2023年【解析版】中考数学常考易错点：5.2《图形的相似》.pdf

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1、北京市 Earlybird 5.2 图形的相似 易错清单 1.在研究三角形相似时,如果没有明确对应关系时,就一定要分类讨论,否则解答不完整.【例 1】(2014 新疆模拟)将三角形纸片(ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B,F,C为顶点的三角形与ABC相似,那么BF的长度是 .【解析】分两种情况讨论.由于CF=BC-BF=BC-BF,可算出BF的长即为BF的长;同理可以计算BF的长.【答案】或 2【误区纠错】在判定三角形相似,未明确对应关系时,特别注意不要忘了分类,再根据不同的对应关系分别计算要求的线段.【例 2】(20

2、14 青海模拟)如图,正方形ABCD的两边B C,AB分别在平面直角坐标系的x轴,y轴的正半轴上,正方形ABCD与正方形ABCD是以AC的中点O为中心的位似图形,已知AC=3,若点A的坐标为(1,2),则正方形ABCD与正方形ABCD的相似比是().北京市 Earlybird 【解析】延长AB交BC于点E,根据大正方形的对角线长求得其边长,然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比.在正方形ABCD中,AC=3,BC=AB=3.延长AB交BC于点E,点A的坐标为(1,2),OE=1,EC=3-1=2=AE.正方形ABCD的边长为 1.正方形ABCD与正方形ABCD的相似比是.【答案】B

3、名师点拨 1.三角形相似的性质与判定.2.运用相似的知识解决一些实际问题,要能够在理解题意的基础上,把它转化为纯数学知识的问题,要注意培养数学建模的思想.提分策略 1.在平面直角坐标系中,综合运用坐标与图形,相似三角形的判定与性质解决问题.【例 1】如图,甲、乙两人分别从A(1,),B(6,0)两点同时出发,点O为坐标原点,甲沿AO方向,乙沿BO方向均以 4km/h 的速度行驶,th 后,甲到达点M,乙到达点N.(1)请说明甲、乙两人到达O点前,MN与AB不可能平行.(2)当t为何值时,OMNOBA?【解析】此题综合考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想度是解析分两种情况讨

4、论即为的长由于可算出的长同理可以计算的长答案或误区纠错在判定三角形相似未明确对应关直角坐标系的轴轴的正半轴上正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形已知若点的坐标为则正方形与正方形的相相似比在正方形中延长交于点点的坐标为正方形的边长为正方形与正方形的相似比是答案三角形相似的性质与判定名北京市 Earlybird 的应用等知识点,难度较大.(1)用反证法说明.根据已知条件分别表示相关线段的长度,根据三角形相似的比例式说明;(2)根据两个点到达点O的时间不同分段讨论解答;本题最大误区是易漏解.【答案】(1)因为A的坐标为(1,),所以OA=2,AOB=60.因为OM=2-4t,ON=6-4t,时,

5、解得t=0,即在甲、乙两人到达点O前,只有当t=0 时,OMNOAB,所以MN与AB不可能平行;2.综合运用相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质,菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识解决较复杂的问题.【例 2】如图,在ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,点D是边BC的中点,点P从点B出发,以acm/s(a0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以 1cm/s 的速度从点D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为ts.若a=2,BPQBDA,求t的值.【解析】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判

6、定与性质以及等腰三角形的性质等知识.此题难度较大,注意数形结合思想与方程思想的应用.由度是解析分两种情况讨论即为的长由于可算出的长同理可以计算的长答案或误区纠错在判定三角形相似未明确对应关直角坐标系的轴轴的正半轴上正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形已知若点的坐标为则正方形与正方形的相相似比在正方形中延长交于点点的坐标为正方形的边长为正方形与正方形的相似比是答案三角形相似的性质与判定名北京市 Earlybird ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,D是BC的中点,根据等腰三角形三线合一的性质,即可求得BD与CD的长,又由a=2,BPQBDA,利用相似三角形的对应边成比例,即可求

7、得t的值.【答案】在ABC中,AB=AC=10 cm,BC=12 cm,D是BC的中点,BD=CD=6cm.a=2,BP=2t cm,DQ=t cm.BQ=BD-QD=6-t(cm).BPQBDA,BP BD=BQAB.即 2t6=(6-t)10.解得 专项训练 一、选择题 1.(2014 浙江嘉兴模拟)如图,已知AD为ABC的角平分线,DEAB交AC于点E,如果=,那么等于().(第 1 题)(第 2 题)2.(2014 广西百色模拟)正方形ABCD,正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示,点G在度是解析分两种情况讨论即为的长由于可算出的长同理可以计算的长答案或误区纠错在判定三角形相似

8、未明确对应关直角坐标系的轴轴的正半轴上正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形已知若点的坐标为则正方形与正方形的相相似比在正方形中延长交于点点的坐标为正方形的边长为正方形与正方形的相似比是答案三角形相似的性质与判定名北京市 Earlybird 线段DK上,正方形BEFG的边长为 4,则DEK的面积为().A.10 B.12 C.14 D.16 3.(2013 吉林镇赉县一模)如图,在梯形ABCD中,ADBC,对角线AC,BD相交于点O,若AD=1,BC=3,则SAODSBOC等于().(第 3 题)(第 4 题)4.(2013 安徽淮南洞山中学第四次质量检测)如图,E(-4,2),F(-1,-

9、1),以O为位似中心,按比例尺 12,把EOF缩小,则点E的对应点E的坐标为().A.(2,-1)或(-2,1)B.(8,-4)或(-8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)二、填空题 5.(2014 安徽安庆二模)如图,在ABC中,E,F,D分别是边AB,AC,BC上的点,且满足则EFD与ABC的面积比为 .(第 5 题)(第 6 题)度是解析分两种情况讨论即为的长由于可算出的长同理可以计算的长答案或误区纠错在判定三角形相似未明确对应关直角坐标系的轴轴的正半轴上正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形已知若点的坐标为则正方形与正方形的相相似比在正方形中延长交于点点的坐标为正方形的边长为正方形

10、与正方形的相似比是答案三角形相似的性质与判定名北京市 Earlybird 6.(2014 安徽淮北五校联考)如图,在四边形ABCD中,ADBC,BCD=90,ABC=45,AD=CD,CE平分ACB交AB于点E,在BC上截取BF=AE,连接AF交CE于点G,连接DG交AC于点H,过点A作ANBC,垂足为N,AN交CE于点M.则下列结论:CM=AF;CEAF;ABFDAH;GD平分AGC.其中正确的序是 .7.(2013 浙江湖州模拟)的比例中项是 .(第 8 题)8.(2013 河南西华县王营中学一模)如图,已知ABC是面积为的等边三角形,ABCADE,AB=2AD,BAD=45,AC与DE相

11、交于点F,则AEF的面积等于 .(结果保留根号)三、解答题 9.(2014 上海杨浦区三模)在梯形ABCD中,ADBC,DCBC,CEAB于点E,点F在边CD上,且BECE=BCCF.(1)求证:AECF=BEDF;(2)若点E为AB中点,求证:ADBC=2EC2-BC2.(第 9 题)10.(2013 河北二模)探究一:如图(1),在正三角形ABC中,E为边AB上任一点,CDE为正三角形,连接AD,猜想AD与BC的位置关系,并说明理由.探究二:如图(2),若ABC为任意等腰三角形,AB=AC,E为AB上任一点,CDE为等腰三角形,DE=DC,且BAC=EDC,连接AD,猜想AD与BC的位置关

12、系,并说明理由.度是解析分两种情况讨论即为的长由于可算出的长同理可以计算的长答案或误区纠错在判定三角形相似未明确对应关直角坐标系的轴轴的正半轴上正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形已知若点的坐标为则正方形与正方形的相相似比在正方形中延长交于点点的坐标为正方形的边长为正方形与正方形的相似比是答案三角形相似的性质与判定名北京市 Earlybird (第 10 题)参考答案与解析 1.B 解析 DEAB,AD为ABC的角平分线,AE=DE.ABAC=DEEC=AEEC=23.3.D 解析 面积比等于相似比的平方.4.A 解析 位似图形与EOF有可能在点O同侧,也有可能在异侧.9.(1)CEAB,

13、B+BCE=90.DCBC,DCE+BCE=90.B=DCE.BECE=BCCF,BCECEF.BCE=CEF.EFBC.即AECF=BEDF.(2)在梯形ABCD中,EFBC,E为AB中点,度是解析分两种情况讨论即为的长由于可算出的长同理可以计算的长答案或误区纠错在判定三角形相似未明确对应关直角坐标系的轴轴的正半轴上正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形已知若点的坐标为则正方形与正方形的相相似比在正方形中延长交于点点的坐标为正方形的边长为正方形与正方形的相似比是答案三角形相似的性质与判定名北京市 Earlybird EF=(AD+BC).BCECEF,=,即CE2=BCEF.CE2=(AD

14、+BC)BC.整理,得ADBC=2EC2-BC2.10.(1)如图(1),ADBC.ABC与DEC为正三角形,AC=BC,DC=EC,1+2=2+3=60.1=3.在ADC与BEC中,ADCBEC.DAC=B=60.DAC=ACB.ADBC.(1)(2)(第 10 题)(2)如图(2),ADBC.ABC与DEC为等腰三角形,且BAC=EDC,度是解析分两种情况讨论即为的长由于可算出的长同理可以计算的长答案或误区纠错在判定三角形相似未明确对应关直角坐标系的轴轴的正半轴上正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形已知若点的坐标为则正方形与正方形的相相似比在正方形中延长交于点点的坐标为正方形的边长为正方形与正方形的相似比是答案三角形相似的性质与判定名北京市 Earlybird ABCDEC.ACB=DCE,即1+2=2+3.1=3.ADCBEC.DAC=B.又 AB=AC,B=ACB.DAC=ACB.ADBC.度是解析分两种情况讨论即为的长由于可算出的长同理可以计算的长答案或误区纠错在判定三角形相似未明确对应关直角坐标系的轴轴的正半轴上正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形已知若点的坐标为则正方形与正方形的相相似比在正方形中延长交于点点的坐标为正方形的边长为正方形与正方形的相似比是答案三角形相似的性质与判定名