2021年高考天津卷数学真题含答案解析.pdf

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1、试卷主标题姓名：班级：考号：一、选择题（共9题）1、设集合 人 T O R，8 =1，3,5 0 =0,2,4),则(4c B)uC=()A.0)B,0 1 3,5 c,0,1 24 D.0 23,4 2、已知 a e R,则“a 6”是“36”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D .既不允分也不必要条件也3、函 数/+2的图像大致为（）4、从某网络平台推荐的影视作品中抽取4 0 0部，统计其评分数据，将所得4 0 0个评分数据分 为8组：26,7 0）、7 0,7 4）、B ,9 8 ,并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间1 8 2,8 6）内的影视作品数量是（）

2、A.20 B.4 0 C.6 4 D .8 0a=log20.3,Z=log1 0.4,c=O.4035、设 z，则a ,b ,c的大小关系为（）A.a b .c a bC.b c a）.a c 0 ）的右 焦点与抛物线=2/3 0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A,8两点，交双曲线的渐近线于C、两点，若=切.则双曲线的离心率为（）A.亚B.6 C.2 D .3COS（27TX-2 7 ）.x 0,b 0,则办+齐+的最小值为 .三、解答题（共5题）1、在AB C,角4瓦。所对的边分别为瓦。，已 知s i n/:s i n 8:s i n C=2:1:虎，8=0.（I ）求a的值;(I I

3、 )求c os C的值;sin(H I )求2 T6)的值.2、如图，在棱长为2的正方体抽C O-4 4 G A 中，6为 棱 8。的中点，产为棱 切的中点.(I )求证：马尸平面4 名 孰；(I I )求直线/G 与平面A E G 所成角的正弦值.(I I I )求二面角R-4 G-E 的正弦值./y 22 53、已知椭圆h 7=的右焦点为尸，上 顶 点 为 巴 离 心 率 为 亍，且 网=指.(1)求椭圆的方程；(2 )直线/与椭圆有唯一的公共点M,与 y 轴的正半轴交于点N,过N 与3 尸垂直的直线交x 轴 于点P.若MPIIB F,求直线，的方程.4、已 知 是 公 差 为 2的等差数

4、列，其 前 8 项和为6 4 .闻是公比大于0的等比数列，a =4 也-4=4 8.(I )求(%)和 的 通 项 公 式;（I I )记 i）证 明6-q J是等比数列;(i i )证明 Wc2t0,函数/（x）=-r e（I ）求 曲 线 夕=/。）在 点（J（）处 的 切 线 方 程：（II）证 明/（X）存在唯一的极值点（I I I）若 存 在 a,使 得 了（x a+b对 任 意x eR成 立，求实数的取值范围.=参 考 答 案=一、选择题1、C【分 析】根 据 交 集 并 集 的 定 义 即 可 求 出.【详 解】7 1 =(-1,0,1),B=l,3,5,(7=0,2,4)?.n

5、 =l).(j c B)u C=0,1,2,4)故 选：C.2、A【分 析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若a 6,则 3 6,故充分性成立；若 3 6,则a 6或a6,故必要性不成立；所 以“八6”是“3 6”的充分不必要条件.故选：A.3、B【分析】由函数为偶函数可排除A C,再由当x e(O，D时，,(x)0,排 除D ,即可得解.【详解】_ l n|r|f I 1设7 =7W=7 T2,则函数“X)的 定 义 域 为 关 于 原 点 对 称，/(-x)=/(r)又 IE+2 ,所 以 函 数 为 偶 函 数，排 除AC；当 x e(O 1)时,l n|x|0,

6、所以 x)0,排除 口.故选：B.4、D【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间 82,86)内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间馆2,86)内的影视作品数量为4 0 0 x 0.0 5 x 4 =80.故选：D.5、D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出。也。的范围即可求解.【详解】.log20.3.”log2 2=122,b1,v00,43 0.4=1,0 c 1,.a c 1AD BD=7 5,-TFXCD2(AD+BD =-=ATT因此，这两个圆锥的体积之和为3 3故选：B.7、C【分析】由已知表示出凡方，再由换底公式可求.【详解】2a=5#=10,1 4

7、=也10步=1限10,F=-1-1g 2+lg 5=1g 10=1a b log210 logs 10故选：C.8、A【分析】设公共焦点为（）,进而可得准线为为=e，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值?_ 1 2可得 二留，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线7-产=3 与抛物线/=2/初 0）的公共焦点为（G 0）,则抛物线/=2px（p 0）的准线为x=c,/2所以双曲线的离心率 a.故选：A.9、A【分析】由工2-2 9+1口+a时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】./-2（&+1）入+1+5=0最多有2个根，所 以c os（2-2 M=至少有4个根，7

8、Tk 12m-2na=+k7 rfk eZ x=+afke Z由 2 可得 2 4 ,由。二+,2 4 可得-2 a-k -22,1 7 9 5 v 2 以 一 一 一4 ,v 一(1 )X“时，当 2 时，力制有4个零点，即4 4；1 9 1 1,一6-2以 一 一 -5,一a 工 当 2,力幻有5个零点，即4 4 ；一、1 /1 1 J3,7 X-2 以 一 一 一6 上 i 八.,a 时，/W=x2-2(a+l)x+a2+5A =4(a+l)2-4(2+5)=8(a-2)当2时，2时，令/(a)=a2-2a(a+l)+a2+5=-2 a+5 0 则 2 a-2 ,此时 了有 2 个零点;

9、5所以若 5时，有1个零点.综上，要使了在区间(，*)内恰有6个零点，则应满足 7 9 f 9 1 14 4 4 45、5 4 4 42 a 一、I 2或l 2或 匕 2,(2 9 1 f5 H 则可解得a的取值范围是【口 “5 彳 .【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x a两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.二、填空题2 201、3 27【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次 和3次都获胜求解.【详解】5_ x4_ 2_由题可得一次活动中，甲获胜的概率为6 5-3；则 在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为x邛*3 27於

10、回2 20故答案为：3；27.1 12、1 20【分析】设B S =x,由（2丽+女产=4赤。4砺 丽+加2可求出；将（丽+唬 次 化 为 关 于x的关系式即可求出最值.【详解】xe 0,-设B E=x,I 2),.“5 C为边长为1的等边三角形，D ELAB,Z B D E=30 ,5 D =2x,D E =书x,D C =1-2x,：DFI/A B,2血为边长为l-2x的等边三角形，D E L D F,(2B E+D F)2=4砺2+4B E D F +D F2=4x2+4 x(1-2x)xc os0*+(1-2)2=1二|2赤+函=1,.,.1 2 .,v DE+DF)DA=(DE+DF

11、)-(DE-EA)=DE+DF EA(X)2+(1-2X)X(1-X)=5?-3X+1=5 -+苗_3_ _ _ _ 21所 以 当 =记时，(丽+丽 而 的 最 小 值 为 20.11故答案为：1;20.3、4-1【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】9+2i=(9+2i)(2-i)=20-5i=2+1=(2+i)(2-i)=5=故答案为：4-i.4、160【分析】求出二项式的展开式通项，令 x 的 指 数 为 6 即可 求 出.【详解】的展开式的通项为令18-4厂=6,解 得r =3,所 以f的系数是2七：=160故答案为：160.5、万【分析】设直线 期的方程为y=则点 眼 力），

12、利用直线4 9与圆相切求出6的值，求 出M c|,利用勾股定理可求得11.【详解】设 直 线 的 方 程 为y=x+b,则 点4（0肛由 于 直 线 期 与 圆x?+O-l）?=l相切，且圆心为C（0，l）,半 径为1,h zi i=i则 2 -,解 得5=-1或b=3,所 以 依1 =2,因 为 忸 斗1,故 网=也 不 网=布故答案为：G6、20【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】,/（7 0 ,b 0 ,9 髀=将=2%1 _ a 2 _ g当且仅当1=宜 且b=,即a=b=0时等号成立，1 a _ b所 以a+V+的最小值为2点.故答案为：2点.三、解答题3 321-11、(I

13、 )2应；(I I )4；(I I I )16【分析】(I )由正弦定理可得a:b:c=2:1 j 2,即可求出；(I I )由余弦定理即可计算；(I I I )利用二倍角公式求出2 c的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】(I )因 为s i n 4s i n 3:s i n C=2:1:应，由正弦定理可得a:8:c =2:l:血，=1 a=2 0,c =2；(I I )由余弦定理可得c o s C=1+8-2ab8 +2-4 _ 32 x 2,x 2 4；V c o s C=-s i n C=J l-c o s 2 c =(I I I )4,4,s i n 2 C=2 s

14、 i n Cc o s C=2 x l x-=c o s 2 C=2 c o s2 C-l=2 x 2 _ _ 1 =14 4 8,16 8 ,_ s i n r 2 c =s i n 2 C*c o s c o s 2cs i n x X =-所以 I ()6 6 8 2 8 2 16曲 12、(I )证 明 见 解 析；(I I)9 ；(I I I )3.【分 析】(I )建 立 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 用 及 平 面 AEG的 一 个 法 向 量 ,证 明 用,京，即可 得 证；(I I )求 出 范，由 仙，=卜。$(也如中|运算即可得解;小 (或 最 卜 番 条(III)

15、求 得 平 面 44c 的 一 个 法 向 量 方，由 日外愀结合同 角 三 角 函 数 的 平方 关 系 即 可 得 解.【详 解】(I )以 A为 原 点，题 皿 网 分 别 为,Z 轴，建立如图空间直角坐标系,川 4(0,0,0)4(0.0.2)5(2,0,0)0(2,2,0)D(0,2,0)(2,2,2)A(0,2,2)A J，因 为 为 棱 勿 的 中 点，尸 为 棱 缪 的 中 点，所 以 前 2 ，),尸(12 0),所 以 印=(L 0 2),而=(2 2 0),4 1 =(2,1,-2)设 平 面 4 和 1的一 个 法 向 量 为 制=(x】，M，zJ,m-4 G=2/+2

16、 yl =0则 4后=2 五+月-2 2 1=0,令%=2,则 加=(2,-2,1),因 为 用 =2-2=0,所 以 印，羡,因 为 4 FC 平 面A E C 1,所 以 29平面(H )由(1 )得，g =(2 2 2),设 直 线 与 平 面4七6所 成 角 为8,则sm|cs色旗)卜高=(I I I )由正方体的 特 征 可 得，平 面44c的 一 个 法 向 量 为 砺=(2，-2,0),/77p 一 _ D B m _ 8 _ 2 应则3合止酊=&=亍所 以 二 面 角i CE的 正 弦 值 为巧;3=,3、(1)5=1；(2 )x-y+耶=0.【分 析】(1 )求 出。的 值，

17、结 合c的 值 可 得 出3的 值，进 而 可 得 出 椭 圆 的 方 程；ror=1(2 )设 点 取(加 外),分 析 出 直 线，的 方 程 为 了 十%=,求 出 点F的 坐 标，根 据M P 3可 得 出 =尢即，求 出、&的 值，即 可 得 出 直 线，的 方 程.【详 解】(1 )易知点尸(c，。)、8(0 R),故 B F =ylc2+b2=a=5_c _2 j5 _因为椭圆的离心率为 亏，故c =2,6 =A 2 1因此，椭圆的方程为了+）=X2 2 _（2 ）设点加（刖为）为椭圆与+=上一点,rer=1先证明直线讯的方程为亏+几片等+为=1/+2-1联 立 可+,消去 了并

18、整理得，-2%x+x；=0,A=4k-4x；=0,一?x X因此，椭圆了+、=1在 点M（x。，。）处的切线方程为W +K P=）11y N 0,在直线跖V的方程中，令x=0,可得 为,由题意可知外,即点 I%kI,-=-=y=2x+直线班7的斜率为 c 2,所以，直线网的方程为 先,在直线州的方程中，令，可 得 高，即点尸%_ 2 y=1勺+_1 _ 2 x0 iy0+l 2因为 h4PH B F,贝 l j%二 司BF,即 2 yo2整理可得(两+0)=,所 以,%=叫 因 为 圣+*=6*=1,；0,故 为邛,k华*所以，直 线，的方程为W、Wy=,即x-A+#=0.【点睛】结论点睛：在

19、利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线:(1)设切线方程为了=奴+与椭圆方程联立，由A=0进行求解;二+二=1&x-了_(2 )椭 圆 1 b1在其上一点(而，儿)的切线方程为J 1-，再应用此方程时，首坦+既=1 /+己=1先应证明直线J*与 椭 圆 屋/相 切.4、(I)4=2 -1,/，h =4.MeV.(n)(i )证明见解析；(i i )证明见解析.【分析】(I)由等差数列的求和公式运算可得 小 的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；(I I)(i)运 算 可 得=24,结合等比数列的定义即可得证;(ii)放缩得 K 7 -，进而可得幺寸孑F 尸，结合错位相减法即可

20、得证.【详解】(I)因 为 /)是公差为2的等差数列，其 前8项和为6 4.g x7。1+%+一，+/=8。1 +乂2 =6 4 _ i所以 2 ,所 以4-1，所以%=为+2(M-1)=2 x-l,xe犷；设等比数列 间 的 公 比 为 4 ),所 以1-瓦=M一=”4(才一切=4 8,解 得”4(负值舍去),所 以2=纽 4 9；c.=%+2=4 3 +!(II)(i )由题意，“4所 以，=卜”+3-1+知2 1巴1 -+2 _ 2 41】_ 4所以 T-cO,且,所以数列 d-%是等比数列；_(2M-1)(2M+1)_ 4M2-1 4M2(ii)由题意知，;不=万1 ,1产，巨。+铲m

21、+产,+.+工则 2 -2*2!2，2 ,1T 1 1 1 1 I.T)n 0 M+22 2 22 2-1 2 2 2 两式相减得 2 ,T-+2所 以“2、所 以 蓝 医 W/W(4-g)0)；(II)证明见解析；(III)H，+o o i【分析】(I)求 出 在 工=0处的导数，即切线斜率，求出了(),即可求出切线方程；(H)令/(x)=0,可 得a=(x+l)e ,则可化为证明V与尸=以乃仅有一个交点，利用导数求出g(R的变化情况，数形结合即可求解；(I I I )令次x)=4-x T)e”-l),题目等价于存在xe(-l,+o o),使得次x)M 6,即利用导数即可求出双x)的最小值.

22、【详解】(I )/(x)=a-(x+l)e ,则/f(O)=a-l又/(0)=0,则切线方程为 y=(a-l)x,(a0)；(I I )令/(x)=a-(x+l)e*=0,则 a=(x+l)e ,令 g(x)=(x+l)e*,则 g(x)=(x+2)e当 xe (2)时，*x)0,g(x)单调递增,当X T用时，g(x)0,画 出g(x)大致图像如下：所以当 0时，y =a与=g(J)仅有一个交点，令g(m)=a,则m-1)且/(M =a-g(M =0,当xe(-8,时，a g(x),则 尸(x)0,/单调递增，当x e(血出)时，a g(x),则尸(x)-1,所 以/(X)-=/(w)-a=(w2-w -1)e*,(w -1)令应x)=(x2-x-l)e*,(x-l),若存在a,使得了3+匕对任意x eR成立，等价于存在xe (-1,4 0 0),使 得h(x)b,即网力通,/x)=(/+x-2)e”=(x-l)(x+2)e*八 9 X)一【，当xe(-l,l)时，hx)0,巩x)单调递增，所以/)底=&。)=-0,故bN-e,所以实数b的取值范围【点睛】关键点睛：第 二 问 解 题 的 关 键 是 转 化 为 证 明 与y=8口)仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在x e(-l M),使 得次x)Mb,即82 M x.