用定义证明函数极限方法总结613031.pdf

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1、用定义证明函数极限方法总结用定义证明函数极限方法总结:用定义来证明函数极限式lim f(x)c，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节xa不同。方法方法 1 1：从不等式f(x)c 中直接解出(或找出其充分条件)x a h()，从而得 h()。方法方法 2 2：将f(x)c放大成x a，解x a，得x a h()，从而得 h()。部部 分分 放放 大大 法法：当f(x)c不 易 放 大 时，限 定0 x a 1，得f(x)c x a，解x a，得：x a h()，取 min1,h()。用定义来证明函数极限式lim f(x)c，方法：x方法方法 1 1：从不等式f(x)c 中直接解出(或找出其

2、充分条件)x h()，从而得A h()。方法方法 2 2：将f(x)c放大成x a，解x a，得x h()，从而得A h()。部分放大法部分放大法：当f(x)c不易放大时，限定x A1，得f(x)c x a，解x a，得：x h()，取A maxA1,h()。平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。例例1 1 证明：lim(2x 3)7。x2证明证明：0，要使：(2x 3)7 2 x 2，只要2 x 2，即0 x 2 取2，2，即可。x212。例例2 2 证明：lim2x12x x 13x 1x212x 12分 析：因 为，放 大 时，只 有 限 制22x x 132x 133 2x 1

3、-0 x 1 1，即0 x 2，才容易放大。证明证明：0，限制0 x 1 1，即0 x 2，要使；x 1x 1x 1x 1x212x 12，只要32x2 x 132x 133 2x 132x 13即0 x 1 3，取 min(1,3)，即可。例例3 3 证明：lim 1 x1 a，（a 1）。xa22证明证明：0，限制0 x a 1 a1 a1，要使：，所以x 221 x21 a2x2 a21 x 1 a22x a x a1 a22 x a1 a2，只要2 x a1 a1 a21 a2，取 min,，即可。，即0 x a 22221 ax3,x 1例例4 4 设f(x)，证明:lim f(x)

4、1。x12,x 1证明证明：当x 1时，f(x)1 x31 x 1 x2 x 1限制0 x 1 1，则x x 1 1 2，x2 x 1 7。0，要使：f(x)1 x 1 x2 x 1 7 x 1，只 要7 x 1，即x 1 7，取 min1,，当0 x 1 时，有：7f(x)1，lim f(x)1x1说明说明：这里限制自变量x的变化范围0 x 1 1，必须按自变量x的变化趋势来设计，x a时，只能限制x在a点的某邻域内，不能随便限制！错解错解：设x 1，则x2 x 1 3，要使：f(x)1 x 1 x2 x 1 3 x 1，只要0 x 1 3，取 min1,，3-当0 x 1 时，有：f(x)

5、1。lim f(x)1。x1例例5 5 证明:lim11。x12x 12 x 11证明证明：考察，1 2x 12x 1限制0 x 1 2x 1 2x 11 1 2 x 1111，则2x 1 1 2 x 1 1，。0，要使：4222 x 111 4 x 1，只要4 x 1，即x 1，42x 12x 114 411，2x 1取 min,，当0 x 1 时，有：lim11。x12x 11，则4说明说明：在以上放大f(x)A（即缩小2x 1）的过程中，先限制0 x 1 得：2x 1 11。其 实 任 取 一 个 小 于的 正 数1，先 限 制0 x 1 1，则2212x 1 12 x 1 121 m

6、0（如果是限制0 x 1 或0 x 1 1，则不2例例6 6 证明:lim证明证明：考察能达到以上目的）。x 2。x24x 77 x 2x，2 4x 74x 717仅在x 的邻域内无界，所以，限制4x 74171，则4x 7 4x 21 1 4 x 2。0 x 2（此邻域不包含x 点）842 0，要使：7 x 27 x 2x只要14 x 2，即x 2，2 14 x 2，144x 74x 71 4 x 2取 min,x1 2，当时，有：0 x 2 4x 78 14limx 2。x24x 7xx0例例7 7 用定义证明极限式：lima 1，（a 1）证明证明：0（不妨1），要使：ax1 1 ax1

7、loga1 x loga1（由 对 数 函 数-f(x)logax是单调增函数）。于是，取 minloga1,loga1 0，当0 x 0 时，有：ax1。故limax1。证毕x0例例8 8 设f(x)0，lim f(x)A，证明：limxx0nxx0f(x)nA，其中n 2为正整数。证明证明：（用定义证明）因为，f(x)0，由极限保不等式性知，A 0；当A 0时，0，由lim f(x)A，知：0，当0 x x0时，有：f(x)A xx0nf(x)A nf(x)Anf(x)n1nf(x)An2nnnf(x)Ann2Ann1f(x)AAnnn1Ann1，故：limnxx0f(x)A。当A 0时：0，由lim f(x)0，知：0，当0 x x0时，有：f(x)xx0f(x)0 n，故：limnxx0f(x)0。证毕-Welcome ToWelcome ToDownloadDownload欢迎您的下载，资料仅供参考！-