2023年上海市宝山区中考数学一模试卷.pdf

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1、2023年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选 择 题（共 6 题，每题4 分，满 分 24分）.1.（4 分）已知线段。、b,如果=2:3,那么下列各式中一定正确的是（）A.2a=36 B.a+b=5 C.=-D.=1a 2 b+22.（4 分）在&4 8 c 中，点。、E 分别在边AB、4 c 上，如果A:8。=1:3,那么下列条件中能判断D E/8 c 的是（）AA.-A-E-=1 o AE 1 AD 1 DE 1D.=C.=D.=AC 4 EC 4 AB 4 BC 43.（4 分）已知非零向量”、b、c,下列条件中，能判定向量。与向量b 方向相同的是（）A.a llc,b ile B.a

2、=2b C.a+b=0 D.a=3c,b=2c4.（4 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2,1）与原点。的连线与x 轴的正半轴的夹角为广，那么tan尸的值是（）A.2 B.-C.D.V52 55.（4 分）将抛物线y=x2+3 向右平移3 个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）A.y=x2B.y=x2-3 C.y=(x+3)2+3 D.y=(x-3)2+36.（4 分）已知AA8c中，NC=90。，AC=3、JSC=4.以C 为圆心作：C,如果圆C 与斜边AB有两个公共点，那么圆C 的半径长R 的取值范围是（）12 12 12 12A.0 y B.R C.3 D.R,4.二、填空题：（

3、本大题共12题，每题4 分，满分48分）7.（4 分）已知线段”=2,6=8,如果线段。是“、人的比例中项，那么c=.8.（4 分）已知一个三角形的三边之比为2:3:4,与它相似的另一个三角形4 8 c 的最小边长为 4 厘米，那么三角形ABC的周长为 厘米.9.(4 分)计 算：2(a-b)-3(a+b)=1 0.（4分）如果抛物线y =o?的开口方向向下，那么。的取值范围是.1 1.（4分）抛物线丫=-（彳-1）2+2 的对称轴是.1 2.（4分）正六边形的一个外角的度数为。.1 3.（4分）已知圆。的半径为1,A是圆。内一点，如果将线段OA的长记为d,那么d的取值范围是-.1 4.（4分

4、）如图，用长为1 2米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过1 2米），设花圃垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为y 平方米，那么y关于x的函数解析式为.（不要求写出定义域）1 5.（4分）如图，在 A 4 8 c 中，已知线段E F 经过三角形的重心G ,E F /AB,四边形A B F E的面积为I S。*,那么A A B C 的面积为 c 疗.1 6.（4分）已知内切两圆的圆心距为5,其中一个圆的半径长等于2,那么另一个圆的半径长 等 于.1 7.（4分）已知相交两圆的半径长分别为1 3 和 2 0,公共弦的长为2 4,那么这两个圆的圆心距为.1 8.（4 分）如图，已知 A

5、 4 B C 中，AB=A C =2,Z A =3 6 .按下列步骤作图：步 骤 1：以点B为圆心，小于8C的长为半径作弧分别交8C、AB于点。、E；步骤2：分别以点0 E为圆心，大 于;。E的长为半径作弧，两弧交于点步骤3：作 射 线 交AC于点F.那么线段A尸的长为三、解 答 题(共7题，满分78分)45。19.（10 分）计算：2cos60-11-co t300|+sin 600-120.(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=aY+fcv+c经过点A(3,0)、8(2,-3)、C(0,-3).(1)求抛物线的表达式；(2)点。与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点。的横

6、坐标为-2,试求点E的坐标.21.(10分)如 图，已知圆。的弦AB与直径CD交于点E,且C。平分AB.(1)已知AB=6,E C=2,求圆。的半径;(2)如果DE=3 E C,求弦AB所对的圆心角的度数.22.(1 0分)如 图，某小区车库顶部BC是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯A B.已知平台斜坡CC的坡度i=l:百，坡长为6米.在 坡 底。处测得灯的顶端A的仰角为45。，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角为60。，求灯的顶端A与地面O E的距离.(结果保留根号)23.(12分)已 知：如图，四边形ABC7)、ACE。都是平行四边形，M 是边C。的中点，联结 并 延 长，分别交AC、

7、D E 于点F、G .(1)求证：BF?=F M .BG ；(2)联结 C G,如果 A B=0 C G,求证：N B G C =NBAC.24.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y n-f+b x +c 经过点A(-l,0)、8(2,0),将该抛物线位于x 轴上方的部分沿x 轴翻折，得到的新图象记为“图象U”，“图象U”与 y轴交于点C.(1)写 出“图象U”对应的函数解析式及定义域；(2)求NACB的正切值；(3)点 P 在 x 轴正半轴上，过点尸作y 轴的平行线，交直线BC于点E,交“图象U”于点尸，如果ACEF与A4BC相似，求点尸的坐标.25.(14 分)如图 1,在 A

8、A8C 中，BC=2 6,A8=5,cot NA8C=.点。、E 分别在边 AC、2AB上(不与端点重合)，和 CE交于点F,满足NA8O=NBCE.(1)求证：C D2=D F D B；(2)如图2,当CEJ.AB时，求 CQ的长；(3)当ACD尸是等腰三角形时，求 力 的 值.参考答案一、选 择 题（共 6 题，每题4 分，满 分 24分）.1.（4分）已知线段、b,如果a:b =2:3,那么下列各式中一定正确的是（）A.2 a=3 h B.a+h=5 C.仁心=D.工=1a 2 b+2【分析】根据比例的性质进行判断即可.解：A、由a/=2:3,得 3 a =2），故本选项错误，不符合题意

9、；B、当。=4,6 =6时，a:b=2:3,但是“+人=1 0,故本选项错误，不符合题意：C、由:6 =2:3,得 故 本 选 项 正 确，符合题意；a 2D、当”=4,0 =6 时，a=2:3,但 是 空 3=，故本选项错误，不符合题意.b+2 8故选：C .【点评】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单.2.（4分）在A 4 B C 中，点。、E分别在边AB、4c上，如果A O:B D =1:3,那么下列条件中能判断。E/B C 的是（）AAE 1 AE 1 A D 1 D E 1A.=B.=-C.=-D =一A C 4 E C 4 A

10、B 4 BC 4【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论.解：AD:BD=:3,A D 1/.=一,AB 4，当丝时，生 二 空，A C 4 AB AC:.D E/B C,故A选项能够判断O E/8 C；而 C,B,。选项不能判断O E/BC.故选：A.【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用.3.（4 分）已知非零向量a、b、下列条件中，能判定向量&与向量6 方向相同的是（）A.a/c,b ile B.a=2b C.a+b=0 D.a=3c,b=2c【分析】由a

11、/c,6/c ,可得“/?,则。与的方向相同或相反；由|。|=2|6|可知，。与匕的方向相同或相反；由a+6=0,可得-8,则。与匕的方向相反，由。=3c,b=2c,可得c 则与的方向相同，即可得出答案.3 2解：对于A选项，由a/e,/?/e,可得a/，与人的方向相同或相反，故A 选项不符合题意；对于8 选项，a与b 的方向相同或相反，故 B 选项不符合题意；对于C 选项，由。+=0,可得=-，.a与b 的方向相反，故。选项不符合题意；对于）选项，由=3c,b=2c f i c=a=b,3 2:.a 与b的方向相同,故。选项符合题意.故选：D.【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质

12、是解答本题的关键.4.（4 分）在平面直角坐标系X。），中，已知点A（2,l）与原点。的连线与x 轴的正半轴的夹角为，那么tan夕的值是（）A.2 B.-C.D.V52 5【分析】过点4 作 AB_Lx轴，垂足为8,根据垂直定义可得NABO=90。，根据已知可得08=2,AB=,然后在R3ABO中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.解：如图：过点A 作轴，垂足为8,Z A B O=90,点 A(2,l),O B=2,AB=1 ,A A i在 RtAABO 中，tan/7=O B 2故选：B.【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题

13、的关键.5.（4 分）将抛物线y=Y+3 向右平移3 个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）A.y=x2 B.y=x2 3 C.y=(x+3)2+3 D.y=(x-3+3【分析】根据左加右减的平移规律求解即可.解：将抛物线y =f+3向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为y =(x-3 y+3,故选：D.【点评】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键.6.(4分)己 知AA8 C中，Z C=9 0 ,AC=3,BC=4.以C为圆心作 C,如果圆C与斜边A B有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是()1 2 1 2 1 2 1 2A.0 R B.

14、R C.-y /?3 D.B C,可得以C为圆心，R =4为半径所作的圆与斜边4 B只有一个公共点；若，C与斜边A B有两个公共点，即可得出R的取值范围.解：作C _ LAB于 ,如图所示：,ZACB=9 0 ,4 c =3,8 c =4,AB=V 32+42=5 ,AAB C 的面积=，AB.CQAC.B C,2 2,8=如史上，AB 51 0即圆心C到A B的距离d =，5AC BC,以C为圆心，R =4为半径所作的圆与斜边A B只有一个公共点，.若C与斜边A B有两个公共点，则R的取值范围是1 a+b)=_-a-5 h【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可.解：2(d-b)-3(d+

15、b)=2 a-2 b-3 ci-3 b=-a-5 h.故答案为：-a-5A.【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解答本题的关键.10.(4 分)如果抛物线)=加的开口方向向下，那么a 的取值范围是_ a 0 _.【分析】由抛物线的开口方向与a 的关系求解.解：1,抛物线=以 2的开口方向向下，a 0,故答案为：6 Z 0.【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握抛物线开口方向与。的符号的关系.11.(4 分)抛物线丫=一。一 1/+2 的 对 称 轴 是 直线x=l.【分析】由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解.解：v y =-(x-l)2+2,.

16、抛物线顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=l,故答案为：直线x=l.【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.12.（4 分）正六边形的一个外角的度数为 60.【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可.解：正六边形的外角和是360。，二正六边形的一个外角的度数为：360。+6=60。，故答案为：60.【点评】本题考查了多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键.13.（4 分）已知圆。的半径为1,4 是圆。内一点，如果将线段OA的长记为d,那么d 的取值范围是_ 0,d l_.【分析】根据点在圆内，0 d

17、r,可得结论.解：点A 在圆内，0 1,故答案为：0 J b）,两圆的圆心距为d,那么当”-人=6/时，两圆的位置关系是内切.1 7.（4分）己知相交两圆的半径长分别为1 3 和 2 0,公共弦的长为2 4,那么这两个圆的圆心距为 1 1 或 2 1 .【分析】设半径长分别为1 3 和 2 0 的4、8相交于点E、点 F,E F =2 4,连接AE、B E,则4E=13,BE=2 0,再分两种情况讨论，一是点A、点8在直线E F的同侧，延长BA交EF于点、C,根 据“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”得NBCE=90。，CE=CF=12,可由勾股定理求得BC=16,AC=5,则4B=BC-AC=

18、11；二是点A、点B在直线E尸的异侧，3A 交 E尸于点。，则 8。=16,AD=5,AB=BD+AD=2.解：半径长分别为13和20的4、B相交于点E、点、F,EF=24,连接 AE、BE,则 AE=13,BE=20,如 图1,点A、点B在直线EF的同侧，延长BA交E产于点C,4 8垂直平分EF,ZBCE=90,CE=CF=-EF=-x24=12,2 2BC=BE2-CE-=V202-122=16,AC=yjAE2-CE2=V132-122=5,AB=BC-AC=6-5=l l；如图2,点A、点B在直线EF的异侧，BA交EF于点。，NBDE=ZADE=90,DE=DF=-EF=-x24=2,

19、2 2BD=yjBE2-DE2=V202-122=16,AD=-J AE2-DE2=V132-122=5,AB=BD+AD=6+5=2,综上所述，这两个圆的圆心距为11或21,故答案为：11或21.【点评】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.18.（4 分）如图，己知 A4BC 中，AB=AC=2,乙4=36。.按下列步骤作图：步 骤 1：以点8 为圆心，小于BC的长为半径作弧分别交BC、AB于点。、E；步骤2：分别以点。、E 为圆心，大 于 的 长 为 半 径 作 弧，两弧交于点

20、M；2步骤3：作 射 线 交 AC于点尸.那么线段A F 的长为_ 亚-1【分析】由题意得，B F为 NABC的平分线，可得NABF=NCBF=36。，进而可得AF=BC,设 BC=AF=x,则 CF=2-x ,结合已知条件证明B C F A C B，贝 ij空=巨，即土=土AC BC 2 x求出x 的值，即可得出答案.解：由题意得，B F为 NABC的平分线，AABF=NCBF,AB=AC,NA=36,ZABC=NC=72,ZABF=NCBF=36,AF=BF,ZBFC=180-ZC-ZCBF=72,BC=BF,：.AF=BC,设 5 c =4 尸=X，贝 I J C 产=2 x,4A=4C

21、BF,NBCF=/ACB,.bBCFsACB，-B-C-=-C-F-，即Hn一 x=-2-x-AC BC 2 x解得工=6-1或-6-1（舍去）,AF=/5 1.故答案为：V 5 -1 .【点评】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.三、解答题：（本大题共7 题，满分7 8 分）f an 45。1 9.(1 0 分)计 算：2 c o s 60-|l-c o t 3 0|+-s i n 60 0-1【分析】分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可.解：=2 x 1-1 1-73 1 +

22、-2 百.-12=1-(V 3-1)2=1-73 +1-2(73 +2)=2-6-2 石-4=-3 73 -2 .【点评】本题考查的是实数的运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键.2 0.（1 0 分）在平面直角坐标系x O y 中，已知抛物线y =ad+fc t +c 经过点43,0）、B（2,-3）、C（0,-3）.（1）求抛物线的表达式:(2)点。与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点。的横坐标为-2,试求点E的坐标.【分析】(1)根据二次函数图象上的点的坐标特征解决此题.(2)根据二次函数图象的对称性求得E的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得E的坐标.解：(1)由题意得，

23、9“+3 b +c =0,4a+2 Z?+c =-3,c =-3 .a=1 f b=-2 .这个抛物线的表达式为y =丁-2 x-3 .(2)由(1)得，y=x2-2 x-3.二.该抛物线的对称轴是直线x =1 .点。与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，点D的横坐标为-2 ,E的横坐标是4.当 x =4 时，y =1 6 8 3 =5.(4,5).【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键.2 1.(1 0 分)如 图，已知圆O的弦4 B与直径CD交于点E,且 CD平分A B.(1)己知A 8 =6,E C=2,

24、求圆O的半径；(2)如果 E =3 E C,求弦4 B所对的圆心角的度数.【分析】(1)连接。4,如图，设。的半径为r,则O A =r,O E =r-2,先根据垂径定理得到AE=BE=3,CD 1 AB,在 RtAOAE中利用勾股定理得到3?+(r-2=/，然后解方程即可；(2)连接0 8,如图，先利用E=3EC得到OE=C E,即0 我=1。4,再利用正弦的定义2得到NA=30。，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算N 403即可.解：(1)连接O A,如图，设。的半径为r,则。4=r,0E =r-2 ,C D 平分 AB,AE =BE =3,C D AB,在 RtAOAE 中，3

25、2+(r-2)2=r2,解得r=U,4即。的半径为u；4(2)连接0 8,如图,D E=3 E C,O C +O E =3 E C,即 OE+CE+OE=3CE,O E =CE ,O E =-O C =-O A,2 2O f i在 RtAOAE 中，sinA=二 一，O A 2NA=30。，O A=O B,N8=NA=30,Z AO B=180-ZA-ZB=l20,即弦A 8所对的圆心角的度数为120。.【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.也考查了垂径定理和勾股定理.22.（1 0 分）如图

26、，某小区车库顶部8 c 是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB.已知平台斜坡CD的坡度1 =1:73,坡长为6 米.在 坡 底 D 处测得灯的顶端A 的仰角为45。，在坡顶C 处测得灯的顶端A 的仰角为60。，求灯的顶端A 与地面。E 的距离.（结果保留根号）【分析】过点8 作 8 F 1 O E 于点尸，过点C 作 C G LO E于点G,由坡度的定义及斜坡C的坡长为6 米，可得。G=3百 米，CG=B尸=3 米，设 BC=FG=x 米，贝产=（x+3百）米，在 RtAABC 中，tan60=73,解得 A8=x,则 AF=（3+G x）米，在BC xRtAADF中，ZADF=45,

27、可得AF=O尸，即3+瓜=工+3 /5,求出x 的值，进而可得答案.解：过点8 作于点尸，过点C 作 C G LO E于点G,由题意得，CQ=6 米，ZADF=45,ZACB=60,CG=B F,BC=FG,斜坡CD的坡度i=1:6,CG _ 1,岳 飞 即 DG=V3CG,在 RtACDG中，由勾股定理得CG。+(73CG)2=62,解得CG=3,.)G=3百 米，8尸=3米，设 8C=FG=x 米，贝 1 。/=原+3 6)米，AD AD 广在 RtAABC 中，tan60=V3,BC x解得A8=6X,4F=(3+G x)米，在 RtAADF 中，ZADF=45,AF=DF,即 3+6X

28、=X+3G ,解得x=3,A尸=(3+3回 米.灯 的顶端A 与地面D E的距离为(3+36)米.【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.23.（12分）已知：如图，四边形ABC。、ACE。都是平行四边形，M 是边CD的中点，联结 8 M 并延长，分别交A C、OE于点尸、G.(1)求证：BF?=F M -BG ；(2)联结 C G,如果 AB=0 C G,求证：Z B G C =ZBAC.【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到AB/CQ,AB=C。，则 48=2CM,C M =D M ,RF AR再证明 B F C M F

29、,利用相似比得到一=2,同理方法证明 C M F s D M G，F M C M则圾=1,所以Bb=2 F M=2 M G,然后利用8尸=4五“，尸 M 8G=4尸可得M G D M到结论;（2）先 利 用 AB=C D 得至I 。=血。6 ,C M =C G ,则 J=,力 口 上2 CD C G 2/M C G =/G C D ,则可判断ACMGSACG。，所以NMGC=N D E C,然后利用平行线的性质得至|J/EOC=NACD=N 8 A C,从而得至I 结论.【解答】证明：（1）四边形ABCO为平行四边形,AB/CD,AB=CD,M是边。的中点，/.AB=2 c M ,C M =D

30、 M ,.AB/CM,W B F s b C M F ,丝，=2/F M C M四边形ACEO为平行四边形,:.AC!IDE,.bCMFsbDMG,FM CM/.-=-=1 ,MG DMBF=2FM=2MG,BF2=4FM；FM BG=FM 4FM=4FM：/.BF2=FM BG；（2）AB=42CG,AB=CDfCD=V2CG,CM=CG,2.CG y/2 CM _y/2,CD2 1 CG-.CG CM,CDCG NMCG=ZGCD,kCMGsbCGD,ZMGC=/DEC,AC!/CD.NEDC=NACD,AB/CD,ZBAC=ZACD,/.NBAC=NBGC.【点评】本题考查了相似三角形的

31、判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算.也考查了平行四边形的性质.24.（12分）在平面直角坐标系冗Oy中，已知抛物线），=-/+云经过点A（T,0）、3（2,0）,将该抛物线位于戈轴上方的部分沿x 轴翻折，得到的新图象记为“图象U“图象U”与 y轴交于点c.(1)写 出“图象u ”对应的函数解析式及定义域；(2)求 N A C B 的正切值：(3)点 P在 x 轴正半轴上，过点P作 y 轴的平行线，交 直 线 于 点 E,交“图象U”于点 F ,如果A C E F 与A A

32、8 C 相似，求点尸的坐标.【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)由 S u*=1 x A B x C 0 =x A C x B H ,求出 B H =Q,进而求解；办 8 c 2 2 石(3)因为 N E =4 5 O =NA BC,故当 AC E F 与 AA8 c 相似时，N E C F =N AC 8 或 N 8 C A,当Z E C F =ZACBK i,设：C H =t,K l H F =3 t=H E,则 4 f =C E =后相且=E F =-机？+2?或 5 2-4,即可求解；当N E C F =N C A O 时，同理可解.解：(1)由题意得：y=-(x +l)(x-2

33、)=-x2+x+2 ,则翻折后的函数表达式为：y =/-x-2,即),=(一 +尤 +2(鹿 或*-1)：x 2(1 x F E =-m2+2 m 或 m2-4 ,如下图 Z E =45 =Z ABC,故当 CE F 与 A A B C 相似时，Z E C F =N ACB 或 N BCA,当 N E C F =N ACB 时，B P t a n N E C F=t a n ZACB=3 ,在A C E尸中，过点F作于点”，设：C H =t,则，尸=3 r =，E,则 4/=C =4 2 m 且 35=E F =-m2+2 优或加？-4,解得：加=_ 1 或出电（不合题意的值已舍去）；2 4当

34、 N E C F =Z C A O 时，则 t a n N E C F=t a n Z C A O =2 ,同理可得：3 t=CE =鬲 且 2 E t=E F=-nv+2 机或4,解得：加=2或2+2而（不合题意的值已舍去）；3 3综上，点 P的坐标为：d，0）或（三 四，0）或（2,0）或（上 2 何，0）.2 4 3 3【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键.2 5.（1 4 分）如图 1,在 A 48 C 中，8 c =2 石,A B =5,c o t N A 8 C =.点。、E 分别在

35、边 AC、24 B上（不与端点重合），和 CE交于点尸，满足N A B D =N BCE.(1)求证：CD?=D F DB；(2)如图2,当C E J.A B 时，求 CO的长;(3)当A C D 尸是等腰三角形时，求。尸：F B 的值.图1【分析】作 C G,A B 于G ,解直角三角形B C G ,求得BG和 C G ,进而解直角三角形4C G,求得AC,从而得出A C =AB,进一步得出N Q C F =N C B O ,从而A C D F s B D C ,进一步得出结论;(2)作。G _ LC E于G ,解直角三角形B E G,求得E尸=，B E =1,CF=C E-EF=3,解2n

36、r:A T 3R t A DC G ,得出 t a n/DC F =，进而设。G =3 a,CG=4a,CD=5a,从而CG CE 4FG=,进而由C G +F G =C尸得，4a+-a =3,进一步得出结果；2 2(3)由两种情形：当C F =。尸时，可推出C O =B C =2石，作C G _ LA 8于G,作。K _ L B C于K,进而证明 DC KW A C 3 G ,从而CK=BG=2,DK=CG=4,进而求得B。，根据(1)：CD2=DF B D,求得。F,进而求得8尸，进一步得出结果;当C Q =C F时，可推出B O =B C =2石，作8 H _ LA C于，可得出8 =4

37、,同样根据(1)o RCD?=DF-BD求得DF=*,进一步得出结果.【解答】(1)证明：如 图1,图1作 C G _ L A B 于 G ,c o t Z A B C =CG 2c o s Z.ABC=5:.BG=2后x*=2,CG=2BG=4,:.AG=AB-B G =3,AC=5,AC=AB,NACB=ZABC,.ZABD=ZBCE,/DCF=NCBD,ZCDF=/CD F,ACDFsBDC,.DF CD CDBD9CD2=DF,DB；(2)解：如图2,作。G J_CE 于 G,C E 1 A B，D G/AB,/FDG=ZABD=Z.BCE,/.tan ZFDG=tan ZABD=BE

38、:.EF=-B E =lf2:.CF=C E-EF=3,BE 1=tan ZBCE=-CE 2在 RtADCG 中,t a n/g”空CG CE34.,.设 0G=3。，CG=4a,CD=5a,FG=2由CG+bG=C/得,34。+a=3,26ci=11/.CD=5a=11(3)解：如图3,当 时，/CDF=NACF,ZACF=/CBD,/CDF=NCBD,CD=BC=275,作 CG_LA3 于 G,作。KJ_3C 于 K,NDKC=NCGB=9。，NDCB=Z.ABC，DCK=CBG(AAS)，CK=BG=2,DK=CG=4,BK=BC-CK=245-2,BD=yjDK2+BK2=次 +（2 石 _ 2）2 =7 40-8 5 ,由（1）知：CD2=DF BD,DF=（2 后2 07 40-8 7 5 ,40-8 君BF=BD-DF=,40-8 后-产?。=,=.科工8 g ,V 40-8 V 5 /5-=-,5 5.-.DF:FB=4:,综上所述：。尸；FB=5+2向 或 4:1.【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质及分类，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理清线段之间的关系.