2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题10立体几何【含答案】.pdf

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1、专题1 0 立体几何一、选择题部分1.(2021新高考全国I 卷中3)已知圆锥的底面半径为其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A.2 B.2狙 c.4 D.4及B.设圆锥的母线长为由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则/=2%x J 5,解得1 =1412.(2021高考全国甲卷理T 6)在一个正方体中，过顶点/的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥Z-EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()正视图根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，故选D.3.（2 0 2 1 高考

2、全国甲卷理T 8）2 0 2 0 年 1 2 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为884 8.86 （单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有4 B,C三点，且/,B,C在同一水平面上的投影48 ，0 满 足/4。8 =4 5。，乙4 8 C =6 0。.由 c点测得8 点的仰角为匕。，BB与CC的差为1 0 0：由2点测得4点的仰角为4 5,则4C两点到水平面0 8 。的高度差44 CC约 为（*1.73 2）（）B.通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案.A过。作 C _ L 6 8,过

3、8 作5 O J.4 4,AA-CC=A A-(BB-BH)=AA-55+100=4 0 +100由题，易知NOB为等腰直角三角形，所以“0 =0 5.所以 4 一。=。6+100=/8+1 0 0.CH=CB=1 0 0因为NBCH=15,所以 tan 15在8 C 中，由正弦定理得：4 E _ C B _ 100 _ 100sin 45 sin 75-tan 15cos 15-sin 15,/7 _ /ysin 15=sin(45-30。)=sin 45 cos 300-cos 45 sin 30=而4,5100 x4x AB=-=100(73+1)273,所以 T X1 故 2 2 2,

4、7.(2021 浙江卷T 6)如图已知正方体 88 4 月，%分别是4 0,0 刀 的中点，则()GA,直线4与直线 i垂直，直线MN/平面4 B C DB,直线4。与 直 线 平 行，直线N_L平面C,直线4。与 直 线 相 交，直线M N/平面/B C DD,直线4。与直线取异面，直线MNL 平面B D R B A.连A D,在正方体/8C。-A】B D i中，加 是4。的中点，所以“为2中点，又N是 的 中 点，所以M N/AB,MNQ 平面 ABCD,A B u 平面 A B C D ,所以MN平面4 8c o.因为N8不垂直3。，所以MN不垂直8。则 不 垂 直 平 面8 02与，所

5、以选项B,D不正确;在正方体 4 G o i 中，A D】-L AD ,/8_ L平面44QQ,所以么8,4。，4D c A B =A 所以 4。，平面 A B D、,*u平面/丽，所以/斗，且直线4 /是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确.故选A.8.（2021浙江丽水湖州衢州二模T 2.）已知直线/，和平面a（）A.若/加，阳u a,则/a B.若/a,mu a,则/mC.若/J _ a,加u a,则D.若/_L加，/J _ a,则机_LaC.对于力，若1m,加 u a,则/a 或/u a,故 Z 错误；对于8,若/a,加u a,贝 ij/加或/与团异面，故 8 错误；对于C,若/J

6、 _ a,加 u a,则由线面垂直的性质得/J_机，故 C 正确；对于。，若/_1_m，/_ L a,则 加 与 a 平行或加u a,故0 错误.9.（2021 江苏盐城三模411）已知矩形N8C。满足28=1,4 0=2,点 E 为 3。的中点，将48石沿力E 折起，点 8 折至夕，得到四棱锥夕一力E C O,若点尸为夕。的中点，则A.CP/平面 BNEB.存在点夕，使得C PL平面”9。史C.四棱锥B-A E C D 体积的最大值为4D.存在点夕，使得三棱锥夕一4 9 E 外接球的球心在平面NEC。内ACD.【考点】立体几何的综合应用：位置关系、体积、外接球问题由题意可知，对于选项A,取

7、N 夕的中点为0,连结E。、P Q,因为1 1CElgAD,P O l A D,所以PQ竺J E,所以四边形CE0尸为平行四边形，所以C尸。E,又0E u平面CP（zffi A B E,所以CP平面49 ,所以选项A 正确；对于选项B,若 C P,平面则CPLN夕，所以0 ，4夕，则与 夕，8 E 矛盾，所以选项B 错误；业对于选项C,过 9 作垂足为O,可得9 0=2,所以11 1 1 死yB-AECDSAECD-h=（l+l）-h B O 4,所以选项C 正确；对于选项D,若三棱锥夕一/O E外接球的球心在平面/E C D 内，贝 IJ球心为NOE的外心，则为zlOE直角三角形,且/。为斜

8、边，则球心。为/。的中点，所以R=O夕=0 4 =0 0=1,则/夕_ 1_夕。，所以B，D=3 而夕。G（l,好），可知存在，则满足题意，所以选项D 正确；综上，答案选ACD.10.（2021河南郑州三模理T9）已知等腰直角ABC的斜边B C=4,沿斜边的高线AD将4n4 8 c折起，使二面角B-A。-C为 3,则四面体A8CD的外接球的体积为（）A.3B.27如图,B由题意，8 8是等边三角形，边长为2,2 二2北则BCD外接圆的半径为 3,设BCD的外心为G,四面体A8CD的外接球的球心为0,2连接0G,则OG_L平面B C D,且0G=2人。=1.则四面体ABC。的外接球的体积V=3

9、V3=2 711.（2021 河南郑州三模理T11）在棱长为2的正方体A 8 C D-4 8 D i中，点正平面A 4B 1 8,点F是线段A 4的中点，若D1ELCF,则EBC的面积最小值为（）_1A.22娓B.5C.5D.10G如图：取 A 8 中点G,可知R t Z!B A F s R t A B i 8 G,得/ABF=N BBiG,：.Z B1G B+Z A B F=ZB i G B+ZS B x G=9 0 ,，8 F _ L G 8 i，又：8 i G _ L 8 C,.B i G，平面 B F C,；.B i G _ L 平面 C F,又；i E _ L C F,Z.C F 平

10、面B A G,当点E在直线B i G 上时，O i E _ L C F,8 c=2,则8 c 面积为2EB8C,当E B C 的面积取得最小值时，线段CE的长度为点B到直线8 1 G 的距离，线段CE长度2 1 2 的最小值为旄，此时E B C 面积为2 X E B X B C=5 .1 2.（2 0 2 1 河南开封三模文T 9 理 T 8）某几何体的三视图如图所示，关于该几何体有下述四个结论：_ 5体积可能是6 ；2体积可能是石；K 和 在 直 观 图 中 所 对 应 的 棱 所 成 的 角 为 3 ；在该几何体的面中，互相平行的面可能有四对.其中所有正确结论的编号是（）正视图 侧视图A.

11、B.C.D.D.由三视图可画出直观图如下图：廖如 图1,o 1 1 5V=1 3 2 I1 X I1 X 11=76-,故正确；311 9V=l -2 X -x-x ix ix如图2,3 2 1 3.故正确;如上图，和C。在直观图中所对应的棱分别为E尸和尸G,由尸G为正三角形,K可知N 8和CD在直观图中所对应的棱所成的角为3,故正确；如上图，平面Z8CO平面SG D1，面面8C G S，面I B B 面。C G 2，面A B R 面B G D,故正确.13.（2021河北张家口三模打10）已知一个圆柱的上、下底面圆周均在球。的表面上，若圆柱的体积为4 n,则球。的表面积不可能为（）A.6nB

12、.8irC.12nD.1611AB.J 兀r%9=4兀，r6+-=R7，设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则I 4p2_4 h3（R2”所以 h 4,所以 h4 2 2 h4,所 以 当 尼（0,2）时 6）0,所以当h=2时，R2有最小值.此时球。的表面积有最小值,且最小值为S球。=皿（高 耳）=12兀,即球。的表面积5球0121T.14.(2021山东聊城三模T12.)已知等边三角形ABC的边长为6 M,N分别为AB,AC的中点，将 AMN沿MN 折 起 至 A M N,在四棱锥/-MNCB中，下列说法正确的是()A,直线MN平面IB CB.当四棱锥1 -MNCB体积最大时，二面角4 -MN

13、-B为直二面角C.在折起过程中存在某位置使BN_L平 面/NCD.当四棱/-MNCB体积最大时，它的各顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为397rA,B,D【考点】反证法，球的体积和表面积，直线与平面平行的判定因为MN8C,M M I平面4BC,B C u平面4 所以直线MN平面4 BC,A符合题意；因为四棱链d -MNCB底面积为定值，所以当 点/到平面MNCB距离最大时体积最大，故当二面角1 -MN-B为直二面角时，满足题意，B符合题意：对于C,如图，若 BN_L平面4 N C,贝胆N AA,又4。_L M N,AD MN,A D n AD=D,可知MN 平面A A。,所以4 A MN,

14、又MN n BN=N，所以4 4 平面MNCB,这显然不可能，C不符合题意；当四棱4 -MNCB体积最大时，二面角1 -N -8为直二面角，如图，由取8 C的中点E,则E是等腰梯形M NCB外接圆圆心.F是AMA/外心，作0E 平面M/VCB,O F上平面4/W N,贝I。是四棱锥人-MNCB的外接球的球心，且OF=DE=2 ,AF=3.设四棱锥A-MNCB的外接球半径R,则“+一 4,所以球表面积是39兀.【分析】A由线面平行判定可推得A正确。B根据四棱锥1 -M NCB底面积为定值，所以当点4,到平面M NCB距离最大时体积最大，进而可判B正确。C由反证法可得C错误。D取8 c的中点E,则

15、E是等腰梯形M N C B外接圆圆心.F 是4 A MN外心得。是四棱锥M NCB的外接球的球心，结合B的结论求得外接球半径R,进而求出球表面积，可判D正确。15.（2021四川内江三模理T 8.）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中,最大的是（）主祝理 左旗酉c.2V 6D.幺/6根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体.如图所示：9 1斫以 SAACD4X2V5 J _平面尸8 0B.三棱锥尸-88四个面都是直角三角形返C.与8 c所成角的余弦值为4V 21D.过8 c的平面与P O交于A/,则 M 8 C面积的最小值为7ABD.8 C Z)中，CD=,BC=2,N

16、 Z=60 ,所以 8 0=4 3,故 B D X C D 2=B。,所以 8 _ L C D,因为平面P B D 上平面B C D且平面P B O C平面BCD=BD,所以C )_ L平面尸8。，CDVPD-,同理P 8 _ L平面CBD,因为C D u平面尸C Z),所以平面尸C )J _平面8 P 0,A,8正确；以。为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则8 (V 3,0,0),C(0,1,0),P(V 3,0,1),因为 D P=(V 3,o,1),B C=(-V 3,1,0),_/竺 3 3_所以c o s 而 -I B C I I D P I=Z,即尸。与8 c所成角的余弦值为4

17、,c错误；因为M在线段PO上，设M(百a,0,a),则 诬=(3-7 3 a,0,-a),I而2(而 前;ha2 3a 3 1.3.2 3所以点M 到 B C 的距离d=V(反I)丁 N j j a不)节1 返1 1BCXV 21 叵当。=7时，d取 得 最 小 值7 ,此时 M 8 C面积取得最小值2 7=7,。29.（20 21 福建宁德三模T 1 2）已知正四棱锥的侧面积为4 ,当该棱锥的体积最大时，以下结论正确的是（）A.棱锥的高与底面边长的比为下B.侧棱与底面所成的角为60。C.棱锥的每一个侧面都是等边三角形D.棱锥的内切球的表面积为（8-4道）兀ACD.设底面边长为2o,侧棱长为b

18、,则S便面=4 x ：x 2G x /62 a2=4a y/b a2=4 /3,即A俨 二 滔=同T 7 1 /c 2/7 7 7 4Q、坊2 2Q2而V =?x(2a)x -a -a =又设/(a)=3a2-a6(0 a 事),则/(a)=6a-6a s _ 6a(1 -a4)=6a(l +a2)(l +a)(l -a),易知函数/(a)在()单调递增，在(1内团单调递减，.当a=l时，f（a）取得最大值，此时棱锥的体积最大，且b=2,底面边长为2,侧棱长为2,PE=J 3，P =2,棱锥的高与底面边长的比为下，选项A正确；侧棱与底面所成的角为 8。，而s iM PBO焉=4,贝i jBO

19、=4 5。，选项8错误;由于底面边长与侧棱长均为2,故侧面为等边三角形，选项C正确；设内切球的半径为r,由于吸T B C D=竽,s表=4 +4xGx2x2x）=4 +4g，S表 4 +4/3 1 +y/3 2.s内=4寸（四；嚣）2=（8 4禽 加，选项。正确.故 选:ACD.设底面边长为2 a,侧棱长为b,求出棱锥体积，通过构造函数，求导可知当a=1,及力=2时棱锥体积最大，然后再逐项判断即可.本题考查正棱锥的性质，线面角，以及内切球表面积的求法，同时还涉及了利用导数研究函数的最值，考查函数思想，考查推理能力及运算能力，属于较难题目.3 0.（2 02 1福建宁德三模叮6）如图，在直四棱柱

20、4 8。-4 1 8也1。1中，p,_ c,BC1CD,AB/CD,BC=3 AAl=AB=AD=2 点 p,Q,R 分别在棱BB1,*1,叫上，若A,P,Q,R四点共面，则下列结论/yl/错误的是（）/产-伊A.任意点P,都有AP QR L i三二二二Z/A RB.任意点P,四边形AP QR不可能为平行四边形C.存在点P,使得 力P R为等腰直角三角形D.存在点P,使得BC平面AP QRC.对于4由直四棱柱A B C D-A i B m,AB/CD,所以平面“B B/I 平面DCC/i,又因为平面AP QR n平面=4 P,平面4 P QR D平面。呢 必=QR,所以APQR.对于B：若四边

21、形AP QR为平行四边形，则R QP,而A D与8 c不平行，即平面与平面不平行，所以平面AP QR n平面BCC/i =P Q,平面AP QR CI平面在 叫 勺=AR,直线P Q与直线AR不平行，与AR QP矛盾，所以四边形AP QR不可能是平行四边形.对于C：假设存在点P,使 得 为 等 腰 直 角 三 角 形，令 BP=x,由 4 P =AB2+BP2=j4 +炉=AR=AD2+DR2=74 +D/?2,所以BP =DR=x且BP DR=四边形BPDR为平行四边BPDR,所以 R P =BD=(BC2+CD?,过点0作D E 1 4 B,则DE=BC=、后,所以4 E=1,即CD=8

22、E=1,所以RP=+3=2 =AP=（8+2 BP 2 =（8+2，,无解，故 c错误;对于D：当BP =CQ时，R为。时，满足BC平面AP QR,故。正确.故选：C.根据线线，面面的性质判断A,B是否正确；使用假设法判断C,。是否正确.本题考查立体几何中线线，线面的位置关系，属于中档题.3 1.（2 02 1宁夏中卫三模理T 6.）已知水平放置的ZBC按“斜二测画法”得到如图所：/3示的直观图，其中8 O=C O=1,A O=2,那么是一个（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形A.返由已知中/B C的直观图中夕O=C O=1,A O=2,./8 C 中，8 O=C

23、 O=1,A 0=M,由勾股定理得：AB=AC=2,又由8 c=2,故/B C为等边三角形.32.（20 21宁夏中卫三模理T 1 0.）若 正 四 面 体 的 所 有 棱 长 均 为4 2,则正四面体ABCD（）A.表面积为幺门2C.体积为5返B.rW i为 3返D.内切球半径为6D.根据题意，正 四 面 体 的 所 有 棱 长 均 为V 2,依次分析选项：a 返对于 4，s A A B C=S iABD=S&ACD=S&B C D=4 X 2=2,则其表面积返S=4义2=2 y，/错误；对于8,设/B C的中心为O,易得。_1面力8。，则2 逅逅 7 1 27 3 27 3AO=3XT=T

24、,则|DO|=VZHI=一,正四面体/B C D 的高为-V,8 错误:_1 1对于C,正四面体48C。的r=3 XS44BCX|DO|=3,C错误；_1 1对于。，设正四面体/8C。的内切球半径为r,则 有“=3义5银亦义|。0|=3 X（S返表）X r,解可得r=6,。正确.33.（2021江西南昌三模理T 9.）平安夜苹果创意礼品盒，如 图1,它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形.如图2,底面正方形/BCD的边长为2,上底面EFG”与下底面N88之间的距离为U 2+1,则该几何体的侧面积为（）该几何体的俯视图如图所示，设。为俯视图的中心，J-2

25、 +、2则 M k=N=l,所以WE,设等腰三角形的高为儿则卜2=（a-1）2+（蜴+1）2,得卜飞以所以一个等腰三角形的面积为2 7 c所以该几何体的侧面积为8V 6.oNM34.（2021安徽马鞍山三模理T i l.）如图，1是正方体4 8 8-m81G功 棱。Q 的中点,产是棱C iS 上的动点，下列命题中：若过C F的平面与直线EB垂直，则F为 G&的中点；存在尸使得。/8E；存在F使得A B EF的主视图和侧视图的面积相等；四面体E B F C的体积为定值.其中正确的是（）c.D.3iD当户为8 G 中点时，将 CF平移至E M,则河为小。的四等分点，即1 4 1 1,过 M 作 不

26、妨设力。=4,则 MN=4,BN=5,8 D=4 V 2,.,.在 R t 皿 中，B E=V22+(4/2)2=6,同理ME=4,:.B醇 M E BM2,:.M E LBE,：.CF BE,：ACBE,：.B E A C F,故正确;过 A 作。0 8 ,可得。为 中 点，.不存在尸使得。/故 错 误;当尸与囱重合时，4 版 的 主 视 图 S =S%侧视图$2=$呼，为 e g中点），二ECCI S.P B B 1,故正确；,:C R B C,所以G 8|平 面 班 C,.8 上任一点到平面E 8 C 的距离都相等，设尸到面8 E C 的 距 离 为 人 且SOBC为定值，E-BFC=7

27、S21EBC义b 也为定值，故正确.35.（20 21 安徽马鞍山三模文T 1 0.）将一个表面积为36 n 的木质实心球加工成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的底面半径为（）A.2 3 B.3 C.V 6 D.V 3C.由球的表面积为3 6m 可得球的半径为3,如图,设圆柱的底面半径为r,则高为W 9-d(0 r 3)，圆柱=兀=2.2后=2可办4（9-=2）=2/42/得（1 8-2/）1（产+产+1 8-2 产 户.2 叱丫5（3 ）=1 2 加 兀.当且仅当，2=1 8-2 户，即户=6,r=V 6 时，上式取等号.3 6.（2 02 1 江西九江二模理T 1 0.）如图所示，在棱长为2的

28、正方体小5G。中,点、E,F,G,H,I,J分别是棱小8”小。1，DDi，CD,BC,8 丛的中点，现在截面EF G”内随机取一点，则此点满足|/M+|G|W4 的概率为（）返 血兀 7 1 愿冗A.9 B.9 C.6 D.9D.连接A Q交平面E F GH IJ于O,则。为 4G和 G J 的交点，由正方体的性质可得/G J _ 平面E F GH IJ,：.ACL O M,设|O A/|=x,.7 0=001=4 3,.lAM l+l M 5|=X2+（V3）2+/X2+（V3）2=2VX2+3 沿。E 折起为H O E.设N/O E=a,二面角a +B=力；。片-。的大小为由 若 2 ,则

29、四棱锥4-3 C D E 体积的最大值为（）A.7 15设过4 与 D E垂 直 的 线 段 长 为 则 ZE=tana,0tanaE 的高=a sin0=sinasin(2)=smacosa,则 取，_0CDEX、X（警-ta n ax lXs i nd c o s C L(V 1 5-t a n)义 s i n C I c o s C t /(V T 5 s i n c o s a -s i n2 a )=b=b白(V l5 s i n2 a +c o s 2 a )y (J s i n2 a J c o s 2 a )=1/IN=J 4 4 1Z。V is=3 sin(2a+p)-12,

30、(tan,故 C 正确;D.若 a J L 0,6。，设 an0=c,由线面平行的性质得，b/c,若 a c,则 a 6,故D错.44.（2021辽宁朝阳二模T 10.）如图，正方体/8 C。-小SG9 的棱长为1,E,尸是线段为功上的两个动点，且 EF=2,则下列结论中正确的是（）B.EF平面 Z8 8C./加的面积与 8EF的面积相等D.三棱锥E-/8 尸的体积为定值ABD.由正方体的结构特征可知，平面/B C D,而/C u 平面/B C D,则。L 4C,又A BCD 为正方形,J.ACVBD,且。1。、8 O u 平面。8 避，；./C JL平面。）向 8,：8 E u 平面。向 8

31、,：.A C B E,故/正 确；:BQ/BD,8 D u 平面“B C D,8 04平 面/B C D,：.B D/n A B C D,而 所 在 8Q i 上，.Ek平面故 8 正确；点B到EF的距离为正方体的棱长，A到EF的距离大于棱长，则 的 面 积 与 48E厂的面积不相等，故 C错误；如图所示，连接8。，交 NC于 O,则/。为三棱锥4-8 E F 的高，c B EF而_ 1.尸1 1 1 v Ac s 工乂返返仍 产 彳 x5 x 1=VA-B EF WB E F咕。=五义至 万=五，则VE-ABF=VA-B EF豆 为 定 值，故。正确.45.（2021 山东潍坊二模T 8.）

32、在菱形A8CD中，48=6,NA=60,连结8 D,沿BD把448。折起，使得二面角A-B D-C的大小为60,连结A C,则四面体ABC。的外接球的表面积为（）A.13TTB.24TTC.36TTD.52TTD.如图，取BD的中点记为。，连接。C,OA,分别取8C。与A8D的外心E与F,过这两点分别作平面BDC、平面48。的垂线，交于点P,则P就是外接球的球心，连接。P,CP,NAOC为二面角A-B D-C的平面角为60,返则AOC是等边三角形，其边长为6X 2 二 诟,F x咚=1在 APOE 中，NPOE=30,.P=O ftan30=、3又C E=C=2 A PC=:R=VPE2X 2

33、=1098cm利用分割法，所 以 表 2 2,500 E L-g 4 5 51098X0.01=10.98 元，所以“=10.98,故最多制造 45 个.53.（2021乌鲁木齐二模文T 5.）如图，在长方体4 8 co-4 B 1 C Q 1中,AB=AD=2,44=1,点尸在平面4 8 G上，则三棱锥尸-/C D的体积为（）(22 1A.2 B.3 c.1 D.3B.在长方体力 B C D-mB l C Q|中，A B=A D=2,A A=,点尸在平面48G上，可知平面小8 c l 平面A C D ,所以P到平面ACD的距离与小 到平面ACD的距离相等，故-A C D -A C D I =

34、VC-A A.D 1，-X-J-XADXAA.XCD g所以三棱锥P-/C D 1 的体积：3 2 1=3 2 2 X 2 X 1=3.5 4.（2 0 2 1 吉林长春一模文T 9.）如图，长方体N 8 C。-中，84=3 C,尸为G。的中点,则异面直线P B与qC所成角的大小为A.3 0 B,4 5 C.6 0 D.B，平面 A B CtD,PB u 平面/8GA,即 P8，BC,故选 D.5 5.（2 0 2 1 吉林长春一模文T 6.）将长、宽 分 别为百和1 的长方形N 8 C Z 沿对角线5。折起,得到四面体A-B C D,则四面体A-B C D的外接球体积为A.-4-4-B.-8

35、-万 C.4A7 r D.-3-2-4-3 3 3A.4 7 rB D =2,B D中点到A,B,C,D 的距离均为1,故球的体积为，故选A.3二、填空题部分5 6.（2 0 2 1 高考全国乙卷文T 1 6）以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求的一组答案即可）.图图图.图图选择侧视图为，俯视图为,力因的一十ABCD A.B.C,D.AB BC 2,BB.1如图所不，长方体 1 中，?1瓦厂 分 别 为 棱 监 B C 的中点，则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三棱锥E-NQ厂

36、.故.57.（2021河南开封三模文理T16）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，古称 角黍”.如 图，是由六个边长为3 的正三角形构成的平行四边形形状的纸片，某同学将其沿虚线折起来，制作了一个粽子形状的六面体模型，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为一.g近 8762.27该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为3,如图，在棱长为3的正四面体S-/8 C中,取8 c的中点。，连接SD A D,作SO_L平面N 8C,垂足。在4）上,则AD=SD0D=,AD率,S 0=7S D2-0 D2=V 61 1 3A/3 1-W 2V=2Ve

37、 6nr=2 X-I-X-X 3 X -X J 7=.该六面体的体积为 S-ABC 3 2 2 2,当该六面体内有一球，且该球的体积取得最大值时，球心为O,且该球与S。相切，过球心。作O E L S D,则O E就是球的半径,：S O X O D=S D X O E,J7.X r-c.SOXOD b 2 V60 E=SD=3V3/.2,.该球体积的最大值为 3 3 27.述.8V6故 2 27.58.（2021河南焦作三模理T14）一个球的表面积为IOOTT,一个平面截该球得到截面圆直径为6,则 球 心 到 这 个 平 面 的 距 离 为.4.球的表面积为1 0 0 m可得球的半径为R,4 n

38、 R 2=i o（）n,解得R=5,一个平面截该球得到截面圆直径为6,则截面圆的半径为3,所以球心到这个平面的距离为：V 52-32=4.59.（2021 四川内江三模理 T 1 5.）现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3,则其包装盒的体积的最小值为一.72-rr.设圆锥体包装盒的底面半径为r,高为h,P C _ 0S由 RtZ5OCsRQ5BD 可得：BD SB,&n二 4h即 r V h4+r2,r2 h-6,22 _ h l 3 6包装盒的体积 M=3W2/7=3TT h-6=3 n （6-2）+12+h-6 3 6）72TT.3 6当且仅当h -6=百 与 即 h

39、=12时取等号.60.（2021重庆名校联盟三模T 1 6.）在三棱锥尸-1 8 C 中，PALAB,PA=4,A B=3,二面角P-/8-C 的大小为30,在侧面P 4 8 内（含边界）有 一 动 点 满 足 M 到 P4的距离与M 到平面月8 c 的距离相等，则 M 的轨迹的长度为一.6疾 5 .如图，过 作 MN_LPN于 M MO_L平面/8 C 于 O,过。作于Q,连接M Q,则Z MQ O为二面角P-A B-C的平面角，由/0。=30,得 M Q=2 M O.又 MO=MN,所以 M0=2MM在 尸 中，以48 所在直线为x 轴，/尸所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则 直 线

40、的 方 程 为 y=2x,直线P B的方程为4x+3y-12=0,所以直线/与 P8的交点坐标为 5 5所以M 的轨迹为线段/R,6 1.（2 02 1 安徽蚌埠三模文 T 1 5.）正方体480-4棱长为2,M为 CQ中点，则四面体A B D M外 接 球 的 体 积 为.8&兀3-.如图，连接4 W,BM,D M,取&）的中点O,连接0,0 A,可得。力=4 2,O B=O D=y I 2,O M=y I2,所以。是四面体力8D M外接球的球心，外更X（后）3 队历兀接球的半径为我，所以外接球的体积为：3 =3 .6 2.（2 02 1 上海嘉定三模T 6.）若两个球的表面积之比为1：4,

41、则这两个球的体积之比为1：8.由已知两个球的表面积之比是1：4,所以两个球的半径之比是1：2,所以两个球的体积之比1：8.6 3.（2 02 1 贵州毕节三模文 T 1 5.）如图，在三棱锥0-A 8 C 中，三条棱。4 08,0 C 两两垂直，。4=4,08=3,0 C=2.分别经过三条棱。4 OB,0C 作截面平分三棱锥的体积,则这三个截面 的 面 积 的 最 大 值 为 13_.分别取A 8中点。，连接。、D C,因为。C_L0A,0 C 1 0 B,所以。C_L平面。A8,因为。Du平面。A B,所以。C_L0D,A 0 D C 2=2 2=1 1 u c 52 2 2,-r BC*O

42、A-J q 2+2.A/-取 8c 中点 E,连接。E、A,同理 Sao)=2 2=2 2=V 13,取 AC中点F,连接。F、F B,同理SAOBF 卷 总 AC,OB 总-42+22.3=考&375 _5，因为任 2,所以三个截面的面积的最大值为B64.（2021辽宁朝阳三模T 1 6.）如图，正四棱锥P-4 8 C。的每个顶点都在球M 的球面上,侧面P A B是等边三角形.若半球。的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球。的 体 积 与 球 的 体 积 的 比 值 为.CBV 31 8.如图，连接尸。，B D,取 CD 的中点E,连接P E,O E,过。作于4.易知P O

43、 L aA B C D,设 力 8=4,则 BD=JBA2+BC2=4 ,B0下 B D=2PO=VBP2-BO2=2V 2,设球”的 半 径 为 凡 半 球。的半径为凡.则R=2 点.易知R。二O H _ O E 二 1R0=O H.则 R P O P E,6 5.（2 02 1 江苏常数三模T 1 6.）已知四棱锥P-A 8 C D 的体积为匕 底面A8 C D是平行四边形，E,F 分别为棱P C,P D 的中点，则四棱锥P-ABEF的 体 积 为 谓 I（用 V表示）如图,.*-AB C D 革 V p-AB C D 二 5丫，VF-B C E V F-P B C 勺 年-P B C =

44、-B C D=8 V(_ _ 吊 小 4；Vp-ABEF=Vp-ABCD-VF-AB C D .VF-BCE=乙 u6 6.（2 0 2 1 湖南三模T 1 6.）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是.“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；三组对棱长度分别为5,6,7的“等腰四面体”的体积为2 4 9 5；三组对棱长度分别为a,b,c的“等腰四面体”的外接球直径为.将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为

45、a,b,c,与之对应的长方体的长宽高分别为x,y,z,则 2 2气 c2。2 2 ,2 .2 2 2 ,2 2 2a +c b 2 _ a +b -c b +c -a故（=2 ,丫 2 ,z2=2 ,结合图像易得正确；三组对棱长度分别为。=5,b=6,c=7,则x=V 1 9,y=y l 6,z=V 3 0,因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，lxlxlx 之 lx z所以等腰四面体的体积kZ-4 3 2 xy z=3 xy z=2 屈，正确；I 9 2 2三组对棱长度分别为。，6,C的“等腰四面体”的外接球直径2 7?=V x+y +z WVa2+b2+c2,错误.A

46、6 7.（2 0 2 1 江西南昌三模理T 1 6.）球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A,B,C是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB，B C,C A,由这三条劣弧围成的图形称为球面Z B C.已知地球半径为R,北极为点N,P,。是地球表面上的两点若P,。在赤道上，且|尸0|=4 2尺，则球面N P 0：OP=OQ=R,P Q=R,：.OP2+OQ2=PQ2,贝ij O P _L O Q,又0 2，赤道所在平面，.O P、0 0、O N两两互相垂直，_1 -R 2则 8X 4T

47、TR2=2 .如图2,当N P=PQ=QN=3 R时，构造球内接正四面体N-P Q S,其中心为O,连 接 交 三 角 形S P 0于4，则NO=R,为正四面体N-S P 0内切球的半径，由等体积法可得，。=！丽 Ki J =3,COSZ N 0 P=-C OSZ H 0 P=P=4.ZN0p=0NopMpi=_j.在修（?中，由余弦定理可得：C O S 2 0 N-0 P 3 ,R2+R2；PM=1 2 7 6即 2 R 2 3,得 pN=3 艮.1由对称性可得，球面N P。的面积为4 X 4 i r R 2=n R 2.68.（2021安徽宿州三模理T 1 5.）在 九章算术中，将四个面都

48、为直角三角形的三棱锥称之为鳖腌.已知在鳖牖A-BC。中，满足A8J_平面BCD,且8 C=C D=4,当该鳖膈的内切球的半径为2（M 2-1）时，则此时它外接球的体积为32A/3兀.3 2“兀.根据题意：在鳖席A-8C D中，满 足 平 面8C D,且8c=8=4,当该鳖席的内切球的半径为2“2-1）时，设A B=x,如图所示：yx（-j-X 4 X x+X 4 X 4+y x 4XV16+X24_ X W2 0）,1 6顶点P到底面A B C的距离为4且三棱锥P-A B C的体积为飞，3 2 XX2X4=3 ,.x 2 V2,4-X V2 X2A/2二ABC的外接圆半径为=2 ”=2,球心。

49、到底面A B C的距离为由=j R r 12=打3-22=3,又因为顶点P到底面A B C的距离为4,顶点P 的轨迹是一个截面圆的圆周（球心在底面A B C 和截面圆之间）且球心。到该截面圆的距离为。2=1，截面圆的半径 2=标2 2=也 3-1=2,n,二顶点P的轨迹长度是2 m 2 =2兀 X 2 M 3=4 4 3 兀.7 0.（2 0 2 1 安徽马鞍山三模理T1 6.）如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点Q，过椭圆上一点尸作圆锥的母线，分别与两个球相切于点M,N.由球和圆的几何性质可知

50、，PN=PF i，PA/=PF2.已知两球半径分为别1 和 3,返椭圆的离心率为2，则 两 球 的 球 心 距 离 为.27.作出圆锥的轴截面如图所示，圆锥面与两球 彷，。2 相切与8,N 两点，则OiBL4B,O2A AB,过。|作 O|O_LO2 N,垂足为。，连接。尸2，。2 8，设F F2Q O O =C,两球的球心距离为 d,在 Rt Z iOQ2。中，。2=3-1=2,0遇地2-4,在2 _4 C 0 2 _ C 0 1.c o s D O 1。？d ,：/F O2C/X F2O C,.,0 2F1 0 1F2,d-COl C O1 -d -I 4d2-1 6.丁丁，解 得cr,尸