2021年高考理科数学真题及答案(全国乙卷).pdf

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1、2021年全国乙卷高考理科数学真题及答案注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时.，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设 2 (z+z)+3(z-z)=4+6 i,则 z=().A.l-2 iB.l+2 iC.1+iD.1-i2.已知集合 S=s|s=2 n+l,n Z,T=1 1

2、 t=4 n+l,n Z ,则 S C T=()A.0B.SC.TD.Z3.已知命题p：3 xeR,sin x qD.-i(pV q)4.设函数f(x)=二，则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-l)-lB.f(x-l)+lC.f(x+l)-lD.f(x+D+l5.在正方体ABCD-ABCD中，P 为 B D 的中点，则直线PB与 所 成 的 角 为()A.三B.-3C.-4D.-66.将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有()A.60 种B.120 种C.240 种D.4

3、80 种7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移F个单位长度，得到函数丫=$如&q)的图像，则 f(x)=()A.sin(f-B-si吟+卷)C.sin(2x-三)D.sin(2x+J8 .在 区 间（0,1）与（1,2）中各随机取1 个数，则两数之和大于:的概率为（）4A-49 .魏晋时期刘徽撰写的 海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点 E,H,G 在水平线A C 上，D E 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称 为“表高”，EG 称 为“表距”，G C 和 EH 都称为“表目距”，G C 与

4、E H 的差称为“表目距的差”。则海岛的高A B 二（）.唐工乂表至表m 运涝差表高1 0 .设 a#0,若 x=a 为函数f（x）=a（x-a）/x-b）的极大值点，则（）.A：a bC：a ba21 1.设B是椭圆C：W+V =i（a b 0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|P B|S 2 b,则C的离心率的取值范围是（）.A：停，】）B：1）C：（。习D：但1 2.设a=21nl.0L b=lnl,O2,c=V T04-L 贝U （）.A：a b cB：b c aC：b a cD：c a 0）的一条渐近线为V5x+m y=0,则C的焦距为.1 4.已知向量 a=（1,3）,b=（3,

5、4）,若（a-、b）b,则入=。1 5.记AABC的 内 角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为遍，B=60 ,a2+c2=3 a c,则b=.1 6.以图为正视图和俯视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求的一组答案即可）.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1 7-2 1 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 2 2、2 3 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。1 7.（1 2 分）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设

6、备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1 0 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为f 和y,样 本 方 差 分 别 记 为 和1 0 设备9.81 0.31 0.01 0.29.99.81 0.01 0.11 0.29.7新 设备1 0.11 0.41 0.11 0.01 0.11 0.31 0.61 0.51 0.41 0.52S2（1）求a y,s：2,s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果尸元2 隹I则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著

7、提高）.1 8.（1 2 分）如图，四棱锥P-A B C D 的底面是矩形,P D J _ 底面A B C D,P D=D C=L M为 B C 的中点,且P B _ L A M,（1）求 B C；(2)求二面角A-P M-B 的正弦值。(第 18题图)1 9.(1 2 分)记 S.为数列 a 0 的前n 项和，b“为数列 S J 的前n 项和，己知三+2=2.、n%(1)证明：数列 b n 是等差数列；(2)求 a 的通项公式.2 0.(1 2 分)设函数f (x)=l n (a-x),己知x=0是函数y=x f (x)的极值点。(1)求 a；(2)设函数g (x)=叶口匕，证明：g (x)

8、0)的焦点为F,且 F 与圆M：x2+(y+4)上点的距离的最小值为4.(1)求 P;(2)若点P在 M 上，P A,P B是 C 的两条切线，A,B 是切点，求A P A B 的最大值.(-)选考题：共 1 0分，请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。2 2 .选修4 一 4：坐标系与参数方程(1 0分)在直角坐标系x O y中，0 C 的圆心为C(2,1),半径为1.(1)写出0 c的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过点F (4,1)作0 c的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.2 3

9、 .选修4 5：不等式选讲(1 0分)已知函数 f (x)=|x-a|+1 x+3 1.(1)当 a=l 时，求不等式f (x)6 的解集；(2)若 f (x)一a，求 a的取值范围.理 科 数 学 乙 卷(参考答案)注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回1-5 CCA BD6-1 0 CBBA D1 1-1 2 CB1 3.41 5.2y/21

10、 6 .或1 7.解：(1)各项所求值如下所示%=(9.8+1 0.3+1 0.0+1 0.2+9.9+9.8+1 0.0+1 0.1+1 0.2+9.7)=1 0.01 0y=(1 0.1+1 0.4+1 0.1+1 0.0+1 0.1+1 0.3+1 0.6+1 0.5+1 0.4+1 0.5)=1 0.3s r X (9.7-1 0.0)2+2X(9.8-1 0.0)2+(9.9-1 0.0)2+2 X (1 0.0-1 0.0)2+(1 0.1-1 0.0)2+2x (1 0.2-1 0.0)2+(1 0.3-1 0.0)2 =0.3 6,S=x (1 0.0-1 0.3)2+3 x

11、(1 0.1-1 0.3)2+(1 0.3-1 0.3)2+2 x (1 0.4-1 0.3)2+2 x-1 0(1 0.5-1 0.3)2+(1 0.6-1 0.3)1 =0.4.(2)由(1)中数据得广广0.3,2理工0.3 4显然片 2匿I所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。1 8.解：(1)因为P D,平面A BCD,且矩形A BCD中，A D 1 D C,所以以万工万 而分别为x,y,z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。设 BC=t,A(t,0,0),B(t,1,0),M (；,1,0),P(0,0,1),所以丽=(t,1,-1),(-=,1,0

12、),因为P BJ _AM,所以丽丽=-三+1=0,所 以t=V 2,所以B C=0。(2)设平面AP M的一个法向量为m=(X,y,z),由 于 正(-7 2,0,1),则m AP=-V2x+z=0.V2m AM=-x+y=0令 x=V2,得 m=C,y/2,1,2)o设平面P M B的一个法向量为n=(x，y,z),则 _nC B =V2xf=0(n PB=y/2x+yf-zf=0令=1,得 n=(0,1,1).所以c 0 s 5,n)=晶=忐 六 答，所以二面角A-P M-B的正弦值为答.1 9.(1)由已知三+；2,则4 s“(n2 2)n 2 i+_=2=2 b“T+2=2 b“nb/

13、b i=*(n2 2),b i=?bn bn 2 2故 b)是以:为首项，；为公差的等差数列。(2)由(1)知 b“=%(n-1)=些，贝 a+上2=S =2 2 2 s n+2 n+1n=l 时，a i=Si 二；n2时，a“=SS产 岩-若 一 看3 n=1故 吟(一 标 P 22 0.(1)xf(x)=x f(x)+xf (x)当 x=0 时,xf (x)1=f (0)=l na=0,所以 a 二 l(2)由 f (x由l n(l-x),得 xVl当 O V x V l 时,f (x)=l n(l-x)0,xf (x)0,xf (x)xf (x),x+l n(1-x)-xl n(l-x)

14、0令 l-x=t (t 0 且 t Wl),x=l-t,即证 l-t+l nt-(l-t)l nt 0令 f (t)=l-t+l nt-(l-t)I nt,则f (t)=T-，(T)l nt+宁=T+*l n t-m l n t所以f(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故 f(t)f (1)=0,得证。2 1.解：(1)焦点F(0 1)到e+(y+4尸=1的最短距离为9+3=4,所以p=2.(2)抛物线y=：x 2,设 A(xi,y。,B(x2,y2),P(x0,yo),则=y=二 x(x x J+%=:xi=xix yvJ J 4 Ji pS：y=zx2x-y：且*=-y

15、s -8 yo -1 5.(1I%,3 都过点P(x,y),则，y 0=-：X-,XQ-y,故,人：先=打i 0%-丫，即 丫 =白10%一比.y0=j X:x0-y2 l-联立卜一三“o x V。，得x。-2 x()x+4 y0 =0,=4 xj -1 6y0.I x2=4 y所以|AB|=J l +y -J 4 x；-1 6yo 44+x：-yxj 4 y0,P-AB=日-产L 所以=：M B|.d p _4/洲-4 y0|-4 yo =：(x：-4 y0)i=i(-y02-1 2 y0-1 5)1而ye -5,-3 故当y=-5时，达到最大，最大值为2 0方.2 2 .(1)因为0C 的

16、圆心为(2,1),半径为1.故0C 的参数方程为；,二：。(6 为参数).(2)设切线 y=k(x-4)+l,即 kx-y-4 k+l=0.故仁 J-3”=1，1+产即12k lzm,4/=1+4，解得k=翌故直线方程为y=(x-4)+l,y=一 迎(x-4)+l3 3 3故两条切线的极坐标方程为p s i n8=Fc o s 6-：v +l或p s i n6=*o s 8 +；v 3+L2 3 .解：6 a=1 时，f(x)=|x-l|+|x+3|,即求|x-1 1 +1 x-3 1 2 6 的解集.当 x21 时，2 x十 2 2 6,得 x与 2;当-3 x-a,而由绝对值的几何意义，即

17、求x 到 a 和-3 距离的最小值.当 x 在 a 和-3 之间时最小，此 时 f (x)最小值为|a+3 1,即1 a+3 1 -a.AN-3 时,2 a+3 0,得 a -3 a -a,此时 a 不存在.综上，a -；.附：高考数学答题技巧1、调整好状态，控制好自我。Q)保持清醒。数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。(2)按时到位。今年的答题卡不再单独发放，要求答在答题卷上，但发卷时间应在开考前5-10分钟内。建议同学们提前15-20分钟到达考场。2、通览试卷，树立自信。刚拿到试卷，一般心情比较

18、紧张，此时不易匆忙作答，应从头到尾、通览全卷，哪些是一定会做的题要心中有数，先易后难，稳定情绪。答题时，见到简单题，要细心，莫忘乎所以。面对偏难的题，要耐心，不能急。3、提高解选择题的速度、填空题的准确度。数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法 尽显威力。12个选择题,若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。由于选择题的特殊 性，由此提出解选择题要求 快、准、巧 ，忌讳 小题大做。填空题也是只要结果、不要过程，因此要力求 完整、严 密 。4、审题要慢，做题要快，下手要准。题目本身就是破-解这道题的信息源，所以审题一定

19、要逐字逐句看清楚，学习计划，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息。找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不拖泥带水，牢记高考评分标准是按步给分，关键步骤不能丢，但允许合理省略非关键步骤。答题时，尽量使用数学语言、符号，这比文字叙述要节省而严谨。5、保质保量拿下中下等题目。中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要部分，是考生得分的主要来源。谁能保质保量地拿下这些题目，就已算是打了个胜仗，有了胜利在握的心理，对攻克高难题会更放得开。6、要牢记分段得分的原则，规范答题。会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科 学，防止被 分段扣点分。7、考数学就是和时间的斗

20、争。问题卷一发下来后，首先把全部问题看一遍。找出其中看上去最容易解答的题，然后假定步骤，思考怎么样的顺序解题才最好。8、切忌不看题目盲目背题，要仔细审题，清楚题目要求你解决什么问题,然后有条不紊迅速解题，提高准确率。9、解题格式要规范，重点步骤要突出。10、卷选择题时间控制在35分中以内。小题小做、巧做、简 单 做，选择题和填空题要多用数形结合、特殊值验证法等技巧，节约时间。11、保持心静，以不变应万变。切莫因旁人的翻卷或其他行为干扰自己的解决思路。高考考场数学抢分七大法宝1、选择题绝不空选。没 办 法，特值代入验证法。能用排除法，增加选对概率。即使什么也不会，随便选一个也有2 5%的命中率。

21、2、填空题决不空白。利用特殊性，算出一个特殊值。看懂要求的，只要不填笑话就行（如概率写2;Sin0=-2.5;面积为负数渚如此类等等皆为笑话）。3、放弃该放弃的。高考数学满分全省一般有零个!你有做不出的题，这是正常现象。不浪费时间就是效率，就是在抢分。4、收获该收获的。能拿下的题，记得结论力求正确，正确的答案比过程还重要!有时间尽量把答案代回到原题中检验。中国人最不负责，到 处 都 是 出 门 概 不 负 责 ，根源是学校教学考试中，最不讲究最终结果的检验！5、尽力多做一步。高考数学，与其说是知识掌握程度的比拼，不如说首先是比战斗意志力的强弱。能多写一点点，绝不图省事半分。函数大题求单调区间，写出函数的导数也是很不错的。立体几何采用框架式。解三角形、数列问题，写出相关 公 式，能够套代的代入转化也可得分。总 之，不能完全解决的，知 无 不 写，写无不尽。6、跳步答题。对于大题，一般一题多问，至少有两问。第一问一旦卡壳，第二问可以独立解决，或借助第一问的结论解决，我们要毫不犹豫的把第二问拿下。7、写明思路。很多时候，做某道大题，因为时间关系，或者因为头脑不清醒啦，老是算错或算不出一个理想的结果来，你可以写明解题思路，将问题解答的等价转化写清楚，也能获得阅卷者的好评，毕竟思路决定出路，战略决定全局。