2022年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科）（5月份）含答案解析版.pdf

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1、2022年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科）（5月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）（2 0 2 2 昆明一模）已知集合4=x|y =/（x-l）,集合 8=-1,0,1,2,3,贝|月|8=（）A.2,3 B.-1 ,0 C.0,1 D.1 ,2 2.（5 分）（2 0 2 2 昆明一模）已知复数z 满足z +7=2 ,且（z-力1 =4,则|z t（）A.y/2 B.y/3 C.2 D.y/53.（5 分）（2 0 2 2 昆明一模）为了鼓励学生锻炼身体，强健体魄，增强抵抗病毒能力，某校决定加强体

2、育活动并对体育成绩进行定期统计，下表是该校高三年级某次体育测试成绩的样本频率分布表：50 0 名高三学生体育成绩的频率分布表分组 70,75)75,80)80 ,85)85,9 0)9 0,9 5频率0.10.1 50.40.2 50.1该次高三年级体育测试成绩中位数的估计值位于区间（）A.75,80）B.80 ,82.5）C.82.5,85）4.（5 分）（2 0 2 2 昆明一模）已知数列%是首项为1 的等比数列,差数列，则牝=（）1-A.21-B.8C1165.（5 分）（2 0 2 2 昆明一模）执行如图所示的程序框图，若输入的S =0）D.85,9 0)且 ax,2a2，4a3成等D

3、.32,A=1 ,则输出的4=(第1页（共27页）A.4 B.5 C.6 D.76.（5 分）（2022昆明一模）函数y=部分图象大致为（）第2页（共27页）7.（5 分）（2 0 2 2 昆明一模）四边形 Z5C Z）中，A B H D C ,A B=3,D C =2,Z A BC=9 0 ,贝U（就+而）荏=（）A.2 B.1 C.4 D.3r28.（5 分）（2 0 2 2 昆明一模）双曲线C:一a1（。0 力0）的左，右焦点分别为E，7/是 C上一点，满足|/1 月H 耳入I，且 C OS N4耳用则C的离心率为（）8A.-41 B.2 C.73 D.V59.（5 分）（2 0 2 2

4、 昆明一模）已知函数x）=，若方程/（x）=a e 有两个不相等的-x x 0 实数根，则实数a的取值范围为（）A.（,+c o）B.（0,）C.（c o,）D.（,0）e e e e1 0.（5 分）（2 0 2 2 昆明一模）一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”，两平行平面间的距离叫做球台的高.如图1,西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看作球台，其直观图如图2,已知杯底的直径为2a机，杯口直径为4 辰 加，杯的深 度 为#c m,则该卧足杯侧面所在球面的半径为（）D.42I I.（5分）（2 0 2 2 昆明一模）已知抛物线C:/=4 x 的焦点为尸，准线与x

5、轴的交点为产，过点尸的直线与C交于/,5两点，且 他=亍，设直线2 的斜率为我,则 止（）1 2.（5 分）（2 0 2 2 昆明一模）对于函数/（x）=e +R xme R）,有下列四个论断:/（X）是增函数；/（x）是奇函数；第3页（共27页）/（x）有且仅有一个极值点;/（x）的最小值为e.若其中恰有两个论断正确，则。=（）A.-1 B.1 C.e D.e二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.x-y +l2 01 3.（5分）（2 0 2 2 昆明一模）已知x,y满足 的最小值为.x 31 4.（5 分）（2 0 2 2 昆明一模）若的展开式中存在/项，且f项的系数不为

6、0,则的值可以是.（写出满足条件的一个的值即可）1 5.（5分）（2 0 2 2 昆明一模）某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，路途用时y（单位:加）服从正态分布N（5,l）；第二条路线较长但不拥挤，路途用时X?（单位：加）服从正 态 分 布 N（6,0.1 6）.若 有 一 天 他 出 发 时 离 上 班 时 间 还 有7 min,则P（X 2 W 7）P（X 7）=.（精确到 0.0 0 0 1）（参 考 数 据：尸+。）=0.6 8 2 6 ,+1.5。）=0.8 6 6 4 ,产（4一 2 b X+2。）=0.9 5 4 4 ,PQ i-2.5a X&R+2.5。）=0.9 8 7

7、6 ,PQ i 3o/7两个条件中选择一个补充到题目中，完成下列问题：在中，角 4,B,C所对的边分别为a,b,c 己知 b =2,c=4 且.（1）求 A 4 B C 的面积；（2）若。是线段8c的中点，求 的 长.1 8.（1 2 分）（2 0 2 2 昆明一模）如图，四棱锥P-Z B C D 中，底面Z 8 C D 为平行四边形，E,F,G 分别是棱Z 8,A P,的中点.第4页（共27页）（1）证明：P C/平面M G；（2）若 P C =P O =C D =2&,A C =A D =A P=2,求尸。与平面E F G 所成角的大小.1 9.（1 2 分）（2 0 2 2 昆明一模）中

8、共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见提出“构建智慧高效的生态环境管理信息化体系”，下一步，需加快推进5 G、物联网、大数据、云计算等新信息技术在生态环境保护领域的建设与应用，实现生态环境管理信息化、数字化、智能化.某科技公司开发出一款生态环保产品.已知该环保产品每售出1 件预计利润为0.4万元，当月未售出的环保产品，每 1 件亏损0.2 万元.根据市场调研，该环保产品的市场月需求量在 1 5 5,2 0 5（单位：件）内取值，将月需求量区间平均分成5组，以各组区间的（1）请根据频率分布折线图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值及方差；（2）以频率分布折线图的频率估计概率，若 该 公

9、司 计 划 环 保 产 品 的 月 产 量 1 9 0 ,.（单位：件），求月利润丫（单位：万元）的数学期望的最大值.5（参考数据：A =3 2 8 5 0,X,是各组区间中点值，P,是各组月需求量对应的频率，i =l ,?=12,3,4,5）r2 V22 0.（1 2 分）（2 0 2 2 昆明一模）已知椭圆。:=十 与=1（。6 0）的左、右焦点分别为冗、居，a b左顶点为/（-2,0）,离心率为立.2（1）求。的方程;第5页（共27页）(2)若直线/:y =A(x+l)OtwO)与C交于点。，E,线段力。，Z E的中点分别为产，。.设过点石且垂直于x轴的直线为I,若直线0 P与直线/交于

10、点S,直线。与直线I交于点T,求 禄 亏.21.(1 2分)(20 22昆明一 模)已 知 函 数 人 用=吧.ex(1)不等式/(x)W。在(0,9上恒成立，求实数a的最小值；(2)函数 g(x)=g x-e*/(x)+e-*,记 g(x)在 xw(;r,2;r)上的最大值为 M,证 明：,5 n 石M -1-6 2(-)选考题：共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作 答.并 用 2 B 铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.选 修 4-4：坐标系与参数方程22.(1 0分)(20 22 昆 明 一 模)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，曲 线G

11、的参数方程为 x=l+coss(夕为参数)，直线的g 普通方程为x+y=3,以。为极点，x轴的正半轴为极 y=sin9轴建立极坐标系.(1)求G与。2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，射线。=a(0 a l,B=-,0,1,2,3,二.附8=2，3.故选：A .【点评】本题考查了对数函数的定义域，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题.2.（5分）（2022昆明一模）已知复数z满足z+彳=2,且（z-刃1=4,则|z|=（）A.V2 B.V3 C.2 D.V5【考点】复数的模【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算【分析】根据已知条件，结合共痈复数的概念，以及复数模公式，即可求解

12、.【解答】解：设z=a+6i,a b w R,贝！）京=a-b i,z+z=a +b i+a-b i=2a =2,解得 a=1 （z-z）-z =4,2b i-i=-2b =4,解得b=-2,:.z=-2i,|Z|=#+（_ 2）2 =后.故选：D.【点评】本题主要考查共桅复数的概念，以及复数模公式，属于基础题.第7页（共27页）3.（5 分）（2022昆明一模）为了鼓励学生锻炼身体，强健体魄，增强抵抗病毒能力，某校决定加强体育活动并对体育成绩进行定期统计，下表是该校高三年级某次体育测试成绩的样本频率分布表：500名高三学生体育成绩的频率分布表该次高三年级体育测试成绩中位数的估计值位于区间（）

13、分组70,75)75,80)80,85)85,90)90,95频率0.10.150.40.250.1A.75,80）B.80,82.5）C.82.5,85）D.85,90）【考点】分布和频率分布表；众数、中位数、平均数【专题】计算题；对应思想；分析法；概率与统计；数学运算0 4【分析】设中位数为X,易得中位数在区间80,85）内，从而有0.1 +0 5+gX（X-80）=0.5,解之即可得解.【解答】解：设中位数为X,因为 0.1+0.15=0.25 0.5,所以中位数在区间80,85）内，（）4贝IJ0.1+0.15+MX（X-80）=0.5,解得 x=83.125,所以该次高三年级体育测试

14、成绩中位数的估计值位于区间82.5,85）.故选：C.【点评】本题考查频率分布表及中位数，考查学生的运算能力，属于中档题.4.（5 分）（2022昆明一模）已知数列%是首项为1 的等比数列，且q,2a2，4%成等差数列，则牝=（）A1 cl -1 clA.-D.-C D2 8 16 32【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式【专题】计算题：转化思想；综合法；等差数列与等比数列：逻辑推理；数学运算【分析】利用等比数列的通项公式，结合等差数列，求解公比，然后求解即可.【解答】解：设公比为小 数列也,是首项为1 的等比数列，且q,2%,4%成等差数列,可得4xlxq=l+4xlxq2,

15、第8页（共27页）解得q =g.所以%=a“4=2.故选：C.【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，通项公式的求法，是基础题.5.（5分）（2 0 2 2昆明一模）执行如图所示的程序框图，若输入的S=0,%=1,则输出的=（）A.4 B.5 C.6 D.7【考点】程序框图【专题】转化思想；转化法；算法和程序框图；数学运算【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量上的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：由题意可得，S=0 +1 =1,不满足S 2 0,%=1 +1 =2,5 =1 +2 =3 ,不满足 S 2 0,A:=

16、1 +2 =3,S=3 +3 =6,不满足 S 2 0,左=3 +1=4,S=6 +4 =1 0 ,不满足 S 2 0,A =4 +1 =5,S=1 0 +5 =1 5,不满足 S 2 0,A =5 +1 =6,5 =1 5 +5 =2 1,满足S 2 0,退出循环，输出=6.故选：C.【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.第9页（共27页）6.（5分）（2 0 2 2 昆明一模）函数夕=部分图象大致为（）【考点】函数的图象与图象的变换【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据特值/（0），/（；）排除错误选项

17、求解.【解答】解：.x -l r O,.*1,.,./（X）的两条渐近线为*=1,/。）一，.排除8、。选 项,X/（l）=-j 1 0/0）的左，右焦点分别为片，F,a b/是C上一点，满足|力耳H耳外I，且c o s N，GE=Z,则。的离心率为（）8A.41 B.2 C.拒 D.45【考点】双曲线的性质【专题】计算题；整体思想：综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】分类讨论”的位置，根据双曲线的定义和余弦定理列式可求出结果.【解答】解：当工在双曲线左支上时，|/心|-|/月|=2”，又M耳|=|片|=2 c,所以|4 5|=2 a +2 c,所以c s.人普 褊 誓即 套”

18、号 产整理得此方程不成立;当/在双曲线右支上时，|/耳|-|/尼|=2”，第 11页（共 27页）又1=1 耳|=2 c,所以|Z|=2 c-2 a,所以。必即=吟麻答即工=4广上4小二(2 2 4)一,整 理 得 3c2+4.8 改=0 ,得(3c-2 a)(c-2。)=0 ,8 2 2 2所以 =2 或 =2 (舍去)，a a 3所以C的离心率为2.故选：B.【点评】本题考查了双曲线的定义和余弦定理，属于中档题.9.(5分)(2 0 2 2 昆明一模)已知函数/(x)=-x2,x0若方程/(、)=。产有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围为()A.(l,+o o)B.(0,-)C.(-c

19、o,-i)D.(-1,0)e e e e【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】转化思想：综合法：函数的性质及应用：导数的综合应用；直观想象；数学运算【分析】等价转化之后数形结合，转化为两函数图象交点个数来处理.【解答】解：/(x)=a e =aXe,x0ex设 g(x)=,x0ex-,x 0当 x*时g 3 =,所以当0 令 0,g(x)单调递增;当x l 时，g x)0,g(x)单调递减,所以当x=l 时，g(x)取得极大值Le当X 趋向于+8,g(R)趋向于0；当x 0 时，0,g(x)单调递增，e依题意可知，直线x=a 与g(x)的图象有两个不同的交点,第 12页(共 27页)如图所示

20、，a的取值范围为（0）.e故选：B.【点评】本题考查了函数的零点、利用导数求函数的极值，也考查了转化思想、极限思想、数形结合思想，属于基础题.10.（5分）（2022昆明一模）一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”，两平行平面间的距离叫做球台的高.如图1,西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看作球台，其直观图如图2,已知杯底的直径为2 6阳，杯口直径为4 6加，杯的深 度 为 底 加，则该卧足杯侧面所在球面的半径为（）4 2【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；整体思想；综合法；球；数学运算【分析】作 出“球台”的轴截面，利用勾股定理得到方程组，解得即可.【解答】解：

21、如图所示，作 出“球台”的轴截面，设球心为。，过。作。交 于 点E,交 C D 于点F,第 13页（共 27页）依题意 A B=2亚cm,CD=4#cm,EF=亚cm,设球的半径为 Re m,贝 ij R2=D F2+O F2 且 R2=A E2+O E2,a n R2=(2y 5)2+O F2 华=5即 r 9R2=(V5)2+(y/5+OF)2,OF=yj5即球面的半径为5aM.故选：A .【点评】本题考查了球中截面的计算，属于中档题.11.(5 分)(2022昆明一模)已知抛物线C:/=4 x 的焦点为产，准线与x 轴的交点为P,过点尸的直线与C 交于4,8 两点，且|4 8|=竺，设直

22、线产/的斜率为人,则|幻=()44 1 4A.-B.-C.-D.25 2 3【考点】抛物线的性质【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】设 直 线 的 方 程 为 冗=叩+1 ,4($,必)，B(X2 9 y2),y2,将其与抛物线的方程联立，再结合抛物线的定义，求得点Z 的坐标，得解.【解答】解：设直线4 8 的方程为x=+1 ,4(不，必)，B(X2,%)，乂 必，联立尸，阳+1,得 一 4叩-4=0,y=4x所以乂+8=，y M=一 4，所以X+9=加(必+为)+2=4m2+2,因为|A B|=x,4-x2 4-2,所以+%=1，所以4m2+2=,解得加=3

23、,4 4当加=W 时，必+必=3,必,%=-4,所以凹=-1,%=4,所以占=；,x2=4,即点 4(；,-1),所以I人 同-1L-0L|=l-4f=4g.7-(-1)4第 14页(共 27页)?4同理可得，当加=时，|上|=.4 5故选：A .【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，熟练掌握抛物线的定义，直线与抛物线联立解决问题的思想是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.1 2.(5 分)(2 0 2 2 昆 明 一 模)对 于 函 数 有 下 列 四 个 论 断：f(x)是增函数；/(x)是奇函数：有 且 仅 有 一 个 极 值 点；“X)的最小值为e.若其中恰有两个论断

24、正确，则。=()A.1 B.1 C.e D.c【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的极值【专题】计算题；函数思想；分析法；导数的综合应用；数学运算【分析】先根据函数的定义域确定无论a 为何值，一定错误，在讨论。的范围，当 时,广(x)恒大于零，故原函数没有极值点和最小值，故不满足题意，即选项2。排 除.当 a 0时，函数/(x)不是增函数，再分别验证选项NC,当a =-l 时，求得函数最小值不为e,当a =-e时满足题意.【解答】解：函数/(x)的定义域为(0,+8),故函数是非奇非偶，即无论。为何值，一定错误，对函数进行求导(幻=上 士，X当时，广(X)恒大于零，原函数单调递增，故

25、原函数没有极值点和最小值，故选项8、O排除.当a 0 ,(x)在(0,+o o)上单调递增，由于幽0)0.故 x0 e(0,1),使得 h(x)=0 ,即=1 =x0=-lnx0,x e(O,xo),/(x)0 ,/(x)在(X。，+o o)单调递增，故函数有且仅有一个极值点，/(x)的最小值为/(x0)=e -lnx0-1-lnx0=l +x0 0,夕(x)在(0,+8)上单调递增，(P(1)=0,x e(O,l),f x),f (x)0 ,在(l,+o o)单调递增，故(x)的最小值为/(1)=e,故满足故选：C.【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题.二、

26、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.x y+l O1 3.(5 分)(2 0 2 2,昆明一模)己知x,y满足，x+y-3 0 ,则z =x-y的最小值为_-1x W3【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义进行求解即可.x-y+l O【解答】解：作出x,y 满足(x +y-3 2 0,对应的平面区域如图：由2=X-卜，得 =苫-2 表示，斜率为1纵截距为T 的一组平行直线，第 16页(共 27页)wmy=x-z,当直线、=x-z 和直线x-y=-i 重合时,直线y=x-z的

27、截距最大，此时z 最小，此时z =-1.【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z 的几何意义是解决线性规划问题的关键,注意利用数形结合来解决.14.（5 分）（2022昆明一模）若（x +）=）（eN ）的展开式中存在f项，且f项的系数不yJX为 0,则的值可以是 5 （答案不唯一）.（写出满足条件的一个 的值即可）【考点】二项式定理【专题】计算题；整体思想；综合法；二项式定理；数学运算【分析】根据二项展开式的通项公式分析“满足的关系式，再求解即可.【解答】解：由通项公式可得当 N 厂=2 时，2 =3r+4,2故可取当r=2时，=5 ,故答案为：5 （答案不唯一）.【点评】本题主要考查

28、了二项式定理的应用，属于基础题.15.（5分）（2022昆明一模）某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，路途用时乂（单位：加）服从正态分布N（5,l）；第二条路线较长但不拥挤，路途用时占（单位：加）服从正态分布N（6,0 6）.若有一天他出发时离上班时间还有7 加，则尸（万许7）-0&7）=0.016 6 .（精确到 0.0001）第 17页（共 27页）(参 考 数 据：尸(一 b XW幺+b)=0.6 826 ,尸(-1.5 b XWM+1.5 b)=0.86 6 4,尸(-2c r X W +2(r)=0.95 44,P(/z-2.5 c r X W +2.5 b)=0.987 6 ,

29、尸(一 3b X+3b)=0.997 4)【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.【解答】解：X 1(单位：加”)服从正态分布N(5,l),尸(X W 7)=0.5 +.(5-2x l j 5 +2x 1)=0 9 7 7 2,：X(单位：加)服从正态分布N(6,0.16),P(X W 7)=0.5 +S5x0.4 j_L平面P/C,所以8 c l 平面P/C,因为P C u 平面P/C,所以 8 c _L PC.设点D到平面P B C的距离为h,又VP_BCD=VD_PBC,所以 W2 x

30、 2 x 2 =1 x,x 2 x 2y/2 xh,h=也.3 2 3 2设尸。与平面P 8 c 所成角为a,所以sina=4=1,0(),生,:.a =-.2加 2 2 6所以尸。与平面E F G所成角为工.6【点评】本题主要考查线面平行的证明，线面角的计算等知识，属于中等题.19.(1 2 分)(2022昆明一模)中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见提出“构建智慧高效的生态环境管理信息化体系”，下一步，需加快推进5G、物联网、大数据、云计算等新信息技术在生态环境保护领域的建设与应用，实现生态环境管理信息化、数字化、智能化.某科技公司开发出一款生态环保产品.已知该环保产品每售出1件

31、预计利润为0.4万元，当月未售出的环保产品，每 1件亏损0.2万元.根据市场调研，该环保产品的市场月第 21页(共 27页)需求量在 1 5 5,2 0 5（单位：件）内取值，将月需求量区间平均分成5组，以各组区间的中点值代表该组的月需求量，得到频率分布折线图如图.（1）请根据频率分布折线图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值及方差；（2）以频率分布折线图的频率估计概率，若该公司计划环保产品的月产量”e 1 8 0,1 9 0 ,N CN*（单位：件），求月利润丫（单位：万元）的数学期望的最大值.5（参考数据：=3 2 8 5 0,占是各组区间中点值，P,是各组月需求量对应的频率，/,r=l

32、2,3,4,5）【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差【专题】计算题：整体思想：综合法：概率与统计：数学运算【分析】（1）根据平均值与方差的公式计算即可；（2）根据题意可得当月需求量为1 6 0,1 7 0,1 8 0时产品会有剩余，当月需求量为1 9 0,2 0 0时所有产品都能卖出去，依此列式求得数学期望，进而分析最大值即可.【解答】解：（1）由题意知，需求量为1 6 0,1 7 0,1 8 0,1 9 0,2 0 0的频率分别为0.0 0 5 x 1 0 =0.0 5 ,0.0 2 0 x 1 0 =0.2 ,0.0 4 0 x 1 0 =0.4 ,0.0 3 0 x 1 0

33、 =0.3 ,0.0 0 5 x 1 0 =0.0 5故该环保产品的市场月需求量的平均值x =1 6 0 x 0.0 5+1 7 0 x 0.2+1 8 0 x 0.4 +1 9 0 x 0.3+2 0 0 x 0.0 5 =1 8 1 ,5方差 s =3 2 8 5 0-1 8=3 2 8 5 0-3 2 7 6 1 =8 9；i=l（2 ）由 题 意 知，r =0.05x0.4xl60-0.2x（n-160）+0,2x 0.4 x70-0.2x（n-l 70）+0,4 x 0.4 xl8 0-0.2 x（n-1 80）+0,3 x 0.4+0.05 x 0.4=0.0 5 x （9 6 -

34、0.2 n）+0.2 x（1 0 2-0.2”）+0.4 x（1 0 8-0.2/j）+0.1 4 n =6 8.4 4-0.0 h,X n e 1 8 0,1 9 0 ,故当“=1 9 0时,取得最大值丫 =6 8.4 +0.0 1 x 1 9 0 =7 0.3 .【点评】本题考查了折线图，样本数据的数字特征以及离散型随机变量的期望，属于中档题.第22页（共27页）2 0.（1 2 分）（2 0 2 2 昆明一模）已知椭圆。:=+2=1（。6 0）的左、右焦点分别为耳、F2,a b左顶点为4-2,0）,离心率为4.（1）求 C的方程；（2）若直线/:y =%（x +l）（4 x 0）与C交于

35、点。，E,线段/E的中点分别为尸，。.设过点耳且垂直于工轴的直线为若直线OP与直线/交于点S,直线00与直线/交于点T,求 股 亏.【考点】直线与椭圆的综合【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算【分析】（1）由题意得到关于。，b,c的方程组，解得“，b,c即可；（2）设。（西，乂），E（X2,y2）,联立直线与椭圆的方程，消元、列出韦达定理，表示出直线。尸即可得到S的坐标，同理得到尸的坐标，从而表示出求“后，根据数量积的坐标运算即可得出所求的答案.【解答】解：（1）由题意可知：a=2c V 2 e=，a 2c2=a2-b2a=2解得+.6 2【考点】利用导数研

36、究函数的最值【专题】数学运算；函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理【分析】（1）求导分析函数/（x）在（0,）上的单调性，进而得出其最大值，即可得出a的最小值;第24页（共27页）(2)根据g(x)=；x-e J/(x)+eT,求导分析得出g(x)在(午，午)上有极大值点，进而放缩证明最大值M 大于等于极大值，进而大于g(),即可得出所证的结论.【解答】解：(1)因 为 函 数 刈=卑,e所 以/(x)=c os x-si n x _ c osx(l-ta n x)-，令/=0 得：x=-4故 当 一 吟 时，&)。，.单调递增,当x e(:,9 时，r(x)0,/(x)单调递减;所以“

37、X)的最大值为“1)=当，故实数。等，即。的最小值为左.(2)因为函数g(x)=g x e*/x)+e-、，所以 g (x)=；-c osx-e T ,x w(兀,2兀).先分析 g (x)=si nx +，r，x w 与，羊 ，因为si nx|-l,一 日 6 一 忘 6 3 e l,所以 g (x)-等 +e”1 e =0 ,3 2 3g X )=l-c o s -e 3 =-e 3 0,g)0,故g(x)在 与，号 上有极大值点，设为X。，3 2 3 3 6 2故原命题得证.第25页(共27页)【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档

38、题.（二）选考题：共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程2 2.（1 0 分）（2 0 2 2 昆 明 一 模）在 平 面 直 角 坐 标 系 中，曲 线 的参数方程为 x =l +c o s 0（夕为参数），直线的c?普通方程为x +y =3,以。为极点，x 轴的正半轴为极=s i n 夕轴建立极坐标系.（1）求 G与 的 极 坐 标 方 程；（2）在极坐标系中，射线e =a（0a,求a 的值.【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【专题】计算题；转化思想；综

39、合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的值的应用求出结果.【解答】解：（1）曲线 的 参 数 方 程 为=夕为参数），转换为直角坐标方程为 y-sm（p（x =整理得炉+/_2 0,X =pcosd根据，y-p s i n 0 ，转换为极坐标方程为夕=2 c o s 6 ；2 2 2 x2+y2=p-x=pcosd直 线 的 G 普 通 方 程 为 x +P =3 ,根据 y =0 s i n。,转 换 为 极 坐 标 方 程 为x2+y2=p2p c o s 0 +

40、p s i n 0-3 =0 .（2）根据题意：=2cos,整理得 2 c o s a：0=a第26页（共27页）pcos6+psin9=30-a,整理得 pcoscr+psina=3,所以a=一cos +sin cr3 7所以2cosa-:-=3,解得-=1,解得tana=l,cosa+sina 1 +tan ajr由于0 a J b+y/l c6.【考点】不等式的证明【专题】转化思想；转化法；推理和证明；数学运算【分析】(1)根据已知条件，结合基本不等式公式，即可求解.(2)根据已知条件，结合柯西不等式，即可求解.【解答】解：(1)，h,。均为正数，且 a+6+c=l,：,b+c=l-a

41、01 4 1 4 r 八、1 4、广 1-11-a 4a 八l-=i-=Q+(1-a)(I-)=5-i-F-5+2.1-=9,a b-c a-a a I-a a l-a V 2 l-a当且仅当 j=上，即4=1 时，等号成立，a l-a 3故_L+_的最小值为9.a b+c(2)证明：由柯西不等式可得，(l a)+(l b)+(l c)(l+l+l)N j n+J=T+J=即(J1-a+y/l b+Jl-o)?46 f故不等式Jl-a+J l-b +Jl-仁 述 成立,当且仅当a=b=c=,，等号成立.3【点评】本题主要考查不等式的证明，掌握柯西不等式是解本题的关键，属于基础题.第27页(共27页)