《高中数学竞赛》数列_中学教育-竞赛题.pdf

《《高中数学竞赛》数列_中学教育-竞赛题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高中数学竞赛》数列_中学教育-竞赛题.pdf（40页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、优秀学习资料 欢迎下载 竞赛辅导 数列(等差数列与等比数列)数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的 问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列an的第 n 项an与项数(下标)n 之间的函数关系可以用一个公式 an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1，2，n)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系

2、。一、等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母 d 表示。等差数列an的通项公式为：)1()1(1dnaan 前 n 项和公式为：)2(2)1(2)(11dnnnaaanSnn 从(1)式可以看出，na是n的一次数函(0d)或常数函数(0d)，(nan,)排在一条直线上，由(2)式知，nS是n的二次函数(0d)或一次函数(0,01 ad)，且常数项为 0。在等差数列na 中，等差中项：221nnnaaa且任意两项nmaa,的关系为：dmnaamn)(它可以看作等差数列广义的通项公式。优秀学习资料 欢

3、迎下载 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：nkaaaaaaaakknnn3,2,1,123121 若qpnmaaaaqpnmNqpnm:,*则有且 等等或等差数列,1)12(,)12()1(232121knnkkkkkknnnmSSSSSSSanSanS 二、等比数列 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q表示。等比数列an的通项公式是：11nnqaa 前n项和公式是：1,1qna nS 1,11)1(111qqqaaqqann 在等比数列中，等比中项：21nnnaaa 且任意两项n

4、maa,的关系为mnmnqaa 如果等比数列的公比q满足 0q1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为：qaS11 从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常

5、数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载 121121212321*123121)(,)(:,:,3,2,1,nnnnnnnnnmqpknknnnaaaaaaaaaaNqpnmnkaaaaaaaa则有记则有若 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数 C 为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂naC，则naC是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数

6、列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前 n 项和。三、范例 例1 设 ap，aq，am，an是等比数列an中的第 p、q、m、n 项，若 p+q=m+n，求证：nmqpaaaa 证明：设等比数列na的首项为1a，公比为 q，则 nmqpnmnmqpqpnnmmqqppaaaaqaaaqaaaqaaqaaqaaqaa:,:22122111111111故所以 说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，

7、它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：a1+k an-k=a1 an 对于等差数列，同样有：在等差数列na 中，距离两端等这的两出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在

8、一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载 项之和等于首末两项之和。即：a1+k+an-k=a1+an 例 2在等差数列na中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则 2a9-a10=A.20 B.22 C.24 D28 解：由 a4+a12=2a8，a6+a10=2a8及已知或得 5a8=120，a8=24 而 2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。故选 C 例 3已知等差数

9、列an满足 a1+a2+a3+a101=0，则有()A.a1+a1010 B.a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=51 2000 年北京春季高考理工类第(13)题 解：显然，a1+a2+a3+a101 CaaaaaaaaaaS选从而故,0,00101)(21101199310021011101101 例4 设Sn为等差数列na的前n项之各，S9=18，)9(304nan，Sn=336，则n为()A.16 B.21 C.9 D8 BnnnaanSaaaaaaSnnnn选故而所以故由于解,2133616322)(2,323022,189:1145559 出现的问题数列最基本的是等差

10、数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载

11、 例 5设等差数列na满足13853aa，且1a0，nS为其前n项之和，则)(*NnSn 中最大的是()。(1995 年全国高中联赛第 1 题)(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21 020,20:,0)240(39)1(392)1()12(5)7(353:111111138nnnannananaadnaadadaaa时当则令故解 所以:S19=S20最大，选(C)注：也可用二次函数求最值 例 6设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 3，且各项的和为 972，则这样的数列共有()(A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 1997 年全国高中数学联赛第 3

12、 题 解：设等差数列首项为a，公差为d，则依题意有：(*)972)1(2972)1(22ndnadnnna 因为n是不小于 3 的自然数，97 为素数，故数n的值必为 2 972的约数(因数)，它只能是 97，2 97，972，2 972四者之一。若0d，则1d由(*)式知 2 972)1()1(nndnn故只可能有n=97，(*)式化为：9748 da，这时(*)有两组解：出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数

13、列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载 97097adn 或 1297adn 若0d，则(*)式化为：297na，这时(*)也有两组解。97097adn 或 1297adn 故符今题设条件的等差数列共4 个，分别为：49，50，51

14、，145，(共 97 项)1，3，5，193，(共 97 项)97，97，97，97，(共 97 项)1，1，1，1(共 972=9409 项)故选(C)例 7将正奇数集合1，3，5，由小到大按第 n 组有(2n-1)个奇数进行分组：1，3，5，7，9，11，13，15，17，(第一组)(第二组)(第三组)则 1991 位于第 组中。1991 年全国高中数学联赛第 3 题 解：依题意，前 n 组中共有奇数 1+3+5+(2n-1)=n2个 而 1991=2 996-1，它是第 996 个正奇数。出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标

15、之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载 因为:312=9619961024=322 所以:1991 应在第 3

16、1+1=32 组中。故填 32 例 8一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 。1989 年全国高中联赛试题第 4 题 解：设该数为 x，则其整数部分为x，小数部分为 x-x，由已知得：x(x-x=x2 其中x0，0 x-x1，解得：251251,1,12150215,251xxxxxxxxx故应填 例 9 等比数列na的首项15361a，公比21q，用 n表示它的前n项之积，则 n(nN*)最大的是()(A)9 (B)11 (C)12 (D)13 1996 年全国高中数学联赛试题 解：等比数列na的通项公式为 191)21(1 5 3 623)21(1 5 3 6nnn

17、a 前 n 项和 0)21(23:)21(23)21(1536559911112)1(92)1(因为nnnnnnnn 出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意

18、两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载 最大故1212397811713139421266108121245368199,2322323223,239223 选(C)例 10设yx，且两数列yaaax,321和43,21,bybbxb均为等差数列，则1234aabb 1988 年全国高中联赛试题 解：依题意，有)(412aaxy 所以:38)(31:)(3)(411234232312aabbxybbbbxyxyaa所以又 例 11设zyx,是实数，zyx5,4,3成等比数列，且zyx1,

19、1,1成等差数列，则xzzx的值是 1992 年全国高中数学联赛试题 解：因为zyx5,4,3成等比数列，所以有 :,1,1,1)1(1516:)4(5322所以有成等差数列又即zyxxzyyzx)2(2,:,11zxxzyyzxzzxyzzx即 出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一

20、项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载 xzzxzxzxxzzyxxzzxzx34)(15)2(15640,0,015)(416:)1()2(2222222得代入将 1534xzzx 例 12已知集合 M=)lg(,xyxyx及 N=yx,0并且 M=N，那么 的 值 等 于)1()1()1()1(2 0 0 12 0 0 13322yxyxyxyx()解：由

21、 M=N 知 M 中应有一元素为 0，任由 lg(xy)有意义知0 xy，从而0 x，且0y，故只有 lg(xy)=0，xy=1，M=x,1,0；若 y=1，则 x=1，M=N=0，1，1与集合中元素互异性相连，故 y1，从而x=1，x=1；由 x=1,y=1(含)，由 x=-1 y=-1，M=N=0,1,-1 此时,21,21,21,2122121222kkkkyxyxyxyx 从而2)1()1()1(2001200122yxyxyx 注：数列 x，x2，x3，x2001；200121,1,1yyy以及 2001200133221,1,1,1yxyxyxyx 在 x=y=-1的条件下都是周期

22、为 2 的循环数列，S2n-1=-2，S2n=0，出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等

23、差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载 故 2001 并不可怕。例 13已知数列na满足 3an+1+an=4(n1)且 a1=9，其前 n 项之和为 Sn，则满足不等式Sn-n-6 1251的最小整数n是()1994 年全国高中数学联赛试题 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解：由 3an+1+an=4(n1)3an+1-3=1-an 81),1(31111aaann 故数列an-1是以 8 为首项，以31为公比的等比数列，所以 11)31(81)31(81nnnnaa nnnnnS)31(66)31(1)31(18 nnnS)31(66 765

24、132 4 32 5 031 2 51)31(6)31(6651nnnSnnnn 出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的

25、通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载 当 n=7 时满足要求，故选(C)注：数列an既不是等差数列，也不是等比数列，而是由两个项数相等的等差数列：1，1，1 和等比数列：1)31(8,98,38,8n的对应项的和构成的数列，故其前 n 项和 Sn 可转化为相应的两个已知数列的和，这里，观察通项结构，利用化归思想把未知转化为已知。例 14设数列an的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1,2,)，数列bn满足 b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,)求数列nb 的前 n 项和。1996 年全国高中数学联赛第二试第一题

26、 解：由 Sn=2an-1，令 n=1，得 S1=a1=2a1-1，1111122)3()2()3(12)2(12)1(1nnnnnnnnaaSSaSaSa得又 122nnnaaa 2,211nnnnaaaa 所以:数列an是以a1=1为首项，以q=2为公比的等比数列，故an=2n-1(4)12,2)5(2,1232121111bbbbbbabbbabkkkkkkkkkkkkk由 以上诸式相加，得 因为表中均为正数，故 q0，21q，从而2111a，因此，对于任意 1 k n，有 出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系

27、可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载 nnkkkkkkkaaaaSkkqdkaqaa33221111111121)21(2

28、1)1(21)1(记:)6()5()6(2121)1(2122121:)5(212132122113232得则有nnnnnSn nnnnnnnnnnnnnnnaaaannnSnS2222212:22122211)21(12212121211:,21212121212113322111132132即所以 评注：本题中求和,2121321221132nnS实为等差数列 an=n 与等比数列nnb21的对应项乘积构成的新数列的前 n 项的和，将(5)式两边同乘以公比21，再错项相减，化归为等比数列求各。这种方法本是求等比数列前 n 项和的基本方法，它在解决此类问题中非常有用，应予掌握。课本 P137

29、 复习参考题三 B 组题第 6 题为：求和：S=1+2x+3x2+nxn-1；2003 年北京高考理工类第(16)题：已知数列an是等差数列，且 a1=2,a1+a2+a3=12，(I)求数列an的通项公式；(II)令bn=an xn)(Rx，求数列bn的前 n 项和公式。都贯穿了“错项相减”方法的应用。出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之

30、间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载 高阶等差数列 一、基本知识 1.定义：对于一个给定的数列an，把它的连结两项an+1与an的差an+1-an记为bn，得到一个新数列 bn，把数列bn你为原数列an的一阶差数列，如果cn=bn+1-bn，则数列cn是an的二阶差数列依此类推，可得出数列an的p阶差

31、数列，其中pN 2.如果某数列的p阶差数列是一非零常数列，则称此数列为p阶等差数列 3.高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称 4.高阶等差数列的性质：(1)如果数列an是p阶等差数列，则它的一阶差数列是p-1 阶等差数列(2)数列an是p阶等差数列的充要条件是：数列an的通项是关于n的p次多项式(3)如果数列an是p阶等差数列，则其前n项和 Sn是关于n的p+1 次多项式 5.高阶等差数列中最重要也最常见的问题是求通项和前n项和，更深层次的问题是差分方程的求解，解决问题的基本方法有：(1)逐差法：其出发点是)(1111knkknaaaa(2)待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项an

32、与前n项和 Sn是确定次数的多项式(关于n的)，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得(3)裂项相消法：其出发点是an能写成an=f(n+1)-f(n)(4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的 二、例题精讲 例 1.数列an的二阶差数列的各项均为 16，且a63=a89=10，求a51 解：法一：显然an的二阶差数列bn是公差为 16 的等差数列，设其首项为a,则bn=a+(n-1)16,于是 出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公

33、式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载)2)(1(8)1()1(216)2()(111111111nnanannaaabaaaaankkknkkn 这

34、是一个关于n的二次多项式，其中n2的系数为 8，由于a63=a89=10,所以 an=8(n-63)(n-89)+10，从而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658 解：法二：由题意，数列an是二阶等差数列，故其通项是n的二次多项式，又a63=a89=10，故可设an=A(n-63)(n-89)+10 由于an是二阶差数列的各项均为 16，所以(a3-a2)-(a2-a1)=16 即a3-2a2+a1=16，所以 A(3-63)(3-89)+10-2A(2-63)(2-89)+10+A(1-63)(1-89)+10=16 解得：A=8 an=8(n-63)(n-89)+10，从而

35、a51=8(51-63)(51-89)+10=3658 例 2.一个三阶等差数列an的前 4 项依次为 30,72,140,240，求其通项公式 解：由性质(2)，an是n的三次多项式，可设an=An3+Bn2+Cn+D 由a1=30、a2=72、a3=140、a4=240 得 解得：出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数

36、列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载 所以an=n3+7n2+14n+8 例 3.已知整数列an适合条件：(1)an+2=3an+1-3an+an-1,n=2,3,4,(2)2a2=a1+a3-2(3)a5-a4=9,a1=1 求数列an的前n项和 Sn 解：设bn=an+1-an,Cn=bn+1-bn Cn=bn+1-

37、bn=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an=(3an+1-3an+an-1)-2an+1+an=an+1-2an+an-1=Cn-1(n=2,3,4,)所以 Cn是常数列 由条件(2)得 C1=2,则an是二阶等差数列 因此)2)(1()1(122)2)(1()1(11111nnbnnnbnabaankkn 由条件(3)知b4=9，从而b1=3，于是an=n2 例 4.求证：二阶等差数列的通项公式为 证明：设an的一阶差数列为bn，二阶差数列为cn，由于an是二阶等差数列，故cn为常数列 出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一

38、列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载 又c1=b2-b1=a3-2a2+a1 所

39、以 例 5.求数列 1,3+5+7,9+11+13+15+17,的通项 解：问题等价于：将正奇数 1,3,5,按照“第n个组含有 2n-1 个数”的规则分组：(1)、(3,5,7)、(9,11,13,15,17),然后求第n组中各数之和an 依分组规则，第n组中的数恰好构成以 2 为公差的项数为 2n-1 的等差数列，因而确定了第n组中正中央这一项，然后乘以(2n-1)即得an 将每一组的正中央一项依次写出得数列：1,5,13,25,这个数列恰为一个二阶等差数列，不难求其通项为 2n2-2n+1，故第n组正中央的那一项为2n2-2n+1，从而an=(2n-2n+1)(2n-1)例 6.数列an

40、的二阶差数列是等比数列，且a1=5,a2=6,a3=9,a4=16,求an的 通项公式 解：易算出an的二阶差数列cn是以 2 为首项，2 为公比的等比数列,则cn=2n,an的一阶差数列设为bn，则b1=1 且 从而 出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列

41、就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载 例 7.设有边长为 1 米的正方形纸一张，若将这张纸剪成一边长为别为 1 厘米、3 厘米、(2n-1)厘米的正方形，愉好是n个而不剩余纸，这可能吗？解：原问题即是是否存在正整数n，使得 12+32+(2n-1)2=1002 由于 12+32+(2n-1)2=12+22+(2n)2-22+42+(2n)2=)14(312nn随着n的增大而增大，当n=

42、19 时)14(312nn=912910000 故不存在 例 8.对于任一实数序列 A=a1,a2,a3,，定义 DA为序列a2-a1,a3-a2,，它的第n项为an+1-an，假设序列 D(DA)的所有项均为 1，且a19=a92=0,求a1 解：设序列 DA的首项为d,则序列 DA为d,d+1,d+2,它的第n项是)1(nd，因此序列 A的第n项 显然an是关于n的二次多项式，首项等比数列为21 由于 a19=a92=0，必有 所以a1=819 例 9:设 a,b 是正整数，na是首项是 a,公差为 b 的等差数列，nb 是首项是 b,公比为 a 的等比数列,且满足32211ababa （

43、1）求 a 的值。出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还

44、可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载（2）对于某项ma存在nb,使ma+1=nb,求 b 的值及 m,n 的关系式。（3）在na中，对满足（2）的项，求它的前 k项的和 分析：（1）由题意na=a+(n-1)b nb=1nab 由32211ababa,知 aba+baba+2b 显然正整数 a1（否则由 a+bab 得 1+bb,从而 10 矛盾）所以 a2，b3 再由 aba+2b 得12bba，由于12bb是 b3 上的增函数，从而 12bb3 所以 a0,S130（1）求出 d 的范围 （2）推出 S1，S2，S3，S12中哪个值最大，并说明理由 解：daadaSdaS2120

45、78130661213113112 （1）解之：dadada212060112111 030724dd 3724d 出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两

46、项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载 0,0,1)2(1kkknaaSa则最大为递减数列，设）知由（00)1(11kdadka 0)2(120)3(12dkdk dkd123122 最大即得由66,75.54125.3,3724Skkdd 另解：013)(13210)(21)(217131137612112aaaSaaaaS 0076aa 最大6S 一般地，一个递减（增）等差数列，)0,0(0,011kkkkaaaa且或且若，则 Sk最大（或最小）。3：已知非常数的等差数列 an的前 n

47、 项和),()1(2lg513lglg22RmNnmnnmnmSn求 数 列a5n+3的前 n 项和 为非常数的等差数列解nnamnmnmmnnmnmS2222lg)2lg513(lg2lg)1(51)1(2lg513lglg:出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数

48、这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载)53123lg(7)2lg513(lg49)2lg52(8)2lg513(lg64)2lg52(788)2lg513(lg2)2lg52(102lg,02lg)151SSannnSmmm从而：且（)5723lg()53123lg(286aad 2lg452lg524d 由等差数列的性质，数列 a5n+3是首项为 a8,公差为 5d 的等差数

49、列其前 n 项和dnnnaTn5)1(218 )(43lg2lg)1(21)23lg(10214531Nnnnnnn 4：各项为正的数列an的前 n 项和为 Sn,an与 2 的等差中项等于 Sn，与 2 的等比中项,求 an 0)4)()2(81)2(81)2(8122211221112nnnnnnnnnnnnnaaaaaaSSaaSSa即：即：解：由已知得 出现的问题数列最基本的是等差数列与等比数列所谓数列就是按一定次序排列的一列数如果数列的第项与项数下标之间的函数关系可以用一个公式来表示这个公式就叫做这个数列的通项公式从函数角度看数列可以看作是一个定义域函数的解析式为了解数列竞赛题首先要

50、深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义性质有关公式把握它们之间的同构关系一等差数列如果一个数列从第二项起一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数叫排在一条直线上由式知是的二次函数或一次函数且常数项为在等差数列中等差中项且任意两项的关系为它可以看作等差数列广义的通项公式优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义通项公式前项和公式还可推出若且则有等等或等差优秀学习资料 欢迎下载 24)1(42222244011111nnaaaaaaaaannnnnn又的等差数列为公差为即：5:等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S10=10,S40=150,求 S30 ，则：的公比解：易知1q