2020年北京市中考二模数学试题分类汇编创新题.pdf

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1、1 .(西 城1 0)佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图I的A B C D由六个正三角形构成.将它沿虚线折起来,可得图2所示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中，棱A B与C D所在直线的位置关系为33 13 9 2(A)平行(B)相交(C)异面且垂直(D)异面且不垂直答 案B2 .(海 淀1 0)为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一

2、行、每一列均不能有连续三人就座.例如下图中第一列所示情况不满足条件(其中“表示就座人员).根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为(A)9(B)1 0 (C)1 1 (D)1 2答 案C3.(东 城10)函数/(X)是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是已知/W=g(x)=/(x+a)(a e R).给出下列四个判断:对于给定的正整数“，存在a e R,使得工与与。成立n ni=lf 0,4T T T-x,x e(2 4 2当时，对于给定的正整数”，存在攵e R(Z o l),使得 _)/(1 )=0成立;4n ni=T当。=左(k e Z)时，函数g(x)+/(x)既有对称轴又有对称

3、中心;4当。=A二(左e Z)时，g(x)+/(x)的值只有0或二.4 4其中正确判断的有(A)l 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个答 案C4.(密云1 0)1 0.已知函数/(x)的定义域为R,且满足下列三个条件：Z (x _ Z /y 对任意的X i，X2 W 4.8 ,且X i *X 2 ,都有 ；X】-x2/(x +8)=/(x).y=/(x +4)是偶函数；若。=/(7),/，=/(“)，c =/(2 0 2 0),则叫 h,c的大小关系正确的是A.a b cB.b a c c.b c a D.c b bc,且c e N*)；选手总分为各场得分之和.四场比赛后，已知甲最后得分为

4、1 6分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是(A)每场比赛的第一名得分。为4 (B)甲至少有一场比赛获得第二名(C)乙在四场比赛中没有获得过第二名(D)丙至少有一场比赛获得第三名答案C6.(昌 平1 0)一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分4 0分.规 定 正 确 的 画 错 误 的 画x.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m的值为学 鼠12345678得分甲VVXVVVV3 0乙VVVVVVV2 5丙VVVVVV2 5TXVXVXVm(A)35答案B(B)30(C)25(D)207 .(昌平1 5)曲线C:J(x+l)2 +y2

5、 .J(x-l)2 +y2 =3,点尸在曲线C上.给出下列三个结论:曲线C关于)，轴对称；曲线C上的点的横坐标的取值范围是-2,2 ；若A(-1,0),B(l,0),则存在点P,使 P A B的面积大于3.2其中，所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.答案8 .(丰 台1 5)已知集合/3=I(x-c os 0)2+(y-s i n0)2 =4,0 4。4兀)由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A,则点A的坐标为(0,1)；在集合P中任取一点M,则M到原点的距离的最大值为3；阴影部分与)，轴相交，最

6、高点和最低点分别记为C,D,则|。|=3 +；白 色“水滴”图形的面积是1 兀-石.6其中正确的有.答案9.(密云15)已知集合4 =a|a =x 2 -y 2,x e Z,y e Z .给出如下四个结论：2A,且 3eA；那么Bq 4；那么对于VceC,则有cw4；如果 G A ,a GA,那么QQ G A .1 2 1 2其中，正确结论的序号是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.答案ax+1,x 0.当a =-2 时，函数/(x)的单调递减区间为(-8,1)；若函数/(x)无最小值，贝 1|。的取值范围为(0,+。)；若。1 且则皿eR,使得函数y =/(x)-b 恰有3 个零点x,x

7、 ,x ,且x x x=-l.1 2 3 1 2 3其中，所有正确结论的序号是_ _ _ _ _ _ _.答案1 1 .(东 城 1 5)配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量成0 0 件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5 0 0 0 元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续天的需求，称为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天2元(当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费).在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那 么 生 产 周 期 为

8、.答 案 51 2 .(西 城 1 5)已知函数f (x )的定义域为R,满 足 f (x +2)=2 f (x )且 当 x (0,2 时，/(x)=2 x 3.有以下三个结论：f (T)=一；当时，方 程 f(x)=a 在区间-4,4 上有三个不同的实根；函 数 f (x )有无穷多个零点，且存在一个零点b GZ.其中，所有正确结论的序号是.答案1 3.(房山9)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是0：C,空气的温度是0(；C,经过/分钟后物体的温度。c 可由公式e =。0+(1-。0把”求得，其中g是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数.现有809的物体，放在2 0。(

9、2的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40。(2,则左约等于(参考数据：l n 3，1.0 9 9 )(A)0.6 (B)0.5(C)0.4(D)0.3答案D1 4.(房 山1 0)李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次.已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是(A)1 2(B)1 3(C)1 4(D)1 5答案B2a-2b,。e b,1 5 .(房山1 5)对任意两实数a,b,定义运算“*”：=给出下列三个结论：2b-2a,a +x2，+】+L +8 x2 3 8=

10、(),l;z=0,1,L ,k,k e N ,01 2/+1 k i由于0 +x2 +x2 2+L +8 X2，+X21+I+L+x2 +2 2+L +2，+L +2*=2 4+】-10 I 2 i i+1 M这种形式的自然数p至多有2 人5个，且最大数不超过2 印-1.由,=0,l=0,l,L R ZEN,每个匕都有两种可能，所以这种形式的自然数p共有 M 驱 必坐倒=2E个结果.&+1 个 2下证 p=+x 2 +x22+L +8 x2+x2 +i+L +x2 人01 2 i i+k=+x2 i+x2 2+L +x2 i+x2，+i+L +x2&0 I 2/+!k其中 =0,1；r=0,l

11、；z=0,l,L ,k,ksN,则 =i i i i假设存在丁力 中，取，最大数为j,则i i|(+x2 1+2 x2 2+L +x2 +x2，+1+L +8 x2 2)-(g +x2 i+x2 2+L +g x2，+x 2 +L +r x 0 1 2/t+1 k 0 I 2 i/+1 k )+(g-g)x21+L+(e-)x2；I0 0 II j j 1_ 8)X 2 I _ 1(r )+(，)X 21+L+(8r _ )X 2j-i Ij j 1 1 o o 11 j-i Iz-)x2；|-(|8,-ll+-S|x2i+L+|g，-8|x2j-i)|)2;-(l+2 i+L +2JT)=1

12、所以0 21不可能.综上，任意正整数p可唯一表示为p-S+x2 +E x2 2+L +x 2-=(8 +x 2 2+L )+(8 x 2 1+x2 3+L )0 2 1 3显然(s +x 2 2+L )G A,(8 X21+X23+L)G B ,0 2 1 3满足N*=(A +8),所以集合A B互 为“完美加法补集”.1 分(i i )?|,=2 4-l,k e N*.1 4 分1 9(密云2 1)设为正整数，集合4=a la=(/,L ,t ),t e 0,1 ,k=1,2,L ,.对于集合A 中的任意元素a =(x,x,L ,x)和1 2 i i k 12”P =(y,y,L ,y),记

13、i 2 nM(a,B)=l(x+y+1 x-y l)+(x+y+lx-y l)+L +(x 4-y+1 x-y I).2 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n(I )当 n=3 时,若 a =(0,1,1),p=(0,0,1),求 知(a,a)和M(a,p)的值；(I I)当 =4时，对于A 中的任意两个不同的元素a，B ,证明：M(a，B)W M(a,a)+M(p,0).(I ll)给定不小于 2 的正整数，设 B 是 A的子集，且满足：对于 B中的任意两个不同元素 夕，M（a，B）=M（a,a）+M（B，p）.写出一个集合B,使其元素个数最多，并说明理由.答案:(I)(II)解：

14、因为a=(0,1,1),P=(0,0,1),所以M(a,a)=L(0+0+l0-01)+(1+1+11-11)+(1+1+11-11)=2,2M(a,p)=1(0+0+10-01)+(1+0+11-01)+(1+1+11-11)1=2.证明：当 =4时，对于A中的任意两个不同的元素a,0,设 a=(x,x,x,x),B=(y,y,y,y)，有1 2 3 4 1 2 3 4M(a,a)=x+x+x+x,M(p,P)=y+y+y+y 12 3 4 1 2 3 4对于任意的x,y，i=l,2,3,4，i i当 x 2 y 时，有(x+y+l%-y I)=-x+y+(x-y)=x，1 2 j i i

15、i 2 i i i i 当 x K y 时，有(x+y+lx-y I)=(x+y-(x -y)=y 2 i i i i 2 i i i i*BP-(x+y+lx-y I)=maxx 2 所以，有M(a,B)=maxx,y +maxx,y +maxx,y +maxx,y I I 2 2 3 3 4 4又 因 为w0,所以maxx,y x+y，i=1,2,3,4，当且仅当x y =0时等号成立.i i i i i i所以，maxx,y +maxx,y +maxx,y +maxx,y I 1 2 2 3 3 4 4(x+y)+(x+y)+(x+y)+(x+y)I1 2 2 3 3 4 4=(x+x+

16、x+x)+(y+y+y+y)，12 3 4 12 3 4即 M(a，B)4M(a,a)+M(0,0),当且仅当 x y.=0 (i=1,2,3,4)时等号成立.(H i)解：由(H)问，可证，对于任意的a =(x,x,x,L ,x),B=(y,y ,y,L,y)，I 2 3 n I 2 3 n若 M(a，B)=M(a,a)+M(3，B),则 x y.=0，i=1,2,3,L,成立.所以，考虑设 A=(x,x,x,L yx)1,x=x=L=x=0，0I 2 3 n I 2 nA=(x,x,L,x)lx =l,x w0,l,i=2,3,L,，II 2 3 n I r对于任意的=2,3,L，A=(x

17、,x,x,L,x)l(x,x,x,L,x)G A,x=x=L=x=0,x=1 kI 2 3 n 1 2 3 n I 2 A-l k所以 A=A U A UL U A 假设满足是件的集合B中元素个数不少于+2，则至少存在两个元素在某个集合A,(&=1,2,L,-1)中，K不妨设为a=(x,x,x,L,x),B=(y,y,y,L,y)，则 x=y=1.1 2 3 n 1 2 3“J t k与假设矛盾，所以满足条件的集合8中元素个数不多于+i.取 e=(0,0,L 0);o对于欠=1,2,L，一 1，取 e=(x,x,x,L,x)GA,且 x=L=x=0;e eA k 1 2 3 n k k+1 n

18、 n n令 8=e,e,L,e，0 1 n则 集 合 8 满 足 条 件，且元素个数为+1.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.2 0.（西城 2 1）如图，表 1是 一 个 由 4。X 2 0 个 非 负 实 数 组 成 的 40行 2 0 列 的 数 表.其 中u 1，2,，4 0 -1，2，2 0）表示位于第m行 第 列 的 数.将 表 1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表 2 （即一 N b g.j 9 其中,=1,2,，3 9;/=1,2,，2 0）.100-/等 于，一2 一呢2（结论不需要证明）（I I ）如果&4 o.i o-

19、1 且对于任意的/-1,2,，3 9;/-I,2,2 0 都有仇.，一仇成立，对 于 任 意 的 2,，1 9，都 有 5 一，成立,证明,（H1）若“Q-a oW 1 9（/-1?2 -4 0）.求最小的正整数，使得任给ik,都有+”1 0 1,L ,-b%,1.20 2,20 2,20 3.20 39.20 40.20所以 S-b)+(b-b)+L +(-b)2 3 9,1.2()2,20 2.20 3,20 39,20 40,20即b 2 b +3 9=4 0 .6 分1.20 40.20又因为对于m=1,2,L ,4()；n =l,2,L ,1 9,都有匕一,m,n m,n+所以&-b

20、 N 2,b-b N 2 ,L,b-b 2 2,1.1 1,2 1.2 1,3 1,19 1,20所以(b-b)+(b-b)+L +(b-b)3 8,1,1 1,2 1.2 1,3 1,19 1,20所以b+3 84 0 +3 8=78.1.1 1.20即产78.8 分（I I I）当表1 如下图时:011L11011L11101L11101L11110L11110L11LLLLLL111L01111L01111L10111L10其中，每行恰好有1 个 0和 1 9个 1；每列恰好有2个 0和 3 8个 1；因此每行的和均为1 9.符合题意.重新排序后，对 应 表 2中，前 38 行中每行各数

21、均为1,每行的和均为2 0；后 2行各数均为0,因此上 2 3 9.1 0 分以下先证：对于任意满足条件的表1,在表2的前3 9 行中，至少包含原表1中某一行(设为第r 行)的全部实数(即包含。,L.r.r,2 r,20假设表2的前3 9 行中，不能包含原表1 中任一行的全部实数.则表2的前3 9 行中至多含有表1 中的4 0 x1 9 =7 6 0 个数，这与表2中前3 9 行中共有3 9 x2 0 =7 80 个数矛盾.所以表2的前3 9 行中，至少包含原表1 中某一行(设为第r 行)的全部实数.1 2 分其次，在表2中，根据重排规则得：当i，3 9 时，b w b w”(j =1,2,L

22、,2 0),i.j 39J r.j所以 b+b+L+A W a +a+L+a W 1 9.i.l i.2(.20 r.l r2 r.20所以1 W 3 9.综上，k =3 9.1 4 分2 1.(海淀2 1)在平面直角坐标系中，。为坐标原点.对任意的点P(x,y),定义I I O P I I=l xl +l y l.任取点4(x,y),B(x,)，),记 A (x,y ),Bx,y),若此时I I O A I h+I I O BI 吐 I I O A I h+I I O BWI t 2 2 I 2 2 1成立，则称点A6相关.(I)分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；力(一 2),8(

23、3,2)；C(4,-3),D(2,4).(I I )给定 cN*,”23,点集。=(x,y)-n x n,-n y w,x,y G Z.n3)求集合门中与点A(l,l 相关的点的个数；n(i i)若 Su。，且对于任意的AB e S,点AB 相关，求 S中元素个数的最大值.答案解：(I )由题知4(-2,2)(3,1),进而有I I0A 2+II1 1 2=(2+1)2 +(3 +2)2 =3 4 ,I I O A I h +1 1 O B l h=(2+2)2+(3 +1)2 =3 2,所以 I I 0 4 1 1 2 +1 1 O B 1 1 2 M o A 也 +I I O B l l

24、2.所以A,3两点相关；由题知C(4,4),Z T(2,-3),进而有I I0C2+I I0 D 2=(4+3)2 +(2 +4)2 =85 ,I I 0 CI I 2 +l l(9 D l l 2=(4+4)2 +(2 +3)2 =89 ,所以 I I O CI I 2 +I I O D I|2|O CI I 2 +I I O D I|2 ,所以c,。两点不相关.(I I)(i)设 A(1,D 的相关点为8(x,y),x,y eZ ,-n x n,-n y 2时，l y l Nl,则41厢关点的个数共4(一 1)个.所以满足条件点g共有4”(-1)+4 +2+3 =4利+5(个).(i i)

25、集合S中元素个数的最大值为8-1.S=(0,0),(0,1),(1,1)(1,),(2,),L,(土,土)符合题意下证：集合S中元素个数不超过8-1.设4(彳);),33匕)，若点相关，则%2 +y 2 +21 x II y I+X 2 +y 2 +21 x II y I1 1 11 2 2 2 2%2+y2+2 1 x II y 1+1 2 +丁2+2 1%II y I.1 2 12 2 1 2 1m i l I x y l+l x y 1 Kxy l+l x y I1 1 2 2 1 2 2 1所以(l x I l x 1)(1 y -y l)0.12 12设集合s中共有机个元素，分别为4

26、(x,y),i m,i&N*,I I I不妨设l x K x K L l x I,而且满足当l x 1=1 x I,y iy I.1 2 m i i+i i+1下证：l y Kl y KL M y I.1 2 m若 I x 1=1 x I,I y l l y Ii i+1 i M 若l x l l x I,则必有l y i My I.i/+1 i i+1记，d=1 x l+l y x I I y 1,1 z 1,i i r+1/+2 i+3假设机 8-1 ,n i i jd 4-d+L+d =d+d+d+(d+L+d)2 2屋一11 2 8n-l 12 3 4 8n-l而 d+d+L+d =x

27、 l-l xl +l y I-1 l 2 n -11 2 8M-1 8M 1 8n 1因此，必有5=0或5=。.可得，q，d,不可能同时为0,则+d,Nl.所以d 4-d+L+d=(d+d)+d+(d+L+d.)2 2 1 2 8/1-1 1 2 3 4 8n-l必有l x 1=1 y=n,x=y=08/i 8 I 1所以，d=1,d=d=0.1 2 3因此l x l+l V 1=1,l x I+1 y 1=1,l x l+l y 1=122 3 3 4 4若i=i,则w (i,o),(-i,o),矛盾.同理，矛盾.因此，假设不成立.所以/“8 -1.所以集合S中元素个数的最大值为8-1.2

28、2.(昌平2 1)已知有限数列 ,从数列 4 中选取第i项、第，项、第i项(i i.,),顺次排列构成n n 1 2/N I 2 m数 列 仍 ，其中b=a,lWkW?，则称新数 列 仍 为 或 的长度为机的子列.规定：数列“的任意一项都是 a k k k n n的长度为1 的子列.若数列伍 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列 a 为完全数列.n n设数列 a 满足。=,l 4 2 5,wN*.n n(I)判 断 下 面 数 列 的两个子列是否为完全数列，并说明由;n数 列 :3,5,7,9,11；数 列 :2,4,8,16.(I I)数列 a 的子列仍 长度为机，且 仍 为完全数列，证

29、明：机的最大值为6；n k k(111)数列 a 的子列仍 长度?=5,且 /,为完全数列，求L +_ L+_ L+!+_!_ 的最大值.k k b b b b b12 3 4 518.(东城2 1)设数列q，耍B：b,呼如已知a.,&e 01(/=1,2,L,n;；=l,2,L定义 义 数表X(4 B)=X11X21Mx L x12 I nx L x22 2nM M Mx L xn2 nn7其中X=i ja=b 9i ja 手b,101%(I )若 A:1,1,1,0,B-.0,1,0,0,写出 X(A,B)；(I I)若 A 8是不同的数列，求 证：x 数表X(4,B)满足，尤=x(i =

30、l,2,L,；j =l,2,L 狗 j)”的充分 J J i必要条件为+b=1(无=1,2,L,n)；k k(I I I)若数列A 与 8中的1共有个，求 证：“X”数表X(A,8)中 1 的个数不大于三.答案解：(I )数列不是 a 的完全数列；数列是 a 的完全数列.2分n n理由如下：数列：3,5,7,9,11中，因为3+9=5+7=12,所以数列不是 a 的完全数列；n数列：2,4,8,16 中，所有项的和都不相等，数列是 4 的完全数列.4分n(I I )假设数列 长度为机，7,不妨设 1 =7,各项为6 b b L A =b+b+2 5+2 4 +2 3 +2 2 +2 1=6+b

31、 +115.所以其中必有两个子列的所有项之和相同.所以假设不成立.再考虑长度为6的子列：12,18,2 1,2 3,2 4,2 5,满足题意.所以子列g 的最大长度为6.9分k(I I I)数列 的子列,长度m=5,且 为完全数列，且各项为h h h L h.1 2 3 5所以，由题意得，这 5 项中任意,(l Wi W5)项之和不小于2 i-l .即对于任意的W W 5,有+L+b,B 2，T,即+L+%2+2 +4 +L+2，”对于任意的1 W iW 5 ,(b-1)+0-2)+L+S -2 一)0,1 2 i设c =8 一 2i(0=12 3,4,5),则数列 c.的前 J 项和。.4

32、0(j =l,2,3,4,5).i1J下面证明：-b1 1 1+b b b2 3 42 4 8 161 1 1 1 .J 1 1 1 1、因为(1+)-(+)2 4 8 16 h b b b b12 3 4 5c 1、/1、/1、/1、J 1、12 3 4 5b-1 b-2 b-4 b-8 b-16=-1-F T-F-!*-F-4-h-5-h 2h 4b 8 b 16 b12 3 4 5D D -D D -D D -D D -D=f-+-t H-3 金 4-4 3 H-。中h 2h 4b 汕 16/71 2 3 4 5=D (一)+D ()+D ()+D (-)+i b 2h 2 2b 4b

33、4h 8b/勖 16 b1 2 2所以一十1 1 +1 +1 +1h b b h h12 3 4 5+*+/备当且仅当上2 0,6 h5b5335 =2 一(i =1,2,3,4,5)时，等号成立.所以_ L+_ L+_ L+_ L+_ L的最大值为三.b b b b b 1612 3 4 514 分2 3.(房山2 1)知集合？的元素个数为3 (N*)且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A,B ,C,即尸=A U3UC,A IB =0f A IC=0,B IC=0,其中A=a 9a,L 9a ,B=b,b X 9b,C =c,c,L,c ，且满足c c

34、 L c,a+b=c,k=1,2,L,n,1 2 n I 2 n I 2 n I 2 n k k k则称集合 尸 为“完美集合”.(I )若集合尸=1,2,3,。=12,3,4,5,6,判断集合尸和集合。是 否 为“完美集合”？并说明理由；(I I)己知集合尸=1,羽3,4,5,6 为“完美集合”，求正整数1 的值;(I I I)设集合尸=工1 1 Wxw 3 ,c N*,证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是=4 左或n=4k+l(n e N,).答案(I)将尸分为集合 1,2,3 满足条件，是完美集合.将。分成3个，每个中有两个元素，若为完美集合，则a +b=c,a+b=cII I 2

35、 2 2。中所有元素之和为2 1,2 1+2 =10.5=c +c =10.5,不符合要求；I 2(H)若集合A=1,4,8 =3,5,根据完美集合的概念知集合C =6,7,若集合A=1,5,8 =3,6,根据完美集合的概念知集合C =4,11,若集合A=1,3,3 =4,6,根据完美集合的概念知集合C =5,9,故x的一个可能值为7,9,11中任一个；(I I I)证明：P中所有元素之和为.、3 (3 +1)1 +2+L+3n=-2a+b+c+a+b+c+L a+b+c111 2 2 2 n n n=2(c +c+L+c+c)1 2 M-1 n,/c-3 n3 (3 +l)-c+c +L+c

36、 +3 4-1 2 M-l9 n(z?-1).；_：=c+c +L+c ,等号右边为正整数，4 1 2 n-1则等式左边9 (-1)可以被4整除，=4左或-1=4 k(n e N*),即=4左或=4 k +l (w N*).2 4.(朝阳 2 1)设集合 A=，。，,其中 a ,a,a,a 是正整数，记 S=a+a+a+a.对于,a.eA1 2 3 4 12 3 4 4 12 3 4 i J(1/J 4),若存在整数k,满 足k(a+a)=S,则 称 整除S,设 是 满 足a +a整 除S的数对i j A i j A A i j A(i,j)(i v j)的个数.(I )若A=1,2,4,8,

37、B=1,5,7,11),写 出 ,的值；A B(I I)求”的最大值；A(I I I)设A中最小的元素为a ,求使得“取到最大值时的所有集合A.A答案解：(I)=2；n=4 .4 分A B(I I )不妨设0。a a.12 3 4因为白5=(6?+a +a+a)a+a a+a S,所以。+a ,a+a 不能整除 S.2 A 21234 2434A 2 4 3 4 A因为(i,j)最多有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)六种情况,而(2,4),(3,4)不满足题意，所以“6-2 =4.A当4 =1,5,7,11)时，n=4,所以”的最大值为4.9分A A(I

38、I I)假设 a a a.12 3 4由(I I)可知，当 取到最大值4时，a+a,a-a,a+a,a+a均能整除S.A 1 2 1 3 1 4 2 3 A因为L s m a x 6 Z+a,a+a S,故=maxa+o +a),2 A 1 4 2 3 A 2 A 14 2 3所以a +a=a+a.14 2 3设=+a,v=a+a,则，u 是 S=2(。+。)=2(+v-2 a)的因数，12 13 A 2 3 1所以V 是 2(“-2 a)的因数，且是2(吁 2 a)的因数.I 1因为 u ,所以 2(一2 a )2 2 u ,因为u 是2(一2。)的因数，所以丫 二 2-4.因为是2 -2 )=4-12。的因数，所以是12。的因数.111因为 4。,所以=6。=6。，或=12。=12 .1 1 1 1故 A=,5 a,7。1 ,或 A=”，11a ,19。，2 9。.i i i i i i i i所 以当取到最大值4 时，A=a95 a,la9lla 9 或一=。,11凡19。,2 9。.14 分A