2017年重庆市高考理科数学试题及答案(精校版).pdf

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1、2017 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试理 科 数 学一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.31ii（）A 1 2 i B 1 2 i C 2 i D 2 i 2.设 集 合 1,2,4，24 0 x x x m 若 1，则（）A 1,3 B 1,0 C 1,3 D 1,53.我 国 古 代 数 学 名 著 算 法 统 宗 中 有 如 下 问 题：“远 望 巍 巍 塔 七 层，红 光 点 点 倍 加 增，共 灯 三 百 八 十

2、一，请 问 尖 头 几 盏 灯？”意 思 是：一 座 7 层 塔 共 挂 了 3 8 1 盏 灯，且 相 邻 两 层 中 的 下 一 层 灯 数 是 上 一 层灯 数 的 2 倍，则 塔 的 顶 层 共 有 灯（）A 1 盏 B 3 盏 C 5 盏 D 9 盏4.如 图，网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1，粗 实 线 画 出 的是 某 几 何 体 的 三 视 图，该 几 何 体 由 一 平 面 将 一 圆 柱 截 去 一部 分 所 得，则 该 几 何 体 的 体 积 为（）A 90 B 6 3 C 4 2 D 36 5.设 x，y 满 足 约 束 条 件2 3 3 02 3 3

3、 03 0 x yx yy，则 2 z x y 的 最 小 值 是（）A 1 5 B 9 C 1 D 96.安 排 3 名 志 愿 者 完 成 4 项 工 作，每 人 至 少 完 成 1 项，每 项 工 作 由 1 人 完 成，则 不 同 的 安 排 方 式 共 有（）A 1 2 种 B 1 8 种 C 2 4 种 D 3 6 种7.甲、乙、丙、丁 四 位 同 学 一 起 去 问 老 师 询 问 成 语 竞 赛 的 成 绩 老 师 说：你 们四 人 中 有 2 位 优 秀，2 位 良 好，我 现 在 给 甲 看 乙、丙 的 成 绩，给 乙 看 丙 的 成绩，给 丁 看 甲 的 成 绩 看 后

4、甲 对 大 家 说：我 还 是 不 知 道 我 的 成 绩 根 据 以 上信 息，则（）A 乙 可 以 知 道 四 人 的 成 绩 B 丁 可 以 知 道 四 人 的 成 绩C 乙、丁 可 以 知 道 对 方 的 成 绩 D 乙、丁 可 以 知 道 自 己 的 成 绩8.执 行 右 面 的 程 序 框 图，如 果 输 入 的 1 a，则 输 出 的 S（）A 2 B 3 C 4 D 59.若 双 曲 线 C:2 22 21x ya b（0 a，0 b）的 一 条 渐 近 线 被 圆 222 4 x y 所 截 得 的弦 长 为 2，则 C 的 离 心 率 为（）A 2 B 3 C 2 D 2

5、331 0.已 知 直 三 棱 柱1 1 1C C 中，C 1 2 0，2，1C C C 1，则 异 面 直线1 与1C 所 成 角 的 余 弦 值 为（）A 32B 155C 105D 331 1.若 2 x 是 函 数2 1()(1)xf x x ax e 的 极 值 点，则()f x 的 极 小 值 为（）A.1 B.32 e C.35 eD.11 2.已 知 A B C 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，P 为 平 面 A B C 内 一 点，则()P A P B P C 的 最 小值 是（）A.2 B.32 C.43 D.1 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小

6、题 5 分，共 2 0 分。1 3.一 批 产 品 的 二 等 品 率 为 0.0 2，从 这 批 产 品 中 每 次 随 机 取 一 件，有 放 回 地 抽 取 1 0 0 次，表 示 抽 到 的 二 等 品 件 数，则)(X D 1 4.函 数 23s i n 3 c o s4f x x x（0,2x）的 最 大 值 是 1 5.等 差 数 列 na 的 前 项 和 为nS，33 a，410 S，则11nkkS1 6.已 知 F 是 抛 物 线 C:28 y x 的 焦 点，是 C 上 一 点，F 的 延 长 线 交 y 轴 于 点 若 为 F 的 中 点，则 F 三、解 答 题：共 7

7、0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、解 答 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 做 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 6 0 分。1 7.（1 2 分）A B C 的 内 角,A B C 的 对 边 分 别 为,a b c,已 知2s i n()8 s i n2BA C(1)求 c o s B(2)若 6 a c,A B C 面 积 为 2,求.b1 8.（1 2 分）淡 水 养 殖 场 进 行 某 水 产 品 的 新、旧 网 箱 养 殖 方 法 的 产

8、量 对 比，收 获 时 各 随 机 抽 取 1 0 0 个 网箱，测 量 各 箱 水 产 品 的 产 量（单 位：k g）某 频 率 直 方 图 如 下：（1）设 两 种 养 殖 方 法 的 箱 产 量 相 互 独 立，记 A 表 示 事 件：旧 养 殖 法 的 箱 产 量 低 于 5 0 k g,新 养 殖 法 的 箱 产 量 不 低 于 5 0 k g,估 计 A 的 概 率；（2）填 写 下 面 列 联 表，并 根 据 列 联 表 判 断 是 否 有 9 9%的 把 握 认 为 箱 产 量 与 养 殖 方 法有 关：（3）根 据 箱 产 量 的 频 率 分 布 直 方 图，求 新 养 殖

9、 法 箱 产 量 的 中 位 数 的 估 计 值（精 确 到0.0 1）附：)(2k K P 0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 1k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 8 E 是 P D 的 中 点)()()()(22d b c a d c b abc ad nK 1 9.（1 2 分）如 图，四 棱 锥 P-A B C D 中，侧 面 P A D 为 等 边 三 角 形 且 垂 直 于底 面 三 角 形 B C D，01,9 0,2A B B C A D B A D A B C（1）证 明：直 线/C E 平 面 P A B（2）点 M 在 棱 P C 上，且 直 线

10、 B M 与 底 面 A B C D 所 成 锐 角 为04 5，求 二 面 角 M-A B-D的 余 弦 值2 0.（1 2 分）设 O 为 坐 标 原 点，动 点 M 在 椭 圆 C：2212xy 上，过 M 做 x 轴 的 垂 线，垂 足 为 N，点 P满 足 2 N P N M.(1)求 点 P 的 轨 迹 方 程；(2)设 点 Q 在 直 线 x=-3 上，且 1 O P P Q.证 明：过 点 P 且 垂 直 于 O Q 的 直 线 l 过 C 的左 焦 点 F.2 1.（1 2 分）已 知 函 数 x x ax ax x f l n)(2 且()0 f x.（1）求 a；（2）证

11、 明：()f x 存 在 唯 一 的 极 大 值 点0 x，且.2022 x f e.（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，按 所 做 的 第 一题 计 分。2 2.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）在 直 角 坐 标 系 x o y 中，以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线1C 的极 坐 标 方 程 为 c o s 4（1）M 为 曲 线1C 上 的 动 点，点 P 在 线 段 O M 上，且 满 足 1 6 O M O P,

12、求 点 P 的 轨 迹2C 的直 角 坐 标 方 程；（2）设 点 A 的 极 坐 标 为(2,)3，点 B 在 曲 线2C 上，求 O A B 面 积 的 最 大 值 2 3.选 修 4-5：不 等 式 选 讲（1 0 分）已知 2,0,03 3 b a b a.证明：（1）45 5 b a b a；（2）。2017 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（全 国 卷）理 科 数 学 解 析1 D【解 析】3 i 1 i 3 i2 i1 i 1 i 1 i 2 C【解 析】1 是 方 程24 0 x x m 的 解，1 x 代 入 方 程 得 3 m 24 3 0 x x

13、 的 解 为 1 x 或 3 x，1 3 B，3 B【解 析】设 顶 层 灯 数 为1a，2 q，7171 23811 2 aS，解 得13 a 4 B【解 析】该 几 何 体 可 视 为 一 个 完 整 的 圆 柱 减 去 一 个 高 为 6 的 圆 柱 的 一 半 2 21 1 3 1 0 3 6 6 3 2 2 V V V总 上5 A【解 析】目 标 区 域 如 图 所 示，当 直 线-2 y=x+z 取 到 点 6 3，时，所 求 z 最 小 值 为 15 6 D【解 析】只 能 是 一 个 人 完 成 2 份 工 作，剩 下 2 人 各 完 成 一 份 工 作 由 此 把 4 份 工

14、 作 分 成 3 份 再 全 排 得2 34 3C A 3 6 7 D【解 析】四 人 所 知 只 有 自 己 看 到，老 师 所 说 及 最 后 甲 说 的 话 甲 不 知 自 己 成 绩 乙、丙 中 必 有 一 优 一 良，（若 为 两 优，甲 会 知 道 自 己 成 绩；两 良亦 然）乙 看 了 丙 成 绩，知 自 己 成 绩 丁 看 甲，甲、丁 中 也 为 一 优 一 良，丁 知 自 己成 绩 8 B【解 析】0 S，1 k，1 a 代 入 循 环 得，7 k 时 停 止 循 环，3 S 9 A【解 析】取 渐 近 线by xa，化 成 一 般 式 0 bx ay，圆 心 2 0，到

15、直 线 距 离 为2 223ba b得2 24 c a，24 e，2 e 1 0 C【解 析】M，N，P 分 别 为 A B，1B B，1 1B C 中 点，则1A B，1B C 夹 角 为 M N 和 N P 夹 角 或其 补 角（异 面 线 所 成 角 为02，）可 知11 52 2M N A B，11 22 2N P B C，作 B C 中 点 Q，则 可 知 P Q M 为 直 角 三 角 形 1 P Q，12M Q A C A B C 中，2 2 22 c o s A C A B B C A B B C A B C 14 1 2 2 1 72，7 A C则72M Q，则 M Q P

16、中，2 2112M P M Q P Q 则 P M N 中，2 2 2c os2M N N P P MP N MM H N P 2 2 25 2 112 2 2105 5 222 2 又 异 面 线 所 成 角 为02，则 余 弦 值 为1 051 1 A【解 析】2 12 1xf x x a x a e，则 32 4 2 2 1 0 1 f a a e a，则 2 11xf x x x e，2 12xf x x x e，令 0 f x，得 2 x 或 1 x，当 2 x 或 1 x 时，0 f x，当 2 1 x 时，0 f x，则 f x 极 小 值 为 1 1 f 1 2 B【解 析】几

17、 何 法：如 图，2 P B P C P D（D 为 B C 中 点），则 2 P A P B P C P D P A，要 使 P A P D 最 小，则 P A，P D 方 向 相 反，即 P 点在 线 段 A D 上，则 m i n 2 2 P D P A P A P D，即 求 P D P A 最 大 值，又32 32P A P D A D，则223 32 2 4P A P DP A P D，则 m i n3 32 24 2P D P A 解 析 法：建 立 如 图 坐 标 系，以 B C 中 点 为 坐 标 原 点，0 3 A，1 0 B，1 0 C，设 P x y，3 P A x y

18、，1 P B x y，1 P C x y，2 22 2 2 2 P A P B P C x y y 223 322 4x y 则 其 最 小 值 为3 324 2，此 时 0 x，32y 1 3 1.9 6【解 析】有 放 回 的 拿 取，是 一 个 二 项 分 布 模 型，其 中 0.0 2 p，1 0 0 n 则 1 1 0 0 0.0 2 0.9 8 1.9 6xD n p p 1 4 1【解 析】23 s i n 3 c os 04 2f x x x x，231 c os 3 c os4f x x x 令 c o s x t 且 0 1 t，2134y t t 2312t 则 当32t

19、 时，f x 取 最 大 值 1 1 5 2+1nn【解 析】设 na 首 项 为1a，公 差 为 d 则3 12 3 a a d 4 14 6 1 0 S a d 求 得11 a，1 d，则na n，12nn nS 11 2 2 2 21 2 2 3 1 1nkkS n n n n 1 1 1 1 1 1 12 12 2 3 1 1 n n n n 1 22 11 1nn n 1 6 6【解 析】28 y x 则 4 p，焦 点 为 2 0 F，准 线:2 l x，如 图，M 为 F、N 中 点，故 易 知 线 段 B M 为 梯 形 A F M C 中 位 线，2 C N，4 A F，3

20、M E 又 由 定 义 M E M F，且 M N N F，6 N F N M M F 1 7.【解 析】（1）依 题 得：21 c o ss i n 8 s i n 8 4(1 c o s)2 2B BB B 2 2s i n c os 1 B B，2 21 6(1 c o s)c o s 1 B B，(1 7 c o s 1 5)(c o s 1)0 B B，1 5c o s1 7B，（2）由 可 知8s i n1 7B 2A B CS，1s i n 22a c B，1 822 1 7a c，1 72a c，1 5c o s1 7B，2 2 21 52 1 7a c ba c，2 2 21

21、 5 a c b，2 2()2 1 5 a c a c b，23 6 1 7 1 5 b，2 b 1 8【解 析】（1）记：“旧 养 殖 法 的 箱 产 量 低 于 5 0 k g”为 事 件 B“新 养 殖 法 的 箱 产 量 不 低 于 5 0 k g”为 事 件 C而 0.0 4 0 5 0.0 3 4 5 0.0 2 4 5 0.0 1 4 5 0.0 1 2 5 P B 0.6 2 0.0 6 8 5 0.0 4 6 5 0.0 1 0 5 0.0 0 8 5 P C 0.6 6 0.4 0 9 2 P A P B P C（2）箱 产 量 50 kg 箱 产 量 5 0 k g 旧

22、养 殖 法 6 2 3 8新 养 殖 法 3 4 6 6由 计 算 可 得2K的 观 测 值 为 22200 62 66 38 3415.705100 100 96 104k 1 5.7 0 5 6.6 3 5 26.6 3 5 0.0 0 1 P K 有 9 9%以 上 的 把 握 产 量 的 养 殖 方 法 有 关（3）1 5 0.2，0.2 0.0 0 4 0.0 2 0 0.0 4 4 0.0 3 2 80.032 0.06817，85 2.3 51 7 5 0 2.3 5 5 2.3 5，中 位 数 为 5 2.3 5 1 9【解 析】（1）令 P A 中 点 为 F，连 结 E F

23、，B F，C E E，F 为 P D，P A 中 点，E F 为 P A D 的 中 位 线，12E F A D又 9 0 B A D A B C，B C A D 又 12A B B C A D，12B C A D，E F B C 四 边 形 B C E F 为 平 行 四 边 形，C E B F 又 B F P A B 面，C E P A B 面（2）以 A D 中 点 O 为 原 点，如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 设 1 A B B C，则(0 0 0)O，(0 1 0)A，(1 1 0)B，(1 0 0)C，(0 1 0)D，(0 0 3)P，M 在 底 面 A B C D

24、 上 的 投 影 为 M，M M B M 4 5 M B M，M B M 为 等 腰 直 角 三 角 形 P O C 为 直 角 三 角 形，33O C O P，6 0 P C O 设 M M a，33C M a，313O M a 31 0 03M a，22 2 23 1 61 0 13 3 2B M a a a a 3 21 13 2O M a 21 0 02M，2 61 02 2M，2 61 12 2A M，(1 0 0)A B，设 平 面 A B M 的 法 向 量1 1(0)m y z，1 1602y z，(0 6 2)m，(0 2 0)A D，(1 0 0)A B，设 平 面 A B

25、 D 的 法 向 量 为2(0 0)n z，(0 0 1)n，1 0c o s,5m nm nm n 二 面 角 M A B D 的 余 弦 值 为1 052 0【解 析】设()P x y，易 知(0)N x，(0)N P y，又102 2yN M N P，12M x y，又 M 在 椭 圆 上 22122yx，即2 22 x y 设 点(3)QQ y，()P PP x y，(0)Qy，由 已 知：()(3)1P P P Q PO P P Q x y y y y，21 O P O Q O P O P O Q O P，21 3 O P O Q O P，3 3P Q P Q P P Qx x y

26、y x y y 设 直 线 O Q：3Qyy x，因 为 直 线 l 与O Ql 垂 直 3lQky故 直 线 l 方 程 为3()P PQy x x yy，令 0 y，得 3()P Q Py y x x，13P Q Py y x x，13P Q Px y y x，3 3P Q Py y x，1(3 3)13P Px x x，若 0Qy，则 3 3Px，1Px，1Py，直 线 O Q 方 程 为 0 y，直 线 l 方 程 为 1 x，直 线 l 过 点(1 0)，为 椭 圆 C 的 左 焦 点 2 1【解 析】因 为 l n 0 f x x a x a x，0 x，所 以 l n 0 a x

27、 a x 令 l n g x a x a x，则 1 0 g，1 1 a xg x ax x，当 0 a 时，0 g x，g x 单 调 递 减，但 1 0 g，1 x 时，0 g x；当 0 a 时，令 0 g x，得1xa 当10 xa 时，0 g x，g x 单 调 减；当1xa 时，0 g x，g x 单 调增 若 0 1 a，则 g x 在11a，上 单 调 减，11 0 g ga；若 1 a，则 g x 在11a，上 单 调 增，11 0 g ga；若 1 a，则 m i n11 0 g x g ga，0 g x 综 上，1 a 2l n f x x x x x，2 2 l n f

28、 x x x，0 x 令 2 2 l n h x x x，则 1 2 12xh xx x，0 x 令 0 h x 得12x，当102x 时，0 h x，h x 单 调 递 减；当12x 时，0 h x，h x 单 调递 增 所 以，m i n11 2 l n 2 02h x h 因 为 2 2e 2 e 0 h，2 2 l n 2 0 h，21e 02，122，所 以 在102，和12，上，h x 即 f x 各 有 一 个 零 点 设 f x 在102，和12，上 的 零 点 分 别 为0 2x x，因 为 f x 在102，上单 调 减，所 以 当00 x x 时，0 f x，f x 单

29、调 增；当012x x 时，0 f x，f x单 调 减 因 此，0 x 是 f x 的 极 大 值 点 因 为，f x 在12，上 单 调 增，所 以 当212x x 时，0 f x，f x 单调 减，2x x 时，f x 单 调 增，因 此2x 是 f x 的 极 小 值 点 所 以，f x 有 唯 一 的 极 大 值 点0 x 由 前 面 的 证 明 可 知，201e2x，则 2 4 2 20e e e e f x f 因 为 0 0 02 2 l n 0 f x x x，所 以0 0l n 2 2 x x，则又 2 20 0 0 0 0 0 02 2 f x x x x x x x，因

30、 为0102x，所 以 014f x 因 此，201e4f x 2 2【解 析】设 0 0M P，则0|O M O P，00 0016c os 4 解 得 4 c os，化 为 直 角 坐 标 系 方 程 为 222 4 x y 0 x 连 接 A C，易 知 A O C 为 正 三 角 形|O A 为 定 值 当 高 最 大 时，A O BS面 积 最 大，如 图，过 圆 心 C 作 A O 垂 线，交 A O 于 H 点交 圆 C 于 B 点，此 时A O BS最 大m a x1|2S A O H B 1|2A O H C B C 3 2 2 3【解 析】由 柯 西 不 等 式 得：225 5 5 5 3 34 a b a b a a b b a b 当 且 仅 当5 5ab ba，即 1 a b 时 取 等 号 3 32 a b 2 22 a b a a b b 23 2 a b b ab 33 2 a b a b a b 323a ba ba b 由 均 值 不 等 式 可 得：3223 2a ba baba b 3223 2a ba ba b 33324a ba b 3 124a b 2 a b 当 且 仅 当 1 a b 时 等 号 成 立