2024届江苏省镇江市扬中市第二高级中学高三暑假数学复习自测系列（20．圆的方程）含答案.pdf

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1、1江苏 省镇 江市 扬中 市第 二高 级中学2023 暑假 高三 数学复 习自 测系 列 20 圆的方程 姓名一 单 选题：本大 题共 8 小 题，每题 5 分，共 40 分.在每 小题 提供的四 个选 项中，只有 一项是 符合题 目要 求的.1 在平面直角坐标系 0,0(4,0)(4,2),(0,2)xOy OABC O A B C 中，矩形 的 顶点坐标分别为（），,，则矩形OABC 的外接 圆方 程是（）A2242 0 xy xy+=B 2242 0 xy xy+=C 2284 0 xy xy+=D 2284 0 xy xy+=2 与 直线 3 yx=切 于点(3,3)A，且 经过点(3

2、 3,1)B 的圆 的方 程为（）A 22(3)(3)24 xy+=B 22(3)(1)16 xy+=C 22(3)(1)16 xy+=D 22(2 3)(2)4 xy+=3 若 曲线C：222 4 10 0 x y ax ay a+=表 示 圆，则实数a的取 值范 围为（）A()2,0 B()(),2 0,+C 2,0 D(),2 0,+4 古希 腊数 学家 阿波 罗尼 奥斯（约 公元 前 262 公 元前 190 年）的著 作 圆 锥曲 线 论 是 古代 世界 光辉的 科 学成果，著 作中 有这 样一 个命 题：平 面内 与两 定点 距离 的比为 常数 k（0 k 且 1 k）的 点的 轨

3、迹是 圆，后人 将这 个圆称为 阿波 罗尼 斯圆 已 知(0,0),(3,0)OA，动点(,)Pxy满足2PAPO=，则动 点 P 轨迹与圆22(1)1 xy+=位 置关系是（）A 外 离 B 外 切 C 相 交 D 内切 5 已 知圆221:0 C x y kx y+=和圆222:2 10 C x y ky+=的 公共 弦所在 的 直线 恒过 定点 M，且点 M 在直线2 mx ny+=上，则22mn+的 最小 值为（）A 15B 55C 255D 456已 知 m R，过定点 A 的动直 线 mx+y 0 和过 定点 B 的动 直线 x my m+3 0 交 于点 P，则 3 PA PB+

4、的取值范 围是（）A(10,2 10 B(10,30 C 10,30)D 10,2 107.在平 面直 角坐 标系 xOy 中，已知圆()22 2:62 4 5 6 0 C x y m x my m m+=，直 线 l 经过点()1,0 若 对任意的 实数m，直线l 被圆C 截得的弦 长为 定值，则 直线l 的方程 为（）A.10 xy=B.10 xy+=C.2 20 xy+=D.这 样的 直线 不存在8已 知 圆 C 的方 程为2 22(1)(2)(0)x y rr+=，若直线 2 10 xy+=上 存在 一点 P，使得 在圆C 上总存 在不同的 两点,MN，使得 2 MN NP=，则圆C

5、的半径 r 的取 值范 围是（）A5(0,5B 25(0,5 C 5,)5+D 25,)5+二 多 项选择 题：本题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.在每 小题给出 的四 个选项 中，有多项 符合题目 要求.全部 选对 的得 5 分，部分 选对的得 2 分，有选 错的得 0 分.9 已知 方程224820 xy xya+=，则下 列说 法 正确的 是（）A 当 10 a=时，表 示圆 心为(2,4)的圆 B 当 10 a 时，表示圆 心为(2,4)的圆 C 当 0 a=时，表 示的 圆的 半径 为 25 D 当 3 a=时，表 示的 圆与y轴相切 10已知 圆221:1 Cx y+

6、=和圆222:40 Cx y x+=的 公共 点为 A，B，则（）A.12|2 CC=B.直线 AB 的方 程是14x=C.12AC AC D.15|2AB=11 已知 实数,xy满足 方程224 10 xy x+=，则下列 说法 正确 的是（）A.yx 的 最大 值为62 B.22xy+的最大 值为23+2C.yx的最大 值为32D.xy+的 最大 值为62+12 古 希腊 著名 数学 家阿 波罗尼 斯与 欧几 里得、阿 基米德 齐名，他 发现：平 面内到 两个 定点 A、B 的距离 之比为定值（1）的点所 形成 的 图形是 圆 后来，人们 将 这个圆 以他 的名 字命 名，称为阿 波罗 尼

7、斯 圆，简称 阿氏圆 已知 在平 面直 角坐 标系 xOy 中，()2,0 A、()4,0 B，点 P 满足12PAPB=，设点 P 所 构成 的曲 线为 C，下列结 论正 确的 是（）A C 的方 程为()224 16 xy+=B 在C 上存 在点 D，使得 D 到点()1,1 的 距离为 3C 在C 上存在 点M，使得 2 MO MA=D 在C 上存在 点 N，使 得224 NO NA+=三 填 空题：本大 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分，不需 写出解答 过程，请把 答案 直接填 写在答 题卡 相应位 置上.13 已知 动圆 0 2 6 4 22 2=+m my mx y

8、x 恒过一 个定 点,这个 定点 的坐 标是_ 14如 果圆22(2)(3)4 x a ya+=上总 存在 两个点 到 原点 的距 离为 1，则 实数 a 的取值 范围 是_ 15 在平面直角坐标系 xOy 内，已知(1,0),(1,0)AB,若点 P 满足 2 PA PO=,则 PAB 面积的最大值为.若点 P 还同时 满足 3 PB PO=，则点 P 的横 坐标 等于.16 在平 面直 角坐 标系 xOy 中，圆 C 的方 程为(x 1)2y24，P 为圆 C 上 一点若 存在 一个 定圆 M，过 P 作圆M 的两条 切线 PA，PB，切 点分别为 A，B，当 P 在圆 C 上运动时，使得

9、APB 恒为 60，则圆 M 的方 程为 四 解 答题：本大题 共 6 小 题，共 70 分，请在答 题卡 指定区 域内 作答.解 答时 应写出 文字 说明 证明过 程或 演算步 骤.17.根 据条 件求 下列 圆的 方程：（1）求 经过(6,5)A，(0,1)B 两点，并 且 圆心在 直线 3 10 9 0 xy+=上 的圆 的方 程；（2）圆 M 经 过点(10,0)，且与 圆22:66 0 Cx y x y+=切 于 原点，求圆 M 的方 程.18 已知 直线 l：3(0)y kx k=+与x轴，y轴围成的 三角 形面 积为94，圆 M 的圆心 在直 线l 上，与x轴相 切，且在y轴上截

10、 得的 弦长 为 46.（1）求 直线 l 的方程（结 果 用一般 式表 示）;（2）求 圆 M 的 标准 方程.319（1）已知 圆过 点)6,2()2,4(和，该 圆与两 坐标 轴四 个截 距之 和为 2，求该 圆的 方程.（2）已 知圆 满足：截 y 轴所得 弦长 为 2；被 x 轴分成 两段 圆弧，其 弧长 的比 为 3：1；圆心 到直线 l：x 2y 0 的距 离为55求 该圆 的方程 20 已知1(1,0),(2,0),(,),.2MAA B Mxy M CMB=动点 满足 设动点 的轨迹为（1）求 动点 M 的轨迹 方程，并说明 轨迹C 是什 么图 形；（2）求 动点 M 与 定

11、点 B 连线斜 率 的最小 值；（3）设 直线:l y x m C P Q PQ A=+交轨迹 与、两点，是否存在以线段 为直径的圆经过？若存 在，求 出实数m的值；若 不存 在，说明 理由.421 已 知圆C 的圆 心在 x 轴 正半 轴 上，半径为 5，且 与直 线 4 3 17 0 xy+=相切（1）求 圆 C 的方 程；（2）设 点31,2P，过点 P 作直线l 与圆 C 交于,A B 两点，若 8 AB=，求 直线l 的方程；（3）设 P 是直线 60 xy+=上的 点，过 P 点作圆C 的 切线,PA PB，切 点 为,A B 求证：经 过,A,P C三点的 圆必 过定 点，并求

12、出所有 定点 的坐 标 22 已知 圆 C 与圆 D:224 2 30 xy xy+=关于 直线:4 2 5 0 lx y+=对称.（1）求圆C 的 方程;（2）若点()()20 02 PM，设 Q 为圆C 上一动 点.求 QPM 面积的 最大 值，并求 出取最 大值 时点 Q 的 坐标;在 的结论下，过点 Q 作 两条相 异直线分别与圆C 相 交于,AB 两 点，若直线,QA QB 的倾斜角互补，问直线AB 与直线 PM 是否 垂直?请说 明理由.1江苏 省镇 江市 扬中 市第 二高 级中学2023 暑假 高三 数学复 习自 测系 列 20 圆的方程 姓名一 单 选题：本大 题共 8 小 题

13、，每题 5 分，共 40 分.在每 小题 提供的四 个选 项中，只有 一项是 符合题 目要 求的.1 在平面直角坐标系 0,0(4,0)(4,2),(0,2)xOy OABC O A B C 中，矩形 的 顶点坐标分别为（），,，则矩形OABC 的外接 圆方 程是（B）A2242 0 xy xy+=B 2242 0 xy xy+=C 2284 0 xy xy+=D 2284 0 xy xy+=2 与 直线 3 yx=切 于点(3,3)A，且 经过点(3 3,1)B 的圆 的方 程为（D）A 22(3)(3)24 xy+=B 22(3)(1)16 xy+=C 22(3)(1)16 xy+=D 2

14、2(2 3)(2)4 xy+=3 若 曲线C：222 4 10 0 x y ax ay a+=表 示 圆，则实数a的取 值范 围为（B）A()2,0 B()(),2 0,+C 2,0 D(),2 0,+4 古希 腊数 学家 阿波 罗尼 奥斯（约 公元 前 262 公 元前 190 年）的著 作 圆 锥曲 线 论 是 古代 世界 光辉的 科 学成果，著 作中 有这 样一 个命 题：平 面内 与两 定点 距离 的比为 常数 k（0 k 且 1 k）的 点的 轨迹是 圆，后人 将这 个圆称为 阿波 罗尼 斯圆 已 知(0,0),(3,0)OA，动点(,)Pxy满足2PAPO=，则动 点 P 轨迹与圆

15、22(1)1 xy+=位 置关系是（C）A 外 离 B 外 切 C 相 交 D 内切 5 已 知圆221:0 C x y kx y+=和圆222:2 10 C x y ky+=的 公共 弦所在 的 直线 恒过 定点 M，且点 M 在直线2 mx ny+=上，则22mn+的 最小 值为（D）A 15B 55C 255D 456已 知 m R，过定点 A 的动直 线 mx+y 0 和过 定点 B 的动 直线 x my m+3 0 交 于点 P，则 3 PA PB+的取值范 围是（D）A(10,2 10 B(10,30 C 10,30)D 10,2 107.在平 面直 角坐 标系 xOy 中，已知圆

16、()22 2:62 4 5 6 0 C x y m x my m m+=，直 线 l 经过点()1,0 若 对任意的 实数m，直线l 被圆C 截得的弦 长为 定值，则 直线l 的方程 为（C）A.10 xy=B.10 xy+=C.2 20 xy+=D.这 样的 直线 不存在8已 知 圆 C 的方 程为2 22(1)(2)(0)x y rr+=，若直线 2 10 xy+=上 存在 一点 P，使得 在圆C 上总存 在不同的 两点,MN，使得 2 MN NP=，则圆C 的半径 r 的取 值范 围是（D）A5(0,5B 25(0,5 C 5,)5+D 25,)5+二 多 项选择 题：本题共 4 小题，

17、每 小题 5 分，共 20 分.在每 小题给出 的四 个选项 中，有多项 符合题目 要求.全部 选对 的得 5 分，部分 选对的得 2 分，有选 错的得 0 分.9 已知 方程224820 xy xya+=，则下 列说 法 正确的 是（BC）A 当 10 a=时，表 示圆 心为(2,4)的圆 B 当 10 a 时，表示圆 心为(2,4)的圆 C 当 0 a=时，表 示的 圆的 半径 为 25 D 当 3 a=时，表 示的 圆与y轴相切 10已知 圆221:1 Cx y+=和圆222:40 Cx y x+=的 公共 点为 A，B，则（ABD）A.12|2 CC=B.直线 AB 的方 程是14x=

18、C.12AC AC D.15|2AB=11 已知 实数,xy满足 方程224 10 xy x+=，则下列 说法 正确 的是（AD）A.yx 的 最大 值为62 B.22xy+的最大 值为23+2C.yx的最大 值为32D.xy+的 最大 值为62+12 古 希腊 著名 数学 家阿 波罗尼 斯与 欧几 里得、阿 基米德 齐名，他 发现：平 面内到 两个 定点 A、B 的距离 之比为定值（1）的点所 形成 的 图形是 圆 后来，人们 将 这个圆 以他 的名 字命 名，称为阿 波罗 尼斯 圆，简称 阿氏圆 已知 在平 面直 角坐 标系 xOy 中，()2,0 A、()4,0 B，点 P 满足12PA

19、PB=，设点 P 所 构成 的曲 线为 C，下列结 论正 确的 是（ABD）A C 的方 程为()224 16 xy+=B 在C 上存在 点 D，使得 D 到点()1,1 的 距离为 3C 在C 上存在 点M，使得 2 MO MA=D 在C 上存在 点 N，使得224 NO NA+=三 填 空题：本大 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分，不需 写出解答 过程，请把 答案 直接填 写在答 题卡 相应位 置上.13 已知 动圆 0 2 6 4 22 2=+m my mx y x 恒过一 个定 点,这个 定点 的坐 标是_17(1,1)(,)55或 _ 14 如果圆22(2)(3)4 x

20、 a ya+=上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取值范围是_605a 15 在平面直角坐标系 xOy 内，已知(1,0),(1,0)AB,若点 P 满足 2 PA PO=,则 PAB 面积的最大值为2.若点 P 还同时满 足 3 PB PO=，则点 P 的横 坐标 等于16.16 在平 面直 角坐 标系 xOy 中，圆 C 的方 程为(x 1)2y24，P 为圆 C 上 一点若 存在 一个 定圆 M，过 P 作圆M 的 两条 切线 PA，PB，切 点 分别为 A，B，当 P 在圆 C 上运 动时，使 得APB 恒为 60，则圆 M 的方程 为(x 1)2y21；四 解 答题：本大

21、题 共 6 小 题，共 70 分，请在答 题卡 指定区 域内 作答.解 答时 应写出 文字 说明 证明过 程或 演算步 骤.17.根 据条 件求 下列 圆的 方程：（1）求 经过(6,5)A，(0,1)B 两点，并 且 圆心在 直线 3 10 9 0 xy+=上 的圆 的方 程；（2）圆 M 经 过点(10,0)，且与 圆22:66 0 Cx y x y+=切 于 原点，求圆 M 的方 程.17.解：（1）线段 AB 的中 点坐标 为(3,3)，斜率 为23，所以 垂直平 分线 方程 为 3 2 15 0+=xy，由3 2 15 03 10 9 0 xyxy+=+=，解得73xy=圆心 C(7

22、,3)，半径 为|65 r AC=.所求 圆的 方程 为22(7)(3)65 xy+=（2）圆22:66 0 Cx y x y+=的圆心(3,3)C，圆 M 与圆 C 切于 原点，故圆 M 的 圆心 M 在 直线yx=上，又圆 M 经 过原 点和(10,0)，因此 圆心 M 也在 直线 5 x=上，因此，圆心(5,5)M，52 r=，圆22:(5)(5)50 Mx y+=.3【点睛】本 题考 查了 圆的 方程、圆与 圆的 位置 关系，圆的 方程 要确 定圆 心和 半径.18已知 直线 l：3(0)y kx k=+与x轴，y轴围成的 三角 形面 积为94，圆 M 的圆心 在直 线l 上，与x轴相

23、 切，且在y轴上截 得的 弦长 为 46.（1）求 直线 l 的方程（结 果 用一般 式表 示）;（2）求 圆 M 的 标准 方程.18，解：（1）在直 线方 程()23 0 yk k=+中，令 0 x=，得3 y=令0 y=，得3xk=故91 3342Sk=又 0 k 故 2 k=所求 直线 方程 为：2 30 xy+=（2）设 所求 圆的 标准 方程为：()()()2220 xa yb rr+=由题可 知()2222 3026abbrar+=+=联立求 解得：517575aabbrr或=故所求 圆的 标准 方程 为：()()225 7 49 xy+=或()()221 5 25 xy+=19

24、（1）已知 圆过 点)6,2()2,4(和，该 圆与两 坐标 轴四 个截 距之 和为 2，求该 圆的 方程.（2）已 知圆 满足：截 y 轴所得 弦长 为 2；被 x 轴分成 两段 圆弧，其 弧长 的比 为 3：1；圆心 到直线 l：x 2y 0 的距 离为55求 该圆 的方程 19解：（1）设圆 的方 程为220 x y Dx Ey F+=，圆 心为(,)22DF，由 题意 得：2222224 2 4 2F0 4(2)(6)(2)(6)F 0 20DE DDE EDE F=+=+=所以圆 的方 程为222 4 20 0.xy xy+=（2）设圆 的方 程为2 22()()xa yb r+=，

25、由 题 意得：222221112 1125 2251(2)araarb b babrr+=+或所以，所求 的圆 的方 程为22 22(1)(1)2(1)(1)2.xy xy+=+=或 420 已知1(1,0),(2,0),(,),.2MAA B Mxy M CMB=动点 满足 设动点 的轨迹为（1）求 动点 M 的轨迹 方程，并说明 轨迹C 是什 么图 形；（2）求 动点 M 与 定点 B 连线斜 率 的最小 值；（3）设 直线:l y x m C P Q PQ A=+交轨迹 与、两点，是否存在以线段 为直径的圆经过？若存 在，求 出实数m的值；若 不存 在，说明 理由.20 解：（1）222

26、2(1)12(2)xyxy+=+，21 已 知圆C 的圆 心在 x 轴 正半 轴 上，半径为 5，且 与直 线 4 3 17 0 xy+=相切（1）求 圆 C 的方 程；（2）设 点31,2P，过点 P 作直线l 与圆 C 交于,A B 两点，若 8 AB=，求 直线l 的方程；（3）设 P 是直线 60 xy+=上的 点，过 P 点作圆C 的 切线,PA PB，切 点 为,A B 求证：经 过,A,P C三点的 圆必 过定 点，并求 出所有 定点 的坐 标 21解：（1）设 圆心(,0)Ca，(0)a，则由直 线和 圆相 切的 条件：dr=，可得|4 0 17|516 9a+=+，解得 2

27、a=负 值舍 去），即 有圆 C 的方 程为22(2)25 xy+=；（2）若 直线 l 的斜 率不 存 在，即:1 lx=，代入圆 的方 程可 得，4 y=，即有|8 AB=，成 立；若 直线 l 的 斜率 存在，可 设直线3:(1)2l y kx+，即为 2 2 32 0 kx y k+=，5圆 C 到直线 l 的距 离为22|4 032|6 3|44 44k kkdkk+=+，由 8 AB=，即有22 25 8 d=，即有 3 d=，即2|6 3|344kk+=+，解得34k=，则 直线 l 的方 程为 3 4 90 xy+=，所以l 的方 程为3 4 90 xy+=或 1 x=；（3）

28、证 明：由于 P 是 直线 60 xy+=上的点，设(,6)Pm m，由切 线的 性质 可得 AC PA，经过 A，P，C，的 三点 的圆，即为以 PC 为 直径 的圆，则方程 为(2)()(6)0 x x m yy m+=，整理可 得()222 6(2)0 x y x y my x+=，可令2226 0 xy xy+=，且 20 yx+=，解得 2 x=，0 y=，或 2 x=，4 y=则有经 过A，P，C 三点 的圆 必 过定点，所有定 点的 坐标 为(2,0)，(2,4)22 已知 圆C 与圆 D:224 2 30 xy xy+=关于 直线:4 2 5 0 lx y+=对称.（1）求圆C

29、 的 方程;（2）若点()()20 02 PM，设 Q 为圆C 上一动 点.求 QPM 面积的 最大 值，并求 出取最 大值 时点 Q 的 坐标;在 的结论下，过点 Q 作 两条相 异直线分别与圆C 相 交于,AB 两 点，若直线,QA QB 的倾斜角互补，问直线AB 与直线 PM 是否 垂直?请说 明理由.22解：（1）:将圆 D:224 2 30 xy xy+=化 为标准 方 程为22(2)(1)2 xy+=.圆心(2,1)D，半径 长为2.设圆C 的圆心 为(,)ab，圆C 与圆 D 关于直 线:4 2 5 0 lx y+=对称，圆心(2,1)D 与(,)Cab关于直 线:4 2 5 0

30、 lx y+=对称，且两圆 圆心 的中 点在l 上，1(2)12214 2 5022baab=+=，解得00ab=，圆C 的方程 为222 xy+=（2）因 为点(2,0),0 2 PM（，），所以 22 PM=，直线 PM 的方 程为 2 xy+=.设点 Q 到直线 PM 的距 离为 h，圆心 C 到 直线 PM 的距离 为d，则22|-2|211d=+.1.2QPMS PM h h=要使 QPM 的面积 取得 最大 值，则需 h 取得最 大值，易知 h 取最大 值时，点 Q 与 圆心 C 的连 线与 直线 PM 垂 直，故有max22 h dr=+=,所以max()2 2 2 4.QPMS

31、=此时点 Q 的 坐 标为(1,1).6直线 AB 与 直线 PM 垂直.理由如 下:因为过 点 Q(1,1)作两条 相异 直线 分别与 圆C 相交于,AB 两 点，直线,QA QB 的倾斜 角互 补，所以 直线,QA QB 的斜率 都存 在.设直线 QA 的斜 率为 k，则 直线 QB 的斜率 为 k，所以直 线 QA 的方程 为 1(1)y kx+=+，直线 QB 的方程 为 1(1)y kx+=+，由221(1)2y kxxy+=+=，得，22 2(1)2(1)2 1 0 k x kk x k k+=，又因为 点 Q(1,1)在圆C 上，所以222111Akkxk+（）=，所以22211Akkxk+=+，同理，22211Bkkxk+=+，所以BAABBAyykxx=(1)1(1)1BABAkx kxxx+=()21BABAkx x kxx+=，又 1PMk=，所以 1PM ABkk=，故直线 AB 与 直线 PM 垂直.