华理高数作业答案.pdf-得力文库

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1、教学内容：1 实数集区间 1.2函数的概念 1.3初等函数1.选择题:*(1)/(x)=(cos3x)2在其定义域(-8,+8)上是)(A)最小正周期为3郝)周期函数；(8)最小正周期为工的周期函数;3(C)最小正周期为2号7r的周期函数；(。)非周期函数.答(B)*(2)设/(x)=4 4(f ，+00)，财(x)()(A)在(-00,+8)单调减；(8)在(-00,+8)单调增；(C)在(-8,0)内单调增，而在(0,+8)内单调减；(。)在(-8,0)内单调减，而在(0,+8)内单调增.答(8)*(3)下列函数中为非偶函数的是(A)y=sin x

2、-(C)y=x 3x+4+3x+4；(B)y-arccosx；(D)y=,lg(x+V1+x).VI+x2答(B )*2.设一球的半径为r,作外切于球的圆锥,试将圆锥体积，表示为高力的函数，并指出其定义域。A D 1-因 A4OO A48C=解：如图，AC R,故/?=rh7(/1-r)2-r2体积V=r2/?33(/z-r)2-r2(2r h+oo)*3.设对一切不等于及-1 的实数%恒有2/(X)+X2/(-)Xx2+2 xx+1/(x)+2 x2/(_L)=正子(1)证明 X x+1(2)求解：（1）以工代入式2/(X)+X2/(-)Xx2+2xR +1 中的X,可得1e r/、1 ，

3、/、2%+12 +R(X)=E，N2 x 7(-)+/U)X2x2+xx+1消去得:（2）在上式与所给之式中 x3/(x)=2%2+4%-2x2 一1 3xx+1X+1就可以得到“上占*4.设函数1 ,X-,x -1一 x,1X 4-Xxl求 Nx）=/（x）g（x）的表达式，并求尸（o）及尸（2）.解：x-l 时,F(x)=g(x)-/(%)=(-x)-x2+1/(x)=1时，F(x)=/(x)-g(x)=x-(一x)=x2X 1 时,H x)=/(x).g(x)=x.x+lX=+1F(x)=-%2+1,2一厂，X2+1,X 1,-1 x 1,.尸(0)=0 F=2 2+1 =

4、5*5.设x 0时，/(.)=2+x-l(1)若 x)是(一8+00)上的奇函数，试写出x。时，/(x)的表达式;若/(x)是(-8,+8)上的偶函数，试写出X0时，“X)的表达式.解：x (),/(-x)=2 +(-x)-1,./x)是奇函数，./(x)=-/(-x)=-+x+l(x0)(2)x 0,/(-x)=2 +(-x)-1,/(x)是偶函数，(T)=/(X),(X)=(7 T (X 0)_/(尤)+/(_x)*6.设函数在 I，/上有定义，试证明队-2 是一口上的偶函数,x)=而/(X)/(一X)2 是-/，/上的奇函数:Q)试证明在区间一/，”上有定义的函数/(X

5、),总能分解为一个奇函数与一个偶函数的和；G)试将函数，(x)=朗工表示为一个奇函数与一个偶函数的和.解：(1)对于)/(x)+/(x)2显然产上正当3所以9(x)是一/，”上的偶函数。少(x)=而对于/(X)-/(-X)2显然有，,所以“（X）是一/，/上的奇函数./、心=/(x)+7)+/(X)-/(-X)因为 2 2 ,而由知(、/(%)+/(-%),、f(x)-f(-x)e(x)=c -材(X)=C 一-r J，12 和 2 分别为I/，/上的偶函数和奇函数,这样就证明了所需证之结论.g=/(x)=+-y jl +X +y jl-X V1 +X-M-X=-1-22*7求函数了 =

6、而=1(x4-1)的反函数，并指出反函数的定义域。解.当xW-l 时，O W y +o o,由 y =y jx2-1 得 x =-y y2+1故所求的反函数为p(x)=-V%2+1 (0 x 0)/(x)=l解：=2 时,/匕(尤)=1 +笠 1 +扑1 +：+以 =3时 ,/(x)=l+：+N 1 乙乙)1 1 XH-1 r r2 22 23力(幻=/(x)=l +；+/+*+2 一击 +成(、/(%)=,7 1 7=2时 ,X了)=X =3 时，1 1 +3 尤 2 ,/“（x）=/X,用数学归纳法可得 7 1+X0,1 W x 0；W U)=卜，OX1；F(x)=/(I

7、-2x),*11.2 x,1 x 2.求F(x)的表达式和定义域；(2)画出尸(x)的图形解：1 +2x,x W 0；2尸(X)=11-2X,0XWL20-xr-x)=-cosl7x解：k 2J I 2 J*13.若/(x)，g(x)，Mx)都是单调增加函数，且对一切x都有/(x)Wg(x)W/?(x),试证明 g g(x)()Z A/-0 Zr6/Az+3A/-Af/hm-=hm(6/+3Ar-1)=6r-1A n A*一.八 /*3.求曲线y=2x-在点P=（l，2）处的切线方程.解：曲线在点P处切线的斜率为%-1所以切线方程为y=4(x-1)+2*4.化学反应速率通常是

8、以单位时间内反应物浓度的减少或生成物浓度的增加来表征。设有一化学反应，反应物浓度C与反应开始后的时间t 之间有如下关系：C =/（）.（1）试表出时刻。到时刻，（f*7）这段时间内的平均反应速率；（2）表出在时刻。的瞬间化学反应速率。“-九）解：一。；/、v0=l i m v =）（2）f o f o t-tQ_ 1*5.已知沿直线运动物体的运动方程为：，求物体在时刻。=2的（瞬时）速度。解:t+A/t-A/s _ t（t +，）Z k t_16+，）,.1 1V =l i m =l i m 7-r =r4 To t 4-0 t（t+A z）f1 1物体在时刻。=2的（瞬时）速度*6.在作

9、等速旋转时，角速度是旋转角度与所花时间之比，已知非匀速旋转时，旋转角。与时间t有如下关系：e =e（f）。试导出非匀速旋转时的（瞬时）角速度0 ）表达式.8 _ 8（/+4）_0（。解：6 =0（t+A r）-6,（z）；X k t ,/、r A。.0（t+A f）/.G（E）=l i m =l i m -=0（r）A/-0 Z A/-0 Zq*7.在时间段流经导线某个截面的电量为则称加为时间段4上的平均电流强度,记为7,现已知时间段1，内流经导线这个截面的电量为式,)，试求在时刻,导线于该截面上的电流强度M _ q(f+4)-q(f)解：的二派+加

10、 )，一 A Z ,.b q.q(t+N)q(t)、I=hm I=hm =lim-=q(t)A/-0 A/-0 加 A/-0&第 2 章(之 2)第 3 次作业教学内容：2.2.1函数极限的定义lim cos x=cos xQ*1.试证：f。.证明：V(),取S=/Vx满足条件。卜一。1 ,有I|cosx-cosx.x+xn.x-x(-.I I()|=2sin-sin-2sin-x-x)0,限定 l x +3l1,则有-4 x -2,-5 x-l-3,13X_2|=|X+3|K3!x-1|x-l|3所以只要取8=m i n(3 e,1),当卜+3 6时,就有1+3 x c-2 =x-1x+

11、3 卜+3X-130,限定 l x 4 l 4,则有 0 工 8,即 0 J7c 次若使灰斗黑,当 kT 5时，有I V x -2|4写出胆/*3l i m 2X=0的定义，并用定义证明I-解:(1)V f 0,3 X 0,x f(x)-A 0,若限制 1,则可令X|2J-0|=2x 0 x 0)o 当x ()X T()+x2)=1.讨论下列函数在所示点处的左右极限：(1)f(x)=x-x 在 X取整数值的点;解：X。为整数,l i m /(x)=l i m (x -x )x-.q+A-.V0+l i m 2*=0即 x+c oX=处的左、右极限.(2)符号函数 s g n x 在

12、点x=0 处.=l i m 龙一 l i m x _ _X-A0+XTX()+一人0 一人0 =U,l i m /(x)=l i m (x -x )X-XQ-X-XO-=l i m x-l i m x _(0与 -x-.v0-4 0 A0 1/=1 o加 l i m s gn x=l i m 1 =1 )J C-0+x.0+,l i m s gn x=l i m(-1)=-1X TO-X TO-Z*6.从极限的定义出发，证明：l i m l nx =l nx0（x0 0）证明：只需证明V久，m 6 0,0 -%|I l nx Tn/l 久即可。I l nx-l nx0|=I n e

13、由于：X。,-.X X cen e e e e e即：,xo,%（e%-1）x-Xo Xo（e4-1）,取 b=m i n|x（）e F _/|,卜0 /|,则当0卜一曲|6时，有|l nx -l nx（）|0）即：N X。.*7.设如A,若存在与的某个去心邻域“（Xo，b）,使当xe*（Xo，b）时，成立/（幻 ,试问是否必有A 0成立，为什么？解:不一定。如/（X）=X7X=（L点.第2章（之3）教学内容：2 2 2极限的性质第4次作业2.2.3无穷小与无穷大1.填充题:l i m f(x)=+oo*(1)用M-X语言写出极限+8，的定义为：V M 0,BX 0,V x M。l i m

14、 f(x)=-oo用M-3语言写出极限i刈+的定义为：V M 0,BS 0,Vx e(x0,x0+)f(x)0,3X 0,V xX n f(x)-A l时，/(x)=Li的极限()*(2)x-1(A)等于2;(8)等于0;(C)为8；(。)不存在但不是无穷大.答：(D)l i m t an x -ar c t an=()*(3)1 Xjr jr(4)0;(8)不存在；(C l；(0-2 2答：A用无穷大定义证明：l i m 丁=+oo.*3.v x-l任给M0,令7LM解：J x-1解得：0 x 11MT取6=则当0九一1/时，/(x)+g(x)也为无穷大.l i m g(x)=A,证明：因

15、为与所以由局部有界性定理可知3 0,3M,0,当0|0上百时,有|g(x)|0,3J2 0,当0|x X。卜当时，有|/(x)|M+M取S =m i n(d，&),当0|x _ x()|/(x)|-|g(x)|(M+%)%=y所以 X-Xo时，/(x)+g(x)是无穷大第2章(之4)第5次作业教学内容：2 2 4 极限的运算法则A-DI.选择题*(1)卜一列叙述不正确的是)A.无穷大量的倒数是无穷小量；B.无穷小量的倒数是无穷大量；C.无穷小量与有界量的乘积是无穷小量；D.无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量。答(6)(2)下列叙述不正确的是A.无穷小量与无穷大量的商为无穷小量；B.无

16、穷小量与有界量的积是无穷小量；C.无穷大量与有界量的积是无穷大量；D.无穷大量与无穷大量的积是无穷大量。答(C)当Xf/时，/*)一4是无穷小是 lim/(x)=A 的：()*(3)Xfo(A)充分但非必要条件(8)必要但非充分条件(C)充分必要条件(。)既非充分条件，亦非必要条件答：c设 f(x)=*(4)J 1 +bx-1xa当X HO当x=0且 lim/(x)=3,则()(A)。=3,。=3；(。)。=3,。可取任意实数;(B)b 6,a -3；(D)b =6,。可取任意实数。答：D2.求下列极限:*lXiTm13x+l3 x-l.*limT x-3.(3)lim(2x _ 1)x-*

17、21cos-2x-l*(4)小lim*(5)V1+x V1+x2-i.（/+2）2-（x 2 -2-*型（x +l）2+（x _ l）2 （是正整数）l i m（3x +1）x-l lim解：（I L l i m（3x -1）1-r2-9 ,、理=皿+3）=6v l i m（2 x-l）=0 T1c os-2 x 1有界,1c os-2 1一 1/.l i m（2 x -1）x-20l i m-Z2=l i m（4）i 4 j x +5-3 x-4x +5-9x +5+3）l i m 2）（/x +5+3）1 4 （&-2）（五 +2）7 TX+2 4 2原式.zVT+T-i Vi+x 1v

18、 1 4 1,-1J l +X-1.x（J l +x +l）1-l i m -/-Vl +x2+1 =iQY2n,、原式=l i m-；-（6）x f s 2（x +1）=4 l i m.-XTO O 11 H-x2 n=4若l i m g(x)=0,且在x0的某去心邻域内g(x)w 0,l i m*3.-X T X O*则l i m/)必等于0,为什么?I M)解:./(x)变小)=变.Q g(x)=A 0 =0.设=3,试确定用人之值*4.5 x-1n-i x3+ax2+x+b c因 lim-=3解：一厂一1故,、x3+ax2+x+b a+h+2 八噌-1).=即 b =-a-2则l

19、imX-1x3+ax2+x+bx2-r7 1 I噌(R+a+4-l-)=-+-=2+a=3x2-l 2 2 a=1,b =-3设/(x)在x=x0处可导，求极限lim史迂色幽*5.x-%原式=lim(Xo)一(x)。(为一/(X)f。X-XQ x-x0=-lim x-.+lim/(x)f o X-XQ 0=/U o)-o/，Uo)第 2 章(之 5)第 6 次作业教学内容：2 2 4极限的运算法则E 2.2.5无穷小的比较*1.试求下列极限:lim11(1)1 +2x1X1.3x+l-hm(-尸(2)*T 3+1(3)lim(l+3x)sinX TO111解:li m-(1)li m(

20、l+2 x)i 2/.v-0(2)3+x 23 x +1 ”.(2 x 2)2(X-D 3+X；-=h m 1 d-=li me3+1=e23 +X 3 +X)XT】(3)li m(l+3 x)s i n x 6i o =e*2.试求/W=cs x的导数。f (x)=li m解：M+Ax)-co s x-=li mAY-一 2 s i n(x+AJCs i n 生J 2=li m-s i n|x +j-Ax-02.Axs i n_ _ _ _ 2 _AxT.Arr.(SmT=li m-s i n x +li m-Ar-o I 2 )Ax2 =-s i n x,/(x)=(co s x)=-s

21、i n x研究极限li m,2-2 c o s a x（a 0）的存在性*3。1 X原式=li m-解：1 X2 s i n 5 2 s i nli m-=li m-A-0+X X TO+Xc2si na-”2 s i n 竺axli m-=li m-=-a0 X x 0 X由于左、右极限不相等，所以原极限不存在4.选择题设a(九)=J3(x)=3-3 V x,则当x 1 时()*(1)1+x(A)a(x)与P(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B)a(x)与夕(x)是等价无穷小；(C)a(x)是比以x)高阶的无穷小；(D)/(x)是比a(x)高阶的无穷小.答：A设/(x)为可导函数且满足

22、li m/(,一 /(=-1,则曲线y =/(x)在点*(2)1 0 2 x(a,/(a)处的切线斜率为()(4)2 (B)-l(C)l(D)-2.mf Sf S.=ll im/(ZxW()=l/=7分析：1 0 2 x 21。-x 2 ,./a)=-2答(D)*设/(x)=(2 +k|)s i n x,则/(x)在*=0 处()(A)/(。)=2 (B)/()=(C)/，()=1 (D)不可导(li m-T=所协(2 +也2 x-0 Y X-0 Y A A 7答*5.适当选取A、女的值，使下式成立：Jl+t an x-Jl+s i n x A/(当./l-COSX、.s i n

23、x(-)v lr.-+-t-a-n-x-vnl.-+-s;i-n-x =/t an x-s i n x C Os r1 .=/卬替=解：V1 +t an x +Vl+s i n x J1 +t an x +Jl+s i n xsinx-2sin2 2(V1 +tan%+Jl+sinx)cosx2 x x 7 时，s i n x x,上式等价于 1 +12_ X3二,A=,k=346.当 xf ()时，试确定下列各无穷小对x的阶数.*/+l o o。/；x(x+1)*(2)1 +Vx.解:(1)v limxrOx3+10000 x2=10000阶数为2。x+1lim-产J。1 +Vx.X(X4-

24、1)v lim-尸(2)s(l+F)x=1,阶数为1.，x w 0*7.设/(X)=0),试确定a,匕之值E 以+r s as%)2因 lim.=-=%解.D J/+X2(Z?-COSX)则yla2+x2(h 一 cos x)八lim-；-=21 0 x2 J。？+/(0-COSX)贝h m x-=a(b-l)=01。x2得。=1,9代回原式lim/*1 J/+x2(1-cosx)2a故知a=4,匕=1为所求f_ 9(x)tan5x*9.设/*x,其中。(X)在x=0处可导，且。(0)=。，夕 (0)=1,试证明/(%)5x,(x-0)证明：所犯=lim皿.遮匕幽=5 d(0)=5

25、X TO x x-0 厂 x-0%/(x)与5x为同阶无穷小(x-OHJ)设/(x)=e(x),nx,其中/(X)在x=0处可导，且0(0)=0,求lim/(x).*10,(l-e2x)x i lim/(x)=lim 9(x)_/(0).:0).(-)=一!夕(0)解：1。1。X l-e2x 2 2.*11.若当x X (某个定数)时，恒有/(x”g(x b M x),且已知lim/(x)=lim/?(%)=AXf+X|时，A-s0；当 x X?时，有/?（X）X 时，同时成立A-f M gM hM A +St 即|g（x）-A|）处连续。分析:函数x）=4在任一点、。（）处连续./

26、(x)=Ws i n7*2.讨论函数 1 0 x w 0 x =0 在 x =0 点的连续性.解:li m/(x)=li m|x|s i n =0=/(0)函数/(x)在点x =0 连续.*3.s i n x+e _6/A-1 、/。/(X)=,X TX,，在 x =0 处连续，则 a =a,当 x =0答：-14.试利用极限四则运算的性质，重要极限，等价无穷小，基本初等函数连续性及变量变换与极限过程改写等各种巴知结果，求下列极限：.t a n(x -1)li m 1-KT1 IX *X解:vt a n(x2-1)li m-1xxli m ；-z-=1一 -l)-c o s(x -1)*(2

27、)li mX TOt a n x s i n x(a rc s i n x)3.t a n x -s i n x t a n x-(l-c o s x)li m-=li m-解 A-O(a rc s i n e)(a rc s i n x)l-cosx-,t a n x x,a rc s i n x x1 0 时，有 2X.1=li m Y-=-所以原式 A-2.cosx _计算极限 li m*%解：因当X f0 eT O SA-e=e(ecosv-1)*e 2-JQ-e(cosx-l)2故原式=吧+=4计算极限 l im(es,nx-i)4-7i7P-4)I。(1-cosx)ln(

28、l+x)解：因当x f0时1 -CO SX 2 2 、2,ln(l+x-)Y,e$m l sinx x目 _p.X v 1 4-X原式=hm-x 0 I 2 2x-X2=2.x-1|,|x|1设/(x)=内,试讨论/(x)的连续性.cos,|x|I 0 A 1 07 7 Ylim f(x)=lim cos=0,.t-i+o x-i+o 2/(1 0)w 1 +0)故x)在x=1 处不连续在x=l处，/(I+0)=lim(工一 1)=0,x-l+0T T Y/(1-0)=lim cos=0,X T1-0 27 1/(l)=cos-=0,/(1-0)=/(1)=/(I+0),故/Xx)在x=l

29、处连续第2章（之7）第8次作业教学内容：2.3.4函数的间断点及其分类 2.3.5闭区间上连续函数的性质 2.4.1函数可导与连续的关系 2.4.2函数的和差积商的求导法则X2 _ 1函数y =Y的间断点为X=l、2,则此函数间断点的类型为（）*1.x 3 x +2A.x =1,2都是第一类；B.x =1,2都是第二类；C x =l是第一类，x =2是第二类；O.x =l是第二类，x =2是第一类.答：C*2.设一1|,则X=l是/（X）的间断点；x =是/（X）的间断点；X=1是幻的间断点.答案：1、无穷；2、可去；3

30、、跳跃.*3.对怎样的a值，点x =a是函数 x-a的可去间断点？X1-4li m-=A解：函数在可去间断点处犬=。极限必存在。由极限基本定理，设 1 x-a,则必有Y 一4 =A（x-a）+a（x）（%-期。（“）是x 时的无穷小。而四,工 4）一 4,另一方面，J /八。所以由-_4 =0得=2。经验证，当l im a=2时，-x-a存在，故a =2为所求.指出/（x）=1的间断点,并判定其类型.*4.|x-s i n x解.x=0,x=,x=乃,2万，肛，都是/*(%)的间断点在=/1万(。0,z)处,sin/?TT=0,lim/(x)=ooX “刑 ,故x=乃,

31、2期,3乃,是f(x)的第二类间断点.在x=0处，/(0)无意义，lim/(x)=limj3 o io -1|sin x.=0是/。)的可去间断点；_ ii在x=l处/(l-0)=,/(l+0)=-n、-sin 1 sinl j (1-0)j (1+0).x=i是y(x)的跳跃间断点*5、指出下面函数的无穷间断点：xsinx.解：依题意，x=6及x=k兀(火=1,2,)是/(x)的间断点.而x2/、.1-cosx 2 1hmj(x)=lim-=h m =D 一。xsinx 一ox x 2.故x=不是无穷间断点.1-COSX.1 -cos(2k7T-X).(2 -x)

32、2 八、lim-=hm-=lim-=0(k w 0)又 x-2丘 xsinx 一xsin(2人万一x)7 -xQk兀 -x),lim 1-COS-=8(k=0,+1,2)而 x-2立+尸 xsinx,函数/(X)的无穷间断点为X =乃，3肛5乃,.*6.设好/在0，1上连续，且o 4/(x b i。试证：存在440,1使成立.证：构造函数，(x)=/(x)X,则F(x)在上连续。且F()=/()2,E(l)=/(1)T 4。则由闭区间上连续函数的零值定理知，必存在一个Jc 0,1使F =0,即/6)=4成立.证毕.*7.证明方程x =a s i n x +b 1，匕）至少有一个不超过。的

33、正数根.证：令尸（x）=x-a s i n x-。，则尸（6必在。，。+”上连续。且有F（0）=-b 0,b（a +b）=a l s i n（a+。）卜0,故由闭区间上连续函数的零值定理知必存在一个Je（0,a +们使得/体）=0,即J =a s i n J +b.证毕*8.如果AH在区间（。力）内连续，占 “2 尤”是该区间内任意“个点，试证明在f（A=/（再）+/（2）+-一 +/（“）（。力）内至少存在一点4,使得八 n证：因为函数/（X）在卜|,（=（凡。）上连续。由闭区间上连续函数最值定理有m -min /（x）,M=ma x /（x）X XXn X|xx（）+小）+/（X.）

34、WM所以，再由闭区间上连续函数的介值定理，知命题得证。证毕.*9,证明方程/-3 x =1至少有一个根介于1和2之间.解：设/（x）=x5-3 x-l ；/（x）在 I,2上连续，且 1）=3 0,由零值定理知至少存在一点J e（l，2）,使/）=（）即方程r-3 x =1至少有一个根介于1和2之间.*1 0.若/（X）在（一8,+）上连续，且吧/（“）一“，试证明/（x）在（一0 ，+8）上有界.证明：依题意，取 =1，弥0,当k l X时，有 A|1,于是|/（x）|y（x）-A|+|A|O,Vxcx,x ,有取用=max(M，l

36、此定义域上恒有/(X +1)=2/(X),且在0,1上有了(x)=x(l-x).讨论/(x)在x=0处的可导性.解：T 4 x 0 X X T。-X 2/(x)在x =0处不可导.*1 4.试确定式中“力之值，使/*)处处可导:，/、修，入，/(X)=0.解：:/(X)在0点处可微，所以必连续。f(0-0)=l im/(x)=l im ex=1X T(T x-(r ,/(0+0)=l im f(x)=l im(o x +O)=bX T0+A-*0+,b =/(0)=l im d-_ _-=l im-ex-I二1X T。-X 1-X力(0)=li m =ax-0+Xa =1*1耳设 /(x)

37、=|x-a|g(x)，其中 g(x)在 x =处连续且 g(a)=不不不上。.I I讨论/(x)在x =。处的连续性与可导性.l im/(x)=l im|x -|g(x)=0=/(a)解：X-a KT。/(x)在x =a处连续l im x)7 =li m S g(x)=0 x-a X-a l a x-a/(x)在x =a处可导.*1 6.设“(x)#(x),w(x)在点x处可导.试证明:w(x)v(x)w(x)/=wx)v(x)w(x)+w(x)vz(x)w(x)+w(x)v(x)wr(x)证明.左式二 3丫）卬1，=（W V）ZW+（wv）wr=（ufvw+UVfW）+VW，二右式

38、第2章（之8）第9次作业教学内容：2.4.3反函数的求导法则 2.4.4复合函数求导法则 2 4 5基本求导公式*1.求下列各函数的导数：(1)y=cot x-esc x,secxy=、X；m Inx(3)y=X.(4)y=x(ex-Inx).(5)y=xex In x.(6)y=ex(cos x+sin x)；a 3 y=2x+log3 e；X(8)y=2X tan x+sec x.解.(1)cotxcscx+csc2 X.secx z-、(2)(x tan x-2)X;(1-inx)X；(4)(x+1)ex-n x-l.(5)eA(xlnx+ln x+1).(6)2/c o sx.,3(7

39、)6x2-x.(8)2Y ln2-tanx+2 sec2 x+secxtanx2.求下列函数的导数：*y=sin(3e+1)；解.y=cos(3e2x+l)-3-e2x-2=6cos(32x+l)-e2x2 x-l4*x+3y =4解：2x 1x +32(x +3)-(2x-l)-l(X+3)24(2 1)3(X+3)5_/c 28(2x 1)32x +6-2 x +l =-4(x +3)s*y=l n 2s in(x +l).解:,2co s(x +l).y =-=co t(x +1)2s in(x +l)*(4)1解：xT(T)5*制5)y=x +y/x1解：y，=2x+K*(6)y =l

40、 n(x +J 1 +，)；解：v1V l +x2*(7)y =s in x-s in(x2)；解.y =s in 2x s in(x2)+2x s in 工 co s(x2)；1y=a r cco s*(8)x ；解：yy=e*(9).Xs in 3 .,e2x(-2 s in +-co s )；解：y =3 3 3x +1y=a r cta n-*(1 0)-x-11解：x2+i.3.求下列函数在指定点处的导数值:2(1)-v =3 +5 x,求 y (0)；(2)=arc t an求 y (0)(3)y =J 2+h?x,求 y e)(4)=l o g3co s x(5)y =(a r

41、cs in x)求(6)y =e,求/C D1 0 1 J_ 1 6 2 1?解答：.9 .(2),2.(3).V 3 e .I n 3 .(5).1 8 (6).44.*设/()为可导函数,y =/(s i n e M)-3-,求y (x).解.y (x)=3 e3 x co s e /(s in e )+s in/(x)-/,(x)-3C 0S/(J r)-I n 3*(2)设 y =/(s e cx)-s e c0(ta n x),其中/()，0(a)为可导函数，求y (x).解.y (x)=s e c x ta n x f (s e e x)s e c(ta n x)+s e c(t

42、a n x)ta n(ta n x)s e c2 x “(ta n x)/(s e cx)*5.设/(x)=ma x x,/,x e(-o o,+8),试讨论f(x)的可导性,并在可导点处求出了(X).x2,x 0/(x)=-x,0 x 1解：由于产之，xl ,所以/(0)不存在，尸不存在，2x,x 0,尸(x)=卜，0 x 1.*6.设于(x)=(p(a +b x)(p(a -b x),其中夕(x)在(-(,+8)有定义且在x =a可导，求/(0)的值.lim/U)/(0)=H m 啖0+b x)一叭a-x)-0解：3 0%5 x 加”(。+灰)-*)+/(区)一夕(叫=2”o

43、b x -b x设y =I n JN(|x|=1所确定的隐函数，求y 及该方程所表示的曲线在点(0,0)处的切线方程.,cos V.y 解.cosy-x s in y+ey，=0,得 xsiny-eyy(0)=1,(0,0)点切线方程为y=T”i2设,x e,c o s确定了函数y=y。),求生.3.*l7=esinf dx解 dy _ e2z(2sinz+cosr)_ ez(2sinz 4-cosr)dx e(cosr2-2zsinr2)(cosr2-2 tsinr2)y =y(x)由方程卜=1 ”所确定，试求与y -e dx设*(2)=3f2,当x=2时，t =l,二3解：d tdtf ，

44、生=2e%包=2e2dy I _ 2e2dt dt心 .#=2 1x=c o stt则曲线L在 2处的法线y =s i n 22方程为.答 4 x-岳+1 =0试求由上eC O S 所确定的曲线y =y(x)在x =0*(2)口=厂+处的切线方程.,x =ez-xcosr-1,一解：由知当x =0时，f =0,y =0y =r+t口 dx dx dy 1B.=e-c o s r +x s i n r =2r +1dt dt力 r=o 力 i=o 2dtdydx故:所求切线方程为y =2九、几 v l+x攻y -5.*(i)(x-1)2 必5 x-2求y .l n|y|=l n|x +1

45、|-21n|x -1|-l n|5x -2|解：3 3y _ i _ 2 5y 3(x +l)x-3(5x-2)fy=V x +1125(x-1)2VS72 13(X+1)x-1 3(5x-2)科设厂e 飞(+l)Js i n x ,(。x （灯由方程（x +y）“=3x +2y-2所确定，试求心(A-.V)=(0,2)解：两边取对数(x +l)l n(x +y)=l n(3x+2y 2),l n(x +y)+(x +l)两边求导：x+y 3x +2y -2,将（0,2）点代入上式:22可解得a,y)=(o,2)=21n 2-22 2*7.证明曲线炉+力2=。3 3

46、 0）上任意点耳=（%,%）（%0 W。,为工）处的切线在两坐标轴之间的线段为定长.2-2-X 3+-y 3y=0证明：对曲线方程求导有：3 3(_ A所以知曲线在A点的切线斜率为xo 7=_ A3y-y0,切线方程为：_ 2,2令y =o,得彳=篇野+/=初31 2令 r =o,得 =y()xo+y()=*9 2切线与X轴的交点为M=（x初3，）,1 2切线与y轴的交点为N=（，y然?）,所以切线在两坐标轴间的线段长为:!2 1 2(高小)2 +(、初 3)2=“.0=*8.求三叶玫瑰线 =a sm(3 8)(。)上对应于 4的点处的切线方程(直角坐标形式).x=asin

47、(39)cos。*解：三叶玫瑰线方程可写为 y=asin(30)sin。_ dy _ asin(3)sin 0切=丁=7 7必 e=a sin(3。)cos 0 3a cos(36)sin。+a sin(3。)cos 022八万。、_ 1 z C l0=-P=(一，)y =(x )由于对应于 4的点的坐标为 2 2,所以切线方程为 2 2 2,即2x-4)+a=0第 11次作业教学内容：2.5高阶导数*1,设 y=ln(x+J1+),求y”.解：X+yjl+X2 *4y/l+X2 71+X23a cos(36)cos 3-a sin(36)sin 0e=-41 _2 ry =(1+x2)2-2

48、x=-:7-2(i+m*2.设y=/W，u=8(x)均存在2阶导数试推导公式+dy_ dhi_du dx2dy=dy du解：由dx du dx,得*3.设y =/(x e*),其中/()二阶可导，求解：y =/(x e )Je +x e 1y =f x e)ev+x ev2+f(x ex)-(2e +x e 2 2 2*4.求由方程乂3+；=所确定的隐函数y(x)的二阶导数。2-2-x 3+y 3-y,=0解：两边同时对求导数，得 3 3.，V ；2 T 2 1 4 /,2 n+T-(y)+y -y =o两边同时再对x求导数，得 L ，i 1 _i _Ly =a x 3y 整

49、理得 3-2-2y3*6.设x=e(y)是y=/G)的反函数，/Q H。,且/(6存在,证明:*口(吸/证：(1)由反函数与直接函数导数的关系，知有一尸(x)dx _/(x)y)dy-dx dy 夕(讲/小0”3=卸 3=l /(2)dy dx dy./()一/(力3/(刈2夕GV_3T(x)r /(4 r(x)-/(J*7,设 J=cos2 3x 求冷 1 1 7 1y-(1+cos6x)yr=-6cos(6x+)解：.2 2 2,1 9“2 万y=-62 cos(6x+)2 2,.,y=；6 cos(6x+半)*8.设 =x(x l)(x 2)(x-3(x )，求y”上y=x“+i _

50、n(n+l)y +.(_1)!x解：2,()/.n(n+1).yl j=(+l)!x-n严)=(+l)!3 L T(X)2 1/(X)。于是一夕(J.RG)弓严1),*9.设 =u(xv=v(x)都是n次可微函数，证明莱布尼兹公式(-)(n)=Ek=0“(i)网3证：0)当=1时，命题显然成立.(v)m+Im假设当=加时，命题成立，即&=。k尸)心,那么当”=机+1时,m、+“叫，叫+/T)/)+(利用n)mn+1m+1n+10m 4-1m+0机+1八=zk=0加+1、“f()+、Lm T+(m Ju(l)v(m)+M(0)v(m+l)m+及k)H(+i-*)v(0由归纳假设，知命题得证

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