全等三角形辅助线归类_小学教育-小学教育.pdf

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1、 1 1 倍长中线（线段）造全等 前言：要求证的两条线段 AC、BF 不在两个全等的三角形中，因此证 AC=BF 困难，考虑能否通过辅助线把AC、BF 转化到同一个三角形中，由 AD 是中线，常采用中线倍长法，故延长 AD 到 G，使 DG=AD，连 BG，再通过全等三角形和等线段代换即可证出。1、已知：如图，AD 是 ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF，求证：AC=BF AB CDEF 2、已知在 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF FEDABC 3、已知，如图 AB

2、C中，AB=5，AC=3，则中线 AD的取值范围是 _.DCBA 4、在 ABC 中,AC=5,中线 AD=7，则 AB 边的取值范围是()A、1AB29 B、4AB24 C、5AB19 D、9AB19 5、已知：AD、AE 分别是 ABC 和 ABD 的中线，且BA=BD，求证：AE=21AC ABCDE 6、如图，ABC中，BD=DC=AC，E 是 DC的中点，求证：AD平分 BAE.E D CBA 7、已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是 ABD 的中线，求证：C=BAE ABCDE 8、如图 23，ABC中，D是 BC的中点，过 D点的直线 GF交 AC于 F，交 AC的平行线

3、BG于 G点，DE DF，交 AB于点 E，连结 EG、EF.求证：BG=CF 请你判断 BE+CF 与 EF的大小关系，并说明理由。2 2 4321DEABCADBCE 9、如图，AD 为ABC 的中线，DE 平分BDA 交 AB于 E，DF 平分ADC 交 AC 于 F.求证：EF CF BE 第 14 题图 DFC BEA 10、如图，ABC中，E、F 分别在 AB、AC上，DE DF，D是中点，试比较 BE+CF 与 EF的大小.EDFCBA 11、已知：如图，在ABC 中，AC AB，D、E 在 BC上，且 DE=EC，过 D 作BA DF/交 AE 于点 F，DF=AC.求证：AE

4、 平分BAC ABFDEC 截长补短 1、已知，四边形 ABCD 中，AB CD，1 2，3 4。求证：BC AB CD。2、如图，AD BC，点 E 在线段 AB 上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.3、已知：如图，在 ABC 中，C 2 B，1 2.求证：AB=AC+CD.3、如图，在 ABC中，BAC=60，AD 是 BAC 的平分线，且 AC=AB+BD，求 ABC 的度数 D C BA 4、如图，已知在 ABC 中，B=60，ABC 的角平分线AD,CE相交于点 O，求证：OE=OD OEDC BA DCBA12 通过辅助线把转化到同一个三角形中由是中线常采用

5、中线倍长法故延长到使连再通过全等三角形和等线段代换即可证出已知如图是的中线交于交于且求证求证如图中是的中点求证平分已知是的中线求证如图中是的中点过点的直线交 求证已知如图中则中线的取值范围是在中中线则边的取值范围是如图为的中线平分交于平分交于求证第题图如图中分别在上是中点试比较与的大小已知如图在中在交于点上且过作求证平分如图点在线段上求证已知如图在中求证如图 交于点试判断的数量关系并加以证明角平分线上的点向角两边引垂线段如图在四边形中求证如图已知在内分别在上并且分别是的角平分线求证如图在中为上任意一点求证如图点为正三角形的边所在直线上的任意一点点除外作射线与 3 3 5、已知 ABC 中，60

6、 A，BD、CE 分别平分 ABC 和.ACB，BD、CE 交于点 O，试判断 BE、CD、BC的数量关系，并加以证明 6、如图，已知在ABC内，060 BAC，040 C，P，Q分别在 BC，CA上，并且 AP，BQ分别是BAC，ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP PQCBA 7、如图在 ABC 中，AB AC，1 2，P 为 AD上任意一点，求证;AB-AC PB-PC P21DCBA 8、如图，点 M 为正三角形 ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点(点 B 除外)，作 60 DMN，射线 MN 与 DBA 外角的平分线交于点 N，DM 与 MN 有怎样的数量关系?角平

7、分线上的点向角两边引垂线段 1、如图，在四边形 ABCD 中，BC BA,AD CD，求证：BAD+C=180 DCBA 2、如图，四边形 ABCD 中，AC 平分 BAD，CE AB 于 E，AD+AB=2AE，则 B 与 ADC 互补.为什么？3、如图 4，在 ABC 中，BD=CD，ABD=ACD,求证 AD平分 BAC.D B E A C A B C D NE B M ADDOEC BA通过辅助线把转化到同一个三角形中由是中线常采用中线倍长法故延长到使连再通过全等三角形和等线段代换即可证出已知如图是的中线交于交于且求证求证如图中是的中点求证平分已知是的中线求证如图中是的中点过点的直线交

8、 求证已知如图中则中线的取值范围是在中中线则边的取值范围是如图为的中线平分交于平分交于求证第题图如图中分别在上是中点试比较与的大小已知如图在中在交于点上且过作求证平分如图点在线段上求证已知如图在中求证如图 交于点试判断的数量关系并加以证明角平分线上的点向角两边引垂线段如图在四边形中求证如图已知在内分别在上并且分别是的角平分线求证如图在中为上任意一点求证如图点为正三角形的边所在直线上的任意一点点除外作射线与 4 4 图十一4321PABC4、如图，在 ABC 中，ABC=100，ACB=20，CE 平分 ACB，D 是 AC 上一点，若 CBD=20，求 ADE 的度数.作业：已知，AB AD，

9、1 2，CD BC。求证：ADC B 180。图九21CBAD 作业：如图，在 ABC 中 A BC,A CB 的外角平分线交P.求证:AP 是 BAC 的角平分线 作业：如图,B=C=90,AM 平分 DAB,DM 平分 ADC 求证:点 M 为 BC 的中点 连接法（构造全等三角形）作业：已知：如图所示，AB AD，BC DC，E、F 分别是 DC、BC 的中点，求证：AE AF。1、如图，直线 AD 与 BC 相交于点 O，且 AC=BD，AD=BC 求证：CO=DO AODCB 2、已知：如图 16，AB=AE，BC=ED，点 F 是 CD 的中点，AF CD 求证：B=E AF D

10、CBE 3、如图 11-30，已知 AB AE，B E，BC ED，点 F 是 CD 的中点.求证：AF CD.FED CBA 4、在正 ABC 内取一点 D，使 DA DB，在 ABC 外取一点 E，使 DBE DBC，且 BE BA，求 BED.D B C A F E DEC BA通过辅助线把转化到同一个三角形中由是中线常采用中线倍长法故延长到使连再通过全等三角形和等线段代换即可证出已知如图是的中线交于交于且求证求证如图中是的中点求证平分已知是的中线求证如图中是的中点过点的直线交 求证已知如图中则中线的取值范围是在中中线则边的取值范围是如图为的中线平分交于平分交于求证第题图如图中分别在上是

11、中点试比较与的大小已知如图在中在交于点上且过作求证平分如图点在线段上求证已知如图在中求证如图 交于点试判断的数量关系并加以证明角平分线上的点向角两边引垂线段如图在四边形中求证如图已知在内分别在上并且分别是的角平分线求证如图在中为上任意一点求证如图点为正三角形的边所在直线上的任意一点点除外作射线与 5 5 5、如图所示，BD=DC,DE BC,交 BAC 的平分线于 E，EM AB,EN AC,求证：BM=CN 6、如图，在 ABD 和 ACD 中，AB=AC，B=C 求证：ABD ACD ADC B 全等+角平分线性质 1、如图 21，AD平分 BAC，DE AB于 E，DF AC于 F，且

12、DB=DC，求证：EB=FC 2、已知：如图所示，BD 为 ABC 的平分线，AB=BC，点 P 在 BD 上，PM AD 于 M，PN CD 于 N，判断PM 与 PN 的关系 全等+等腰性质 1、如图，在 ABE 中，AB AE,AD AC,BAD EAC,BC、DE交于点 O.求证：(1)ABC AED；(2)OB OE.2、.已知：如图，B、E、F、C 四点在同一条直线上，AB DC，BE CF，B C 求证：OA OD 两次全等 7.4 作业：AB=AC，DB=DC，F 是 AD的延长线上的一点。求证：BF=CF FDC BA A C N E M B D OCEBDAPDACBMN通

13、过辅助线把转化到同一个三角形中由是中线常采用中线倍长法故延长到使连再通过全等三角形和等线段代换即可证出已知如图是的中线交于交于且求证求证如图中是的中点求证平分已知是的中线求证如图中是的中点过点的直线交 求证已知如图中则中线的取值范围是在中中线则边的取值范围是如图为的中线平分交于平分交于求证第题图如图中分别在上是中点试比较与的大小已知如图在中在交于点上且过作求证平分如图点在线段上求证已知如图在中求证如图 交于点试判断的数量关系并加以证明角平分线上的点向角两边引垂线段如图在四边形中求证如图已知在内分别在上并且分别是的角平分线求证如图在中为上任意一点求证如图点为正三角形的边所在直线上的任意一点点除外

14、作射线与 6 6 1、如图，D、E、F、B 在一条直线上 AB=CD,B=D，BF=DE.求证：（1）AE=CF;（2）AE CF（3）AFE=CEF 2、如图：A、E、F、B 四点在一条直线上，AC CE，BD DF，AE=BF，AC=BD。求证：ACF BDE ABCEFD 3、如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AC 上的一点，1=2，3=4，求证:5=6 654321EDCBA 4、已知如图，E、F 在 BD 上，且 AB CD，BF DE，AE CF 求证：AC 与 BD 互相平分 5、如图，在四边形 ABCD 中，AD BC，ABC=90 DE AC 于点 F，交 BC 于点 G

15、，交 AB 的延长线于点 E，且 AE=AC.求证：BG=FG 直角三角形全等（余角性质）作业：如图，在等腰 RtABC中，C 90，D是斜边上AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H点，交AE于G 求证：BDCG 1、如图，将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点置于直线 l上，且过 A，B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为 D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程 A F C B D E G A D F E C B A B E O F D C 通过辅助线把转化到同一个三角形中由是中线常采用中线倍长法故延长到使连再通过全等三角形和等线段代换

16、即可证出已知如图是的中线交于交于且求证求证如图中是的中点求证平分已知是的中线求证如图中是的中点过点的直线交 求证已知如图中则中线的取值范围是在中中线则边的取值范围是如图为的中线平分交于平分交于求证第题图如图中分别在上是中点试比较与的大小已知如图在中在交于点上且过作求证平分如图点在线段上求证已知如图在中求证如图 交于点试判断的数量关系并加以证明角平分线上的点向角两边引垂线段如图在四边形中求证如图已知在内分别在上并且分别是的角平分线求证如图在中为上任意一点求证如图点为正三角形的边所在直线上的任意一点点除外作射线与 7 7 2、如图，ABC 90，AB BC，D 为 AC 上一点，分别过 A、C 作

17、 BD 的垂线，垂足分别为 E、F 求证：EF CF AE 证 ABE BCF，得 BE CF，AE BF，EF BE BF CF AE 3、在 ABC 中，90 ACB，BC AC，直线MN经过点C，且MN AD 于D，MN BE 于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图 1 的位置时，求证：ADC CEB；BE AD DE；(2)当直线MN绕点C旋转到图 2 的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.4、如图：BE AC，CF AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM AN。FBCAMNE1234 作平行线 1、已知 ABC，AB=AC，

18、E、F 分别为 AB 和 AC 延长线上的点，且 BE=CF，EF 交 BC 于 G求证：EG=GF AFCG BE 2、如图，在 ABC 中，AB=AC，BD 平分 ABC，DE BD 于 D，交 BC 于点 E 求证：CD=21BE 延长角平分线的垂线段 1、如图，在 ABC 中，AD 平分 BAC，CE AD 于 E 求证：ACE=B+ECD AFDCBE 1 5 4 3 2 E F B D C A A B C F D E 通过辅助线把转化到同一个三角形中由是中线常采用中线倍长法故延长到使连再通过全等三角形和等线段代换即可证出已知如图是的中线交于交于且求证求证如图中是的中点求证平分已知是

19、的中线求证如图中是的中点过点的直线交 求证已知如图中则中线的取值范围是在中中线则边的取值范围是如图为的中线平分交于平分交于求证第题图如图中分别在上是中点试比较与的大小已知如图在中在交于点上且过作求证平分如图点在线段上求证已知如图在中求证如图 交于点试判断的数量关系并加以证明角平分线上的点向角两边引垂线段如图在四边形中求证如图已知在内分别在上并且分别是的角平分线求证如图在中为上任意一点求证如图点为正三角形的边所在直线上的任意一点点除外作射线与 8 8 2、如图，ABC 中，BAC=90 度，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于 E，直线 CE 交 BA 的

20、延长线于 F 求证：BD=2CE FEDCBA 3、如图：BAC=90，CE BE，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，求证：BD=2EC BCAED 4、已知，如图 34，ABC 中，ABC=90，AB=BC，AE 是 A 的平分线，CD AE 于 D 求证：CD=21AE CEBAD 面积法 例 1 如图 1，在 ABC 中，BAC 的角平分线 AD 平分底边 BC.求证 AB=AC.2、如图所示,已知 D 是等腰 ABC 底边 BC 上的一点,它到两腰 AB、AC 的距离分别为 DE、DF,CM AB,垂足为M,请你探索一下线段 DE、DF、CM 三者之间的数量关系,并给予证明.EDC

21、BAMF 3、己知，ABC 中，AB=AC，CD AB，垂足为 D，P是 BC 上任一点，PE AB，PF AC 垂足分别为 E、F，求证：PE+PF=CD.PE P F=CD.F E D C A B G P 通过辅助线把转化到同一个三角形中由是中线常采用中线倍长法故延长到使连再通过全等三角形和等线段代换即可证出已知如图是的中线交于交于且求证求证如图中是的中点求证平分已知是的中线求证如图中是的中点过点的直线交 求证已知如图中则中线的取值范围是在中中线则边的取值范围是如图为的中线平分交于平分交于求证第题图如图中分别在上是中点试比较与的大小已知如图在中在交于点上且过作求证平分如图点在线段上求证已知

22、如图在中求证如图 交于点试判断的数量关系并加以证明角平分线上的点向角两边引垂线段如图在四边形中求证如图已知在内分别在上并且分别是的角平分线求证如图在中为上任意一点求证如图点为正三角形的边所在直线上的任意一点点除外作射线与 9 9 旋转型 1、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，G 为 CD 边上一动点（点 G 与 C、D 不重合），以 CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形 GCEF，连接 DE 交 BG 的延长线于 H。求证：BCG DCE BH DE 2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连结 DC（1）请

23、找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC BE 3、（1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC 求 AEB 的大小；（2）如图 8，OAB 固定不动，保持 OCD 的形状和大小不变，将 OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和 OCD不能重叠），求 AEB 的大小.4、如图，AE AB，AD AC，AB=AE，B=E，求证：（1）BD=CE；（2）BD CE 5、如图所示，已知 AE AB，AF AC，AE=

24、AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC BF 6、正方形 ABCD 中，E 为 BC上的一点，F 为 CD上的一点，BE+DF=EF，求 EAF的度数.FEDC BA 图 1 图 2 D C E A B C B O D 图 7 A E A E B M C F F E D C A B G P F E D C A B G H B A O D C E 图 8 通过辅助线把转化到同一个三角形中由是中线常采用中线倍长法故延长到使连再通过全等三角形和等线段代换即可证出已知如图是的中线交于交于且求证求证如图中是的中点求证平分已知是的中线求证如图中是的中点过点的直线交 求证已知如图中则中线的取值

25、范围是在中中线则边的取值范围是如图为的中线平分交于平分交于求证第题图如图中分别在上是中点试比较与的大小已知如图在中在交于点上且过作求证平分如图点在线段上求证已知如图在中求证如图 交于点试判断的数量关系并加以证明角平分线上的点向角两边引垂线段如图在四边形中求证如图已知在内分别在上并且分别是的角平分线求证如图在中为上任意一点求证如图点为正三角形的边所在直线上的任意一点点除外作射线与 10 10 NMEFACBA 7、D为等腰Rt ABC 斜边 AB的中点，DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA于点 E,F。当MDN 绕点 D转动时，求证 DE=DF。若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。8

26、、如图，ABC 是边长为 3 的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且0120 BDC，以 D 为顶点做一个060角，使其两边分别交 AB于点 M，交 AC于点 N，连接 MN，求 AMN 的周长。NMDC BA 9、五 边 形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD 平分 CDE CEDBAABDEFC 10、如图，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五边形 ABCDE 的面积 通过辅助线把转化到同一个三角形中由是中线常采用中线倍长法故延长到使连再通过全等三角形和等线段代换即可证出已知如图是的中线交于交于且求证求证如图中是的中点求证平分已知是的中线求证如图中是的中点过点的直线交 求证已知如图中则中线的取值范围是在中中线则边的取值范围是如图为的中线平分交于平分交于求证第题图如图中分别在上是中点试比较与的大小已知如图在中在交于点上且过作求证平分如图点在线段上求证已知如图在中求证如图 交于点试判断的数量关系并加以证明角平分线上的点向角两边引垂线段如图在四边形中求证如图已知在内分别在上并且分别是的角平分线求证如图在中为上任意一点求证如图点为正三角形的边所在直线上的任意一点点除外作射线与