最新高考数学考纲解读与热点难点突破专题12数列的综合问题教学案理资料.pdf

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1、精品文档 精品文档 数列的综合问题【2019 年高考考纲解读】1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力【重点、难点剖析】一、利用Sn，an的关系式求an 1数列an中，an与Sn的关系 an S1，n1，SnSn1，n2.2求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式(2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列an中，满足an1anf(

2、n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)二、数列与函数、不等式的综合问题 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题 三、数列的实际应用 用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数

3、列问题求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果【高考题型示例】题型一、利用Sn，an的关系式求an 例 1、已知等差数列an中，a22，a3a58，数列bn中，b12，其前n项和Sn满足：bn1Sn2(nN*)(1)求数列an，bn的通项公式；精品文档 精品文档(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)a22，a3a58，2d23d8，d1，ann(nN*)bn1Sn2(nN*)，bnSn12(nN*，n2)由，得bn1bnSnSn1bn(nN*，n2)，bn

4、12bn(nN*，n2)b12，b22b1，bn是首项为 2，公比为 2 的等比数列，bn2n(nN*)【感悟提升】给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.【变式探究】已知数列an的前n项和Sn满足：a1anS1Sn.(1)求数列an的通项公式；(2)若an0，数列log2 an32的前n项和为Tn，试问当n为何值时，Tn最小？并求出最小值 解(1)由已知a1anS1Sn，可得当n1 时，a21a1a1，解得a10 或a12，当n2 时，由已知可得a1an1S1

5、Sn1，得a1()anan1an.若a10，则an0，此时数列an的通项公式为an0.若a12，则 2()anan1an，化简得an2an1，精品文档 精品文档 即此时数列an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，故an2n(nN*)综上所述，数列an的通项公式为an0 或an2n.(2)因为an0，故an2n.设bnlog2 an32，则bnn5，显然bn是等差数列，由n50，解得n5，所以当n4 或n5 时，Tn最小，最小值为T4T55()40210.题型二 数列与函数、不等式的综合问题 例 2、已知函数f(x)ln(1 x)x1x1x.(1)若x0 时，f(x)0，求的最小值；(2)设

6、数列an的通项an112131n，证明：a2nan14nln 2.若12，则当x0 时，f(x)0 时，f(x)ln(1 x)，令x1n，则2n12nn1ln n1n，12n12n1ln n1n，12n112n2ln n2n1，12n212n3ln n3n2，122n114nln 2n2n1.以上各式两边分别相加可得 12n12n112n112n212n212n3122n114n ln n1nln n2n1ln n3n2ln 2n2n1，即1n11n21n312n112n14n ln n1nn2n1n3n22n2n1ln 2nnln 2，a2nan14nln 2.【感悟提升】解决数列与函数、不

7、等式的综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视 (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件(3)不等关系证明中进行适当的放缩【变式探究】已知等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，满足S42a41，S32a31.(1)求an的通项公式；(2)记bnlog2()anan1(nN*)，数列bn的前n项和为Tn，求证：1T11T21Tn2.(1)解 设an的公比为q，由S4S3a4，S42a41 得，2a42a3a4，精品文档 精品文档 所以a4a32，所以q2.又因为S32a31，所以a12a14a18a11，所以a11，所

8、以an2n1(nN*)(2)证明 由(1)知bnlog2(an1an)log2(2n2n1)2n1，所以Tn12n12nn2，所以1T11T21Tn1121221n211121231n1n 111212131n11n 21n0)(1)求A市 2019 年的碳排放总量(用含m的式子表示)；(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围 解 设 2018 年的碳排放总量为a1,2019 年的碳排放总量为a2，(1)由已知，a14000.9m，a20.9()4000.9mm 4000.920.9mm3241.9m.(2)a30.9()4000.920.9mmm 4000.930.92m0.9

9、mm，an4000.9n0.9n1m0.9n2m0.9mm 4000.9nm 10.9n10.94000.9n10m()10.9n()40010m0.9n10m.由已知nN*，an550，(1)当 40010m0，即m40 时，显然满足题意；精品文档 精品文档(2)当 40010m0，即m40 时，由指数函数的性质可得()40010m0.9 10m550，解得m190.综合得m40；(3)当 40010m40时，由指数函数的性质可得 10m550，解得m55，综合得 40m55.综上可得所求m的范围是(0，55.【感悟提升】常见数列应用题模型的求解方法(1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均

10、增长率为p，对于时间n的总产值yN(1 p)n.(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1 r)n.(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1 nr)(4)分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则br1rna1rn1.【变式探究】2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上

11、增长 50%.记 2016 年为第 1 年，f(n)为第 1 年至此后第 n(nN*)年的累计利润(注：含第 n 年，累计利润累计净收入累计投入，单位：千万元)，且当 f(n)为正值时，认为该项目赢利 参考数值：32717，32825，ln 31.1，ln 20.7(1)试求 f(n)的表达式；(2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由 解(1)由题意知，第 1 年至此后第n(nN*)年的累计投入为 82(n1)2n6(千万元)，第 1 年至此后第n(nN*)年的累计净收入为1212321123221232n1 12132n13232n1(千万元)f(n)32n1(2n6)32

12、n2n7(千万元)精品文档 精品文档(2)方法一 f(n1)f(n)32n12n17 32n2n7 1232n4，当n3 时，f(n1)f(n)0，故当n4 时，f(n)递增 又f(1)1520，f(7)32721172140.该项目将从第 8 年开始并持续赢利 答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利 方法二 设f(x)32x2x7(x1)，则f(x)32xln 322，令f(x)0，得32x2ln 322ln 3 ln 221.1 0.75，x4.从而当x1,4)时，f(x)0，f(x)单调递增 又f(1)1520，f(7)32721172140.该项目将从第 8 年开始并持续赢利 答：

13、该项目将从 2023 年开始并持续赢利 题型四 与数列相关的综合问题 例 4、设f(x)12x22x，f(x)是yf(x)的导函数，若数列an满足an1f(an)，且首项a11.精品文档 精品文档(1)求数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和为Sn，等比数列bn中，b1a1，b2a2，数列bn的前n项和为Tn，请写出适合条件TnSn的所有n的值.解(1)由f(x)12x22x，得f(x)x2.an1f(an)，且a11.an1an2 则an1an2，因此数列an是公差为 2，首项为 1 的等差数列.an12(n1)2n1.(2)数列an的前n项和Snn（12n1）2n2，等比数列bn中，

14、b1a11，b2a23，q3.bn3n1.数列bn的前n项和Tn13n133n1313n12.TnSn可化为3n12n2.又nN*，n1，或n2 故适合条件TnSn的所有n的值为 1 和 2.【感悟提升】1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【变式探究】设数列an(n1，2，3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)记数列1an的前n项和为Tn，求使得|Tn1|11 000成立的n的最小值.解(1)由已知Sn2ana1，精品文档 精品文档 有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2).从而a22a1，a32a24a1.又因为a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12，所以数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故an2n.精品文档 精品文档