2023年【推荐】函数的基本性质.pdf

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1、第二讲 函数的性质（一）一、函数的单调性 1单调函数的定义 增函数 减函数 设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2 定义 当 12 时，都有(1)(2)，那么就说 当 1(2)，那么就说函数()x x f x f x x x f x f x f x 函数 f(x)在区间 D 上是增函数 在区间 D 上是减函数 图 象 描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2单调区间的定义 若函数 y f(x)在区间 D 上是 或，则称函数 y f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做 y f(x)的单调区间 3、单调性的判定

2、方法（1）定义法：利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：1 任取 x1，x2 D，且 x1x2；2 作差 f(x 1)f(x 2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差 f(x 1)f(x 2)的正负）；5 下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）（2）图像法：从左往右，图像上升即为 增函数，从左往右，图像下降即为 减函数。（3）复合函数的单调性的判断：设 y f(x)，u g(x)，x a,b，u m,n 都是单调函数，则 y f g(x)在 a,b 上也是单调函数。若 y f(x)是 m,n 上的增函数，则 y f g(x)与定

3、义在 a,b 上的函数 u g(x)的单调性相同 若 y f(x)是 m,n 上的减函数，则 y f g(x)与定义在 a,b 上的函数 u g(x)的单调性相同 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）4、函数单调性应注意的问题：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性 对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也 可以根本不单调(如常函数)函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增（或减）函

4、数，一般不能认为函数在 上是增（或减）函数 二、函数的最值 前提 设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 对于任意 x I，都有 f(x)M；对于任意 xI，都有 f(x)M；条件 存在 x0 I，使得 f(x0)M 存在 x 0 I，使得 f(x0)M 结论 M 为最大值 M 为最小值 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 2 利用图象求函数的最大（小）值 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数 y=f(x)在区间 a，b 上单调递增，在区间 b，c 上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有

5、最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间 a，b 上单调递减，在区间 b，c 上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)；强调 1.函数的单调性是局部性质 从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征 在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调 2函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域 对于基本 初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根 据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则

6、减”的法则求解函数 的单调区间 注意 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符 号“”联结，也不能用“或”联结 三、例题讲解 1 例 1、证明函数 f(x)2x x 在(，0)上是增函数 2x 练习 1判断函数()在(1，)上的单调性 g x x 1 练习 2（图像法）函数 f(x)|x 2|x 的单调减区间是()A 1,2 B 1,0 C 0,2 D 2，)2 f(2 m)f(m)的实数 m 的取值范围是 _ 例 2(1)若 f(x)为 R 上的增函数，则满足 象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降单调区间的定义若函数在区间上是或则称

7、函数在这一区间上 骤任取且作差变形通常是因式分解和配方定号即判断差的正负下结论即指出函数在给定的区间上的单调性图像法从左 函数若是上的增函数则与定义在上的函数的单调性相同若是上的减函数则与定义在上的函数的单调性相同即复合函数(2)若函数 f(x)|2 x a|的单调递增区间是 3，)，则 a _.象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降单调区间的定义若函数在区间上是或则称函数在这一区间上 骤任取且作差变形通常是因式分解和配方定号即判断差的正负下结论即指出函数在给定的区间上的单调性图像法从左 函数若是上的增函数则与定义在上的函数的单调性相同若是上的减函数则与定义在上的函数的单调性相同即

8、复合函数2/5象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降单调区间的定义若函数在区间上是或则称函数在这一区间上 骤任取且作差变形通常是因式分解和配方定号即判断差的正负下结论即指出函数在给定的区间上的单调性图像法从左 函数若是上的增函数则与定义在上的函数的单调性相同若是上的减函数则与定义在上的函数的单调性相同即复合函数练习 3(1)函数()1 在 2,3 上的最小值为 _，最大值为 _ f x x 1 1 1 1 1(2)已知函数 f(x)a x(a0，x0)，若 f(x)在 2，2 上的值域为 2，2，则 a _.四、随堂练习 1 下 列 函 数 中，在 区 间(0，)上 是 增 函 数

9、 的（）2 2 A y B y 3x 1 C y x D y|x|2 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x 4)，当 x2 时，f(x)单调递增，如果 x 1 x24，且(x 2)(x 2)0，则 f(x)f(x)的值()1 2 1 2 A恒小于 0 B 恒大于 0 C 可能为 0 D 可正可负 2 4，0，x x x 3已知函数 f(x)4x x2，x f(a)，则实数 a 的取值范围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)2 4.如果函数 f(x)x ax 3 在区间(,4 上单调递减，则实数 a 满足的条件是()A(8，)B 8,)C(,8)D(,

10、8 5函数 y x2 2x 3 的单调递减区间为()A(，3 B(，1 C 1，)D 3，1 6.函数 f(x)2x2 mx 3，当 x 2，)时是增函数，当(，2 时是减函数，则 f(1)_.7.已知函数 f(x 1)x2 2x 1，x 1，2，则 f(x)是(填序号).1，2 上的增函数；1，2 上的减函数；2，3 上的增函数；2，3 上的减函数.8已知定义在区间 0,1 上的函数 y f(x)的图象如图所示，对于满足 0 x1x2 x x；x f(x)x f(x)；0，则 f(x)的定义域是 _.a ax 1 10 若函数 f(x)x 2 在区间(2，)上递增，求实数 a 的取值范围 1

11、1已知定义域为 0,1 的函数 f(x)同时满足：对于任意的 x 0,1，总有 f(x)0；f(1)1；若 x1 0，象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降单调区间的定义若函数在区间上是或则称函数在这一区间上 骤任取且作差变形通常是因式分解和配方定号即判断差的正负下结论即指出函数在给定的区间上的单调性图像法从左 函数若是上的增函数则与定义在上的函数的单调性相同若是上的减函数则与定义在上的函数的单调性相同即复合函数3/5象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降单调区间的定义若函数在区间上是或则称函数在这一区间上 骤任取且作差变形通常是因式分解和配方定号即判断差的正负下结论即

12、指出函数在给定的区间上的单调性图像法从左 函数若是上的增函数则与定义在上的函数的单调性相同若是上的减函数则与定义在上的函数的单调性相同即复合函数练习 3(1)函数()1 在 2,3 上的最小值为 _，最大值为 _ f x x 1 1 1 1 1(2)已知函数 f(x)a x(a0，x0)，若 f(x)在 2，2 上的值域为 2，2，则 a _.四、随堂练习 1 下 列 函 数 中，在 区 间(0，)上 是 增 函 数 的（）2 2 A y B y 3x 1 C y x D y|x|2 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x 4)，当 x2 时，f(x)单调递增，如果 x 1 x24

13、，且(x 2)(x 2)0，则 f(x)f(x)的值()1 2 1 2 A恒小于 0 B 恒大于 0 C 可能为 0 D 可正可负 2 4，0，x x x 3已知函数 f(x)4x x2，x f(a)，则实数 a 的取值范围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)2 4.如果函数 f(x)x ax 3 在区间(,4 上单调递减，则实数 a 满足的条件是()A(8，)B 8,)C(,8)D(,8 5函数 y x2 2x 3 的单调递减区间为()A(，3 B(，1 C 1，)D 3，1 6.函数 f(x)2x2 mx 3，当 x 2，)时是增函数，当(，2 时是减函数，则

14、 f(1)_.7.已知函数 f(x 1)x2 2x 1，x 1，2，则 f(x)是(填序号).1，2 上的增函数；1，2 上的减函数；2，3 上的增函数；2，3 上的减函数.8已知定义在区间 0,1 上的函数 y f(x)的图象如图所示，对于满足 0 x1x2 x x；x f(x)x f(x)；0，则 f(x)的定义域是 _.a ax 1 10 若函数 f(x)x 2 在区间(2，)上递增，求实数 a 的取值范围 11已知定义域为 0,1 的函数 f(x)同时满足：对于任意的 x 0,1，总有 f(x)0；f(1)1；若 x1 0，象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降单调区间的定

15、义若函数在区间上是或则称函数在这一区间上 骤任取且作差变形通常是因式分解和配方定号即判断差的正负下结论即指出函数在给定的区间上的单调性图像法从左 函数若是上的增函数则与定义在上的函数的单调性相同若是上的减函数则与定义在上的函数的单调性相同即复合函数3/5象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降单调区间的定义若函数在区间上是或则称函数在这一区间上 骤任取且作差变形通常是因式分解和配方定号即判断差的正负下结论即指出函数在给定的区间上的单调性图像法从左 函数若是上的增函数则与定义在上的函数的单调性相同若是上的减函数则与定义在上的函数的单调性相同即复合函数练习 3(1)函数()1 在 2,3

16、 上的最小值为 _，最大值为 _ f x x 1 1 1 1 1(2)已知函数 f(x)a x(a0，x0)，若 f(x)在 2，2 上的值域为 2，2，则 a _.四、随堂练习 1 下 列 函 数 中，在 区 间(0，)上 是 增 函 数 的（）2 2 A y B y 3x 1 C y x D y|x|2 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x 4)，当 x2 时，f(x)单调递增，如果 x 1 x24，且(x 2)(x 2)0，则 f(x)f(x)的值()1 2 1 2 A恒小于 0 B 恒大于 0 C 可能为 0 D 可正可负 2 4，0，x x x 3已知函数 f(x)4x

17、 x2，x f(a)，则实数 a 的取值范围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)2 4.如果函数 f(x)x ax 3 在区间(,4 上单调递减，则实数 a 满足的条件是()A(8，)B 8,)C(,8)D(,8 5函数 y x2 2x 3 的单调递减区间为()A(，3 B(，1 C 1，)D 3，1 6.函数 f(x)2x2 mx 3，当 x 2，)时是增函数，当(，2 时是减函数，则 f(1)_.7.已知函数 f(x 1)x2 2x 1，x 1，2，则 f(x)是(填序号).1，2 上的增函数；1，2 上的减函数；2，3 上的增函数；2，3 上的减函数.8已知

18、定义在区间 0,1 上的函数 y f(x)的图象如图所示，对于满足 0 x1x2 x x；x f(x)x f(x)；0，则 f(x)的定义域是 _.a ax 1 10 若函数 f(x)x 2 在区间(2，)上递增，求实数 a 的取值范围 11已知定义域为 0,1 的函数 f(x)同时满足：对于任意的 x 0,1，总有 f(x)0；f(1)1；若 x1 0，象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降单调区间的定义若函数在区间上是或则称函数在这一区间上 骤任取且作差变形通常是因式分解和配方定号即判断差的正负下结论即指出函数在给定的区间上的单调性图像法从左 函数若是上的增函数则与定义在上的函数的单调性相同若是上的减函数则与定义在上的函数的单调性相同即复合函数3/5 象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降单调区间的定义若函数在区间上是或则称函数在这一区间上 骤任取且作差变形通常是因式分解和配方定号即判断差的正负下结论即指出函数在给定的区间上的单调性图像法从左 函数若是上的增函数则与定义在上的函数的单调性相同若是上的减函数则与定义在上的函数的单调性相同即复合函数