抛物线的切线问题教案_中学教育-高中教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 抛物线的切线问题 天台平桥中学 杨启 一、教学目标、重点、难点 1知识目标：掌握抛物线的切线方程的求法，巩固“坐标法”在解决直线与抛物线线位置关系问题的应用.2能力目标：培养学生的运算能力和思维能力，让学生进一步体会数形结合、化归与转化的数学思想.3情感目标：通过问题的探究，培养学生勇于探索的精神，使学生经历一个发现问题，研究问题，解决问题的思维过程，从中领悟其过程所蕴涵的数学思想，体验数学发现和创造的历程，培养学生的创新精神.4教学重点和难点：在抛物线的切线问题的情景下，用“坐标法”解决直线与抛物线的位置关系问题.二、教学过程（一）引入 在近 5 年高考中，有些省份的解析

2、几何题出现了以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题，如 2005 江西，2006 全国卷 II，2007 江苏，2008 山东，2009 浙江等试题中的解析几何题都以抛物线的切线形式出现，所以我们有必要研究这些题目，希望通过研究它们来进一步提高我们对直线与抛物线的位置关系的认识，提高我们的解题能力.（二）典型例题 例 1(2007 江苏，19)如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0,)Cc任作一直线，与抛物线2yx相交于,A B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:l yc 交于,P Q两点.（1）若2OA OB，求c的值；（2）若P为线段AB的中点，求

3、证：QA为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由.分析：(1)设出 AB的直线方程，及 A，B 两点坐标联立抛物线方程，利用韦达定理即可.（2）AQ 的斜率用 A 点导数表示，也可用两点斜率公式表示，两者相等就得证.（3）先写出逆命题，再利用斜率相等.解：（1）设直线 AB的方程为ckxy，将该方程代入2yx得02ckxx.令 A),(211xx,B),(222xx，则cxx21.22222121ccxxxxOBOA,.2.(1,2ccc故舍去）或(2)由题意知),2(21cxxQ，y x P C A B O Q 学习必备 欢迎下载 直线 AQ 的斜率为1212121211

4、21222xxxxxxxxxcxkAQ 又2yx的导函数为xy2，所以点 A 处切线的斜率为12x.因些，QA为此抛物线的切线.（3）（2）的逆命题成立，证明如下：设),(0cxQ，若 AQ 为该抛物线的切线，则12xkAQ.又直线 AQ 的斜率为0121210121xxxxxxxcxkAQ，10121212xxxxxx 2121012xxxxx)0(21210 xxxx 所以点P的横坐标为221xx，即逆命题成立.评析：本题只要抓住斜率相等关键条件，结合韦达定理，准确地运算，即可得到解答.例 2（2010 浙江金华十校）已知抛物线 C1：2xy，椭圆2C：1422yx.（1）设21,ll是

5、C1的任意两条互相垂直的切线，并设Mll21，证明：点M的纵坐标为定值；（2）在 C1上是否存在点P，使得 C1在点P处切线与2C相交于两点BA、，且AB的中垂线恰为 C1的切线？若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由.分析：（1）设出切点坐标),(211xx,),(222xx，利用导数可 写 出 两 个 切 线 方 程)(21121xxxxy，)(22222xxxxy，又21ll 可 得 到 斜 率 之 积12221xx通过运算得到结论.（2）设出坐标写出切线方程联立椭圆方程，利用韦达定理及（1）找出相关的关系式进而解出点P从标.解：(1)设切点分别为),(211xx,),(222xx，由

6、xy2可得)(211211xxxxyl的方程即2112xxxy 的方程2l 2222xxxy 联立并解之，得 x P A M B y 法巩固坐标法在解决直线与抛物线线位置关系问题的应用能力目标培养学生的运算能力和思维能力让学生进一步体会数形结合化归与转化的数学思想情感目标通过问题的探究培养学生勇于探索的精神使学生经历一个发现问题研究问点和难点在抛物线的切线问题的情景下用坐标法解决直线与抛物线的位置关系问题二教学过程一引入在近年高考中有些省份的解析几何题出现以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题如江西全国卷江苏山东浙江等试对直线与抛物线的位置关系的认识提高我们的解题能力二典型例题例江

7、苏如图在平面直角坐标系中过轴正方向上一点任作一直线与抛物线相交于两点一条垂直于轴的直线分别与线段和直线交于两点若求的值若为线段的中点求证为此学习必备 欢迎下载 21212xxyxxx 即为点M的坐标),2(2121xxxx 21ll 12221xx，所以4121 xxyM 即点 M 的纵坐标为定值41.（2）设),(200 xxP，则 C1在点P处的切线方程为2002xxxy，代入2C方程04422yx，得 044)44(4030220 xxxxx，设),(),(4433yxByxA，则 204043202043444,1xxxxxxxx，0)44(164020 xx 由（1）知41My，从而

8、41243yy，即41)(20430 xxxx，进而得411202040 xxx，解得3120 x 经检验3120 x满足0，所以这样的点P存在，其坐标为)31,33(评析：本题通过导数得到切线斜率，使求切线方程过程得到简化，为求点 M 的坐标奠定基础，点 M 又使两小量连接起来.关于存在性问题，务必要检验结论成立的条件.本题变量多，运算量大，只有在清晰的思路的引导下，规范书写，才能避免出错.（三）练习（2006 全国 II，21）已知抛物线24xy的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且(0).AFFB过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M.（I）证明ABFM 为定值；（II

9、）设ABM的面积为 S，写出()Sf的表达式，并求 S 的最小值。解：(I)由题意，设直线 AB的方程为1kxy代入24xy得0442 kxx 设),(),(2211yxByxA则4,42121xxkxx 又2xy 所 以 切 线 方 程 分 别 为42211xxxy，42222xxxy从 而)1,2(21xxM 所以2221xxkFM，故14222121xxxxkkFM即ABFM 所以0 ABFM为定值.法巩固坐标法在解决直线与抛物线线位置关系问题的应用能力目标培养学生的运算能力和思维能力让学生进一步体会数形结合化归与转化的数学思想情感目标通过问题的探究培养学生勇于探索的精神使学生经历一个发

10、现问题研究问点和难点在抛物线的切线问题的情景下用坐标法解决直线与抛物线的位置关系问题二教学过程一引入在近年高考中有些省份的解析几何题出现以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题如江西全国卷江苏山东浙江等试对直线与抛物线的位置关系的认识提高我们的解题能力二典型例题例江苏如图在平面直角坐标系中过轴正方向上一点任作一直线与抛物线相交于两点一条垂直于轴的直线分别与线段和直线交于两点若求的值若为线段的中点求证为此学习必备 欢迎下载(II)由FBAF得21xx，又有421xx所以14,42221xx，由（I）可知点 M 在抛物线的准线上，所以21221yyAB 212)2(|221xxFM 所以

11、23)21(|21FMABSABM由基本不等式可求得面积最小值为4.四）课堂小结 1通过本节课学习，我们发现这些题中都有一个相似的地方：过抛物线外一点作抛物线的两条切线，同时这两条切线所带来一些性质比如切点坐标，定值等，在这里还有其他性质我们在课外可以继续研究。2“坐标法”始终是解决直线与圆锥曲线位置关系的基本方法，而“韦达定理”始终起到“桥梁”作用。（五）作业 1（2008 山东，理 22）如图，设抛物线方程为 x2=2py(p0),M 为 直线 y=-2p 上任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B.（）求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列；（）已知当 M 点的坐标为（2，

12、-2 p）时，4 10AB，求此时抛物线的方程.2（2005 江西，理 22）如图，设抛物线2:xyC的焦点为 F，动点 P 在直线02:yxl上运动，过 P作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.（1）求APB 的重心 G 的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.三、板书设计 屏幕 第一版例 1 第二版例 2 法巩固坐标法在解决直线与抛物线线位置关系问题的应用能力目标培养学生的运算能力和思维能力让学生进一步体会数形结合化归与转化的数学思想情感目标通过问题的探究培养学生勇于探索的精神使学生经历一个发现问题研究问点和难点在抛物线的切线问题的情景下用坐标法解决直线与抛物线的位置关系问题二教学过程一引入在近年高考中有些省份的解析几何题出现以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题如江西全国卷江苏山东浙江等试对直线与抛物线的位置关系的认识提高我们的解题能力二典型例题例江苏如图在平面直角坐标系中过轴正方向上一点任作一直线与抛物线相交于两点一条垂直于轴的直线分别与线段和直线交于两点若求的值若为线段的中点求证为此