12年专升本高数真题答案.doc

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1、报班地址：天明路校区郑州市农业路与天明路怡丰新都汇8号楼1单元425室；电话：037160385262 63582627 55819621 15516190425 180392268972012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 答案及解析一、选择题（每小题2分，共60分）1答案：C.【解析】：.选C.2答案：B.【解析】：A、D为非奇非偶函数，B为偶函数，C为奇函数。选B.3答案：D.【解析】：时，.选D.4答案：D.【解析】：处没有定义，显然是间断点；又时的极限不存在，故是第二类间断点。选D.5答案：C.【解析】：函数的定义域为，显然是连续的；又，因此在该点

2、处不可导。选C.6答案：A.【解析】：易知，且，.故不存在。选A.7答案：B.【解析】：根据复合函数求导法则可知：.选B.8答案：B.【解析】：根据水平渐近线的求法可知：当时，即时的一条水平渐近线，选B.9答案：D.【解析】：对两边同时求微分有：，所以.选D.10答案：B【解析】：易知，故.选B.11答案：D.【解析】：令，则有，即函数在定义域内是单调递增的，故最多只有一个实根。选D.12答案：A.【解析】：B、C的等式右边缺少常数C，D选项是求微分的，等式右边缺少dx.选A.13答案：C.【解析】：的一个原函数为，那么所有的原函数就是.所以.选C.14答案：B.【解析】：因为，所以，又，故.

3、选B.15答案：B.【解析】：本题是变下限积分的题。利用公式可知.选B.16答案：C.【解析】：.选C.17答案：D.【解析】：A选项中，故发散；B选项中根据结论，当时发散，本题中，故发散；C选项中根据结论，当时发散，本题中，故发散；D选项中，故收敛。选D.18答案：A.【解析】：最高阶导数是二阶导数，并且不是线性的。选A.19答案：B.【解析】：这是可分离变量的方程。有，两边同时积分有，即.选B.20答案：D.【解析】：对空间的任意一个向量有，现有，从而解得，所以为或.选D.21答案：B.【解析】：直线的方向向量为，平面的法向量为，且，直线上的点不在平面内，所以故该直线和平面平行。选B.22

4、答案：C.【解析】：根据旋转曲面方程的特点，有两个平方项的系数相同，故选C.23答案：B.【解析】：.选B.24答案：A.【解析】：可微可以退出偏导数存在，但是仅有偏导数存在退不出可微，故是充分而非必要条件。选A.25答案：C.【解析】：.选C.26答案：B.【解析】：由，可知.选B.27答案：A.【解析】：A选项中一般项趋于，故发散；B、C选项是交错级数，满足莱布尼茨定理，故收敛；D选项根据结论中时收敛，本题中，故收敛。选A.28答案：C.【解析】：该级数的中心点是2，又在点处条件收敛，所以可以确定收敛区间为.故在，处收敛。选C.29答案：C.【解析】：，且有，因此该积分与积分路径无关。令该

5、积分沿直线上点到积分，可有.选C.30答案：A.【解析】：积分区域可写为：，在图象中表示为121xy由此可知，积分区域还可表示为.因此积分可表示为.选A.二、填空题（每小题2分，共20分）31答案：.【解析】：，因此.32 答案：.【解析】：，.33 答案：0.【解析】：因为极值点是或者不存在的点，现已知函数在点处可导，所以.34答案：.【解析】：，.令，可得，此时；并且当时，；当时，.因此拐点为.35 答案：.【解析】：36答案：.【解析】：原方程对应的齐次线性微分方程为，可解得.用常数变易法，可求得非齐次线性微分方程的通解为.将代入有.所以对应的特解为.37答案：1.【解析】：，故向量在向

6、量上的投影.38答案：-1.【解析】：令.则有，所以.由于时，.代入可知.39答案：.【解析】：，而积分区域表示的是以为圆心，2为半径的圆，所以，即.40答案：发散.【解析】：，由比较判别法的极限形式可知，级数和有相同的敛散性，故正项级数是发散的。三、计算题（每小题5分，共50分）41求极限【解析】：原式42已知参数方程（为参数），求【解析】：因为 所以 43求不定积分【解析】：令，则，且于是原式44求【解析】：原式45求微分方程的通解【解析】：原方程的特征方程为特征方程的根为 所以原方程的通解为 46求函数的极值【解析】：由解得驻点又 对于驻点，因为所以，于是点不是函数的极值点对于驻点有于是

7、 所以函数在点处取极大值为47求过点且与直线平行的直线方程【解析】：因为所求直线平行于直线所以所求直线的方向向量为由直线的点向式方程可得，所求的直线方程为48求函数的全微分【解析】：由于所以49计算，其中为圆环：【解析】：在极坐标系下，区域（如第49题图所示）可以表示为所以50求幂级数的收敛域【解析】：因为所以原级数的收敛半径为 也就是，当，即时，原级数收敛当时，原级数为是交错级数且满足，所以它是收敛的；当时，原级数为，这是一个的级数，所以它是发散的；所以，原级数的收敛域为四、应用题（每小题6分，共12分）51求函数在时的最大值，并从数列，中选出最大的一项（已知）【解析】：因为 令，解得唯一驻

8、点又因为在区间内，严格单调增加；在区间内，严格单调减少；而又在区间连续，所以在处取最大值已知，由上知于是数列的第三项是此数列中最大的一项52过点作曲线的切线，该切线与此曲线及轴围成一平面图形试求平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积【解析】：设切线与曲线相切于点（如第52题图所示），第52题图由于则切线方程为 因为切线经过点，所以将代入上式得切点坐标为从而切线方程为因此，所求旋转体的体积为五、证明题（8分）53证明不等式：，其中为正整数证明：设，则在上连续，在内可导，故在区间上满足拉格朗日中值定理条件，于是，至少存在一点，使得又因为，故，从而有所以 报班地址：龙子湖校区郑东新区龙子湖北路与博学路交叉口向南200米学府广场B座13楼电话： 037155819620 15638117707 15036102897