2023—数三真题、标准答案及解析.docx

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1、2005年考研数学(三)真题一、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)(1)极限 limxsin-5=厂+1(2) 微分方程盯+)，= 0满足初始条件)，=2的特解为.(3)设二元函数 z = v+(x + l)ln(l +y),那么 dz =.(1.0)(4)设行向量组(2,1,1,1), (2,1,a,a), (3,2,1,。)，(4,3,2,1)线性相关,且“1,那么 a=.(5)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,2,X中任取一个数，记为Y,那么PY = 2=.(6)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为0100.4a1b0.1随机事件X=0与X

2、 + Y = l相互独立，那么a= , b=.二、选择题(此题共8小题，每题4分，总分值32分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)当a取以下哪个值时，函数/(幻=2/-9/+121-。恰好有两个不同的零点.(A) 2.(B) 4.(C) 6.(D) 8.(8)设A = jjcosjx? + y2db.1 二=jjcos(x2 + y)cl(y,/3 = jjcos0? +/db,其中DDDD = U,y)p2+r 那么(C) I2 7, I3.(D) I2 7, I3.(E) /3 /, /2. 设。= 1,2,，假设明发散，(一1厂%“收敛

3、，那么以下结论正确的是Jl=lJl=l(A) 生”t收敛，i/匕发散.n=/i=l(B) 收敛，S2小发散n=ln=l008C)+生)收敛(D) Z(“2”-l 一2)收敛1=1n=l(10)设/(/) = xsinx + cosx,以下命题中正确的是察=学 /d）+4，ox x x x y y yJ=-r（z）+/（-）-/（-）， dy x x y y y44=4 /（与-4 /（3+4 广心+4 /（3，廿二 x y- y y y y y所以心ydx2=空（2）+4/ff（-）+/*（-）- /（马-/*（-） x x x y y y x x y y=至广（工）. X X（17）（此题总

4、分值9分）计算二重积分 JJ|x2 + y2 - lp（T ,其中 O = （x, y）|0xl,0y = （x, yx2 +y2 1,（乂），）e D）,于是肝?+y 2-W+ y2-）dxdy + JJ （x2 +/- dxdyDD|D2 1= -2 dO （r2 - ）rdr + jj（x2 + y2 - ）dxdy - jj（x2 + y2 - ）dxdy DQ=f+I：可(/+ y 2 -19 - f 型(/ ,i)rJr=.l.(18)(此题总分值9分)求鼎级数容(三片 -)x2n在区间(-1,1)内的和函数S(x).【分析】幕级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数

5、或函数的鬲级数展开式，从 而到达求和的目的.【详解】设0015(X)= (-)x2ntM 2 + 1S*) = Z S?) = h”, n=l m=I那么 S(x) = S|(x) S2(x), .re (-1,1). 由于(xS, (x)=力/=, x $(_,), ”=l1-X2因此 xS, (x) = , dt = -x + In ,1 J。1-22-x又由于S|() = (),故1 I 1 + X 11r1/1所以 5(A) = S| (x) -邑=式1n匚一匚7收0, x = 0-(19)(此题总分值8分)设f(x),g(x)在0, 1上的导数连续，且f(0)=0(x)之0,g(x)

6、N0.证明:对任何ae0,有【分析】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.【详解】方法一：设F。) = ?(/)/W/ + /屋力一 /*)g，那么F(x)在0, 1上的导数连续，并且尸口)=g(x)f(x)- ra)g(i)=- g，由于 X(),l时，/(x)N0,g(x)2(),因此尸(x)V(),即 F(x)在0, 1上单调递减.注意到F(l) =f f gt)dt- /g，而 :一 f /)gQ)力:/g一 f/，力，故 F(l)=0.因此为e0J时，F(x) 0 ,由此可得对任何。0,1,有方法二：r g(x)fx)dx = g(x)f(x)

7、 a - fx)gx)dx JO() JO=/()g() - f(X)gx)dx ,=/(a)g(a) - j(x)g(x)dx+/(x)g(x)dx由于XO,1时，g(x)之0,因此f(x)gf(x) f(a)gXx), xea,l, f(x)(x)dx /()短(外公=/(0g-以幻,从而二 g(R)/(x)d犬 + fMgx)dx(20)(此题总分值13分)齐次线性方程组2 + 2x2 + 3x3 = 0,(i) - 2x, + 3x2 + 5x3 = 0, 犬 i + % + aX3 = 0，和(ii)内 + bx2 + cx3 = 0,2xj + b2x2 + (c + l)x3 =

8、 0,同解，求a,b,c的值.【分析】方程组(ii)显然有无穷多解，于是方程组(i)也有无穷多解，从而可确定a,这样先求出 (i)的通解，再代入方程组(ii)确定b,c即可.【详解】方程组(ii)的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组(ii)有无穷多解.因为方程组 与5)同解，所以方程组(i)的系数矩阵的秩小于3.对方程组(i)的系数矩阵施以初等行变换从而a=2.此时，方程组的系数矩阵可化为故(TlU)7是方程组 的一个根底解系.将网=-1,二一1,七=1代入方程组5)可得h = l,c = 2 或 Z? = O,c = l.当 = l,c = 2时，对方程组(ii)的系数矩阵施以初等行变换

9、，有1121 1 0,_2 1 3j L0 1 L显然此时方程组(i)与5)同解.当 = O,c = l时，对方程组5)的系数矩阵施以初等行变换，有-i o iiio r2 0 2J0 0 0显然此时方程组(i与(ii)的解不相同.综上所述，当a=2,b= 1 ,c=2时，方程组 与(ii)同解.(21)(此题总分值13分)- A C设3=1为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为相x 矩阵.CT B(I)计算其中尸=(I)计算其中尸=-A-C E“(II)利用的结果判断矩阵B-CZ-C是否为正定矩阵，并证明你的结论.【分析】第局部直接利用分块矩阵的乘法即可；第二局部是讨论抽象矩阵

10、的正定性，般用定义.【详解】因PTE,PT DP段-CrA-ACT-A-C纥.CB-CtACE,”o-A-lCE.ob-ctaic(ID矩阵3-CZ-C是正定矩阵.由的结果可知，矩阵D合同于矩阵又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵.因矩阵M为对称矩阵，故B-CTA-lC为对称矩阵.对X = (0,0,0),及任意的 y=(，)2,，先)。，有Ac （ Y（xt,yt）t i =rr（B-crAc）r 0.故为正定矩阵.o b-ctac）y）（22）（此题总分值13分）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为求：（乂丫）的边缘概率密度以*），力，（丁）；（ID Z = 2X-Y的概率密度、勿（z）.

11、(HI)【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法, 即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度；直接用条件概率公式计算即可.【详解】（I）关于X的边缘概率密度V X 1, 其他.2xy 0 x 1,=, 0,其他关于Y的边缘概率密度J； dx, 020,J； dx, 020,）， 2, 其他1-2. 0 )， 2,二。2其他(II)令 Fz(z) = PZ z = P2X-Yz,1)当 z()时，Fz(z) = P2X-Yz=0；2)当0z2时，Fz(z) = P2X-Yz1 2Z-4Z ；3)当zN2时，FAz) = P2X-Yz = .即

12、分布函数为： R（z） = zft 1 - 4 L-z0,v z - z - z故所求的概率密度为：，fz(z) =故所求的概率密度为：，fz(z) =_12 0 z 2,o2 其他(III) PY- X 2)为来自总体N(0, 1 )的简单随机样本，为样本均值，记 匕二 X,一下,1 = 1,2,.求： 匕的方差。匕,”1,2，,；(II)匕与的协方差CoWX，%).(HI)假设以X +，)2是。2的无偏估计量，求常数C.【分析】先将匕表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求匕与匕的协方 差CU(X，%),本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计以

13、匕+工尸，利 用其数学期望等于。2确定c即可.【详解】由题设，知X,X2,，X“52)相互独立,且EXt =O,DX,. =o-2(z = 1,2,), EX =0._11 fl DYi = D(Xi-X) = D(l)XjY XJ 声11二(1一)2耽+ fox,(1)21/2-17=-r2-b + = ( -1)。 =b.n nn(II)Cov( X，匕)=E( Yx-EX X Yn- EYn)= E(yj,) = E(X1-T)(X-)= E(X,Xn-XX-XnXX2)= E(XX,l)-2E(XiX) + EX2nJ-= 7d+p=38-)乙 z Z 一 LCA NMQZ + ZAC

14、7 + lAUP =(k+-)(p =式N+(in)u u u q= q - + q=1 I z z z4u(区3)+ 区。+ 1 X + 1X 旧歹一0 二 uV(A) f(0)是极大值，/()是极小值. (B)f(0)是极小值，/(g)是极大值.(C)f(0)是极大值，/()也是极大值.(D)f(0)是极小值，/()也是极小值.(11)以下四个命题中，正确的是(A)假设/(工)在0, 1)内连续，那么f(x)在(0, 1)内有界. 假设/ 在(0, 1)内连续，那么f(x)在(0, 1)内有界.(C)假设广(x)在(0, 1)内有界，那么f(x)在(0, 1)内有界.(D)假设/(x)在(

15、0, 1)内有界，那么广(x)在(0, 1)内有界.(12)设矩阵A=(%)3x3满足A*=A7,其中A.是A的伴随矩阵，为A的转置矩阵.假设。“，叫2必3为三个相等的正数，那么可为V31/T(A) .(B) 3. (C)(D)V3.(13)设4,4是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为4,a?，那么?， 线性无关的充分必要条件是(A) 4=0.(B) 22 = 0. (C)4 Ao. (D)22 0.(14)设一批零件的长度服从正态分布川(,。2),其中必均未知 现从中随机抽取6个零件，测得样本均值元= 20(。)，样本标准差s = 1(s)，那么的置信度为0.90的置信区间是(A

16、) (20 - - f005 (16),20 + o.o5 0 6).(B)(2。一(，0(16),20 + ；，0(16).(0(20 ?0.。5(15),20 + ?0,05。5),(0(20 ?o(15),2O + 5o(15).J三、解答题(此题共9小题，总分值94分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(此题总分值8分)求lim (上工-,). J X(16)(此题总分值8分)设f(u)具有二阶连续导数，且= /() +W(m，求一磬一丁2空. x y dx dy(17)(此题总分值9分)计算二重积分0k2 +),2 一人。，其中力=(苍y)|0 X1,Oy1. D(1

17、8)(此题总分值9分)求塞级数雪(1-1)，”在区间(-1)内的和函数S(X).(19)(此题总分值8分)设f(x),g(x)在0, 1上的导数连续，且40)=0,/。)2 0送。)2 0.证明：对任何ae0,l,有(20)(此题总分值13分)齐次线性方程组X)+ 2x2 + 3x3 = 0,2工1 + 3x2 + 5x3 = 0,Xj + % + ax 3 =(),(ii)X, + bx2 + cx3 = 0,2x, + b2x2 + (c + l)x3 = 0,同解，求a,b,c的值.(21)(此题总分值13分)A CCT BA CCT B(I)计算其中尸=Em -A-C E.为正定矩阵，

18、其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为mx 矩阵.(II)利用的结果判断矩阵B-CZ-C是否为正定矩阵，并证明你的结论.(22)(此题总分值13分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求：(乂丫)的边缘概率密度入。)，4()，)；(id z = 2x-y的概率密度心.(Ill) Pr1x2)为来自总体N(0, /)的简单随机样本，?为样本均值，记 y;. = x/-x,f = 1,2,.求：匕的方差。匕,i = l,2（ID X与匕的协方差Coy（K，M）.（HI）假设C（X +，）2是的无偏估计量，求常数C.2005年考研数学(三)真题解析一、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.

19、把答案填在题中横线上)2x(1)极限 limxsinr=_2_ . x +1【分析】此题属基此题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.7 r2 X【详解】lim xsin-= lim x-= 2.x + I x x- +1(2)微分方程与，+)，= ()满足初始条件y(l) = 2的特解为 何=2.【分析】直接积分即可.【详解】原方程可化为(xyY = 0,积分得xy = C,代入初始条件得C=2,故所求特解为xy=2.(3)设二元函数 z = +(x+l)ln(l + y),那么 dz = ledx + (e + 2)dy .【分析】基此题型，直接套用相应的公式即可.dz【详解】 = +

20、此”+ ln(l + y), dxdz t+v. 1=xe +,dy1 + y于是 dz = ledx + (e + T)dy.(4)设行向量组(2,1,1,1), (2,1,凡a), (3,2,1,。)，(4,3,2,1)线性相关，且awl,那么 a=-. 2【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a. 【详解】由题设，有2 1112 ia a1,1=(a-1)(2。-1) = 0,得a = l,a =一,但题设awl,故。=一.3 21。224 32 1(5)从数123,4中任取一个数，记为X,再从1,2,X中任取一个数，记为Y,那么PY = 2=PY = 2=13

21、48【分析】此题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式，且第一次试验的各种两两互不相容的结果即 为完备事件组或样本空间的划分.【详解】py = 2 = px = i)pr = 2|x = i+px = 2py = 2|x = 213481348+ PX=3Py = 2|X=3+PX=4Py = 2|X=4= lx(O + l + l + l)42 3 4(6)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为0100.4a1b0.1随机事件X = ()与X + 丫 = 1相互独立，那么a= 0.4,0.1.【分析】首先所有概率求和为1,可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定 a,b

22、的取值.【详解】由题设，知 a+b=0.5又事件x = o与x + y = i相互独立，于是有p x =(), x + y = 1 = P x =() P x + y = 1,即a= (0.4+ )( + /?),由此可解得 a=0.4, b=0.1二、选择题(此题共8小题，每题4分，总分值32分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)当a取以下哪个值时，函数/*) = 2/-9/+12。恰好有两个不同的零点.(A) 2.(B) 4.(C) 6.(D) 8. B J【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有

23、一个极 值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】 fx) = 6x2 -18x +12 = 6(x - l)(x - 2),知可能极值点为x=l,x=2,且(8 )设=cosyjx-yda , I2 = jjcos(x2/(1) = 5-。,/(2) = 4 可见当a=4时，函数f(x)恰好有两个零点，故应选(B).+ y2)dj , /3 = jjcos(r2 + y2)2d(y ,其中 DD = (x,y)|x2+y2 I2 IK.(B) 12 13,(C) 12 /, /3.(D) /3 ；( /2. A 【分析】关键在于比拟JF+/、/+),2与*2+,2)2在区域。=),

24、)卜2+/4)上的大小.【详解】在区域。=(乂)，),2+丫2上，有04/+),24,从而有7T由于cosx在(0,2)上为单调减函数，于是因此jj cosyjx+yda jj cos(x2 + y2 卜旧 0, = l,2,，假设发散，(一1)%收敛，那么以下结论正确的是 /i=ln=l(A)的小收敛，Ex发散. Ex收敛，发散=1n=n=ln=l(C) 121+。2)收敛-(D) 12%”)收敛 I D 1w=lnsl【分析】可通过反例用排除法找到正确答案. 0000【详解】取 二,那么”发散，尸收敛， n=ln=888但与均发散，排除(A),(B)选项，且Z(2”T+。2”)发散，进一步

25、排除(C),故应选(D). w=ln=lw=l事实上，级数Zm?T 一出“)的局部和数列极限存在. n=(10)设/(x) = xsinx + cosx,以下命题中正确的是(B) f(0)是极大值，/()是极小值.(B) f(0)是极小值，/()是极大值.(C) f(0)是极大值，/()也是极大值.(D)f(0)是极小值，/()也是极小值.B 【分析】先求出了(x),/(x),再用取极值的充分条件判断即可.【详解】/f(x) = sinx + xcosx-sinx = xcosx,显然 /(0) = 0,/() = 0,2又/(x) = cosx xsinx,且/(0) = 1 0,/(1)

26、= 一工 网=0或网=1而闻=4+242+。1343 =3。：工。，于是同=1，且。”=且.故正确选项为(A).(13)设4,4是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为%,。2,那么%，4%+%) 线性无关的充分必要条件是(A) 4=0.(B) 22 =0. (C)4 Ko. (D)22 0. D 【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令 占q+&A(%+%) = (),那么kxax + k2Aa + Z222a2 =。，（K +）% + 匕% = 0.由于%,a2线性无关，于是有当4工0时，显然有人=0/2=0，此时外 ,+%)线性无关；反

27、过来，假设生，4%+4)线性无关，那么必然有4。0(,否那么，%与4%+%)=4%线性相关)，故应选(B).方法二:由于 %, A。+%）=%，4al +Z2a2 = apa2可见生,可见生,4四+。2)线性无关的充要条件是二4工0.故应选(D).(14)设一批零件的长度服从正态分布N(,b2),其中必均未知.现从中随机抽取16个零件,测得样本均值元= 20(52),样本标准差s = l(cw),那么的置信度为0.90的置信区间是(A) (20-；，005(16),20 + ：工005(16).(B)(20(16),20 + ；%(16).(2。5),2。+ 1“。5)皿(2。-1,。5),2

28、。+ 1，。5). C 【分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量： 与幺-1).%【详解】由正态总体抽样分布的性质知，二凹故的置信度为0.90的置信区间是 %(5=/“(-1)，元 +,即(20-!/00$(15),2。+ 1，005(15).故应选(0.y/n 2244三、解答题(此题共9小题，总分值94分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(此题总分值8分)求lim (上士).I) -e- + x- + e=hm；x-厂 X【分析】“8-8”型未定式，一般先通分，再用罗必塔法那么.，、江v , 1 + x r x + x 1 + e【详解】 hm () = hm=limx0=limx0l + 2x-X2x-e-x xx(-ex).JO 2(16)(此题总分值8分)设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)= 马+时(土)，求/ 骁 一/驾 X y dx dy【分析】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【详解】由条件可得善=-2八马十八3，dxx y