2023年中考数学二次函数练习题集.pdf

《2023年中考数学二次函数练习题集.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年中考数学二次函数练习题集.pdf（145页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023年中考数学二次函数专项练习题集（精品收藏）N题11.（2 0 2 2 湖北鄂州）某数学兴趣小组运用 几何画板软件探究）=加（0）型抛物线图象.发现：如图 1 所示，该类型图象上任意点可到定点尸（0,的距岗及庐，始终等于它到定直线/：），=-二-上4 a 4 a的 距 离 对（该结论不需要证明,，他们称：定点尸为图象的焦点，定直线,为图象的准线尸.也 叫 做抛物线的准线方程.其中原点。为F H的中点，切=2。户=9 例如，抛物线尸:，其焦点坐标为F 8，（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y=2（的焦点坐标和准线/的方程：,.（2）【技能训练】如图2 所示，已知抛物线y=上一点P到准线

2、I的距网为6,求点P的坐标；8（3）【能力提升】如图3 所示，口知过抛物线y=*（a 0）的焦点F 的直线依次交抛物线及准线点4、B、C.若 BC=2BF,A F=4,求 a 的值;（4）【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点 C将AC-条 线 段 4B分为两段XC和C B,使得其中较长一段4c是全线段4B与另段CB的比例中项，即满足：A B=骼=叵 .后人把.这个数称为“黄金分割”把点C称为线段A3的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点尸（0,1）,准线/与y轴交于点H（0,-1）,E为线段HF 的黄金分割4点，点 M 为y轴左侧的抛物线上一

3、点.当 瞿=应 时，请 直 接 写 出 的 面 积 值.答案解析【答案】(1)(0,1),y =-g,(2)4 7 2.4)或(-4 7 2 .4 )1(3)=-4 6_ 或3-有【分析】(1)根据交点和准线方程的定义求解即可；(2)先求出点尸的纵坐标为4,然后代入到抛物线解析式中求解即可；(3)如图所示，过点B作轴于O,过 点 月 作 轴f E,证明FOBSAFH C,推出E D =-,6a则。=。/-。尸=一，心8的双坐标为从而求出3。=正，证明尸，即可求出心.41 2a 12。6a的坐标为(-2道，2+上)，再把点.4的坐标代入抛物线解析式中求解即可；4a(4)如图，当E为靠近点F的黄金

4、分割点的时候，过点M作M V J J于N,则M V=M F,先证明2 IN H是等腰荏第三角形，得到N H=M N*次点.”的坐标为(.-m2)，则M N =-nr+l =-m=H N,4 4求出，=-2,然右根据黄金分割点的定义求出旌=石-1,则S3=；/E-N H =6-1；同理可求当点E是靠近H的 黄 金 分 割 点 时 的 面 积.(1)解：I；初物线尸2一的焦点坐标和准线/的方程分别为(0,I),v =-18 8故答案为：(0,-),V =-.8 8解：由题意得抛物线v=-V 的准线方程为v=-=-2,8 4。.点尸到准线/的距离为6,.点尸的纵坐标为4,当 y =4 时，x2=4

5、,8解得 x=4-/2 二点尸的坐标为（4 7 2 .4）或（-4 0，4 ）；（3）解：如图所示，过点5作3 O_ L.i，轴于。，过点N 作4 及L y 轴于E,由题意得点尸的坐标为尸（0,直线/的解析式为：v=-44 a4a：.BD/AE/CH,FH=,2a:A F D BSM H C,.BD _FD _FB,丽 一 丽 一 正:B g B F,.BD _FD _FB丽一而一百一屋：.FD=,6a，OD=OF-DF=,12a.点3的纵坐标 为 一，12aG方正667-.rz得5解：（负值舍去）,AE/BD,：.AEFSBDF,.AE _ BD r-=73，EF DFAE=JiE F，AE

6、2 A-EF2=AF2 4EF之=2尸二16,:.EF=2,，AE=2月,*点.4的坐标为(2 3，2+4a2+-=12a,4a48a2-8 o-l=0,/.(12+l)(4n-l)=0,解得a（负值舍去）;图7(4)解：如图，当E 为靠近点尸的黄金分割点的时候，过点M 作于N,则的V=MF,:任 RlAMNH 中,sin/M H N=上,MH MH 2：.4MHN=45。,二MNH是等腰直角三角形，：.NH=MN,设点A/的坐标为(/,-in2),4：.MN=-m2+=m=H N,4ni-2,：.HN=2,.点E 是靠近点F 的黄金分割点，二 HE=75-1.2/.S mJ HE.NH=下-

7、1；L xn A iE.2、I E时靠近a的，点，2:HE=2-+=3-，综上所述，5/小区=2石-2或S/H,1c=3-y/5【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键.题2变 式.（广东也深圳市）己 知：Rt ABC的斜边长为5,但边上的身为2.将达个角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与“轴重合（X中0A 0,”0）,连接DP交BC于点E.詈BDE是等修三窗形时，直接写出此时点E的坐标.生又连接CD、CP（如图3）,CDP是否有大面积？若 有，求 出CDP的事大面积和此时点P的坐标；若

8、没育,请说明理由.892答案解析变式练习：【考点)二欠函数综合题；二次函数的M;待定系数法求二次函数解析式；两点间的距离;三角形的面积;善三角形的性质.【专题】压轴题.【分析X 1而Rt ABC申,C01AB可 证AOC-COB，由相似比图OCJ=OA0B,设0A的长为x,则O B=5-x,代入可求OA,OB的长,确定A,B,C三点坐标.求抛物线解析式；(2)根 据BDE为等腰三角形，分为DE=EB.EB=BD,DE=BD三刖R况.分别求E点坐标;(3)作辅助与，将 求CDP的面枳问题化.方法一：如图1,连接0P,根据s CO,=S BCO8-s C8=SC3+S O O P s C8,表 示

9、CDP的面积；方法二：设点P作PEL X轴于点F.则S =S w S 8 -S 叫 表 示CDP的面枳；再利用二欠函数的性质 求 出CDP的盘大面枳和此时点P的坐标.(解答】B：(D 1 0 A 的长为 x,M O B=5-x;0C=2,AB=5,zBOC-AOC=90*,/OACzOCB;.AOC-COB,.OC2=OA-OB.22=x(5-x)l?(W :x j=l,x2=4,OAOB,OA=1,OB=4;点A.B.C M M M i：A(*l“OQXQAB N4QQ 要 使 得 QOA和 Q48相 似，只 能042./8 OA.:.OABA,:4Q0A=4AQ8,此 时 8 =90。.由

10、 Q4_L*轴 知 QAny轴,COQsOQA.要使得QO4和“C相 似，只 能J69(F18-“C=90.(I )当 右 比 白90时，QOAi OQC:.AQ=CO=.由 A Q =A Q2=O A A B 甯：(J)=b-1 ,解 狗：f e =8 4V3.b2 力=8+46,：=2 +VI.点Q坐 标 为(1,2+b).(n 以“C=90时 g o他 O CQ.抑OQ2=A Q CO.又OQ2 HO A OB.AQ C O =OA OB，m 4Q=I 也解得：4Q=4,此 时 b=172符 合 题 意.点Q坐 标 为(1.4)综 上 可 知：存 在 点2(1,2+73)28(1,4),

11、使揖QUO.Q04和Q48中 的 任 熊 两 个 三 角 形 均 相 似.J题7例4.(广东看湛江市)已知矩形纸片018c的长为4,宽为3,以 长 所 在的直线为*轴，0为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是 边 上 的 动 点(与点0 A不重合),现将 8 c沿“翻折遇到P EC,再在48边上选取适当的点。，将 雨。沿户。疆折，得 到 月 初，使得直线。外合.(1)著点落在8c边上,如图，求 点 只C。的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；(2)若点落在矩形纸片W8C的内部，如图，设 8=*,4。=y,当 身为何值时，取得品大值？(3)在(1)的情况下，过 点 只C。三点的抛物线上是否存在

12、点Q,使P D Q是以阳为直角边的自角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.答案解析例4.【考点】二欠的0综 合 屋 K 压轴题；动点型；开放里.【分析】(1)根据矩形的宽为3即可得出C的坐标为(0.3).当E落在BC边时,四边形OPEC和四边形PADF均为正方形的住质，那么0P=PE=0C=3.PA=PF=AD=1.因此P的坐标为(3,0),0的坐标为(4.1).f f l W P.C.D三点的坐标.用得定系做法求出过P.C.D三点的抛物城的解析式(2)根据析 质可霉出-CPO=CPE，FPD=APD.由此可辨出-CPD=90，由此不唯僵出Rt POC-Rt DAP,可 根 据

13、 触OC,OP.PA.AD的比例关系,蹲出关于X.y的函数关系式.根据关系式即可加出y的大值以及对应的x的 值（3）可分两裨情况遂行讨论：iPQ是另一条直角边.即-DPQ=90时,由于-DPC=9（r ,且C在抛物自上，因此C与Q 合，Q点的生标即为c点的坐标.专DQ是另一条角边，即-PDQ=90时 那 么 此 时DQII PC.如果将PC所在的模向上平移商个单位，即 可 价 出 蟠DQ所在直纹的第析式.然后联立线DQ的解析式以及抛物绶的解析式组成方程组，如果方程组无篇，剜说照不存在这棒的Q点，如果方程缗有解,那么方程组的解即为Q的坐标.编合上述两裨情况即可狗出符合条件的Q的坐标.修：(1)由

14、眩童知，POC.PAD为等|街角三角形，露P(3,0),C(0,3),D(4,1),G H设过此三点的JI物”为y=ax2*bx+c(a*o),w 9 sM:R /.j 1E过P.c.D三点的例物线的函数关系式为y=S2-2+3.*A(2)由已知 PC 平分“PE,PD 平分 _APF,且 PE.PF 合,乩 CPD=9(T,.zOPC=APD=90,又JAPDADP=90.OPC=ADP.Rt POC-Rt DAP.答 学 丐.(4 7)=呆+/=-1(X-2)2+(0 a P C的方程为y=7+3,将或PC向上平移2个位与线DQ 合，线DQ的方程为y=x+5.由又点 D(4,1).JQ(1

15、,6)，故谖摘视场上存在两点Q(0.3).(1,6)蒲足条件.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图形幅折变换.三触形相仞等要知识点，综合性强，能力要求较高.考壹学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.乱 题8苏州中考IS：(2011年29|g)已 知 二 欠 函 敷6一 叫 01的图象与轴分别交于点A B,与夕轴交于点C.点D是抛物线的顶点.(1)如S B.连接AC,将OAC沿线AC翻折，着点O的对应点O恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数,的值；(2)如al，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是(4,4 1 (4.3).边HG位于边EF的右侧.“曲同学经过探索后发现了一个正编的命

16、眩：着点P是边EH或边HG上的任意一点,则四条城段PA PB.PC、PD不能与任何一个平行四边影的四条边对IS相尊(即这四条碑S不 能 构 成 平 行 四 边 形 若 点P是边EF S K边FG上的任!一点,用才暗论是否也成立?请你积极探索,并写出保索过程；(3)如图,当点P在抛物线对称轴上时,设点P的纵坐标f蜃大于3的常数，试问：是否存在一个正数a,使律四条线段PA.PB.PC.PD与一个平行四边账的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)？请说昭理由.(MD)8)答案解析i苏州中考题:【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)本题需先求出抛物线与X轴交点坐标和对称轴，再根

17、据_OAC=60霭出0C,从而求出a.(2)本题需先分两种情况迸行讨论，当P是EF上任意一点时，可图PC PB,从而得出PBwPA,PBwPC,PB#PD,即可求出线段PA.PB.PC.PD不能构成平行四边形.(3)本题需先再出PA=PB，再由PC=PD,列出关于t与a的方程，从而甯出a的值，即可求出答案.S l K：(l)y=0,ffia(x2-6x+8)=0,|xix2.x2=4;x=0,解得y=8a,.点A.B、C的坐标分别是(2,0 1(4.0 1(0,8 a).该抛物线对祢轴为且线x=3,-OA=2,如图，设抛物线对称轴与x轴的交点为M.W A M=1,由题意霭:O A=OA=2,/

18、.O A=2AM/0AM=60，/OAC=/OAC=60:0 C=2 6 即 8a=2百,(2)若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立,如图，设 P是边EF上的任意一点，连接PM,.点 E(4,4 1 F(4.3)与点B(4,0)在一直线上，点C在y 轴上，.PB PB,又.PD PM PB,PA PM PB,.PB#PA.PB#PC.PB#PD,此时城段PA PB.PC.PD不能狗成平行四边形，设 P是边FG上的任意一点(不与点G 合，点 F的坐标是(4,3),点G 的坐标是(5,3),.FB=3.GB-V10,3sPB PB,又 PD PM PB,PA PM PB,.PB,PA,

19、PB#PC.PBwPD,此时线段PA PB,PC.PD也不能构成平行四边膨；(3)存在一个正触a,使霭线及PA、PB.PC.PD能构成一个平行四边形.如图；点A,B是抛物或与x 轴交点,点 P在抛物线对称轴上4.PA=PB,当 PC=PD时，或段PA、PB.PC.PD能构成一个平行四边形.点C 的坐标是(0,8 a),点 D 的坐标是(3.a),点 P 的坐标是(3,t),.PC2=32+(t 8a)2,PD2=(t+a)a,由 PC=PD 得 PC2=PD2,.32+(t-8 a)2=(t+a)2,整理霭:7a2-2ta+l=0有两个不相等的实数根，:.2t J4t2-2 8.t 2-714

20、 7【点评】本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函效的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关81.*题q例6.(2014海南)如图,对称轴为直&x=2的抛物域经过A(1.0),C(0,5)两点，与*轴另一交点为8.已 知 乂(0,1)/3，0)/(+1,0),点P是第一象阳内的抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式；(2)当a=l时，求四边形MEFP的面枳的鼻大值,并求此时点P的坐标；(3)S PCM是以点P为顶点的等晟三鲁彬，求a为何值时,四边形PMEF周长昌小？请说明理由.答案解析例6.【考点】二次函数综合题.【专题】代数几何综合题.【分析

21、】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)首先求出四边形MEFP面积的表达式然后利用二次函数的性质求出星值及点P坐 标(3目边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最 小，则PMEF的周长将取得显小值.如答图3所 示，将 点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得Mi(1,1);作 点Mi关于x轴的对称点M?,则M?(1,1)；连 接PM?,与X与交于F点，此 时ME+PF=PM?品 小【解答】解：(1).对称轴为直线x=2，设抛物线解析式为y=a(x-2)2+k.A(-1,0),(：(0,5)代入霭：9批:0,解得,y=.(x-2)4dk=5 1 K9，9=/+4

22、x+5.(2)Ha=l B5,E(l,0),F(2,0),OE=l,OF=2.igP(x,-x2+4x+5),如答图 2 过点 P 作 PN _L y 轴于点 N 则 PN=x,0N=-xa+4x+5 r.MN=ON 0M=-X2+4X+4.=1(x+2)(-X2+4X+5)l x*(-X2+4X+4)-l xl xl=-x2+Jx+-=2 2 2 2 2-(x-2)4 16.当x=渺,四边形MEFP的面积有品大值为器，把x=My=(T.2)2+9=些.16此时点P坐标为(，华)4 16(3).M(O,1),C(O,5),PCM是以点P为顶点的等腰三角形，.点P的纵坐标为3.令y=.x2+4x

23、+5=3，解得x=2土a.点 P在第一象噩,/.P(2+76,3).四边形PMEF的四条边中PM,EF长度固定，因此只要ME+PF品 小 则PMEF的周长将取霭最小值.如答图3,将点M向右平移1个单位长度(EF的长度),作点Mi关于x轴的对新点M?,则M?（1,1）;连接PM?,与x轴交于F点，此时ME+PF=PM?最小,设直线PM?的解析式为y=mx+n，将P（2+a,3）,M?（1,7）代入得：加*3，翻：m sW 6 j,n=.，.g.驷.卜mhF-1 5 5 5 5当y=o时，解得X=在*（近9，0）.+1=?,.a=&.4 4 4 4.4=时，四边形PMEF周长晶小.4【点评】本题是

24、二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；鬻（2）问考变了图形面积计算以及二次函数的雕；第（3）问主要考蜜了轴对称 品底g线的性质.试题计时偏大，注认真计算.*题 s变式练习.(四川省眉山市)如图,已知直线y=1与，轴交于点4,与*轴交于点。抛 物 线 八1-+加+。与直线六)+1交于4 两点，与身轴交于8、C两点,且8点坐标为(1,0).(1)求该抛物线的解析式；(2)动点P在*轴上移动，当 必1是直角三角形时,求点P的坐标：(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使|4例-的 值 国 大，求出点朋的坐标.答案解析即E点的坐标（m +l ）又.点E在直线r=+l上.=一 +19+1 解得叫0（舍

25、去），叱4,，E的坐标为（4,3）（I）当人为亶角顶点时，过A作APjDE交x轴于PI点，设A（a,O）,易知D点坐标为（-2,0）,由Rt AOD-Rt POA得：空=巴 即匚=1，,aO A Or 1 a（n）同理，当E为直角顶点时,P2点坐标为（?，0）（皿）当P为角顶点时，过E作EF，x轴于F,设PNM 3）由 一 OPA+NFPE=90*,OPA=zFEPRt AOP-Rt PFE.由崇O P.I方.口b解得n3,a 1此时的点P,的坐标为（1,0）或（3,0）综上所述，满足条件的点P的坐标为（；，0）或（1,0）或（3,0）或（色，0）（3）抛物线的对祢轴为r9分）.B、C关于X

26、=：对称 MC=MB要 便（r大 即 是 使-”8国大.由三角形两边之差小于第三边得,当A.B、M在同一点线上时AM-MB的值且大.一 _ _ _ _ _ _ _ _ 卜r +l易知且线AB的 解 折 式 为.由 3 图-，（：，：）x-5 I 2 2 题/相切于点A,点 是 直 径4 8左他半圆上的动点，过 点，作直线/的垂线，垂足 为C”与。交于点。，连 接 畋 阳，设PC的长为 2 ”4）.当*=：时，求 弦 区08的长度；（2）当身为何值时,PD CD的值晶大？R大值是多少？千案解析苏州中考18:解：0 0与直线/相切于点A.4 8为。0的直径，:A B 5文 PC。，：.ABPC:/

27、CPA=4PAB.为。0的直径，4月8=90二PCA=LAPBQPCAS APB.:=搐,即P*=PC AB.PC,48=4,:.PA=*4=VT5.,在 Rt 408 中，由勾股定理得：PB=v l6-10=V6.。应0作OELPD,垂足为.P。是。的 弦，OFLPD,:.PF=FD.在矩形0。中,C=04=2 jP=P=*-2.：.CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x.:.PD CD=2(x-2)(4-x)=-2 +12x-16=-2(3)?+2./2 x 0),线段48与y轴相交于点。，以外1,0)为顶点的抛物线过点艮D.(1)求点4的坐标(用6表示)；(2)求抛物线的解析式；(3

28、)设点Q为抛物线上点夕至点8之间的一动点，连结PQ并延长交8c于点E,连结8Q并延长交4U于点F,试证明：项4。+为定值.千案解析I例7.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题；动点里.【分析】(1)AO=AC-OC=m-3，用 蝙 的 长 度 表 示 点A的坐标;(2)/ABC是等股角三角形，.，AOD也是等股直角三角形,.OD=OA,.-.D(0(m-3).又P(1.0)为抛物线顶点，可设顶点式，求解析式；(3)设Q(x,K-2x+l).过Q点分别作x轴，y轴的垂线,运用相似比求出FC、EC的 长，而AC=m.代入即可.【解答】(1)解：由B(3,m)可知0C=3,BC=m,又ABC为等腰

29、直角三角形，,AC=BC=m,OA=m-3.,.点 A 的坐标是(3-m,0).(2)H:vzODA=zOAD=45e,.OD=OA=m-3,则点 D 的坐标是(O.m3).又抛物线顶点为P(l,O),且过点B.D，所以可设抛物镇的解析式为：y=a(x l)a.2得：丁 解 符 抛 物 线 的 解 析 式 为y=x?-2x+l；a(0-1)2=B-3 I(3)证 明：过点Q作QM，AC于 点M,过点Q作QNJ.BC于 点N,设点 Q 的坐标是(x,x?-2x+l),则 QM=CN=(x 1)2,MC=QN=3-x.QMuCE,.“PQMs PEC,.笔 金 即！=)-=二，得 EC=2(x-1

30、)E C PC.E C 2QNil FC,BQN-BFC,.嘿畿(丁)”，所，号RAC=4,.FC(AC+EC)=-4+2(x 1)=-(2x+2)=-x2x(x+1 Hl x41=8即FC(AC+EC)为定值8【点评】本题考查了点的坐标，抛物”解析式的求法,综合运用相似三角杉的比求城段的长度，本题也可以先求gPE.BF的篇析式，利用解析式求FC.EC的长.变式练习:(2012江苏苏州，2 8,9分)如 图，正方形48。的边4。与矩形日石”的边的 重 合，将正方形48。以l cm/s的速度沿用方向移动，移动开始前点A与点下亶合.在移动过程中，边人。始终与边的合，连接CG.过点4作CG的平行线交

31、线段GH于点P,连接夕。.已知正方形48。的边长为1cm,矩形EFGH的边AG、GV的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为*(s),线段GP的长为y(cm),其中0 4*s 2.5.试求出y关于*的函数关系式，并求出y=3时相应X的值；(2况OGP的面积为”，CDG的面积为试:说明51-5?是常数；当 嫄 月。所在线与正方形48。的对角线4c垂直时,求线段夕。的长./案解析变式练习*.CGiAPr CGD=PAGanCGD=tanzP4G.G D A G:GF=4,CD=DA=1,AF=x,:.GD=3-x,4俳4-*.在=，即 丫 =丁关于x的函数关系式为y=咨 当N=3时，=3,解霭

32、:*=2.5.0）；5|=|GPGD=7 7 7（3-X）=7 4L 3-*45z=；GD.CD=；（3 一 Jt）I=S-$2=y _-=：即为常数.。延 长PD交4。于 点Q.正方形48。中，4C为对角线，./。1。=45 PQ，4 C,/4。（?=45 /6。氏/4央=45 /陶 是 等 腰 直 角 三 角 形，则 GAGP.3 x=，化 筒 褐 三 5x+5=0,解得/=-7 匕 x 0 2.5/.X=:；J Z Z在 Rt DGP中,PD=上-=V2（3-x）=丝 竺.cos4Stf 2苏州中考胸：(2014年苏 州)如 图，二次函数六a(7 2皿-3W)(其中a,m是常数，目d 0

33、,0)的图象与*轴分别交于点4 8(点4位于点8的左向)，与y轴交于C(0,-3),点。在二次函数的图象上，CDAB,连接A D.过 点4作射线及交二次函数的图象于点,4 8平分/以.(1)用 含m的代数式表示a;(2)求 证：”为定值;(3)设该二次函数图象的顶点为三保案：在*轴的负半轴上是否存在点G,连 接G 以或段GR AD、4 f的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存 在，只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横生标；如果不存在，清说照理由.答案解析苏州中考题：(1)解：将C(0,3)代入二;欠函数六a(7 -2mx-3/n2),则 解得 4 t.加(2)证 明

34、：如 图1,过 点。分别作*轴的垂线，垂足为M.N.M I由 a(，2mx-3/n2)=0，解得 x、=-m,x2=3m，则 A(-m,Q),B(3m,0).:CDAB.jg。的坐标为(2m,-3).:A B D A E,:DAM=zEAN.ZDMA=4ENA=9O.;MDMs 4/V.=&5.A E A N E N设 坐标为_ J-=2 (-a w-s.2)L (-m):.jc=4m,:.E(4/n,5),：AM=AChOM=rm2m=3m,AN=AChON=rm4m=5m,.3.理=?,即为定值.A E A N 5(3)解：如 图2,记二次函数图象顶点为F.则F的坐标为(m,-4),过点/

35、作AL”轴于点H.连 接 并延长,与*轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G.：tan.CGO=,tan.FGH=,.=!?;.OG=3m.O G H G O G H G.G危痴2用 产 716B2*16S4/n2+l，4 4/A12+1D2=，9/+9=3JJ+I，.旦=W j.及=，.X。：G F:A E=3:4:5,A D 3 AE 5以线段G 4。，4 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此 时G点的横坐标 为 3m.本题考查了二次函数性质、勾股定理及利用直角三角形性质求解边长等知识，息体来说本题虽难度稍难,但问题之间的提示性较明显，所以是T质较高的独目.例8、(2008年浙江省明兴市)

36、将一矩形纸片(”8(放在平面直角坐标系中，(*0.0),1(M),C(0.3).动点0从点。出发以每秒1个单位长的速度沿(向一 一 2一一-一 .一 一终 点(运 动，运动：杪 时，动点，从 点I出发以相等的速度沿向终点。运动.当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设点厂的运动时间为，(秒).(1)用含/的代数式表示。P.%;(2)当r =l时，如图1,将 O P Q沿/V翻折,点。恰好落在C B边上的点I)处,求点。的坐标；(1)连 结C ,将O P0沿P,睡折，蹲 到 P 0，如图2.问：尸0与IC能否平行？尸与 (能否垂直？若能，求出相应的，值；着不能，说明理由.答案解析例8.【考点】

37、翻折变换（折问题）；矩形的性质；平行线分线段成比例.【专题】压轴题.【分析】（1）点Q运动的时间比点P多 多，则运动的跑程也多出了，.（2）利用翻折霭到的线段长，再利用勾股定理可求霭点D的横坐标，纵坐标和点C的纵坐标相等.（3）当平行的时候,所截得的哪对应成比例，即可求得时间值.当垂直的时候也要找到一组平行线，得到对应线段成比例看是否在相应的范围内.【解答】解：（1）0=6 7,工+（2）当 =1时，过。点作DDXOA,V交0A于 D】，如图 1,则 DQ=Q0=5 QC=4.CD=1,.*.D（1,3 ）.（3）J JPQ能与AC平 行.若PQH AC,如图2,则/盘，即El，工t T，而O

38、 Q O C J 90 t，t PE 不能与 AC 垂 直SPE1AC延长QE交OA开 如图3则%=男，景在（吟.EF=QF-QE=QF-OQ=V5（吟-（理）=（后1）吗（6 1）=（巡1八+2）,又 Rt EPF-Rt OCA3.PE O C .6 7 3.而亚（V 5-1）（哼 飞【点评】注意使用脚折得到的对应线段相等；当两条直线平行的时候，所截得的对应线段是成比例的.题:变式练习：如 图,己知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(l,0),8(-3,0)两 点，与y轴交于点C,抛物线的顶点为P,连接AC.(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂 直，且直线

39、DC与x轴交于点Q,求直线DC的解析式；(3)抛物线对称轴上是否存在一点M ,使霭S MAP=2S MP?若存在，求出M点的坐标，若不存在，请说明理由.答案解析变式练习：【考点】二次函数埠合题.【分析】(1)把点A(1,0),B(3,0)两点代入求出a和b的值二次函数解析式即可求出(2剂 用QOC-COA,得出QO的长度，得出Q点的坐标，再求出直线QC的解析式，将两函数联立求出交点坐标即可X 3)首先求出二次函数顶点坐标5西战AEPC=S四眦OEPC+SA O C，以及S四眦A E P C=S AEp+S A C P =露出使得S MAP=2S A C P点M的坐标.【解答】解：（1）抛物线与

40、X轴交于A（1,01 B（-3,0）两点，(O=a+b+3(0=9a-3b+3，解得：1,.ya-x2-2x+3,b=-2 7(2).点 A(l,0),点 C(0,3),.OA=1,OC=3.DC1AC./DCO+OCA=90,OCxx 轴，./COA=OQ,NOAC+NOCA=90,ZDCOJOAC,QOC-COA，啥噌，即与T,.OQ=9,又.点Q在x轴的负半轴上,.Q -9,0）,设线QC的解析式为y=mx+n，则n=3直线QC的解析式为：y=l x+3，点D是抛物线与直线QC的交点,小串 之得:尸 一/-2 6 3（不合题，应舍去），.点D（3）如图，点M为直线x=l上一点，连接AM,

41、PC,PA,设点M(1,丫)，直 线 =1与)(轴交于点,.上(1,0),VA(l,0),.AE=2,抛物线y=-x2-2x+3的顶点为P.对称轴为x=l,.P(1.4),.PE=4,MPM=|4-y|,：S日除Atpc=Satagoepc+S oc.ST,X1X(3+4)+4xl x3,=xl O,=5,又B ia16AHe=Sj“+Szp,S AB=APPEsx2x4.S AO=5-4=1,S MAP=2S A C T,4x2x|y-4|=2xl,.|4-y|=2,.yi=2,ya=6,故抛物线的对称轴上存在点M使5皿=25*0，,点 乂（1,2）或（-1,6）.【点评】此题主要考查了二次

42、函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的直点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的点，也是难点，同学们应重点掌提.苏 州 中 考 题：（2015年 苏 州本 题 满 分10分）如 图，已知二次函数j=/+（l-m）x-m（其中0v m 1）的图像与4轴交于4 8两 点（点4在点8的左侧），与夕轴交于点C,对称轴为直线/.设P为对称轴/上的点，连接 伙 P C,P A P C.（1）/46U的度数为*；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）;（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点。不合），使得以Q.B、C为顶点的三角形与01c相似且线段P Q/叩的长度晟小？如果存在，求出所有.I满足条件的

43、点Q的坐标;如果不存 一/在，请说明理由，T o/上（第27曷）答案解析I苏州中考题：解：（1）令4 0,则 片 C点坐标为：（0,令 产0，则，+（1 m）*/n=0,篇霭:Xj=-1,x产m,0 mB=S ACB+S cpe=AB*OC+1PEOB=1x4x3+l x (-x2+3x)x32 2 2=.?(x W)；综上，四边彬ACPB的最大面积最大值为学.2 2 8 8【点评】此题主要考查的是：函数解析式的确定.三角形的外接圆以及图形面积的求法等知识；(3)题的解法较多,还可以过点P作x轴的垂线,将四边形的面积分割成两个小直角三角形以及一个蠢角梯形三部分，解此类题目要注意结合图 形，找出

44、相关图形间的面积和差关系，根据已知条件选择简便的解戚方法.乱 题:变式练习：如 图,已 知 抛 物/y=a(x-2)与x轴从左到右依次交于A.B两 点，与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),连 接AC.BC.(1)求此抛物线的解析式；(2)若P为抛物线的对祢轴上的一个动点，连 接PA,PB,PC,设 点P的纵坐标表示为m.试探究：当m为何值时,|PA-PC|的值大？并求出这个品大值.在P点的运动过程中，NAPB能否与-ACB相 等？若 能，请求出P点的坐标;若 不 能，演说照理由.答案解析变式练习：【考点】二次函数综合题.【分析】(1)把B (3,0)代入y a(x根据待定系效法可求抛物线的

45、解析式;(2)由三角形的三边关系可知PA PqAC,当P.A.C三点共筑时,|PA-PC|的值晶大，为AC的长度，延长CA交或x=2于点P,则点P为所求的点.求得A(1,0),C(0,-3),根据勾股定理可得AC的长.根据待定系数法可求直线AC的解析式,进T甯到点P的坐标,从而求解；设线x=2与x轴的交点为点D.作ABC的外接G|3 E与直线x=2位于x轴下方的部分的交点为A.P：关于x轴的对称点为P?.则Pi、%均为所求的点.在Rt ADE中，由勾股定理得EA的长，可遇P i(2,2小).由对存性甯P z(2,2+).【解答】解：(1)把B(3,0)代入ya(x-2/+l霭ax(3-2)+l

46、=0,此抛物线的解析式为y=-(x-2)M=xJ+4x-3;(2)由三角形的三边关系可知，|PA-PC|2,故抛物线的对称轴I与D C C B 4 C E 13 130C相交.(3)如 图，过 点P作 帘 开y轴的直线交AC于点Q;可求出AC的解析式为尸W H3；设P点的坐标为(m,I-9 3 ),则Q点的坐标为(m,-1 3)；.PQ=-l m+3 (士m?-2m+3)=-m2+.S pM=S*+S KQ=1X(-W+-m)x6=-J(m-3)2+;当m=3时，PAC的面积最大为M；此 时，P点的坐标为(3,-2).4 4【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与

47、国的位关系.图形面积的求法等知识.巾题例10.定义：若抛物线的顶点与X轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为美丽抛物线.如图，亶线I：y=与(+b经过点M(0,3),一组抛物线的顶点 B1(l,yx),B2(2,y2),BJ(3,ys).Bn(n,yn)(n为正整数)，依次是直线I上的点,这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是:A】(x】，0),(X 2,0),Aj(Xs,0 3,0)(n 为正整数).若例1 0.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴质；新定义.【分析】由抛物线的对称住可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形.所以此等离三角形斜边上的高等于斜

48、边的一半.又0 d 1,所以等腰直角三角形斜边的长小于2,所以等展直角三角形斜边的高一定小于1,即抛物线的定点纵坐标必定小于1.【解答】帘 直 线I:y=3+b经过点M(0,l),J b=l直线I:y=l x+1由3 4 4 3 4抛物线的对称性知抛物线的顶点与X轴的两个交点构成的直角三角形必为等国直角三角形；.该等腰三角形的高等于斜边的一半.0 d 1,.该等腰直角三角形的斜边长小于2,斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；.当x=l 时，y i=Jx l+L 1 l,当 x=2 时，丫2=夕2+%l,.美丽抛物线的顶点只有瓦、B2.3 4 4SB】为顶点，由 瓦（1 4）,则d=

49、l.*=含稣 B?为顶点，由 B?（2,告），则 d=l （2.11）=综上所述,d的值力上或4时，存在薨丽抛物线.故选B.【点评】考查了二次函数综合题，该题是新定义题型，篁点在于读懂新定义取新名询的含义利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键.J题变式练习：1.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2*2x 3与x轴交于A B两点，（点A在点B左儡）.与y轴交于点C,顶点为D ,直线CD与x轴交于点E.（1）谪你画出此抛物线,并求A B、C、D四点的坐标；（2）将盲线CD向左平移两个单位,与抛物线交于点F（不与A,B两点重合）,请你求出F点生标；（3）在点B、点F之间的抛物线上有

50、一点P,使PBF的面积最大，求此时P点坐标及PBF的最大面积；(4)若 列 开x轴的直线与抛物线交于G、H两点，以GH为直径的圆与x轴相切，求该圆半径.(第2题)F案解析:变式练习：1.【考点】二次函数综合题；切线的性质.【专题】综合题；压轴期.【解答】解：(1)抛物线y=x2+2x 3中，x=0,则y=3;y=0,则x=lSt-3;A(-3,O),B(1,O),C(O,-3);y=x2+2x-3=(x+l)2-4,.D(-1.-4);根4(-a.O J.Bd.O J,CCO,-3),D(-1,-4).(2)X(0,-3),D(-1,4),.触CD:y=x 3;将直线CD向左平移两个单位，得：