直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题韩_中学教育-中考.pdf

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1、.word.直角三角形、斜边中线、等腰直角三角形专题 一、直角三角形的性质 1一块直角三角板放在两平行直线上，如图，1+2=度 2如图，ABC 中，BAC=90，ADBC，ABC 的平分线 BE 交 AD 于点F，AG 平分DAC，求证：BAD=C；AEF=AFE；AGEF 3如以下图，在ABC 中，CD，BE 是两条高，那么图中与A 相等的角有 4如图，ABC 中，ABAC，BE、CF 都是ABC 的高，P 是 BE 上一点且BP=AC，Q 是 CF 延长线上一点且 CQ=AB，连接 AP、AQ、QP，求证：APQ 是等腰直角三角形 二、含 30角的直角三角形的性质 5在 RtABC 中，A

2、CB=60，DE 是斜边 AC 的中垂线，分别交 AB、AC 于D、E 两点假设 BD=2，求 AD 的长.word.6如图，AOP=BOP=15，PCOA 交 OB 于 C，PDOA 于 D，假设PC=6，求 PD 的长 7如以下图，矩形 ABCD 中，AB=AD，E 为 BC 上的一点，且 AE=AD，求EDC 的度数 8如图，ABC 为等边三角形，点 D 为 BC 边上的中点，DFAB 于点 F，点E 在 BA 的延长线上，且 ED=EC，假设 AE=2，求 AF 的长 9如以下图，1=2，AD=BD=4，CEAD，2CE=AC，求 CD 的长 平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那

3、么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.10如图，在 RtABC

4、 中，ACB=90，B=30，AD 平分BAC，DEAB 于 E，求证：1CD=DE；2AC=BE；3BD=2CD；三、直角三角形斜边中线问题 11如图，在ABC 中A=60，BMAC 于点 M，AB 于点 N，P 为 BC 边的中点，连接 PM，PN，求证：PMN 为等边三角形；12锐角ABC 中，CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，M 是线段 BC 的中点，连接 DM，EM 1假设 DE=3，BC=8，求DME 的周长；2假设A=60，求证：DME=60；3假设 BC2=2DE2，求A 的度数 平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长

5、线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.13如图，在ABC 中，D 是 BC 上一点，AB=AD，E、F 分别是

6、 AC、BD 的中点，EF=2，求 AC 的长 14如图，在ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边 BC 上一动点，PEAB于 E，PFAC 于 F，M 为 EF 中点，求 AM 的最小值 15如图，在ABC 中，ACB=90，B=20，D 在 BC 上，AD=BD，E 为AB 的中点，AD、CE 相交于点 F，求DFE 等于多少 16如图，在 RtABC 中，ACB=90，将边 BC 沿斜边上的中线 CD 折叠到CB，假设B=50，求ACB=平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三

7、角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.17如图，ABC 中，AB=AC，D 为 AB 中点，E 在 AC 上，且 BEAC，假设DE=5，AE=8，求 BC

8、的长度 18如图，在平行四边形 ABCD 中，以 AC 为斜边作 RtACE，又BED=90 求证：AC=BD 19：如图，在 RtABC 中，ACB=90，点 M 是 AB 边的中点，CHAB 于点 H，CD 平分ACB 1求证：1=2 2过点 M 作 AB 的垂线交 CD 延长线于 E，求证：CM=EM；3AEB 是什么三角形？证明你的猜测 平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边

9、中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.20如图，在ABC 中，延长 CA 到 D，使 BA=BD，延长 BA 到 E，使 CA=CE，设 P、M、N 分别是 BC、AD、AE 的中点求证：PMN 是等腰三角形 四、等腰直角三角形问题 21如图，ACB、CDE 为等腰直角三

10、角形，CAB=CDE=90，F 为 BE的中点，求证：AFDF，AF=DF 22等腰直角三角形 ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，AE 平分CAB 交 CD 于E，在 DB 上取点 F，使 DF=DE，求证：CF 平分DCB 平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求

11、的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.23如图，OBD 和OCA 是等腰直角三角形，ODB=OCA=90 M 是线段 AB 中点，连接 DM、CM、CD假设 C 在直线 OB 上，试判断CDM 的形状 24如图，点 D 在 AC 上，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，点 M 为EC 的中点 1求证：BMD 为等腰直角三角形；2将图中的ADE 绕点 A 逆时针旋转 45，如图所示，那

12、么1题中的结论“BMD 为等腰直角三角形是否仍然成立？请说明理由 25：如图ABC 中，A=90，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E，F 分别在线段 AB，AC 上，且EDF=90 1求证：DEF 为等腰直角三角形；2求证：S四边形 AEDF=SBDE+SCDF；3如果点 E 运动到 AB 的延长线上，F 在射线 CA 上且保持EDF=90，平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜

13、边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.DEF 还仍然是等腰直角三角形吗？请画图说明理由 26ABC 中，ABC=45，ABBC，BEAC 于点 E，ADBC 于点 D 1如图 1，作ADB 的角平分线 DF 交 BE 于点 F，连接 AF求证：FAB=FBA；2如图 2

14、，连接 DE，点 G 与点 D 关于直线 AC 对称，连接 DG、EG 依据题意补全图形；用等式表示线段 AE、BE、DG 之间的数量关系，并加以证明 27如图，在ABC 中，ACB=90，AC=BC，D 为 BC 中点，DEAB，垂足为点 E，过点 B 作 BFAC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF、AF、AD，AD与 CF 交于点 G 1求证：ACDCBF；2AD 与 CF 的关系是；3求证：ACF 是等腰三角形；4ACF 可能是等边三角形吗？填“可能或“不可能 平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角

15、形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.直角三角形斜边中线等腰直角三角形专题 参考答案与试题解析 1【解答】解：如图，1=3，2=4对顶角相等，

16、3+4=90，1+2=90 故答案为：90 【点评】此题考察了直角三角形两锐角互余的性质，对顶角相等，熟记性质是解题的关键 2如图，ABC 中，BAC=90，ADBC，ABC 的平分线 BE 交 AD 于点F，AG 平分DAC，给出以下结论：BAD=C；AEF=AFE；EBC=C；AGEF其中正确的结论是 平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求

17、证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.A B C D【分析】根据同角的余角相等求出BAD=C，再根据等角的余角相等可以求出AEF=AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出 AGEF【解答】解：BAC=90，ADBC，C+ABC=90，BAD+ABC=90，BAD=C，故正确；BE 是ABC 的平分线，ABE=C

18、BE，ABE+AEF=90，CBE+BFD=90，AEF=BFD，又AFE=BFD对顶角相等，AEF=AFE，故正确；ABE=CBE，只有C=30时EBC=C，故错误；AEF=AFE，AE=AF，AG 平分DAC，AGEF，故正确 平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求

19、的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.综上所述，正确的结论是 应选 C【点评】此题考察了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键 3如以下图，在ABC 中，CD，BE 是两条高，那么图中与A 相等的角的个数有 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据条件 CD，BE 是两

20、条高可知：A+DCA=90，ABE+BHD=90，A+ABE=90，CHE+HCE=90，再根据同角的余角相等即可得到答案【解答】解：CDAB，CDA=BDH=90，A+DCA=90，ABE+BHD=90，BEAC，A+ABE=90，CHE+HCE=90，A=BHD=CHE，应选：B 平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分

21、别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.【点评】此题主要考察了直角三角形的性质，关键是根据垂直得到有哪些角互余 4 如图，ABC 中，ABAC，BE、CF 都是ABC 的高，P 是 BE 上一点且 BP=AC，Q 是 CF 延长线上一点且 CQ=AB，连接 AP、AQ、QP，判断APQ 的形状 【分析】利用 BE、CF 都是ABC 的

22、高，求证1=2，然后求证ACQPBA，利用 AQ=AP，AQAP，即可证明APQ 是等腰直角三角形【解答】解：APQ 是等腰直角三角形 BE、CF 都是ABC 的高，1+BAE=90，2+CAF=90同角可等角的余角相等 1=2 又AC=BP，CQ=AB，在ACQ 和PBA 中，ACQPBA AQ=AP，CAQ=BPA=3+90 QAP=CAQ3=90 AQAP APQ 是等腰直角三角形 平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以

23、下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.【点评】此题考察学生对全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的理解和掌握，难度不大，属于根底题 5 2021秋泰山区期中在 RtABC 中，ACB=60，DE 是斜边 AC 的中垂线，分别交

24、 AB、AC 于 D、E 两点假设 BD=2，那么 AD 的长是 A3 B4 C5 D4.5【分析】根据直角三角形的性质求出A 的度数，根据线段垂直平分线的性质得到 DA=DC，解答即可【解答】解：ACB=60，B=90，A=30，DE 是斜边 AC 的中垂线，DA=DC，ACD=A=30，BD=2，AD=4，平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连

25、接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.应选 B【点评】此题考察的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 6 2021秋大丰市月考如图，AOP=BOP=15，PCOA 交 OB 于 C，PDOA 于 D，假设 PC=6，那么 PD 等于 A4

26、 B3 C2 D1【分析】过点 P 作 PEOB 于 E，根据两直线平行，错角相等可得AOP=COP，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和求出PCE=AOB=30，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半解答【解答】解：如图，过点 P 作 PEOB 于 E，PCOA，AOP=COP，PCE=BOP+COP=BOP+AOP=AOB=30，又PC=6，PE=PC=3，AOP=BOP，PDOA，PD=PE=3，应选 B 平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边

27、的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.【点评】此题考察了直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和的性质，以及平行线的性质，作辅助线

28、构造出含 30的直角三角形是解题的关键 7 2021 春兰溪市期末如以下图，矩形 ABCD 中，AB=AD，E 为 BC 上的一点，且 AE=AD，那么EDC 的度数是 A30 B75 C45 D15【分析】根据矩形性质得出C=ABC=90，AB=CD，DCAB，推出 AE=2AB，得出AEB=30=DAE，求出EDC 的度数，即可求出答案【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，C=ABC=90，AB=CD，DCAB，AB=AD，E 为 BC 上的一点，且 AE=AD，AE=2AB，AEB=30，ADBC，AEB=DAE=30，AE=AD，ADE=AED=180EAD=75，平分线交于点平分求证

29、如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.A

30、DC=90，EDC=9075=15，应选 D 【点评】此题考察了矩形性质，三角形的角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含 30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出ABC 和EBA的度数，题目比拟好，是一道综合性比拟强的题目 8 2021春校级期末如图，ABC 为等边三角形，点 D 为 BC 边上的中点，DFAB 于点 F，点 E 在 BA 的延长线上，且 ED=EC，假设 AE=2，那么 AF 的长为 A B2 C+1 D3【分析】过点 E 作 EHAC 交 BC 的延长线于 H，证明ABH 是等边三角形，求出 CH，得到 BD 的长，根据直角三角形的性质求出 BF，计算即可【解

31、答】解：过点 E 作 EHAC 交 BC 的延长线于 H，H=ACB=60，又B=60，EBH 是等边三角形，平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证

32、如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.EB=EH=BH，CH=AE=2，ED=EC，EDC=ECD，又B=H，BED=HEC，在BED 和HEC 中，BEDHEC，BD=CH=2，BA=BC=4，BF=BD=1，AF=3 应选：D 【点评】此题考察的是等边三角形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的三个角都是 60是解题的关键 92021春古冶区校级期中如以下图，1=2，AD=BD=4，CEAD，2CE=AC，那么 CD 的长是 平分

33、线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是

34、的.word.A2 B3 C1 D1.5【分析】在 RtAEC 中，由于=，可以得到1=2=30，又 AD=BD=4，得到B=2=30，从而求出ACD=90，然后由直角三角形的性质求出 CD【解答】解：在 RtAEC 中，=，1=2=30，AD=BD=4，B=2=30，ACD=180303=90，CD=AD=2 应选 A【点评】此题利用了：1直角三角形的性质；2三角形角和定理；3等边对等角的性质 10 2021 秋包河区期末如图，在 RtABC 中，ACB=90，B=30，AD 平分BAC，DEAB 于 E，以下结论 1 CD=DE；2 AC=BE；3 BD=2CD；4DE=AC 中，正确的有

35、 平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设

36、分别是的.word.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据角平分线的性质可得CD=DE，AC=BE，结合含 30角的直角三角形的性质可得 BD=2CD，而 AC 和 BD 不一定相等，所以可得出答案【解答】解：ACB=90，B=30，AD 平分BAC，DEAB，DC=DE，ADC=ADE=60，AD 平分CDE，AC=AE，在 RtBDE 中，B=30，BD=2DE=2CD，在 RtADE 中，DE=AE=AC，正确的有1、2、3，应选 C【点评】此题主要考察角平分线的性质及含 30角的直角三角形的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键 11 2021 秋江阴市期中

37、如图，在 ABC 中A=60，BMAC 于点 M，AB 于点 N，P 为 BC 边的中点，连接 PM，PN，那么以下结论：PM=PN；PMN 为等边三角形；下面判断正确是 平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如

38、图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.A正确 B正确 C都正确 D都不正确【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断正确；根据直角三角形两锐角互余的性质求出ABM=A=30，再根据三角形的角和定理求出B+CBM=60，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和求出BPN+CPM=120，从而得到MPN=60，又由得PM=PN，根据有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形可判断正确【解答】解：BMAC 于点 M，AB 于点 N

39、，P 为 BC 边的中点，PM=BC，PN=BC，PM=PN，正确；A=60，BMAC 于点 M，AB 于点 N，ABM=A=30，在ABC 中，B+CBM18060302=60，点 P 是 BC 的中点，BMAC，AB，PM=PN=PB=PC，BPN=2 B，CPM=2CBM，BPN+CPM=2B+CBM=260=120，MPN=60，PMN 是等边三角形，正确；平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于

40、求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.所以都正确 应选：C【点评】此题主要考察了直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键 12锐角ABC 中，CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，M 是线

41、段 BC 的中点，连接 DM，EM 1假设 DE=3，BC=8，求DME 的周长；2假设A=60，求证：DME=60；3假设 BC2=2DE2，求A 的度数 【分析】1根据直角三角形斜边上中线性质求出 DM=BC=4，EM=BC=4，即可求出答案；2 根据三角形角和定理求出ABC+ACB=120，根据直角三角形斜边上中线性质求出 DM=BM，EM=CM，推出ABC=BDM，ACB=CEM，根据三角形角和定理求出即可；3求出 EM=EN，解直角三角形求出EMD 度数，根据三角形的角和定理求出即可【解答】解：1CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，BDC=BEC=90，平分线交于点平分求证如以

42、下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.M 是

43、线段 BC 的中点，BC=8，DM=BC=4，EM=BC=4，DME 的周长是 DE+EM+DM=3+4+4=11；2证明：A=60，ABC+ACB=120，BDC=BEC=90，M 是线段 BC 的中点，DM=BM，EM=CM，ABC=BDM，ACB=CEM，EMC+DMB=ABC+ACB=120，DME=180120=60；3解：过 M 作 MNDE 于 N，DM=EM，EN=DN=DE，ENM=90，EM=DM=BC，DN=EN=DE，BC2=2DE2，2EM2=22EN2，EM=EN，sinEMN=，EMN=45，同理DMN=45，DME=90，DMB+EMC=18090=90，平分线

44、交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的

45、.word.ABC=BDM，ACB=CEM，ABC+ACB=180DMB+180EMC=135，BAC=180ABC+ACB=45 【点评】此题考察了等腰三角形的判定和性质，三角形的角和定理，解直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能综合运用性质进展推理是解此题的关键，此题综合性比拟强，有一定的难度，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 13 2021春区校级期中如图，在 ABC 中，D 是 BC 上一点，AB=AD，E、F 分别是 AC、BD 的中点，EF=2，那么 AC 的长是 A3 B4 C5 D6【分析】连结 AF由 AB=AD，F 是 BD 的中点，根据等腰三角形三

46、线合一的性质得出 AFBD 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC=2EF=4 【解答】解：如图，连结 AF 平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为

47、斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.AB=AD，F 是 BD 的中点，AFBD 在 RtACF 中，AFC=90，E 是 AC 的中点，EF=2，AC=2EF=4 应选 B 【点评】此题考察了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半利用等腰三角形三线合一的性质得出 AFBD 是解题的关键 14 2021秋堰市期末如图，在 ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边 BC上一动点，PEAB 于 E，PFAC 于 F，M 为 EF 中点，那么 AM 的最

48、小值为 A2 B2.4 C2.6 D3【分析】先求证四边形 AFPE 是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似三角形对应边成比例即可求得 AP 最短时的长，然后即可求出 AM 最短时的长【解答】解：连结 AP，在ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是

49、边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设求证假设求的度数如图在中是上一点分别是的中点求边上的中线折叠到假设求如图中为中点在上且假设求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜测如图在中延长到使延长到使设分别是的.word.BAC=90，PEAB，PFAC，四边形 AFPE 是矩形，EF=AP M 是 EF 的中点，AM=AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即 APBC 时，AP 最短，同样 AM 也最短，当 APBC 时，ABPCBA，=，=，AP 最短时，AP=4.8 当 AM 最短时，AM=2.

50、4 应选 B 【点评】此题主要考察学生对相似三角形判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定的拔高难度，属于中档题 15 2021武隆县模拟如图，在 ABC 中，ACB=90，B=20，D 在 BC平分线交于点平分求证如以下图在中是两条高那么图中与相等的角有如图中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点假设求的长如图交于于假设长如以下图求的长如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形锐角中分别是边上的高是线段的中点连接假设求的周长假设