弧 、弦、圆心角讲义.pdf

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1、24.1.3弧、弦、圆 心 角 题 型 1：弧、弦、圆 心 角 的 概 念 题 型 4:弧、弦、圆 心 角 与 比 较 问 题 题 型 2:弧、弦、圆 心 角 求 角 度 弧、弦、圆 心 角 题 型 5:弧、弦、圆 心 角 与 证 明 问 题 题 型 3:弧、弦、圆 心 角 求 线 段 题 型 6:弧、弦、圆 心 角 综 合 问 题 弧、弦、圆 心 角 定 义&如 图 所 示，NAOB的 顶 点 在 圆 心，像 这 样 顶 点 在 圆 心 的 角 叫 做 圆 心 角.定 理：在 同 圆 或 等 圆 中，相 等 的 圆 心 角 所 对 的 弧 相 等，所 对 的 弦 也 相 等.推 论：在 同

2、圆 或 等 圆 中，如 果 两 条 弧 相 等，那 么 它 们 所 对 的 圆 心 角 相 等，所 对 的 弦 也 相 等.在 同 圆 或 等 圆 中，如 果 两 条 弦 相 等，那 么 它 们 所 对 的 圆 心 角 相 等，所 对 的 弧 也 相 等.注 意：(D 一 个 角 要 是 圆 心 角，必 须 具 备 顶 点 在 圆 心 这 一 特 征；(2)注 意 定 理 中 不 能 忽 视“同 圆 或 等 圆”这 一 前 提.题 型 1：弧、弦、圆 心 角 的 概 念 题 1.1.下 列 命 题 中，正 确 的 命 题 是()A.三 角 形 的 外 心 是 三 角 形 三 边 中 垂 线 的

3、 交 点 B.三 点 确 定 一 个 圆 C.平 分 一 条 弦 的 直 径 一 定 重 直 于 弦 D.相 等 的 两 个 圆 心 角 所 对 的 两 条 弧 相 等【答 案】A【解 析】【解 答】解：A、符 合 外 心 的 定 义，故 原 命 题 正 确；B、不 在 同 一 直 线 上 的 三 点 确 定 一 个 圆，故 原 命 题 错 误；C、平 分 一 条 弦（非 直 径）的 直 径 一 定 垂 直 于 弦，故 原 命 题 错 误；D、在 同 圆 或 等 圆 中，相 等 的 两 个 圆 心 角 所 对 的 两 条 弧 相 等，故 原 命 题 错 误.故 答 案 为：A.【分 析】根 据

4、 外 心 的 定 义、确 定 一 个 圆 的 条 件，垂 径 定 理 的 推 论，圆 心 角、弧、弦 之 间 的 关 系 逐 一 判 断 即 可.【变 式 1-1】下 列 语 句 中，正 确 的 有（）相 等 的 圆 心 角 所 对 的 弧 相 等；等 弦 对 等 弧；长 度 相 等 的 两 条 弧 是 等 弧；经 过 圆 心 的 每 一 条 直 线 都 是 圆 的 对 称 轴.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答 案】A【解 析】【解 答】解：相 等 的 圆 心 角 所 对 的 弧 相 等，错 误，条 件 是 同 圆 或 等 圆 中.等 弦 对 等 弧，错 误，弦 所 对 的

5、弧 有 两 条，不 一 定 相 等.氏 度 相 等 的 两 条 弧 是 等 弧，错 误，等 弧 是 完 全 重 合 的 两 条 弧.经 过 圆 心 的 每 一 条 直 线 都 是 圆 的 对 称 轴.正 确.故 答 案 为：A.【分 析】根 据 同 圆 或 等 圆 中，相 等 的 圆 心 角 所 对 的 弧 相 等 可 判 断 A；根 据 弦 所 对 的 弧 有 两 条 可 判 断 B；根 据 等 弧 的 概 念 可 判 断 C；根 据 圆 的 对 称 性 可 判 断 D.【变 式 1-2】下 列 有 关 圆 的 一 些 结 论：平 分 弧 的 直 径 垂 直 于 弧 所 对 的 弦；平 分

6、弦 的 直 径 垂 直 于 弦；在 同 圆 或 等 圆 中，相 等 的 弦 对 应 的 圆 周 角 相 等；同 弧 或 等 弧 所 对 的 弦 相 等.其 中 正 确 的 有（）A.B.C.D.【答 案】B【解 析】【解 答】解：平 分 弧 的 直 径 垂 直 于 弧 所 对 的 弦，选 项 正 确，符 合 题 意；如 果 平 分 的 弦 是 直 径 的 话，平 分 这 条 弦 的 直 径 不 一 定 垂 直 于 弦，选 项 错 误，不 符 合 题 意；在 同 圆 或 等 圆 中，相 等 的 弦 对 应 的 圆 周 角 不 一 定 相 等，选 项 错 误，不 符 合 题 意；同 弧 或 等 弧

7、 所 对 的 弦 相 等，选 项 正 确，符 合 题 意.正 确 的 有：.故 答 案 为：B.【分 析】根 据 垂 径 定 理 可 判 断；根 据 弧、圆 周 角 的 关 系 可 判 断：根 据 弧、弦 的 关 系 可 判 断.题 型 2:弧、弦、圆 心 角 求 角 度 豳 2.如 图，以 A B为 直 径 的 半 圆 上 有 一 点 C,NC=25。，则 此 的 度 数 为（）A.25 B.30 C.50 D.65【答 案】C【解 析】【解 答】解：OC=OA,，N A=N C=2 5。，.,.Z B O C=2Z A=50,：.B C 的 度 数 为 500.故 答 案 为：C.【分 析

8、】由 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得 NA=/C=2 5。，利 用 同 弧 所 对 的 圆 心 角 等 于 圆 周 角 的 2 倍 可 得 NBOC=5（）。，据 此 可 得 死 的 度 数.【变 式 2-1 如 图，A B 为。的 直 径，点 C、D 是 品 的 三 等 分 点，AAOE=60,贝 i j乙 BOD的 度 数 为（）【答 案】C【解 析】【解 答】解：ZAOE=60,：.Z BOE=1800-Z A OE=120,.席 的 度 数 是 120。，v c。是 座 上 的 三 等 分 点，.弧 C D与 弧 B C的 度 数 都 是 4 0度，ZBOD=80.故 答 案

9、为：C.【分 析】先 利 用 平 角 求 出/BOE=18()o-/AOE=120。，再 根 据 C、。是 糜 上 的 三 等 分 点，得 到 弧 CD与 弧 8 c 的 度 数 都 是 4 0度，即 可 得 到 答 案。【变 式 2-2 如 图，在。中，抚=能,乙 4。=150。，Z B O C=80,则 N A 0 3的 度 数 是()A.20 B.25 C.30 D.35【答 案】D【解 析】【解 答】.品=的,；.AC-阮=的 一 驼,:.AB=CD,:.Z.AOB=乙 COD.V ZAOD=150,ZBOC=80,AAOB=(1 5 0-80)=35,故 答 案 为：D.【分 析】先

10、 求 出 m=，利 用 等 弧 所 对 的 圆 心 角 相 等 可 得=NCO。，利 用 角 的 和 差 即 可 求 解.题 型 3:弧、弦.圆 心 角 求 线 段 国 围 3.如 图，在 0 0 中，若 您=前，且 A=3,求 CB的 长 度.【分 析】作 OFJ_CD,0 E 1 A B,由 在 同 圆 或 等 圆 中，如 果 圆 心 角、弦、弧 三 组 量 中，有 其 中 一 组 量 相 等，那 么 其 余 各 组 量 也 分 别 相 等 可 得 O E=O F,在 RtAOBE中，用 勾 股 定 理 可 求 0 E 的 长，则 OF=OE可 求，根 据 有 三 个 角 是 直 角 且

11、有 一 组 邻 边 相 等 的 四 边 形 是 正 方 形 可 得 OFPE是 正 方 形，所 以 可 得 P F=O F,用 勾 股 定 理 可 求 得 O P的 长。【变 式 3-2】如 图，MN是。的 直 径，点 A是 半 圆 上 一 个 三 等 分 点，点 8 是 前 的 中 点，点 是 点 B 关 于 的 对 称 点，0 0 的 半 径 为 1,则 AS的 长 等 于（）【解 题 思 路】连 接 OB、O B,根 据 圆 心 角、弧、弦 的 关 系 定 理 得 到/AOB=90,根 据 勾 股 定 理 计 算，得 到 答 案.【解 答 过 程】解：连 接。8、O B,点 A是 半 圆

12、 上 一 个 三 等 分 点，：.ZA O N=60a,.点 8 是 通 的 中 点，.NBON=30,.点 B,是 点 B关 于 M N的 对 称 点，：.Z B ON=30,A ZAOB=90,：.AB=V l2+l2=V2,BE,根 据 三 角 形 的 三 边 关 系 定 理 可 得 出 AB AE+BE,从 而 得 出 AB2CD2【变 式 4-1 如 图，在。O 中，蜴=2此，ADJ_OC于 点 D,比 较 大 小 AB 2 A D.（填 入“”或“”或【解 析】【解 答】解：如 图，过 点 0 作。F J_2B于 点 E,交 0 0于 点 F,AB=2ACZ.A0F=Z.A0CvA

13、 D lO C,AE 1 0E1-2即 AB=2AD故 答 案 为：=1【分 析】先 求 出 乙 4。尸=。，再 求 出 4 0=4E=y B,最 后 求 解 即 可。【变 式 4-2 如 图，死=眈，D、E 分 别 是 半 径 0 A 和 0 B 的 中 点，试 判 断 C D与 C E的 大 小 关 系，并 说 明 理 由.【答 案】解：CD=CE.理 由：连 接 0C,/.OD=1 OA,0E=1 OC,：OA=OB,.OD=OE,又,.AC=BC,.,.ZDOC=ZEOC,在 小 OCD和 OCE中，OD=OEIOC=OC/.CDOACEO(SAS),；.CD=CE.【解 析】【分 析

14、】首 先 连 接 o c,由 府=此，根 据 弧 与 圆 心 角 的 关 系，可 得 N C O D=N C O E,又 由 D、E 分 别 是 半 径 O A和 O B的 中 点，可 得 O D=O E,则 可 利 用 S A S,判 定 COD丝 a C O E,继 而 证 得 结 论.题 型 5:弧、弦、圆 心 角 与 证 明 问 题 间 庭.如 图，已 知。O 的 两 条 弦 AB、C D,且 A B=C D.求 证：AD=BC.=CD,再 证 明 求 解 即 可。脑 的 中 点.求 证：乙 4=z J 5.AOC BOC(SAS),ZA=ZB.【解 析】【分 析】先 求 出 阮=阮，

15、再 利 用 SAS证 明 三 角 形 全 等，最 后 求 解 即 可。【变 式 5-2 如 图，。0 的 弦 AB、C D的 延 长 线 相 交 于 点 E,且 E A=E C.求 证：AB=CD.A【答 案】证 明：如 图，连 接 AC,A：EA=EC,.,.Z A=Z C,由 圆 周 角 定 理，由 4 0=品，:.AD-呢=威 一 町,即 脑=CD,，AB=CD【解 析】【分 析】利 用 圆 周 角 定 理 可 得”=此，再 利 用 弧 的 运 算 可 得 羽=8,再 利 用 弧 和 弦 的 关 系 可 得 AB=CD。题 型 6:弧、弦.圆 心 角 综 合 问 题 雷 H如 图，MB,

16、M D 是。0 的 两 条 弦，点 A,C 分 别 在 MB,M D上，且 ZB=CD,M 是 死 的 中 点.M求 证：(1)MB=MD.(2)过。作 OE _L M B 于 点 E.当 OE=1,MD=4 时，求 O 0 的 半 径.【答 案】(1)证 明：T M 为 A C 的 中 点：.AM=CM,U：AB=CD,：.AB=CDA A M+AB=CW+CT3,m：.MB=MD(2)解：连 接 OM,Mu：0E 1 M B,MB=MD=4A M F=1M5=2，：0E=1根 据 勾 股 定 理 得：OM=yjME2 4-OE2=V5J 半 径 为 V5【解 析】【分 析】(1)由 中 点

17、 的 概 念 可 得 村=C M,根 据 弦、弧 的 关 系 可 得 AB=U D,进 而 推 出8M=0 M,据 此 证 明；(2)连 接 O M,由 垂 径 定 理 可 得 M E=*M B=2,利 用 勾 股 定 理 求 出 O M,据 此 可 得 半 径.【变 式 6-1 如 图，过。O 的 直 径 A B上 两 点 M,N,分 别 作 弦 CD,E F,若 CD EF,AC=BF.(1)弧 BC=MAF；(2)AM=BN.【答 案】(1)解：连 接 OC、OF,：AC=BF,.,.ZCOA=ZBOF,/.ZCOB=ZFOA.弧 BC=M AF(2)解：VZCOA=ZBOF,OC=OF

18、=OA=OBZA=ZOCA=ZBFC=ZB,.NBFC=NACF.VCD/EF,.,.ZAMC=ZANE.又.NBNF=/ANE./.Z A M C=ZB N F.在 AMC和 BNF中 NA=4B Z.AMC=Z.BNFAC=BF/.AM CABNF(AAS)，AM=BN.【解 析】【分 析】(1)连 接 OC、O F,利 用 圆 心 角、弧、弦 之 间 的 关 系 定 理，可 证 得/C O A=/B O F,从 而 可 证 得/C O B=/F O A,就 可 得 出 它 们 所 对 的 弧 相 等。(2)利 用 等 边 对 等 角 及 等 量 代 换，可 证 得 N B FC=N A

19、C F.再 利 用 平 行 线 的 性 质 及 等 量 代 换 证 明 N A M C=N B N F,然 后 利 用 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质，可 证 得 结 论。【变 式 6-2 如 图，在。O 中，弦 AD,B C相 交 于 点 E,连 接 O E,已 知 AD=BC,AD1CB.(1)求 证：AB=CD；(2)如 果。O 的 直 径 为 10,D E=1,求 A E的 长.【答 案】(1)证 明：如 图，；AD=BC,：.AD=BC,：.AD-晓=Bf：-，即 脑=C 0,/.AB=CD；(2)解：如 图，过。作 O F L A D于 点 F,作 O G L B C于

20、 点 G,连 接 OA、OC.则 AF=FD,BG=CG.VAD=BC,，AF=CG.在 RtA A O F与 RtA C O G中，丝=空 ICM=O CARtA AOF丝 RtA COG(H L),.*.OF=OG,二 四 边 形 O F E G是 正 方 形，OF=EF.设 O F=E F=x,贝！|AF=FD=x+l,在 直 角 O A F中.由 勾 股 定 理 得 到：x2+(x+1)2=5 2,解 得 x=5.贝 A F=3+1=4,即 AE=AF+3=7.【解 析】【分 析】(1)根 据 弧、弦 的 关 系 可 得 加=此，进 而 推 出 府=6,据 此 证 明；(2)过 O 作

21、 OF_LAD 于 点 F,作 OG_LBC 于 点 G,连 接 O A、O C,则 AF=FD,B G=C G,利 用 HL证 明 RlA AO FRtA C O G,得 到 O F=O G,推 出 四 边 形 OFEG是 正 方 形，得 至！O F=EF,设 OF=EF=x,则 A F=x+l,在 R S O A F中，由 勾 股 定 理 可 得 x,进 而 得 到 AF、A E的 值.日 练 可 与 提 升 弧、弦、圆 心 角 练 习 一、单 选 题 1.已 知 A B、C D是 两 个 不 同 圆 的 弦，如 A B=C D,那 么 脑 与 的 关 系 是()A.AB=6 B.AB C

22、DC.AB Ct)D.不 能 确 定【答 案】D【解 析】【解 答】解：在 同 圆 和 等 圆 中 相 等 的 弦 所 对 的 弧 才 会 相 等，要 注 意 同 圆 和 等 圆 的 条 件，本 题 是 两 个 不 同 的 圆，所 以 无 法 判 断 两 弦 所 对 的 弧 的 大 小，故 答 案 为：D【分 析】根 据 在 同 圆 或 等 圆 中，如 果 圆 心 角、弦、弧 三 组 量 中，有 其 中 一 组 量 相 等，那 么 其 余 各 组 量 也 分 别 相 等 可 知，题 目 中 缺 少 了 条 件“在 同 圆 或 等 圆 中 2.如 图，A,B,C,D 是。0 上 的 四 个 点，

23、A D B C.那 么 丽 与 丽 的 数 量 关 系 是()A.AB=CDC.AB CDD.无 法 确 定【答 案】A【解 析】【解 答】证 明：连 接 AC,VAD/BC,AZDAC=ZACB,A A-A B=CD-故 答 案 为：A.【分 析】根 据 两 直 线 平 行，内 错 角 相 等 可 得/D A C=N A C B,再 根 据 在 同 圆 或 等 圆 中，相 等 的 圆 周 角 所 对 的 弧 相 等 进 行 判 断。3.如 图 所 示，在。0 中，弧 4 8=弧 AC,NA=30。，贝 I NB=A.150 B.75 C.60 D.15【答 案】B【解 析】【分 析】.在。O

24、 中，弧 AB=MAC,AAB-ACo.,.ZB=ZC又 NA=30。，.根 据 三 角 形 内 角 和 定 理，得 乙 B=180-30=三 故 选 Bo4.下 列 说 法 正 确 的 个 数 有（）一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 为/+法+c=0 平 分 弦 的 直 径 垂 直 于 弦，并 且 平 分 弦 所 对 的 两 条 弧.同 弦 或 等 弦 所 对 的 圆 周 角 相 等 方 程/=x 的 解 是 x=l.A.0 B.1 C.2 D.3【答 案】A【解 析】【解 答】解：一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 为“+云+。=（）（启 0）,所 以 不 符 合 题 意

25、；平 分 弦（非 直 径）的 直 径 垂 直 于 弦，并 且 平 分 弦 所 对 的 两 条 弧，所 以 不 符 合 题 意；同 弦 或 等 弦 所 对 的 圆 周 角 相 等 或 互 补，所 以 不 符 合 题 意；方 程/=的 解 是 x=l或 x=0,所 以 不 符 合 题 意；故 答 案 为：A.【分 析】根 据 有 关 性 质 与 定 理，分 别 分 析 各 题 设 是 否 能 推 出 结 论，从 而 利 用 排 除 法 得 出 答 案.5.如 图，在。O 中，AB=2C D 则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.AB2CD B.AB=2CDC.ABAB,.2 C D A B.故

26、 选 C.【分 析】首 先 取 禽 的 中 点 E,连 接 AE,B E,由 在 中，禽=2）,可 证 得 注=鱼=），即 可 得 AE=BE=CD,然 后 由 三 角 形 的 三 边 关 系，求 得 答 案.6.如 图，O O 是 A A SC的 外 接 圆，Z O C B=40,则 N A的 度 数 为（）A.60 B.50 C.40 D.30【答 案】B【解 析】【解 答】解：OB=OC.,.ZOBC=ZOCB=40，Z BOC=180-40-40=100.,.ZA=1002=50故 答 案 为：B.【分 析】根 据 圆 的 半 径 相 等，由 三 角 形 的 内 角 和 定 理，即 可

27、 得 到/O 的 度 数，根 据 同 弧 所 对 的 圆 周 角 等 于 圆 心 角 的 一 半，即 可 得 到 答 案。二、填 空 题 7.如 图，A B是。O 的 直 径，NAOE=78。，点 C、D 是 弧 B E的 三 等 分 点，则/C O E=.【答 案】68【解 析】【解 答】：/4O E=78。，.劣 弧 A E 的 度 数 为 78。.A8是。的 直 径，,劣 弧 B E 的 度 数 为 180。-7 8。=102。.点 C、。是 弧 6E 的 三 等 分 点，ZCOE=|x 102=68.故 答 案 为:68.【分 析】根 据/A O E的 度 数 求 出 劣 弧 A E

28、的 度 数，得 到 劣 弧 处 的 度 数，根 据 圆 心 角、弧、弦 的 关 系 定 理 解 答 即 可.8.如 图，在。O 中，若 弧 A B=B C=C D,则 A C与 2CD的 大 小 关 系 是：AC 2 C D.（填 或=）ABC【答 案】AC,即 AC2CD.故 答 案 为：.【分 析】连 接 AB、B C,根 据 题 意 知：ABBCCD,乂 由 三 角 形 三 边 得 到 A B+BOAC得 到：AC2CD.9.将 一 个 圆 分 成 四 个 扇 形，它 们 的 圆 心 角 的 度 数 比 为 2：4：5：7,则 最 大 扇 形 的 圆 心 角 是【答 案】140【解 析】

29、【解 答】解：设 四 个 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 是 2x,4x,5x,7x,得 出 方 程 2x+4x+5x+7x=360,解 得:x=20,故 7x20=140.故 答 案 为：140。【分 析】将 一 个 圆 分 成 四 个 扇 形，可 知 道 四 个 圆 心 角 的 度 数 之 和 为 360。，根 据 它 们 的 圆 心 角 的 度 数 比为 2：4：5：7,设 未 知 数 建 立 方 程，求 解 即 可 知 道 最 大 圆 心 角 的 度 数。10.如 图，C 是 以 A B为 直 径 的 半 圆 O 上 一 点，连 结 AC,B C,分 别 以 AC,B C为 底 边

30、 向 外 作 高 为 AC,B C长 的 等 腰 A A C M,等 腰 A B C N,小 企 的 中 点 分 别 是 P，Q.若 MP+NQ=12,AC+BC=15,则 AB 的 长 是.【答 案】10.5【解 析】【解 答】解：连 接 OP,OQ,：AC，%的 中 点 分 别 是 P，Q，A O PIA C,OQ1BC,.,.H、I 是 AC、B D的 中 点，.*.OH+OI=1(A C+B C)等，VMH+NI=AC+BC=15,MP+NQ=12,/.PH+QI=15-12=3,Z.AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI考+3 号,故 答 案 为：10.5.【分 析】连 接 OP,

31、O Q,根 据 右，企 的 中 点 分 别 是 P,Q 得 到 OPLAC,O Q 1 B C,从 而 得 到 H、I是 AC、B D的 中 点，利 用 中 位 线 定 理 得 到 OH+O弓（AC+BC）考 和 P H+Q I,从 而 利 用 AB=OP+OQ=OH+OI+PH+Q1 求 解.三 解 答 题 11.如 图，AD、B C是。O 的 两 条 弦，且 A B=C D,求 证：AD=BC.BD.【答 案】证 明：AB,C D是。O 的 两 条 弦，且 AB=CD,:.AB=m：.AD=,.AD=BC.【解 析】【分 析】根 据 同 圆 中 等 弦 所 对 的 优 弧 与 劣 弧 分

32、别 相 等 得 演=由 然 后 根 据 弧 的 和 差 关 系 得 出 的=品，最 后 再 根 据 等 弧 所 对 的 弦 相 等，则 可 证 得 结 论.1 2.已 知：如 图，4 A B C内 接 于。O,A D为。O 的 弦，Z1=Z 2,D EL A B于 E,DFJ_AC于 F.求 ilE：BE=CF.【答 案】证 明：连 接 DB、DF,N A 的 平 分 线 A D交 圆 于 D,D EL A B于 E,DFJ_AC于 F,，DE=DF,ZD B E=Z D FC=90,ZBA D=ZCA D,DB=DC,J 在 RtA BED 和 RtA CFD 中，=IDB=DC.,.RtA

33、 BEDRtA CFD(HL),B E=C F.【解 析】【分 析】连 接 DB、D F,然 后 根 据 角 平 分 线 的 性 质 可 以 得 到 D E和 D F的 关 系，弦 D B和 DC的 关 系，再 根 据 三 角 形 全 等 的 知 识 可 以 得 到 B E和 C F的 关 系.13.如 图，ZAOB=90,C、D 是 盒 的 三 等 分 点，A B分 别 交 OC、O D于 点 E、F,求 证：AE=CD.【答 案】证 明：连 接 AC,VZAOB=90,C、D 是 禽 的 三 等 分 点,AZAOC=ZCOD=30,AAC=CD,X OA=OC,AZACE=75O,VZAO

34、B=9(),OA=OB,AZOAB=45,Z AEC=Z AOC+Z OAB=75,/.ZACE=ZAEC,JA E=AC,AAE=CD.【解 析】【分 析】连 接 A C,根 据 题 意 证 明 A E=A C,由 AC=CD得 到 答 案.14.如 图，在。O 中，弦 A C与 弦 B D交 于 点 P,AC=BD.a(1)求 证 AP=BP；(2)连 接 A B,若 AB=8,BP=5,D P=3,求。O 的 半 径.【答 案】（1）解：如 图，连 接 AB,：.AC-CD=Bt)-CD,即 的=玩：，Z-ABD=.BAC,AP=BP；(2)解：连 接 PO,并 延 长 交 A B 于

35、点 E,连 接。A,。8,过。作 OF L A C 于 点 F,AP=BP,OA=OB,P E 是 A B 的 垂 直 平 分 线,PE 1 AB,AE=-AB=4，-A B=8,BP=5,DP=3 AC=BD，:.AC=BD=AB=8，AP=5,.AF=4=AE.PF=AP-A F=1,PE=y/AP2-AE2=3,在 R tA O E 和 R tA O F 中，=吏，ICM=OA Rt AOE=/?tA A O F(H L),OE=OF,设 OE=OF=%(%0),则 OP PE-O E=3-x,在 Rt POF 中，。片+PF2=OP2,即/+f=(3 一 x)2,解 得=1，在 Rt

36、AOE 中，。4=y/AE2+OE2=J42+(各 2=,即。的 半 径 为 生 要.【解 析】【分 析】(1)连 接 A B,根 据 弧、弦 的 关 系 可 得 融=而，推 出 筋=成 根 据 等 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 可 得 N A B D=N B A C,据 此 证 明：(2)连 接 P O,并 延 长 交 A B于 点 E,连 接 O A、O B,过 O 作 O F L A C于 点 F,易 得 PE为 A B的 垂 直 平 分 线，则 A E=4,易 得 AC=BD=AB=8,AP=5,AF=AE=4,P F=1,利 用 勾 股 定 理 求 出 P E,利 用 H L证

37、 明 A O E Z/X A O F,得 到 O E=O F,设 O E=O F=x,则 O P=3-x,在 Rlz POF中，由 勾 股 定 理 可 得 X,然 后 在 R Q A O E中，利 用 勾 股 定 理 就 可 求 出 O A,据 此 可 得。O 的 半 径.1 5.如 图，。是 四 边 形 A B C D的 外 接 圆，A D 为。O 的 直 径.连 结 B D,若 n=而(1)求 证：Z 1=Z 2(2)当 AD=4V，BC=4 时，求 ABD 的 面 积.【答 案】(I)证 明：Nc=8DAB+BC=CD+BC-AB=CD.Z1=Z 2（2）解：过 O 点 作 OEJ_BC于 点 E；.BE=CE=BC=2：A D为。O 的 直 径.0 B=AD=2V2-0E=yJOB2-B E2=J(2 V 2)2-22=2,S AABD=3 A。OE=2 x 42 x 2=4/2【解 析】【分 析】（1）根 据 题 意 得 出 京=金，再 根 据 等 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等，即 可 得 出 N1=N 2；（2）过 0 点 作 OE_LBC于 点 E,根 据 垂 径 定 理 得 出 B E=C E=2,根 据 勾 股 定 理 求 出 0 E 的 长，再 根 据 三 角 形 面 积 公 式 进 行 计 算，即 可 得 出 A B D的 面 积.