高中数学6-8平面向量数乘运算的坐标表示（学案）.pdf-得力文库

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1、第 0 8讲平面向量的数乘运算的坐标表示 0 目标导航课程标准课标解读 1.掌握实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的运算.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，会根据平面向量的坐标判断向量是否共线.通过本节课的学习，要求能掌握平面向量的数乘运算，并能解决与共线相关的线性运算及判断.趣知识精讲知识点 1.平面向量运算的坐标运算运

2、算坐标表示已知 a-（即,yi），b-（如 2），则 a+b=（工 i+M，州+丁 2），a-b-（即一改，和（差）yi-j2）.数乘已知。=（xi，巾），则脑二（Ari，XyO,其中丸是实数.任一向量的已知 A（xi，yi）,8（%2，V2），则 AB=（亢 2T1，V2-V1）.坐标 2.平面向量共线的坐标表示（1）如果 a=（xi，y）,b=（必，冲），则 b 的充要条件为 xiy2T2yl=0.的充要条件不能表示成立=工，因为刈，”有可能等于 0.X y2运用两向

3、量共线的条件可求点的坐标，可证明三点共线以及平行；（2）已知向量共线求参问题中，参数一般设置在两个位置：一是在向量坐标中；二是相关向量用已知两向量的含参关系式表示.解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示形式，建立方程（组）求解：（3）A（xi，yi）,B（尢 2，72）C（4，”）三点共线的充要条件为（X2-XI）（第一州）-（为一为）（j2-yi）=0，或（及 Xi）（3-丁 2

4、）=（X3-X2）（j2-yi），或(X3-X1)(3-卜 2)=(X3T 2)(一州)利用向量解决三点共线问题的思路：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数 4 使得两个向量共线，由于两向量过同一点，所以两向量所在的直线必重合，即三点共线.【即学即练 1】如果向量。=(1,2),6=(4,3),那么:_2 等于()A.(9,8)B.(-7,-4)C.(7,4)D.(9,9)【答案】B【分析】由向量线性运算的坐标表示，

5、即得解【详解】由题意,a-26=(1,2)-2(4,3)=(-7,-4)故选：B【即学即练 2】若=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是()A.。，与 6 共线 B.与 a 共线 C.“与】二共线 D.”+6 与 c共线【答案】C【分析】根据向量坐标表示的线性运算求出各选项中的向量，再根据向量共线的坐标表示即可得出答案.【详解】解：a-c=(4,2),因为 4x7-5x2=18=0,所以与不共线；b+c=(7/l),因为 7x6-

6、6xll=-2 4 w 0,所以力+1 与不共线；-c=(3,3),因为 3x6-6x3=0,所以与，二共线；a+3=(11,13),因为 11x42xl3=1 8 w 0,所以+与 c 不共线.故选：C.【即学即练 3】已知向量=(2,3),=(j,2),若即 2方与非零向量 m a+共线,则竺等 n于()A.-2 B.2 C.二 D.2 2【答案】c【分析】求出向量 a-2 b与向量?a+b的坐标，然后根据向量共线的坐标表示列式计算即可.【详解】因为向量 1=(2,3)

7、,b=(-1.2),所以-2=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),m a+nb=(2m-n,3m+2n).因为 a-2。与非零向量 ma+nb共线,.2m-n 3nt+2n所以一；=-;1,4-1解得 1 4/n=-7 n,.n 2故选：C【即学即练 4】下列各组向量共线的是()A.g=(-2,3)刈=(4,6)B.久=(2,3)也=(42)C.=(1,2),Z3=(7,14)D.久=(3,2),儿=(6,4)【答案】C【分析】利用向量共线的坐标表示，逐一验证各选项即可判断作答.【详解】对于

8、A,因 0=(-2,3),仇=(4,6),则一 2 6-3 4 关 0,即 g 与加不共线；对于 B,因 G=(2,3),岳=(3,2),则 2 2 3 3片 0,即与岳不共线；对于 C,因“3=(1,2)也=(7,14),B O 1-1 4-2-7=0,即 a 与%共线;对于 D,因内=(-3,2)力 4=(6,4),则一 3 4一 2 6片 0,即内与不共线.故选：C【即学即练 5】已知向量。4=(3,1),0 8=(-1,3),OC=mOA-nOB(ZM 0,0),若机+=1,则 O C 的最小值为()A.在 B.强 2

9、2C.V5 D.x/io【答案】C【分析】求出向量 O C的坐标，利用向量的模长公式结合二次函数的基本性质可求得 O C 的最小值.【详解】因为 m 0,0且?+=1,则=1 一”0,所以，0 根 1,OC=mOA nOB=mOA+(/%1)OB=(2m+1,4？一 3),因此，|oc|=(2/+1)2+(47-3)2=4 2 0/-20+10=,20(机一；)+5 2 逐，当且仅当?=；时，等号成立，因此，|。4 的最小值为石.故选：C.【即学即练 6】已知向量 a=(2,1),6

10、=(3,4),。=化 2),若(2a-b)c,则实数 4 的值为()A.-8 B.-6 C.-1 D.6【答案】C【分析】先求出 2a-=(1,-2),再解方程 1 x 2-(-2)*%=0 即得解.【详解】由题得 2a-6=(4,2)-(3,4)=(1,-2),因为(2d-传,所以 1 x 2(-2)x%=0,.,.女=一.故选：C【即学即练 7】以下与向量(1,2)不平行的向量是()A.(-2,T)B.(3,6)C.(k+l,2k+2)D.(2,1)【答案】D【分析】利用向量共线有(x,y)=l,2),即可

11、判断各选项中的向量是否与向量(1,2)平行,进而可得不平行的向量.【详解】若(x,y)=4(1,2)且;I e R,则向量(%,y)与向量(1,2)平行,A：(-2,-4)=-2-(1,2),即平行;B：(3,6)=3-(1,2),即平行；C：依+l,2k+2)=/+1(1,2),即平行；D：不存在 2 使(2,1)=2),故不平行；故选：D【即学即练 8】已知向量 OA=(3,-4),08=(6,-3),Q C=m,w+1),若 A B O C，则实数机的值为()3 3A.B.C.3 D

12、.35 5【答案】D【分析】先由向量 0 A=(3,-4),0B=(6-3),求得力后的坐标，再由 A B 0C求解.【详解】，因为向量。4=(3,-4),0 8=(6，-3),A B F，1),0C=(2w.w+1),A B 0 C，3m+32 m,解得/n=-3,故选：D.【即学即练 9】在平面直角坐标系 xO y中，已知向量胆=(,当,n=(sinx,cosx),xw(0,万),若 n,则 tanx 的值()A.4 B.3 C.-1 D.0【答案】C【分析】根据/得到也 cosx+巫 sinx=O,进而求

13、得 ta n x的值，得到答案.2 2【详解】在平面直角坐标系 xO y中，向量加=五,n=(sinx,cosx),xw(0,4)，2因为/力，RfW C O SX+sinx=O 即 co sx二一 sin x,2 2c sinx,所以 tan x=-=-1COSX故选：C.【即学即练 10】.已知非零向量，八 0,若(1 6)=(4,-1),且。/小加/。则工=()A.4 B.-4 C.-D.一!4 4【答案】D【分析】根据平面向量的共线定理，列方程求出 x 的值.【详解】由题意知。c,b U

14、c 1 所以 a 6;又 4=(1,x),f t=(4,-1),所以 lx(-l)-4x=0,解得 x=:.4故选：D【即学即练”】已知向量 W=(2,l)+1=(l,x)，若 2：_ 了与：+3了共线，则*=()A.2 B.g C.D.22 2【答案】B【分析】先根据题意得 Z=(T,x-l),再求出 2 与蒜 3 最后利用向量共线的坐标及小计算即可得答案.【详解】解：p 十./4 2 a-h Ja+3Z?J三线，5x(3x-2)+(3-x)=0,解得 x=L故选：B.【点睛】本题考查向量

15、的线性运算的坐标表示，向量共线的坐标表示，是基础题.【即学即练 12若 42,2),8(4,0),C(0,b)(a/7工 0)三点共线，则 1 1 的值为()a bA.1 B.!C.-D.一 2 3 4【答案】B【分析】根据三点共线得 AC A 3,利用向量平行的坐标表示即可求解.【详解】由题：A(2,2),8(a,0),C(0力)(6 工 0)三点共线，AB=(a-2,-2),A C=(-2,b-2)AC/AB，所以(一 2)仅一 2)=4,ah-2a-2b=0所以+:=a

16、b 2故选：B【点睛】此题考查根据三点共线求代数式的值，关键在于熟练掌握平面向量共线的坐标表示.2【即学即练 13】已知 A（4,6）,B（-3,2）,AP=-P Bf则尸的坐标为.【答案】（电 14）【分析】根据向量线性运算的坐标表示计算.2 2【详解】设 P（爸 y），由 4尸=一 PB 得。一 4,6）=一（一 3-羽 2-），x-4=(3-x)即 2y-6=(2-y)x=18y=14,解得故答案为：（18,14）.【即学即练 14】已知&=（3,x

17、）,b=（2x-l,l）.若 4 b,贝 ix=3【答案】-1或;【分析】直接利用向量平行的坐标及示列方程即可求解.3详解因为 4=（3,x）,*=（2x-l,l）,a b，所以 3X 1=X X（2X _1）,解得：x=T 或 x=.故答案为：-1或|.【即学即练 15】a=（-l-2）,/?=（3,0）,则（1）-a=-；（2）-b=;（3）a+b=;（4）a-b=;（5）2a 3b=;（6）3a+2h=【答案】（1,2）：（-3,0）；（2,-2）；H-2）；（T I T）：（9,6）.【分析】根据向量线性运

18、算的坐标表示即可求出答案.【详解】(1)因为 a=(l,-2),所以-4=(1,2)；(2)因为心=(3,0),所以)=(3,0)；(3)因为“=(-1,-2),匕=(3,0),所以+6=(2,-2)；(4)因为”=(一 1,一 2),。=(3,0),所以 a-b=(T,-2)；(5)因为 a=(-l,-2),6=(3,0),所以 2a-36=2(l,-2)3(3,0)=(-ll,Y)；(6)因为 a=(-l,-2),6=(3,0),所以 3：+5=-3(-1,-2)+2(3,0)=(9,6).故答案为：(1,2)；(3,0)；(2,-

19、2)；(-2)；(-11,-4)；(9,6).Q 能力拓展考法 011.平面向量数乘运算的坐标运算 1 3【典例 1】知平面向量 a=(1.1),Z=(1,-1),则向量一 Q-b=()2 2A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)【答案】D1 1 1 3 3 3 1 3【解析】a(，-)，b=(,),故 a b=(1 2).2 2 2 2 2 2 2 2【即学即练 16 已知点 A(-l,-5),向量。=(-1,0)=(1,-1),AB=a+2b时，点 B 的坐标为()A.(2,7)B.(0,-

20、7)C.(3,-6)D.(-4,5)【答案】B【分析】利用向量的坐标运算可得 a+2h=(1,-2),再设点 B 的坐标为(乂 y)，利用终点坐标减起点坐标,即可得到答案；【详解】a=(-l,0),6=(1,-1),a+2=(-1,0)+2(1,-1)=(1,-2)设点 B 的坐标为(x,y),贝 ijA8=(x+l,y+5),.,由已知得(x+l,y+5)=(l,-2),X4-1=1,5=-2解得 x=0J=-7，点 B 的坐标为(0,-7).故选：B【即学即练 17】已知向量 A8=(2,

21、4),AC=(0,2),则：8 C=()A.(-2,-2)B.(2,2)C.(1,1)D.(-1,-D【答案】D【分析】由 AB=(2,4)得区 4=(-2,-4),根据向量线性运算的坐标表示即可得出结果.【详解】由题意知,AB=(2,4)得 BA=(-2,-4),所以 BC=54+AC=(-2,-2),故=,故选：D2【即学即练 18】下列向量组中，能作为基底的是()A.ex=(0,0),=(1,-2)B.q=(-1,2),=(5,7)c.q=(3,5),02=(610)D.q=(2,-3),.=,-：)【答

22、案】B【分析】能作基底的两个向量不共线，判断各选项中的两个向量是否共线即可得解.【详解】对于 A,因 q=0,则有 ej/e2,与 e?不能作为基底；对于 B,因备=(-1,2)0=(5,7),-1-7-2.50,则有与 e；不共线，一与 e；可作基底；对于 C,因 q=(3,5),2=(6/0),则有=2q,q 与弓不能作为基底；对于 D,因弓=(2,-3),e2=(；,-),则有 q=4%,%与 6 不能作为基底.故选：B考法 022.向量坐标运算

23、的应用(1)已知两向量共线，求点或向量的坐标；(2)证明或判定三点共线、直线平行.解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行.【典例 2 已知 a=(1,1),(x,1),n=a+2b,v=2a-B.(1)若 n=3vf 求 x；(2)若 y,并说明此时两向量方向相同还是相反.【答案】(1)尸 1；(2)方向相同.【解析】a=(1,1)，h=(x,1)

24、,n=a+2b=(1,1)+(2r,2)=(2x+l,3),v-2a-b=(2,2)(x,1)-(2-x,1).(I)n-3v,*.(2x+l,3)=3(2-x,I)，解得 k 1.(2)n/v.2x+l=3(2-x),/.x=l.此时，n=(3,3)v=(1,1).=3v,与 v 方向相同.【名师点睛】平面向量用坐标表示可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题解决，这是数形结合思想的重要体现利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关

25、键.【典例 3】已知点 A(-l,-1),8(1,3),C(l,5),0(2,7),向量 A B 与 C D 平行吗？直线 A 8 平行于直线 C吗？【答案】向量 A B 与平行，直线 4 8 与平行【分析】求出 AB,8 的坐标，利用共线向量的坐标表示即可判断，然后计算坐标，判断点 A,B,C 是否共线得解.【详解】因点 A(-l,8(1,3),C(l,5),0(2,7),则 A8=(2,4),CO=(1,2),显然有 2x2-1x4=0,于是得 AB C D，因 AC=(2,6),

26、而 AB=(2,4),即有 2x4-2*6#,则 A。与 A B 不平行，即点 A，8,C 不共线，因此，A 8 与 C O 不重合，所以直线 A B 与 C。平行.【典例 4】已知向量 1=(2,-1),6=(1,2),2=(3,Y),求：(1)2a+3b-3c;愀-叫；(3)-2c的单位向量.【答案】(I)(-2,16).(2)|3-2Z|=/65.(3)7【分析】(1)由向量线性运算的坐标表示计算；(2)求出 3a-2 的坐标，然后由模的坐标运算得结论.(3)求出 6-2c的坐标，再

27、除以它的模即得.(1)2a+3Z?-3c=(2x2+3xl-3x3,2x(-l)+3x2-3x(-4)=(-2,16)(2)因为 3a-劝=(4,一 7),所以愀一 26卜也 2+(-7)2=屈(3)因为 2c=(-5,10),所以 6-2C的单位向量为【典例 5】设“为实数，若向量 OA=（Z 2）,08=（4,5）,OC=（10）,当为何值时，A,B,C 三点共线？【答案】女=11或 4=-2.【分析】由题设得 B A=（%4.7）、BC=（6,k5）,利用向量共线的坐标表示有伙一 4）（&-

28、5）-6 x 7=0,求解即可.【详解】由题设，BA=O 0B=*4,7）,BC=0C-0 B=（6火-5）,令 R4 8C，得仅-4）（k-5）-6 x 7=0,即/-9&-22=0,k=ll 或一 2.故当上=1 1 或-2 时，A,B,C 三点共线.【典例 6】设 x 为实数，已知向量。=（2,1）,1=（l,x）,且（2+小（“+”，求 x 的值.【答案】x=l【分析】先计算 2a+,；+6 再利用向量共线的坐标表示得到方程，解方程即可求解.【详解】Qa-（2,1）,/=（1,%）2a+8=2（

29、2,1）+（1,x）=（5,2+）6!+/=（2,1）+（1,）=2,（2a+6）（；a+“5x（；+j=2 x（2+x）:.x=,【典例 7】设 P 是线段 PlP2上的一点，点 Pl,P2的坐标分别是 3,yi）,（X2,J2）.（1）当尸是线段 P1P2的中点时，求点 P 的坐标；（2）当 P 是线段 PP2的一个三等分点时，求点 P 的坐标.【答案（1）（4，24A）.（2）或【分析】根据。尸=；（O+O R）即可求出点 P 的坐标；（2）通过分类讨论，点尸满足两种情况 6P=；

30、P鸟或 P=2Pg,然后利用向量加法的三角形法则即可求出答案.（1）如图，由向量的线性运算可知。P=；（。+0鸟）=（五产，”匹所以点 P 的坐标是(正爱,之皆).(2)当点尸是线段 PP2的一个三等分点时，有两种情况，=尸鸟或 6P=2P,若 P=;p g,如图，那么 o p o pt+ptp o pl+ptp2=opt+(o p2-o pt)o pl+op2=(a L,2 i i A)t同理，如果 P=2 P 6,如图(2),那么点 P 的坐标是(上守，生

31、守【即学即练 19】下列向量中，与向量 c=(2,3)不共线的一个向量的坐标为()【答案】AC【分析】根据向量共线的坐标关系即可判断.【详解】对 A,3x5=-7*0,故(5,4)与 c=(2,3)不共线，满足题意；对 B,2x|-3xl=0,故(1，|)与 c=(2,3)共线，不满足题意；对 C,2xl-3x|=-1 0,故停 lj与 c=(2,3)不共线，满足题意；对 D,2x1-3xl=0,故与 c=(2,3)共线，不满足题意.故选：AC.【即学即练 20(多选

32、题)已知点 A(2,1),3(0,2),C(-2,1),0(0,0),给出下面四个结论，其中正确的有()A.OC 与 BA 平行 B.AB+BC=G4c.OA+OC=OB D.AC=O 8-2 O 4【答案】A CD【分析】根据向量线性运算的坐标表示依次验证各选项即可得出结果.【详解】点 A(2,1),8(0,2),C(一 2,1),0(0,0),则向=(2,1),0%=(-2,1),又 2x1(1)x(2)=0,所以与函平行，A 正确.AB+B C=A/,所以 B 不正确.C+O2=(

33、0,2)=O%所以 C 正确.A C=(-4,0),O B-2OA=(0,2)-(4,2)=(-4,0)-所以 D 正确故选：ACD.M 分层提分题组 A 基础过关练 3 11.已知向量=(,sin。)，b=(sin,-),若/人则锐角 1 为()2 6A.30 B.60 C.45 D.75【答案】A【分析】由向量共线的坐标表示计算.3 1 1 1【详解】:。/人，sin2a=7 X：=:，I.sina=7.;。为锐角，a=30。.故选：2 6 4 2A.2.若向量 4=(1,2),/7=(0,1),妨-与 4+2

34、。共线，则实数%的值为()A.1 B.C.1 D.22【答案】B【分析】由题意，结合平面向量线性运算的坐标表示可得妨-=(我,2A-1),。+助=(1,4),再由平面向量共线的性质即可得解.【详解】,向量=(1向),方二(0,1),总一-2)-(0,1)=(4,2攵一 1),+2/?=(1,2)+2(0,1)=(1,4),又妨与 a+2万共线，4%=2%-1,解得=-g.故选：B【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及平面向量共线的性

35、质，考查了运算求解能力，属于基础题.3.已知向量的=(2),”=(-1,3).若(2利+”)(m-)，则实数 4 的值为()A.6 B.3 C.-3 D.-6【答案】D【分析】先求 2加+和机-，再利用平行求出九【详解】根据题意，向量而=(2,2),力=(-1,3),则 2机+”=(3,24+3),/n-n=(3,2-3),若(2相+)(相-)，则有义-3=22+3,解得：2=-6.故选：D.【点睛】向量的坐标运算判断位置关系：若 4=(玉,%)力=(孙),向量平行的条件：

36、y2=x2y,；向量垂直的条件：x/2+y%=.4.已知 a-gb=(l,2),”+b=(4,-10),则 a 等于()A.(-2,-2)B.(2,2)C.(-2,2)D.(2,-2)【答案】D【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.【详解】因为?=(1,2),所以 2-。=(2,4),而 a+8=(4,-10),所以有 2a-6+a+/?=(4,-10)+(2,4)=(6,-6)=3a=(6,-6)=a=(2,-2),故选：D5.已知向量)=(

37、1,幻，6=饮,2),若。与/，方向相反，贝必等于()A.1 B.土&C,-72 D.72【答案】C【分析】根据向量共线可求出,再根据方向相反判断即可得出答案.【详解】因为向量、=(1,幻，b=(k,2),若 d 与人共线，则公一 2=0,解得 A=&：当人=&时，a=(l,J5),b=(近,2),两向量同向，不合题意；当火=-应时，a=(1,-72),b=(-V2,2),两向量反向，满足题意.故选：C.6.已知三点 4 一 1,1),8(0,2),C(2,x),若 A,B

38、,C 三点共线，贝 l j x=()A.2 B.-2C.4 D.-4【答案】C【分析】根据向量共线定理的坐标表示进行求解即可.【详解】因为 A，B,C 三点共线，所以低就、又因为 A%=(1,1),A 2=(3,X _1)，所以-1-3=0,解得：x=4.故选：C.7.已知向量：=(2,3)，=(-L2)，若,：+4/仔一 2力)，则:等于()A.-2 B.2C.一；D.y2 2【答案】C【分析】利用向量共线定理的坐标表示进行解题即可.【详解】因为件。+6=m(2,3

39、)+n(-l,2)=(2m一,3加+2n)又 2 力=(2,3)-2(T,2)=(4,-1)，因为(加 4+，)/(-2，)，所以一 14加一 7=0,整理得：;=_g.故选:C.【点睛】本题主要考查向量共线定理的坐标表示，在计算的过程中要认真，不能出现计算失误.8.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A.q=(2,2),e2=(1,1)B.q=(l,2),e?=(4,8)一 1C.e,=(l,O),e2=(0,-1)D.e=(l,-2)

40、,e,=(-,1)【答案】C【分析】根据平面向量基本定理，只需满足备勺不共线即可.【详解】对 A,2x1-2x1=0,:.ejle2,不能作为基底，故 A 错误；对 B,lx(-8)-(-2)x4=0,.-.ejle不能作为基底，故 B 错误；对 C,1x(1)0 x0=1=0,不共线，可以作为基底，故 C 正确；对 D,以 1-(_2(_；0,.布色，不能作为基底，故 D 错误.故选：C.9.A A B C 的三个内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,设向量

41、 p=(a+c,b),q=(b,ca),若 p q,则角。的大小为()A.2 B.二 C.生 D.工 6 3 2 3【答案】C【分析】由向量平行的坐标表示得出三角形边的的关系后可求得 C 角.【详解】V p(a+c9 b)9 q=(b,c)且 p/g,A(a+c)(ca)b-b=0f 即 c2=2+2,7T角 c 的大小为!.故选：c.210.在下列向量组中，可以把向量 4=(3,2)表示出来的是()A.q=(0,0),02=(1,2)B.q=(-l,2),e2-(5,-2)C.e,(3,5),e

42、2=(6,10)D.e,(2,3),e2=(2,3)【答案】B【分析】确定 Ge?是否不共线，不共线的就可以作为基底表示“【详解】A.q=(0,0),e,/e2,q.e2不可以作为平面的基底：不能表示出 a；B.由于日力弓，q,e2不共线，e；,e；可以作为平面的基底；能表示出 a；C.4=乂,et/e2,耳心不可以作为平面的基底；不能表示出；D.e2=-ex,e/e2,4,3不可以作为平面的基底；不能表示出 a.故选：B.11.若非

43、零向量。=(西,乂),=(/,%)，则土=”是。与人同向或反向的()X2%A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由五=1,则存在 2 使得 a=4,成立，再由取 a=(0,l),b=(0,2)时，土=不成 x?必 W%立，利用直接法即可判断.【详解】若五=乂，则有五=2=彳，即所以。与方共线，即 d 与 B 同向或反向 X 力 X y2成“，若 a 与 z?同向或反向，不妨取。=(01),。=(o

44、,2),则土=4 不成立，所以土=)是。与匕同尤 2 y 2“2%向或反向的充分不必要条件，故选：A.12.已知(3,7),(4,6),(1,-2)是一个平行四边形三个顶点，则第四个顶点不可能是()A.(8,11)B.(6,15)C.(0,-1)D.(2,-3)【答案】A【分析】利用向量共线的坐标表示有(x-3,-7)=3,8)、(x-4,y-6)=2,9)、(x-l,y+2)=A(-l,l),即可判断不可能的顶点坐标.【详解】设第四个顶点坐标为

45、y),可能情况有 UeR),fx=32+3(1)(x-3,y-7)=/l(3,8),即当 a=1时第四个顶点为(6,15)；y=8/1+7(x=2A+4(2)(x-4,y-6)=2(2,9),即,、，,当 4=-1 时第四个顶点为(2,-3)；y=9/1+6(3)(x-l,y+2)=2(-l,l),即=:；，当 4=1 时第四个顶点为(0,-D；y=a-2综上，第四个顶点不可能为(8,11).故选：A13.已知向量。4=(1,3),O B=(2,1),OC=(A+1 4 2),若 A,B,C三点不能构成三角

46、形,则实数 k应满足的条件是()A.k=2 C.k=D.k=【答案】c【分析】由题意可得 4,B,C 三点共线，然后求出 A B与而，再利用向量共线的坐标运算即可得解.【详解】由 A,B,C 三点不能构成三角形，则 A,B,C 三点共线，则 AB与 A C共线，又向量。4=(1,一 3),0 3=(2,-1),O C=(A+1,2),所以 AB=(1,2),AC=(k,k+l),又 A 8与 A C共线，则 1x(女+l)=2 k,解得 k=l,故选：C.【点睛】本题考查/向

47、量减法的坐标运算，重点考查了向量共线的坐标运算.14.已知向量 a=(sin0,cos6),b=(1,3),若 4 与匕共线，则 singcos。的值为()3 3 1A.-B.C.-D.310 10 3【答案】B【分析】根据向量共线可求得 tan。；从而利用正余弦的齐次式求解方法可求得结果.【详解】。与人共线/.3 sin=cos/.tan 0=.sin 6 cos 6二.sin。cos。sin2 0+cos2 0 tan2 0+1一十 i93=77.本题正确选

48、项：B【点睛】本题考查正余弦的齐次式的求解问题，关键是能够利用向量共线求得正切值，利用平方关系和商数关系构造出关于正切的方程.1 5.已知向量=力=(x,2),命题：”=；,命题 4：”0,使得 7=而成立，则命题 P是命题 4 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件【答案】A【分析】根据 x=；可知的=若 m=几(之 0),可知 x=0或 x=g；综合可得结果.【

49、详解】若 x=g,则机=（；/），=（；,2）:.m=n则命题 P 是命题 4 的充分条件=An（2 0）,则 2 f=x,解得：x=0或 x=g则命题 p 是命题 q 的不必要条件综上所述：命题。是命题 9 的充分不必要条件本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定问题，涉及到向量共线定理的应用.题组 B 能力提升练 1.如图，半径为 1的扇形 AOB的圆心角为 120。，点 C 在弧 A 3上，且 NCOB=30。

50、，若 OC=W A+/J OB,则入+M=（）A.且 B.V3 C.延 D.2出 3 3【答案】B【分析】建立直角坐标系，求出点的坐标，结合平面向量的基本定理建立方程求解即可.【详解】如图所示，以。为原点，。8 为 x 轴，建立直角坐标系，3（1。）Q N 8OC=30,OC=l.C(cos30,sin300)即 c 石 5QNBO4=120,OA=lA(cosl20,sinl20)y.OC=AOA+pOB,V3 1.L 百+A,-.2 2,解得，3,.2+/7=5/3,1 V3.2V3=-X u-2 2

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