安徽省芜湖市2022-2023学年高三上学期期末数学试题及答案.pdf

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1、2022-2023学年度第一学期芜湖市中学教学质量统测高三年级数学试题卷本试卷共4 页，22小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2 B 铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答

2、无效.4.考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回.一、单项选择题(本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的答案写在答题卷上)1 E知集合 A =Mg x l ,8 =巾=内,则 4nB=()A.0,1)B,(0,l)C.(0,10)D.-3,10)【答案】C【解析】根据不等式怛*()和+3 2 0确定集合46,再求交集.解：；A =x|l g x l =x 0 x 10又：B=卜|y-J x+3)=N-3 1r.A c 8 =x O x 10 c x N-3 =x 0 x 0,/?0)2ab/la2+t2(n

3、,c.-J-(0,/70)a+b V 2 v【答案】D【解析】C=b,则由C D 可以直接证明的不“B.a2+b2 2ab(a0,b0)D.4ab 0,Z?0)故选：D解：解：连接AZ),8D,由题知C D J_ A3所以 ZA D C+ZCDB=ZC D B+Z C B D,因为 ZACD=NDCB=90。，所以八 4 8 O C B,AC CD所以 TTZ=，即 CD=y/ab,DC BC因为AC=a,BC=b,广 八 一 a+b a+b a-b所以OF=-,O C-a-=-2 2 2所以 FC=所以由F T Z CO 可以证明 疝 0,Z?0)6.芜湖市疾控中心呼吁：“接种疫苗可以有效降

4、低重症风险，建议没有禁忌症，符合接种条件的人群，特别是老年人，应当尽快接种新冠疫苗，符合加强接种条件的要尽快加强接种.”为部署进一步加快推进老年人新冠疫苗接种情况，某社区需从甲、乙等5 名志愿者中选取3人到3 个社区进行走访调查，每个社区1人，若甲、乙两人中至少1人入选，则不同的选派方 法 有()A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种【答案】D【解析】分甲、乙两人中有1人入选和甲、乙两人都入选两种情况讨论求解即可.解：解：当甲、乙两人中有1 人入选，先选出2 人中的1人，再从剩下的3 个人中选出2 个，最后将其分配到3 个社区，故有C；C；A；=3 6 种；当甲、乙两人都入选，

5、则先从剩下的3 人中选出1人,再将其分配到3个社区，故有C；A；=18种；所以，共有18+36=5 4 不同的选派方法.故选：D7.已知。：/+/一 2公 2。1=0,点 P(3,0),若。上 总 存 在 N 两点使得 P M N 为等边三角形,则“的取值范围是()A.一7一 11U(-1,+8)B.C.(00,2 l,+oo)D.2,h+)【答案】B【解析】0。的圆心坐标为。(。,0),半径为厂=|。+1,要使0。上总存在M,N 两点、使得APMN为等边三角形，则。上存在一点M,使得NM PD=30,当与。相切时，ZM P D最大，故5布/加尸0 =向25 抽3 0 ,由此可求解.解：0。的

6、标准方程为(x a)2+V=(a +i)2,圆心坐标为。(a,0),半径为r =|a +l|.因为 1 P M卜|P N|,|必=|N|,所以/P M D =/P N D.所以 N M P =N 2 V P =3 0 .要使0。上总存在M ,N两点使得APMN为等边三角形,则O D上存在一点M,使得N M P D=3 0 ,当与。相切时，N M P D 最 大,此时NMPO2 3 0 ,r 1 i故 si n Z M P D=r-y si n 3 0 =-,即+3),ru 2 1 1 2 7整理得3 a 2+2 a-5 Z 0，解得。一。0,1,+0).8.定义在R上的偶函数/(x)满足2 +

7、x)=/(x),当x w 0,l 时，/(%)=2 -1,若函数/x)=x)-丘 在(一2,2)上恰有三个零点，则实数我的取值范围是()A.(-l,0)U(0,l)B.(-l n2,0)o(0,l n2)C.(-l,-l n2)u(l n2,l)山,-|唱1)【答案】C【解析】由题知函数/(x)为周期函数，周期为2,再结合题意得了=/(%)与丁=辰 有3个交点，进而作出函数图像，数形结合求解即可.解：解：因为定义在R上的偶函数“X)满足2 +x)=/(x)所以/(2 +x)=-x)=x),即函数为周期函数，周期为2,因为当x e 0,l 时，/(x)=2v-l,所以，作出其图像如图,因 函数尸

8、(x)=x)-在(-2,2)上恰有三个零点，所以y =/(%)与丁=区 有3个交点，当%0时，由图，设直线4是y =/(x)在原点时的切线，此时4与y =/(x)有2个交点，当直线4过点(L 1)时，直线4与 =/(x)有2个交点，此时直线，2的斜率为1因为当x e o,l 时，/(x)=2 l n2,/,(O)=2 l n2 =l n2,即直线4斜率为l n2,所以，要使y =/(x)V y =收 有3个交点，则l n2左1,当 0时，由对称性可知，一1 女一也2也满足题意；所以，实数攵的取值范围是(-L-l n2)u(l n2,l)故选：c二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20

9、分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是正确的.每题全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请把正确的答案写在答题卷上)9.已知加，为异面直线，直线/与加，都垂直，则下列说法正确的是()A.若/J,平面a,则加a,n/aB.存在平面a ,使得/，mcza,n/aC.有且只有一对互相平行的平面a和,其中机u a,nu/3D.至多有一对互相垂直的平面a和,其中mu a,nu/3【答案】B C【解析】由线面关系判断A B D；由线面垂直判定判断C；解：对于A,如下图所示，在正方体中取/为AA，AB为m ,4。为，平面A B C。为平面a,则 a,m u a ,故A错误；对 于B,如下图所示

10、，在正方体中取/为44,A 8为加，A D为，平面ABC。为平面a,此时/_La，mcza,n/a,故 B 正确；对于C,由线面垂直 判定可知，/_La,1.L/3,过直线且与/垂直的平面只有一个，过直线?且与/垂直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面a和4，其中加u a,n u。，故C正确；对于D,在正方体中取/为A4,为?，A D为，此时平面ABC。平面ADZX4，平面ABBA_L平面ADDA，即至少存在两对互相垂直的平面a和 夕，其中加u a,u6，故D错误；故选：BC1 0.己知，(x)=01 4-ln(-x),x0若存在玉%3 ,使得/(玉)=/(9)=/(&)=，则下列结论

11、正确的有OA.实数，的取值范围为(1,2 B.-e X j -1C.x2+x3=2立公的取值范围为(1,()【答案】A C D【解析】画 出 函 数/(x)的图象，根 据 二 次 函 数 的 图 象 与 性 质 可 判 断A C;令l +ln(-x)=l与l +ln(-x)=2,结合图象可判断B；求出/与 演，可得中2=才|(一1)(1，2),利用导数即可判断D.解：画出函数“X)的图象如图所示：当x N O时，/(X)=X2-2X+2=(X-1)2+1,其对称轴为X=1,最小值为1,故九2+七=2且te(l,2 ,故A C正确；令l+ln(-x)=l,解得=-1;令 1+ln(-%)=2,解

12、得x=-e.由图象可得-e V玉一1,故B错误；由/(W)=f,可得只-2+2 =(),解得无2=1 JF或 +(舍).由/(石)=九可得1 +ln(-石)=/,解得玉=-e T .所以X 1 X 2=e T(V T _ l)(l(2).令g(f)=e i(V T J)(l 0）的直线/交椭圆于M,N两点，则下列说法正确的有（）A.若 也 的 垂 直 平 分 线 过 点 小 则“土 坐B.PD-PE-2 PF 的 最 小 值 为&-12C.若=2,则M N K的面积的最大值为彳D.若 M N 6的面积取最大值时的直线/不唯一，则 e 1一，+8 /【答案】BCD【解析】若P 6的垂直平分线过点

13、E，可 得 利 用 焦 半 径 公 式 可 求 得p点坐标，即可算出攵“=巫，可 判 断A错误；利用椭圆定义和三角形两边之和与差的关系可知当 卜 1 7尸,。,民鸟四点共线时取到最小值为Q 1 2,即B正确；设出直线方程与椭圆方程联立,写出4 M N F、的面积表达式,再根据基本不等式即可得出面积最大值,可判断C；若MN耳的面积取最大值时的直线/不唯一，可知加、片 面积取最大值时m的取值不唯一，利用基本不等式可得出5m2+9=2/9，进而确定的取值范围即可判断D.C 2解：由题意可知,耳(一2,0),居(2,0),椭圆离心率e=二 a 3对于A,若尸乙的垂直平分线过点K，则P耳=耳 工=4,设

14、尸(为,%)，由焦半径公式可知，PFf=a +ex0=4,可得x0=m，%=叵，2+后此时心F=i一=姮，所以A错误；13+2 72对于B,由。(4,2),(1,-1),玛(2,0)可知，。，瓦 工三点共线，如下图所示：利用椭圆定义可知，|/制+|尸闾=6,即忸耳|=6-|尸国所 以|也 一/|一2|尸耳|=|P 0|+|P K|(|尸耳一|尸闾)12 PD +PF2 DF2=2y 2,PE-PF2 EF2=4 2,当且仅当 P,E,居 四点共线时等号成立；所以|。|+|75耳|一(|同一|隼|)一122 2后 一 血 一12=0 12,即|叫一归4一21P 6的最小值为正一12，所以B正确；

15、对于C,若=2,则。(2,0)即为右焦点用，设直线/的方程为x =加 丁 +2,M(%,%),N(X2,%)x =m y +2联立 I f 2 整理得(5 m 2+9)y 2+2O m y -25 =o,+=1所以X +%=一20 m255m+9 5m+9 M N F 的面积为 s=-%|=2|y -%|=2j(X +%)2-4 y l y 2=g?_ _ _ _ _，病+1 _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ 0 ,即 5加？+9 /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,5 疗+9-2+-

16、7=y/5m2+9-n2此时 M N 的面积为S =新 Q|y -%|=曰+2|x -%|=：|+2|必 +%)2-4 力=2 2 2 福叱j m+9+9 -“2而 5m2+915nv+9-2 +2府+9-2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _若A M N F 的面积取最大值时的直线/不唯一，所以,/0I 2 一取最大值 l 5m2+9-2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9，机=0时，直线唯一不合题意，,9（3 7 2 所以2 ,又0,所以e 9一,+8 ,即D

17、正确.2 I 2）故选：B C D点评：方法点睛：解决圆锥曲线中三角形面积问题时，首先利用弦长公式或分割三角形写出面积表达式，再合理变形利用基本不等式或导数求得面积最值，利用基本不等式时要注意等号成立的条件，即可将问题得到解决.三、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案写在答题卷上）1 3.已知向量?=（一1,2）,=（；一。,1 1,若有 3，则/?的值为.【答案】1【解析】根据平面向量共线的坐标运算列方程求解即可.解：因为向量加=（一1,2）,=m/n所以（-l）xl =2 x；-“，解得b =l.故答案为:1.1 4.函数/（x）=sin2 x-a c o sx在

18、 0,兀|上单调递增，则实数。的 取 值 范 围 是.【答案】2,+8）【解析】/（X）2 0恒成立，导函数转化为二次函数与正弦函数的复合函数所对应的不等式.解：因为/（%）=sin2尢一。c o sx所以/(x)=2cos2x+asinx,又因为函数/(x)=sin2x-acosx在(),兀 上单调递增所以/(x)=2cos 2x+a sin x 2 0 在 0,兀 _h恒成立,即 2(l-2sin?x)+asinx2O 在 0,兀 上恒成立，也是sin?x-asinx-2 4 0在 0,兀 上恒成立,.,xe 0,7i.,.sinxs 0,l,只需要满足sinx=0,sinx=l时对应的函

19、数值都不大零即可.则只需要满足4-a-2 W 0,即a2故答案为：2,+8)2 215.已知双曲线：=一 己.=1仅0,。0)的左、右焦点为月，F2,P为双曲线M渐近a h线上一点.满 足 西 朋=0,且直线 耳，2外 的斜率之和为一2叵，则双曲线M的离3心率为.【答案】2【解析】根据题意求得点尸的坐标，再利用点求出斜率，由斜率之和等于-2叵 即 可 得 出a,Ac之3间的关系，即可求出离心率的值.解：P为双曲线M渐近线上一点，即点在丫=土2 上，设点p在第一象限，a因 为 满 足 丽A E=o,所以K P LP/J得到尸,耳,居 在 以 工为直径，以。点为圆心得圆上，所以OP=c,则点尸的坐

20、标为(。力)，又因为直线PF i，PF,的斜率之和为一汉1,3即上=空，则上+上=空，解得力。人=。2一 =/,色 3 a+c a-c 3即一=G,所以 e=J1+(2)=J +白：2-故答案为：2.16.如图，在三棱柱ABC-A与G中，点 是棱片G上一点，且用E=2EG，过直线AE的一个平面与棱CG交于尸，与棱4片 交于。，记截面ADE/的面积为S,AEF的面c c积为S1,ZA即 的 面 积 为S 2,则一廿的取值范围是【解析】2 门 5.m设4片=1,D B,=m,m e 0,-,设AMDE的面积为S3,先求出U =-,再由3 J 一根s+s SBE=2 ECi得3 2:2,从而可得学=

21、2(1一w)，又5=5+2,故I5S=1 S 2 1 1S2.S2 令.=请，te-.2 ,g(t)=t+-+2f结合对勾函数的性质求解瓦+区+2 E 1 3 t取值范围即可.解：连接FE,AO并延长交于M,CMAD,AOu面 A4BA,.MG 面 人 同 班，,:M E E F,EFu面4 GC8,面B|GCB,又面 A B A n 面 B C B =BB,则 Me B BM D DB,m因 为 阴 网则方=成iS a m m设AMDE的 面 积 为S 3,则f=匚，即邑=$2，M E B,E-邑+S,-因为 C G 6 g,BE=2E C，则隹=士r =2,则 啖 =2,即 S3=2 SS

22、,Er LC|0(所 以 一5,=2、一2,则 争=2（1-。，-m 5又 因 为5=岳 +与，故 S?(S1+S2)2 S：+S；+2 S1.S2 一 县 +4 +2,$2 ，%止生,g=+1+2 =f +l +2,|_ 3 J 2 5 t2 1由对勾函数的性质得，当，-J时，g）单调递减；当时，g）单调递增;又g）=学，g=4,g =2,则4 W g义3 6 2 2所 以 与 的 取 值 范 围 为*3今故答案为：._ 9 4_点评：方法点睛：立体几何中的取值范围问题，一般利用函数法解决：根据题中信息直接建立函数关系式，或通过空间向量的坐标运算建立函数关系式，转化为函数的最值问题求解,最后

23、根据函数的形式，选择利用函数的性质、基本不等式或导数求最值，得出所求取值范围.四、解答题（本大题共6 题，共 70分，第 17题满分10分，其余大题每题满分12分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）17.在A/WC中，内 角A,B,C的对边分别为。，b.c,已知2 c-Z?=2 a c o s B（1）求 角A的大小；（2）若。是8 C边上的中点，且A D =2,求 WC面积的最大值【答 案】（1）A =述3【解 析】（1）由正弦定理以及三角恒等变换得出角A的大小;（2）由 而=g（而+/）结合基本不等式得出|4网|4。|4号，再由面积公式求解.【小 问I详解】由题可知 2 s i

24、 n C-s i n B =2 s i n A c o s B,且 s i n C =s i n（A +8）,2 c o s A s i n B-s i n B =0又 AABC 中，s i n 5 w 0 ,c o s A =一,2又 A（0,7 l）,解得 A =【小问2详解】由题可知而=g（丽卜g|j|A D|2=A B|2+1 A C|2+2|A B|A C|c o s ,又 A D =2.A B+|A C+|A B|A C =16 N 3|A B|A C|,当且仅当|A 8|=|A C|=卡 时等号成立，|A训A C|y18.已知S“是数列%的前n项和，2 s“=（+1）%.且q =

25、1（1）求 q的通项公式；，、r s i n 1 r 、设4=0,已知数列也 满足a=-_,求 也 的前项的和7；C O S C ln C O S【答案】（1）a=n.（2）t a n”.【解析】（1）利用给定的递推公式，结合q=5“-5,1，2 2变形，构造数列求解作答.（2）由（1）的结论，利用差角的正弦公式变形，再利用错位相减法求解作答.【小 问1详解】因为w N*，2 s,=（+1）4,当22时，2 S _ =%_ ,两式相减得：2an=（n+l）an-na_x,即=w,-,变形得”=也n n-于是得数列 2 是常数列，因 此 殳=%=1,即。“=，n n 1所以数列&的通项公式是4

26、=n.【小问2 详解】由(1)知，a=n,b _ si n 1 _ si n 一(-l)_ si n c o s(-l)-c o ssi n(/i-l)_ t a n?t a n(1)c o sn c o s(n-l)c o sn c o s(n-l)c o sn c o s(n-l)所 以 ,.若0 1 0 1 0一个疗程后，每康复1 人积2 分，假设认定：积分期望值越高疗法越好，请问甲、乙哪种联合治疗方案更好？【答案】(1)认为两种疗法效果没有差异;参考公式及数据：7 2=(n ad-bcya+Z?)(c +d)(a +c)(/?+d)a0.050 0250.01 00.0050.001X

27、a3.8415.0246.6357.87 91 0.828(1 5x 6-52x 63)-(1 5x 63-52x 6)(1 5x 52-6x 63)-=0.9092-=0.0359-=0.01 4567 x 69x 21 x 1 1 5 67 x 69x 21 x 1 1 5 67 x 69x 21 x 1 1 5（2）甲种联合治疗方案更好.【解析】（1）零假设为”0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异，求出力2,对比临界值表即可;（2）设A 组中服用甲种中药康复的人数为X 1,积分为X?,则 X1 8 13,得）,设8组中服用乙种中药康复的人数为Y,积分为匕,分别求出X1与年的均值，再

28、根据均值的性质求x2与右的均值，比较即可.【小 问 1详解】零假设为”0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异,根据列联表中数据，经过计算得到*=136x(I5x63-52x6)-4582，67 x 69x 21 x 1 1 5 0005根据小概率值a =0.005的独立性检验，没有充分证据推断不成立,因 此 可 以 认 为 成 立，即认为两种疗法效果没有差异.【小问2 详解】设 A 组中服用甲种中药康复的人数为X,则 X 14 14所以 E(X J=3X =M设 A 组的积分为X 2,则 X 2=2 X-所以 E（X2）=2E（X J28T5.6,设8组中服用乙种中药康复的人数为X,则匕的

29、可能取值为：0,1,2,3,P(Y.-0)=x x =?J 7 20 1 0 1 0 2000p(y =1)=xx+xC；v 1 20 1 0 1 0 20 21 9 37X-X-,1 0 1 0 2000v )2 20 1 0 1 0 20 1 0 1 0 2000明=3)=2 2、2=些 7 20 1 0 1 0 2000故工的分布列为:0123p1374231 5392000200020002000g,l 八 八，、1 ,37 42 3.5 39 1 1所以 E(Y=0 x-F 1 x-F 2 x-F 3x-=,2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 4设B组的积

30、分为X，则4=2升，所以E（X）=E（2 X）=2 E（X）=m=5.5.因为5.6 5.5,所以甲种联合治疗方案更好.JT2 0.五面体 A B C D E F 中，AD/CF,A D =C F =2,B E=E F=4，C A=2收，4 C F E =-.（1）证明：AD/BE；（2）给出FOJL班:；C A r D E；平面平面AC E D.试从中选两个作为条件，剩下一个作为结论，可以让推理正确，请证明你的推理，并求出平面E F D和平面B C E夹角的余弦值.注：如果选择不同组合分别解答，则按照第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）答案不唯一，具体见解析【解析】（I）证明出AD

31、/平面B C F E,利用线面平行的性质可证得结论成立；（2）以为条件，为结论，证明出面A 8 E D，利用面面垂直的判定定理可证得成立；以为条件，为结论，利用面面垂直的性质可得出 0 _ 1面43皮）.再利用线面垂直的性质可证得成立.推导出A。、A E、A C两两垂直，以A为原点，A D A E、A C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面E F D和 平 面 夹 角 的 余 弦值.【小 问1详解】证明：因为 AO C F,C F u 面 B C F E,A D z 面 B C F E,所以 A O 面B C F E.又因为 u 面 ABED，面 ABED

32、c 而 BCFE=BE,所以 AD5E.【小问2详解】解：条件，结论：证明；2+A E2 =。七2,所以D4_LAE-以A为原点，AD A E、AC所在直线分别为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系.y则 E（0,2,0）、0（2,0,0）、0,0,2 0）、*2,0,2 0）、B（T,2,0）,设平面）户 的法向量为而=（百,y,z j,而=仅,0,2夜），诙=（一2,2,0）,则m -D E =-2x.+2 y.=0 u_.，取 芭=1,可得m=(1,1,0),/MDF=2V2Z1=0 设平面5CE的法向量为孟=（%2，%，2 2），丽=（y o,o），W =（0-2,2 7 2）,则n-E

33、B=-4x.=0 一 l,取%=夜，可得=0,j 2,l ,-C=-2 +2V2Z2=0 m-ncos=i I=/=广同.何V2XV33，/?故平面E F D和平面B C E夹角的余弦值是归.32 1.已知抛物线。：）2=2 40 0）的焦点为尸，过焦点E的直线/与抛物线交于A,B两点，当直线/的倾斜角为6 0 时，|AB|=L.（I）求抛物线C的方程；（2）求证：过焦点口且垂直于/的直线与以A B为直径的圆的交点分别在定直线上.【答案】（1）y?=4x（2）证明见解析【解析】（1）写出直线/的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理与焦点弦长公式即可得出抛物线的方程；（2）设直线/的方程为x-l

34、 =my,与抛物线方程联立，结合韦达定理得出以A 3为直径的圆的方程，然后与过焦点F且垂直于/的直线y =-联立求解即可得出答案.【小 问1详解】当直线/的倾斜角为6 0 时，设直线/的方程为丫 =百（-4,y2=2px联立方程 石得:.3,3x2-5px+p=0 ,/.玉 +x25 P3|AB|=x,+x2+p8p_16 =2,.抛物线。的方程为y 2=4x.小问2详解】抛物线C：:/二 叔 的焦点厂(i,o),设直线/的方程为xT=U ,A(X I,y J,Ww，%)，y2=4x,联立方程 得：y2-4my-4=0,x=my+12 2y +%=4根，%=-4，内+/+必)+2 =4 m？+

35、2，=1,设以为直径的圆上任意一点为M(x,y),则前加=(),BP(x-xl)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=O,则以A B为直径的圆的方程为：(x-x J(x-/)+(y-x)(y y 2)=0，即：d Q +)%+玉 +产 一(乂+%)+乂 =0，代入得：x2-(4 m2+2)x+y2-4 m y-3-0,过焦点/且 垂直于/的直线为：y =-/(x-l),X2-(4 m2+2)x+y2-4 m y-3 =0联立方程-V,y=-m(x-l)得：(+1卜2-2(/2+1卜一3(加2 +1)=0即：f _ 2 x _ 3 =o,解得：二 一1或3,所以过焦点尸且垂直于/的直线与以A

36、B为直径的圆的交点分别在定直线m l和x =3上.2 、2 2.已知函数/(x)=e*_-1,g(x)=a l n(x+l)(1)证明:当 a =l 时，/(%)?(%)；(2)x 0时，设M%)=f(%)g(%),讨论妆x)零点的个数【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【解析】(1)首先将。=1带入函数解析式中，然后将不等式右边移到左边，构造新函数(x),即证(x 0,对函数/(X)求导，求得函数的单调性及最值即可证明“X)2 g(x)；将 x),g(x)代入/z(x)中求得(x)的解析式，对力求导，及对。分类讨论，判断单调性，利用隐零点即可求得(x)零点的个数.【小 问1详解】V2当=

37、1 时，令=/(x)-g(x)=ex-l-l n(x+l)当xNO时，ex 1 当一I v x v O时，7 ”1，(x +l)/.m(x)0得 (x)在(1,+8)内单调递增，由0(0)=0,得当一i x o时，(x)o时,三 0,(x)在(0,+为 内单调递增，。(力 之 0(。)=()，即.f(x)2 g(x)【小问2详解】v-2当时，由x 0,得l n(x+l)0,/.l n(x+l)a l n(x+l),由 可得(x)之夕(x)p(O)=O；当”1时 (=一 胃1W x 1 a、，一=e-2+(7717由x 0得(x)0,力(力在(0,+。)内单调递增由 “(0)=1-0,1(a)=e 0 J )2 +1 2 a+1 2 7 +1./o,a),使得“(M)=0,则当0 x x。时，(x)0,M x)在(o,x 0)内单调递减，当Xo 0,(x)在(%,+o o)内单调递增，由旗0)=0 得)&)4a2-a2-1-2a2=a2-l 0,*e(0,2 a),使得()=0,综上，当时(x)在(O,+8)内无零点；当a I时 入 在(0,+8)内有一个零点；