式（繁琐）（2）化为行阶梯形矩阵， 阶梯数就是矩阵的秩例 A=12-

19、1132a-1563b, 已知RA=2, 求a,b的值。a=5,b=1秩的性质：略（见课本）(1) RAmnminm,n;(2) RA=R(AT);(3) 若AB, 则RA=R(B);(4) 若P,Q可逆, 则RPAQ=R(A).第四章 向量组的线性相关性一、向量组：比如：123,236,325二、向量的线性表示向量b能由向量组A:a1,a2,am线性表示。k1a1+k2a2+kmam=b能否表示的判定： RA=R(A,b)三、向量组的等价A:a1,a2,am 和 B:b1,b2,bn 等价即就是两组向量可以相互线性表示。等价的判定： RA=RB=R(A,B)四、向量组的线性相关性：向量组A:

20、a1,a2,am k1a1+k2a2+kmam=0成立时， （1）系数可以不全为零， 此时称A组线性相关； （2）系数只能全为零，此时称称A组线性无关。常见的结论：（1）两个向量线性相关的充要条件对应分量成比例。（2）含有零向量的向量组一定是线性相关的。（3）相关时，越多越相关；无关时，越少越无关。（4）向量组中个数大于维数时，线性相关（5）原组无关，加入一向量变成相关，则加入的向量可由原无关组唯一表示 数字型向量组相关性的判定： A:a1,a2,am线性相关的条件是RAm线性无关的条件是RA=m 非数字型的证明题型：要用定义法判定相关性。五、向量组的秩和最大无关组1. 定义：A:a1,a2,

21、am中数量最多的线性无关的部分组，称为A组的最大无关组，它是不唯一的。 注意：同一向量组中不同最大无关组中所含向量个数相同. 向量组的秩定义为：向量组中最大无关组所含的向量个数. 结论：向量组与它的最大无关组等价. 2. 向量组的秩和矩阵秩的关系： 矩阵的秩=该矩阵列向量组的秩=该矩阵行向量组的秩 向量组的秩=向量组构成矩阵的秩。 例 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组, 并将其余向量用该最大无关组线性表示出来.A=1111321-30126543-1 10-1-5012600000000由RA=2, 则向量组最大无关组含2个向量, 由行阶梯形矩阵的非零首元在第1,2列, 故可取最大无关组为a

22、1,a2. a3,a4用最大无关组可表示为 a3=-a1+2a2 , a4=-5a1+6a2 例 已知向量组a1,a2,a3线性无关, 设b1=a1-a2+a3, b2=a2+a3, b3=2a1-a2+3a3,讨论b1,b2,b3的线性相关性. 解: 利用定义, 设x1b1+x2b2+x3b3=0, 代入已知有x1a1-a2+a3+x2a2+a3+x32a1-a2+3a3=0 整理得x1+2x3a1+-x1+x2-x3a2+x1+x2+3x3a3=0,由于向量组a1,a2,a3线性无关, 则有x1+2x3=0-x1+x2-x3=0x1+x2+3x3=0, 由RA=3, 得方程组只有零解, 即

23、x1=x2=x3=0故向量组b1,b2,b3线性无关.六. 方程组的解的结构齐次:Ax=0 两个解向量的和仍然是其解 是其解向量, 则k也是其解向量.推广: 齐次的解向量的线性组合仍是其解.非齐次: Ax=b,是其解向量, 则+不是其解向量, 而-是其解向量.设是对应齐次的解向量, 是非齐次的解向量, 则+是非齐次解向量 例 已知向量组a1,a2,a3线性无关, 若向量组a1+a2, a2+a3,ka3+la1, 线性相关, 则k,l的关系为( k+l=0 ).1. A,B是同阶可逆矩阵，下列结论正确的是（ C ）（A）ABT=ATBT（B）A-1=|A|（C）AB-1=B-1A-1（D）AB=BA2.设Amn,Bsk, AB存在的条件是（ n=s ）3.矩阵A=123045000, 则该矩阵的秩RA=（ 2 ）4.矩阵A=123045000的三个列向量是线性（ 相关 ）