考研数学（二）解析1995.pdf

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1、1995年数学（二）真题解析一、填空题（1）【答案】sin 2 sin2-cos j:2 sinX JC X【解】yf=2 工 sin x2 sin2-cos jc 2 2sin cos jc x x=-2xsin2sin2-cos 2sin.JC X JC（2）【答案】y=C1Cos+C2sin 乂 一 2h（C】,C2为任意常数）.【解】特征方程为A2+l=0,特征根为心,2=士i，则yf+y=0的通解为歹=C1 cos工+C2 sin x；显然yr+y=2工的特解为歹0（工）=2工，故通解为y=Cx cos x+C2 sin x 2x（Cj,C2 为任意常数）.（3）【答案】y=1.【解

2、】当t=2时,:r=5,y=8,dy dy/dt _ 护 _ 3 dj.I乂dr 一 dz/dt 一 2t 一 2“dr I-则切线方程为:y _ 8=3（工一5）,即=3工一7.【答案】y.1+2+72 n2+n+n【解】8 J-OO X二、选择题（1）【答案】（D）.【解】方法一（1,H=0,o取爭（工）=显然H=0为卩（工）的间断点，取/（J7）=J72+1,显然/（工）是非零的连续函【0,H工0,数，但讥/（工）=0在工=0处连续，（A）不选；（1,工 W W Q,Q,取卩（工）=显然卩（工）处处间断，但卩（工）了=1处处连续，（E）不选；1-1,工 W W RQ,RQ,（1,H=0,

3、取C（J7）=显然工=0为卩（工）的间断点，取/（JC）=1,显然/（X）为非零的连续函数，但10,工 H 0,30 淘宝店铺：光速考研工作室/卩(乂)=1为非零连续函数，(C)不选，应选(D).方法二令g(z)=匕：，若号连续，则卩(工)=/(x)g(j：)一定连续，矛盾，应选(D).(2)【答案】(C).【解】当0 1时yWO；当1 g时，一厂 f(工 2)，即函数一f(T)单调增加，应选(D).(4)【答案】(B).【解】由拉格朗日中值定理得/(I)-/(0)=/(c)(0c 0,所以/&)单调递增，又因为 0 Vc V 1,所以/(0)/(c)/(I)-/(0)/(0),应选(B).(

4、5)【答案】(A).解F：(0)=l.m SF(0)=Hm/Q)(l sinz)八0)xO Z X0 工=lim 匕)f lim).吗=y(0)于(0)；z-*0_ X z0_ 工口“、.F(h)F(0)/(jrXl+sinjc)/(0)r+(0)=lim-=lim-o+工 一 o+工=lim+止=r(0)+/(0),lo+工 lo+工因为 F(h)在乂=0 处可导，所以/z(0)/(0)=/z(0)+/(0),故/(0)=0,应选(A).三、【解】/八.1%/COS X.1 1 cos X(1)lim-=lim-=-X0+H(1 COS/X)Lo+1+a/COS X Z(1 COS)(2)x

5、 e/(j)=ey 两边对 x 求导得 e/(7)+x ef(y)岁=J 岁，dx Ajc解得薯;);as-F3F3譽 ci-r(j)r-r()di7 x2：i-r()j2 T 2(-r 2 1 J-L 1 _L-1(3)由/(j?2 1)=In ,即/(j;2 1)=In -，得/(j;)=In-x 2(j：1)1 jc 1 31 淘宝店铺：光速考研工作室由 甲（工）=In卩严土:=In工，得爭（工）=+：,卩（工）一1 x I故J（2）dx=J 十；dr=J（1-）dz=工+ln（H I）2+C(4)当工工0 时,f O=arctan A+zi+AXI7T7八0)=I”-H0 tlimar

6、ctan-=工f o JC7T1，即厂(2)=Q1 2r2arctan-盲 x 丄十工=0,工H 0.(5)2n0t25/sin2 Z+(1 cos t)2 dtfjc）在工=0处连续.At2n t0 sinTd=4=4sin tdt=8 o.22 sin=8o（6）设物体的运动规律为v=讥）,讥0）=5，由题意得字=,或字+匸=0,解得讥t）=Ce=Cel.dt dt由讥0）=o,得 C=s,故讥t）=vQ e_z.令讥t）=扌即=寸，解得=In 3,fin 3|5 3 则所求的路程为S=|5厂dr=I=0-J。I o O四、【解】显然fCx）为偶函数，只需要研究/Q）在0,+o）上的最小值

7、和最大值.由 fr（.x）=2工（2 x2）ex=0 得工=V2.当0 Vz 施时，/（乂）0；当工 罷时，/（工）V 0,所以乂=施为最大值点，最大值皿=/（V2）=（2 t）dt=1+e；J 0f 4-00 f+oo f 4-00又 f（0）=0,lim/（j;）=（2 t）e_ dt=2 e_/dt dz=1,x*-+J 0 Jo Jo于是f工）的最小值m=0.五、【解】将代入得pQ）=工（尸 一1）,原方程即为+（尸一l）y=1,解得y=fl 丿尸一皿也+C戸厂一皿=Cef+e，由y（ln 2）=0,得C=-e7，故满足条件的特解为y=b M.（+2）3六、【解】由题设得（o-$）2+

8、（j；o-7）2=秽，yo又因为PM丄MT,所以 32 淘宝店铺：光速考研工作室）0工。一一 4由、解得(0 _ 7)2（1+就 2）2由于，0,所以曲线L是凹的，故九一可0,从而y0 r/=1+就2yo又无。一 =夕：(o 一)就（+就2）yo就(1+y()()2)!1+02q=-7）七、【解】=xf（工）|。J：Q）dz=好5）J：于是得=sVTTsinH 巴“工 fn.ofi.=-dr -dj?=sin x dj?=Z sin x ajc=Z.JO 7T X Jo 7T X Jo J 0八、【证明】方法一由 lim 了工=1 得 f(0)=0,/z(0)=1,则有x-*0 Xfjc)=/(0)+/(0)无+2，其中w介于0与工之间，因为/(工)0,所以fO N f(0)+厂(0)工=工方法二f(r由 lim-=1 得/(0)=OJCO)=1,rf 0 3C/(j:)=/(工)一/(O)=/(g)z,其中 介于 0 与 z 之间，当工0时，工 0,得/(x)单调增加，从而y(W)/(0)=1,于是f 玄工，故fCx)JC；当乂$0时，00,得于(工)单调增加，从而f，$厂(0)=1,于是3工，故f工)A H.33淘宝店铺：光速考研工作室