二分图的完备匹配.ppt

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1、二分图的完备匹配 某公司有工作人员X1，X2，Xm，他们去做工作Y1，Y2，Yn，每人适合做其中的一项或几项工作，问能否每人都分配一项合适的工作。这个问题的数学模型是：构造一个二分图G，顶点划分为两个部分：一个是工作人员集合XXl，X2，Xm，一个是工作集合YY1，Y2，Yn，当且仅当Xi适合干工作Yi时，Xi与Yi之间连一条边。问是否能从G中得出一个不含未盖点的匹配，这种将G的每一个顶点盖住的匹配称为二分图的完备匹配。可能存在完备匹配的图是否仅限于二分图呢？答案是否定的。数学家在做了大量的图论分析后得出：(1)G是K(K0)次正则二分图；(2)G是无桥的三次正则图；(3)G在去除任意一个顶点

2、子集S后，其子图中含顶点数为奇数的连通分支个数不大于|S|。具有上述3个特征的图肯定有完备匹配。特别是特征(3)，是完备匹配的充分必要条件：含特征(3)的图一定有完备匹配；有完备匹配的图也一定含有特征(3)。求二分图最佳匹配的算法匈牙利算法变量说明；S外点集合，初始时为交错树的根；T内点集合，初始时为空；N(S)与S中的顶点相邻的顶点集合。显然，若N(S)T，表明与任一外点相连的端点都在内点集合里，找不出一条不属于交错树的边，图G无完备匹配；M匹配边集合；E(P)可增广轨P上的边。M E(P)进行对称差运算的结果，为可增广轨P上的匹配边与非匹配边对换，P轨外的匹配边不变，使得M改进成一个多包含一条边的匹配。O 这个算法的要点是把初始匹配通过可增广轨逐次增广，以至得到最大匹配。然后根据有无未盖点来判定这个最大匹配是否为完备匹配。例如求图78(d)中的最大匹配，设初始匹配M(X2Y2,X3Y3,X5Y5 以未盖点X1为根，生成交错树，结果得到可增广轨X1Y2X2Y1(见)。X1X2X4X5X3Y1Y2Y4Y5Y3X1X2X4X5X3Y1Y2Y4Y5Y3