培优课　圆锥曲线的热点问题——最值、范围、证明问题.docx

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1、培优课锥曲线的热点问题最值、范围、证明问题1 .圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：(1)代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数 法、基本不等式法、换元法等求最值.(2)几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线的几何意义求最 值.2 .解决圆锥曲线中的取值范围问题常从五方面考虑：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围;利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数 之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式或者建立关于某变量的一元

2、二次方程，利用 判别式求参数的取值范围；(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确 定参数的取值范围.类型一最值问题例1已知椭圆c： 方=1(。6。)的离心率为当 且经过点(坐一室j.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(0, 2)的直线交椭圆。于A, B两点,求048(。为原点)面积的最 大值.解(1)根据题意知，离心率0=?=幸，C22即9a3一 吩 2因为02 = / ，所以匕；=*整理得居=3.又由椭圆C经过点惇，一聿，可得可得33诉+扬=1 联立，解得/ = 3,=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=l.(2)由题意，易知直线的斜率存在，设直线AB的方

3、程为y=&+2,y=kx+2,由,得(1+3於濡+12丘+9=0.仃+户1 由/ = (12女)24义9(1+3必)0,得/1.设 A(xi, yi), 3(x2, yi),则 Xl+X2= 则 Xl+X2= 12k1+3炉 xix2=+3F所 以 AB=y/1 +F|xi X2| =q T+居q(X1+X2)2 4X1X2=w +F=w +F12k )24X91+3”5=6尸?点0(0, 0)到直线履一y+2 = 0的距离d=21+庐所以 Soab=AB-cI26y1玄- 11+3/VT+p_ 1+3S -令超一l=t(t0),则 Z? = ?+l,所以 S/OAB =所以 S/OAB =6

4、t6 _4+3?=477?3z7+3/ 2447当且仅当、=3，,即尸=与时等号成立，此时d=J3所以QAB面积的最大值为号. 乙思维升华 求最值常用的方法有两种：几何法，若题目的条件和结论能明显体现图形的几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决；代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的 最值.类型二范围问题例2如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C： 9=4%上存在不同 的两点A, 8满足3,的中点均在。上.设A3中点为证明：垂直于y轴；若P是半椭圆x2+?= 1(X0)上的动点，求%3面积的取值范围.证明 设 P(%0, yo),

5、 A&K yi),/ I 2 7+xo因为, P3的中点在抛物线上，所以y, ”为方程卜广即y22yoy+8xoy8=0的两个不同的实根.所以yi+y2=2yo,即因此PM垂直于y轴.丁1+”=2泗，(2)解由(1)可知_q2l”y2=&xo一觉,所以 PM=1(y?+货)一%o=$83xo,y yi=2y2 (角4xo).因此,P4B 的面积 SPAB=PM-yi-y2 =因为= 1(000),所以 yi4xo= 4x84xo+4 4, 5,因此，出5面积的取值范围是6啦，里耳.思维升华 求参数的取值范围问题常用的方法有两种：不等式(组)法，根据题意结合图形列出所讨论的参数满足的不等式(组)

6、，通过不等式(组)得出参数的取 值范围；函数值域法，用某变量的函数表示所讨论的参数，通过讨论函数的值 域求得参数的取值范围.类型三证明问题例3设椭圆C曰+丁=1的右焦点为R过点/的直线/与。交于4 3两点, 点的坐标为(2, 0).当/与轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：ZOMA =ZOMB.解 由已知得网1, 0),则直线/的方程为=1.则点a的坐标为1, 或1,乎)又 M2, 0),所以直线AM的方程为厂一冬十/或 尸冬一也，即 xJt-y2y2=0或 xy2y2=0.(2)证明当/与x轴重合时，ZOMAZOMBQ0.当/与x轴垂直时，OM为A3的垂直平分线，所以当/

7、与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=Z(xl)(ZW0), A(xi, yi), 8(x2,)，则X2直线MA, MB的斜率之和为幺十公e=上力+上不丫丫Xi2 X22由 y=kx-k, y2 = kx2-k,得 kMA + kMB =得 kMA + kMB =2kxiX23k (xi+%2) +4女(xi2) (X22)将 y=Z(x1)代入9+y2=l,得(2F+1)/4Mx+2F2=0, / = 8於+80,4户所以 Xl+X2 = 2%2+ ，2 2XX2 =2+r则 2&iX23Z(xi+x2)+4左44Z12公 +8 K+4 左2Q+1=0从而+左mb=O,故直线M4, MB的倾斜角互补.所以 NOAM=NOMA综上，/OMA=/OMB成立.思维升华 圆锥曲线中的证明问题，常见位置关系方面的证明：如证明相切、垂 直、过定点等；数量关系方面的证明：如存在定值、恒成立等.在熟悉圆锥曲线 的定义和性质的前提下，多采用直接法证明，但有时也会用到反证法.