最新高考数学江苏卷.pdf

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1、精品文档 精品文档 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）1已知集合 1,2,3A，2,4,5B，则集合ABU中元素的个数为 【答案】5【解析】因为ABU1,2,3,4,5，所以该集合元素的个数为 5 2已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 【答案】6【解析】这 6 个数的和为 36，故平均数为 6 3设复数z满足234zi（i是虚数单位），则z的模为 【答案】5【解析】设,zxyi x y R，则2222zxyxyi，结合条件得223,24xyxy，解得224,1.xy 所以225zxy 4根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 【答案】7【解析】“追踪

2、”循环体（就在图形的一旁标注，这样不容易出错）：于是，输出7S 5袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球.从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 【答案】56【解析】从 4 个球中一次随机地取 2 个球，有 6 种取法：（白,红），（白,黄 1），（白,黄 2），（红,黄 1），（红,黄 2），（黄 1,黄 2），其中，两个球不同颜色有 5 种取法，故所求概率为56（或先求颜色相同的概率为16，再用对立事件求）6已知向量(2,1)a，(1,2)b，若(9,8)mn a+b(,)m nR，则mn的值为 【答案】3【解析】由(9,8)mn

3、a+b，得29,28,mnmn 解得2,5.mn故3mn 7不等式224xx的解集为 【答案】(1,2)1S 1I While 8I 2SS 3II End While Print S （第 4 题）35循环体2SS3II47710精品文档 精品文档【解析】原不等式即2222xx，得22xx，即220 xx ，得解集为x-1x 2 8已知tan2，1tan()7，则tan的值为 【答案】3【解析】tan()tantantan()1tan()tan 1273217 9现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但

4、底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 【答案】7【解析】设新的圆锥与圆柱的底面半径都为R，原圆锥的体积1 111100(25)4333VS h 圆锥，22(4)832VS h 圆柱，由题意得221196()4()833RR，解得27R，即7R 10在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线210()mxymm R相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【答案】22(1)2xy【解析】直线210()mxymm R，即(2)(1)0m xy ，该直线过定点(2,1)，以点(1,0)为圆心且与直线210()mxymm R相切的所有圆中，最大半径为这两点间的距离2，故所求

5、圆的标准方程为22(1)2xy 11.设数列na满足11a，且11()nnaann N，则数列1na前 10 项的和为 【答案】2011【解析】11a，212aa，323aa，1nnaan，将上面各式叠加得(1)122nn nan L（1n 也满足），所以12112()(1)1nannnn.所以数列1na的前 10 项和10111112(1)2231011S L1202(1)1111 12在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线221xy右支上的一个动点若点P到直线10 xy 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为 答案解析设则结合条件得解得所以根据如图所示的伪代码可知输出的结果为答案解析

6、追踪循环体就在图形的一旁标注则这只球颜色不同的概率为答案解析从个球中一次随机地取个球有种取法白白黄白黄黄黄黄黄其中两个球不同颜色有解集为答案精品文档精品文档精品文档解析原不等式即得即得解集为已知则的值为答案解析现有橡皮泥制作的底面半精品文档 精品文档【答案】22【解析】双曲线的一条渐近线0 xy 与已知直线10 xy 平行，由题意知，所求c的最大值，即这两条直线间的距离22d 13已知函数()lnf xx，20,01()42,1xg xxx ，则方程()()1f xg x实根的个数为 【答案】4；【解析】由()()1f xg x，得()()1f xg x，即()()1g xf x 或()()1

7、g xf x，问题转化为求函数()yg x与()1yf x 的图像交点个数.先画出()yg x的图像和()1yf x的图像（图 1），由图知()yg x与()1yf x 的图像有2 个交点，()yg x与()1yf x 的图像也有 2 个交点（图 2），共 4 个交点，即方程()()1f xg x实根的个数为 4 14设向量(cos,sincos)666kkkka(0,1,212)k L，则1110()kkkaa的值为 【答案】9 3；解 析：0(1,1)a，13 13(,)222a，21 13(,)2 22a，3(0,1)a，4113(,)222 a，53 13(,)222a，6(1,1)a

8、，7313(,)222 a，8113(,)222 a，9(0,1)a，101 13(,)2 22a，11313(,)222 a，12(1,1)a 于是01132 aa，123 314 aa，233122 aa，343122 aa，453 314 aa，56132 aa，67132 aa，783 314 aa，893122 aa，9103122 aa，10113 314 aa，1112132 aa，所以1110()9 3kkkaa 15在ABCV中，已知2,3,60ABACAo（1）求BC的长；（2）求sin2C的值 解：（1）在ABCV中，由余弦定理得，2222cos7BCABACAB ACA

9、，所以7BC.图 1 31xy11O2242312图 2 31xy11O2242312答案解析设则结合条件得解得所以根据如图所示的伪代码可知输出的结果为答案解析追踪循环体就在图形的一旁标注则这只球颜色不同的概率为答案解析从个球中一次随机地取个球有种取法白白黄白黄黄黄黄黄其中两个球不同颜色有解集为答案精品文档精品文档精品文档解析原不等式即得即得解集为已知则的值为答案解析现有橡皮泥制作的底面半精品文档 精品文档（2）在ABCV中，由正弦定理，得sinsinABBCCA，所以sin21sin7ABACBC.因为AB是最小边，所以C为锐角.所以22 7cos1sin7CC.所以 212 74 3sin

10、22sincos2777CCC 16如图，在直三棱柱111ABCABC中，已知1,ACBC BCCC设1AB的中点为D，11BCBCEI 求证：（1）DE平面11AACC；（2）11BCAB 解：（1）因为三棱柱的侧面均为平行四边形，对角线互相平分，所以E是1BC的中点.又D为1AB的中点，所以DE为1B AC的中位线，即DEAC.又DE 平面11AACC，AC 平面11AACC，所以DE平面11AACC.（2）因为棱柱111ABCABC是直三棱柱，所以1CC 平面ABC，,AC BC 平面ABC，所以1CCAC，1CCBC.又1BCCC，所以11BBC C为正方形.因为正方形对角线互相垂直平

11、分，所以11BCBC.因为1CCAC，且BCAC，1CCBCCI，所以AC 平面11BB C C.因为1BC 面11BBC C，所以1BCAC.又1B CACCI，所以1BC 平面1ABC.因为1AB 平面1ABC，所以11BCAB 17 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为12,l l，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，,M N为C的两个端点，测得点M到12,l l的距离分别为 5 千米和 40 千米，点N到12,l l的距离分别为 20 千米和2.5千米.以21,l l所在的直

12、线分别为,x y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数2ayxb（其中,a b为常数）模型.（1）求,a b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t 请写出公路l长度的函数解析式()f t，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度 解：（1）由题意，得点,M N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)将其分别代入2ayxb，得40,252,5.400abab 解得1000,0.ab（第16题）ABCED1A1B1C（第17题）MyxNO2l1llPBA答案解析设则结合条件得解得所以根据如图所示的伪代码可知输出的结果为答案解析追踪循环体就在图形的一旁

13、标注则这只球颜色不同的概率为答案解析从个球中一次随机地取个球有种取法白白黄白黄黄黄黄黄其中两个球不同颜色有解集为答案精品文档精品文档精品文档解析原不等式即得即得解集为已知则的值为答案解析现有橡皮泥制作的底面半精品文档 精品文档（2）由（1）知，21000yx(520)x，则点21000(,)P tt.设在点P处的切线l交,x y轴分别于,A B点，32000yx ，则切线l的方程为2310002000()yxttt，由此得3(,0)2tA，23000(0)Bt，故6222243300034 10()()()22tf tttt(520)t.设6244 10()g ttt(520)t，则6516

14、10()2g ttt .令()0g t，解得10 2t.当(5,102)t时，()0g t，()g t单调递减；当(10 2,20)t时，()0g t，()g t单调递增.所以当10 2t 时，()g t有极小值，也是最小值，即min()300g t，此时min()15 3f t 答：当10 2t 时，公路l的长度最短，最短长度为15 3千米 18如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆222210 xyabab 的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为 3（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于,A B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点,P C，若2PCAB，求直

15、线AB的方程 解：（1）由题意得22ca且23acc，解得2a，1c，则1b，所以椭圆的标准方程为2212xy.（2）当ABx轴时，2AB，3CP，不合题意；当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为(1)yk x，设11(,)A x y，22(,)B xy，将(1)yk x代 入2212xy，得2222(12)42(1)0kxk xk，则221,2222(1)12kkxk.因为C为AB的中点，所以2222(,)1212kkCkk，2222221212122 2(1)()()(1)()12kABxxyykxxk.若0k，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；从而0k，故直线PC的

16、方程为22212()1212kkyxkkk，令2x ，得22522,(12)kPkk，于是2222(31)1(12)kkPCkk，由2PCAB，得2222(31)1(12)kkkk224 2(1)12kk，解得1k .于是直线AB的方程为1yx 或1yx 19已知函数32()(,)f xxaxba bR.（第 18 题）OxCAByFlP答案解析设则结合条件得解得所以根据如图所示的伪代码可知输出的结果为答案解析追踪循环体就在图形的一旁标注则这只球颜色不同的概率为答案解析从个球中一次随机地取个球有种取法白白黄白黄黄黄黄黄其中两个球不同颜色有解集为答案精品文档精品文档精品文档解析原不等式即得即得解

17、集为已知则的值为答案解析现有橡皮泥制作的底面半精品文档 精品文档（1）试讨论)(xf的单调性；（2）若acb（实数c是与a无关的常数），当函数)(xf有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是 33(,3)1,22 UU，求c的值 解：（1）2()32f xxax，由()0f x，解得10 x，223ax .当0a 时，因为2()30fxx，所以()f x在(,)上单调递增；当0a 时，2(,)(0,)3ax U时，()0f x；2(,0)3ax时，()0f x，所以()f x在2(,)3a 和(0,)上单调递增，在2(,0)3a上单调递减；当0a 时，2(,0)(,)3axU时，()0f x；2

18、(0,)3ax时，()0f x；所以()f x在(,0)和2(,)3a上单调递增，在2(0,)3a上单调递减（2）由（1）知，函数()f x的两个极值为(0)fb，324()327afab，则函数)(xf有三个不同零点等价于324(0)()()0327affbab ，从而30,4027aab 或30,40.27aba 又acb，所以当0a 时，34027aac 或当0a 时，34027aac .设34()27g aaac，因 为 函 数)(xf有 三 个 不 同 零 点 时，a的 取 值 范 围 恰 好 是 33(,3)1,22 UU，则在(,3)上()0g a，且在 331,22U上()0g

19、 a 均恒成立，从而(3)10,3()102gcgc ，因此1c 此时，322()1(1)(1)1f xxaxaxxaxa .因 为 函 数 有 三 个 不 同 零 点，所 以2(1)10 xaxa 有 两 个 异 于1的 不 等 实 根，所 以22(1)4(1)230aaaa，且2(1)(1)10aa ，解得 33(,3)1,22a UU，综上1c 20设1234,a aa a是各项为正数且公差为(0)d d 的等差数列（1）证明：13242,2,2,2aaaa依次构成等比数列；（2）是否存在1,a d，使得2341234,a aaa依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1,a d及正

20、整数,n k，使得231234,nn knknkaaaa依次构成等比数列？并说明理由（1）证明：因为11222(1,2,3)2nnnnaaadan是同一个不为 0 的常数（或证3241232222222aaadaaa），所以13242,2,2,2aaaa依次构成等比数列.（2）解：不存在，理由如下：答案解析设则结合条件得解得所以根据如图所示的伪代码可知输出的结果为答案解析追踪循环体就在图形的一旁标注则这只球颜色不同的概率为答案解析从个球中一次随机地取个球有种取法白白黄白黄黄黄黄黄其中两个球不同颜色有解集为答案精品文档精品文档精品文档解析原不等式即得即得解集为已知则的值为答案解析现有橡皮泥制作的

21、底面半精品文档 精品文档 令1ada，则1234,a aa a分别为,2ad a ad ad(,2,0)ad ad d 假设存在1,a d，使得2341234,a aaa依次构成等比数列，则43624()(),()(2).aadadadaad 再 令dta1(1,0)2tt ，则3641(1)(1),(1)(12)tttt ，化 简 得322220(),1tttt ，将21tt 代入()式，得(1)2(1)2t tt 230tt，因为0t，所以3t ，显然3t 不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立.因此不存在1,a d，使得2341234,a aaa依次构成等比数列（3）解：不存在，理由如下

22、：假 设 存 在1,a d及 正 整 数,n k，使 得231234,nn knknkaaaa依 次 构 成 等 比 数 列，则22()111(2)()nnkn kaadad，且32(2)111()(3)(2)n knknkadadad，分别在两个等式的两边同除以2()1n ka及2(2)1nka，并令11(,0)3dttta，则22()(12)(1)nkn ktt，且32(2)(1)(13)(12)n knknkttt.将上述两个等式两边取对数，得(2)ln(12)2()ln(1)nktnkt，且()ln(1)(3)ln(13)2(2)ln(12)nktnktnkt ，化简得 2ln(12)

23、ln(1)2ln(1)ln(12)kttntt，且 3ln(13)ln(1)3ln(1)ln(13)kttntt，将这两式相除，化简得 ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)4ln(13)ln(1)tttttt.（）令()4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)g ttttttt，则2222(13)ln(13)3(12)ln(12)3(1)ln(1)()(1)(12)(13)ttttttg tttt.再令222()(13)ln(13)3(12)ln(12)3(1)ln(1)ttttttt，则()6(13)ln(13)2(12)ln(12)(1)ln(1

24、)ttttttt .令1()()tt，则1()6 3ln(13)4ln(12)ln(1)tttt.令21()()tt，则212()0(1)(12)(13)tttt.由12(0)(0)(0)(0)0g，2()0t，知12(),(),(),()g tttt在1(,0)3和(0,)上均单调.故()g t只有唯一零点0t，即方程（）只有唯一解0t，故假设不成立.所以不存在1,a d及正整数,n k，使得231234,nn knknkaaaa依次构成等比数列 21 A选修 4-1：几何证明选讲 如图，在ABC中，ACAB，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D 求证：ABDAEB 证明：因为ACAB，所以

25、ABDC.又因为EC ，所以ABDE.又BAE为公共角，所以ABDAEB B选修 4-2：矩阵与变换 已知,x yR，向量=11 是矩阵A=10 xy的属于特征值2的一个特DABOC（第 21A题）E答案解析设则结合条件得解得所以根据如图所示的伪代码可知输出的结果为答案解析追踪循环体就在图形的一旁标注则这只球颜色不同的概率为答案解析从个球中一次随机地取个球有种取法白白黄白黄黄黄黄黄其中两个球不同颜色有解集为答案精品文档精品文档精品文档解析原不等式即得即得解集为已知则的值为答案解析现有橡皮泥制作的底面半精品文档 精品文档 征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值 解：由已知得2A=，即10 xy11

26、 22 ，即1xy22 ，则12,2xy，解得1,2.xy所以矩阵A=1 12 0.于是矩阵A的特征多项式11()(2)(1)2f.所以矩阵A的另一个特征值为 1 C.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知圆C的极坐标方程为22 2 sin()404，求圆C的半径.解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy，则cos,sinxy，222xy.原极坐标方程即222 2(sincos)402，化 简，得22sin2cos40，即222240 xyyx，化 为 标 准 方 程22(1)(1)6xy，所以圆C的半径为6.D 选修 4-5：不等式选讲 解不等式

27、|23|2xx 解：原不等式可化为3,232xx 或3,2332xx，解得5x 或13x .所以原不等式的解集为15,3x xx或 22如图，在四棱锥PABCD中，已知PA 平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，2ABCBAD,2,1PAADABBC.（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长 解：（1）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(1,0,0)B，(1,1,0)C，(0,2,0)D，(0,0,2)P 因为AD 平面PAB，所以(0,2,0)AD uuu r是平面P

28、AB的一个法向量 因为(1,1,2)PC uuu r，(0,2,2)PD uuu r，设平面PCD的一个法向量为(,)x y zm，则,PCPDuuu ruuu rmm即20,220.xyzyz 得,.xzyz可取(1,1,1)m.（第 22题）ABCQDP（第22题）ABCQDPzxy答案解析设则结合条件得解得所以根据如图所示的伪代码可知输出的结果为答案解析追踪循环体就在图形的一旁标注则这只球颜色不同的概率为答案解析从个球中一次随机地取个球有种取法白白黄白黄黄黄黄黄其中两个球不同颜色有解集为答案精品文档精品文档精品文档解析原不等式即得即得解集为已知则的值为答案解析现有橡皮泥制作的底面半精品文

29、档 精品文档 设向量,ADuuu rm的夹角为，所以3cos3ADADuuu ruuu rmm，所求二面角的平面角与相等或互补，根据图形可知，所求二面角的平面角为锐角，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为33.（2）因为(1,0,2)BP uuu r，设(,0,2)BQBPuuu ruuu r(01)，又(0,1,0)CB uuu r，则(,1,2)CQCBBQ uuu ruuu ruuu r，(0,2,2)DP uuu r.从而212cos,102CQ DPCQ DPCQDPuuu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu r.设12,1,3t t，于是22cos,51

30、09tCQ DPttuuu r uuu r22223 1010109152059()99ttt（当且仅当59t 时取等号），此时25.因为cosyx在(0,)2上是减函数，所以此时直线CQ与DP所成角取得最小值.又因为221025BP uuu r，所以22 555BQBP 23.已知集合*1,2,3,1,2,3,()nXYnnNL，(,)|,nnSa babba aX bY整除 或整除，令()f n表示集合nS所含元素的个数.（1）写出(6)f的值；（2）当6n 时，写出()f n的表达式，并用数学归纳法证明 解：（1）6n 时，1,2,3,1,2,3,6nXYL，当1a 时，b可以取1,2,

31、3,6L；当2a 时，b可以取1,2,4,6；当3a 时，b可以取1,3,6，故(6)13f（2）当6n 时，2(),6,23112(),61,2322(),62,23()()12(),63,2312(),64,23122(),6523nnnntnnnntnnnntf ntnnnntnnnntnnnnt N.下面用数学归纳法证明：当6n 时，66(6)621323f ，结论成立；答案解析设则结合条件得解得所以根据如图所示的伪代码可知输出的结果为答案解析追踪循环体就在图形的一旁标注则这只球颜色不同的概率为答案解析从个球中一次随机地取个球有种取法白白黄白黄黄黄黄黄其中两个球不同颜色有解集为答案精品

32、文档精品文档精品文档解析原不等式即得即得解集为已知则的值为答案解析现有橡皮泥制作的底面半精品文档 精品文档 假设(6)nk k时结论成立，那么1nk 时，1kS在kS的基础上新增加的元素在(1,1)k，(2,1)k，(3,1)k中产生，分以下情形讨论：01 若16kt，则6(1)5kt，此时有 12(1)()32323kkf kf kk 11(1)223kkk ，结论成立；02 若161kt ，则6kt，此时有(1)()12123kkf kf kk (1)1(1)1(1)223kkk ，结论成立；03 若162kt ，则61kt，此时有 11(1)()22223kkf kf kk 1(1)2(

33、1)223kkk ，结论成立；04 若163kt ，则62kt，此时有 2(1)()22223kkf kf kk (1)11(1)223kkk ，结论成立；05 若164kt ，则63kt，此时有 1(1)()22223kkf kf kk 1(1)1(1)223kkk ，结论成立；06 若165kt ，则64kt，此时有 1(1)()12123kkf kf kk (1)1(1)2(1)223kkk ，结论成立.综上，结论对满足6n 的自然数n均成立 答案解析设则结合条件得解得所以根据如图所示的伪代码可知输出的结果为答案解析追踪循环体就在图形的一旁标注则这只球颜色不同的概率为答案解析从个球中一次随机地取个球有种取法白白黄白黄黄黄黄黄其中两个球不同颜色有解集为答案精品文档精品文档精品文档解析原不等式即得即得解集为已知则的值为答案解析现有橡皮泥制作的底面半