最新微积分2复习提纲1.pdf

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1、 微积分 2 复习提纲 1 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 微积分复习提纲 一、多元函数微分学及其应用 1、会求多元函数的偏导数，进而会求函数的全微分Skip Record If.或者梯度函数Skip Record If.多元显函数的偏导数，见 P16 例 1-例 3，P24习题 1 多元抽象函数的偏导数，见 P28 例 5-例 7，P36 习题 3 高阶偏导数，见 P19 例 8，P24 习题 2，P36 习题 4 复合函数的偏导数，见 P26 例 1，例 3，例 4，P36习题 1，2 2、会求由方程确定的隐函数的偏导数“显”方程确定的隐函数求偏导

2、数，（公式法），见P34 例 12，P36 习题 6，7 抽象方程确定的隐函数求偏导数，（直接法），见 P34 例 13，P36 习题 8 由方程组Skip Record If.确定的隐函数Skip Record If.的导数Skip Record If.，（直接法：在方程两端同时对Skip Record If.求导，求导过程中把Skip Record If.都看做是Skip Record If.的函数，然后解方程组即可），见 P35 例 14，P37 习题 9 由方程组Skip Record If.确定的隐函数Skip Record If.的偏导数（直接法）见 P37 习题 9 3、多元函数

3、微分学的几何应用 空间曲线Skip Record If.在点Skip Record If.处的切线方程及法平面方程，习题习题复合函数的偏导数见例例例习题会求由方程确定的隐函数的偏导数显方程确定的隐函数求偏导数公式法见例求导过程中把都看做是的函数然后解方程组即可见例习题由方程组确定的隐函数的偏导数直接法见习题多元函数微分推荐学习交流见例例习题空间曲线在点处的切线方程及法平面方程见例习题曲面在点处的切平面方程与法线方程见例精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 见 P46 例 1，例 2，P50 习题 1、2 空间曲线Skip Record If.在点Skip R

4、ecord If.处的切线方程及法平面方程 见 P46 例 3，P50 习题 2 曲面Skip Record If.在点Skip Record If.处的切平面方程与法线方程 见 P46 例 5，例 6，P50 习题 3 4、方向导数与梯度 二、多元函数积分学及其应用 1、二重积分的计算 步骤：1）画出积分区域Skip Record If.，2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此二重积分 3）化二重积分为二次积分 4）做两次定积分，计算此积分的值 注：多元函数对某个自变量积分的时候，要把其他的自变量看做常数。Skip Record If.注：要会做改变二次积分的积分次序，并计算此二次积分的值

5、这种题型，见半期考试试题 2、三重积分的计算 步骤：1）根据题意写出积分区域Skip Record If.的边界曲面的方程 2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此三重积分 Skip Record If.3）化三重积分为三次定积分 习题习题复合函数的偏导数见例例例习题会求由方程确定的隐函数的偏导数显方程确定的隐函数求偏导数公式法见例求导过程中把都看做是的函数然后解方程组即可见例习题由方程组确定的隐函数的偏导数直接法见习题多元函数微分推荐学习交流见例例习题空间曲线在点处的切线方程及法平面方程见例习题曲面在点处的切平面方程与法线方程见例精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删

6、除 谢谢5 4）做三次定积分，计算此积分的值 3、曲线积分的计算化曲线积分为定积分 1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）Skip Record If.步骤：写出积分弧段Skip Record If.的参数方程Skip Recor d If.，并确定参数的取值范围Skip Record If.根据Skip Record If.的参数方程写出弧长元素Skip Record If.根据Skip Record If.的参数方程化曲线积分Skip Record If.为对参数Skip Record If.的定积分 Skip Record If.2）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）Skip Recor

7、d If.方法一：直接化为定积分 步骤：写出积分弧段Skip Record If.的参数方程Skip Record If.，并确定Skip Record If.的起点和终点对应的参数值Skip Record If.根据Skip Record If.的参数方程化曲线积分Skip Record If.为对参数Skip Record If.的定积分：Skip Record If.方法二：利用曲线积分与路径无关及格林公式 步骤：找出Skip Record If.，并求Skip Record If.若Skip Record If.在一个单连通区域Skip Record If.上恒成立，则曲线积分Skip

8、 Record If.与路径无关，从而我们可以选择平行于坐标轴的折线段Skip Record If.计算此曲线积分：Skip Record If.如图选择折线段作为积分路径：习题习题复合函数的偏导数见例例例习题会求由方程确定的隐函数的偏导数显方程确定的隐函数求偏导数公式法见例求导过程中把都看做是的函数然后解方程组即可见例习题由方程组确定的隐函数的偏导数直接法见习题多元函数微分推荐学习交流见例例习题空间曲线在点处的切线方程及法平面方程见例习题曲面在点处的切平面方程与法线方程见例精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 利用方法一把这两个曲线积分 Skip Reco

9、rd If.，Skip Record If.分别化为两个定积分即可求出，即 Skip Record If.若Skip Record If.在一个单连通区域Skip Record If.上恒成立，则曲线积分Skip Record If.与路径有关，可用格林公式求解 添补直线段 BC:Skip Record If.Skip Record If.和 CA:Skip Record If.Skip Record If.,则Skip Record If.与 BC，CA构成一条封闭的曲线，记此闭曲线围成的平面有界闭区域为Skip Record If.。如图所示：利用格林公式及第二类曲线积分的垂直投影性得：S

10、kip Record If.Skip Record If.Skip Record If.注：计算曲线积分的时候，一般先用方法一把曲线积分转化为定积分，当这个定积分不容易求解时，就改用方法二求解 4、曲面积分的计算化曲面积分为二重积分 Oxy(,)A a b(,)C c b(,)B c dOxy(,)A a b(,)C a d(,)B c d习题习题复合函数的偏导数见例例例习题会求由方程确定的隐函数的偏导数显方程确定的隐函数求偏导数公式法见例求导过程中把都看做是的函数然后解方程组即可见例习题由方程组确定的隐函数的偏导数直接法见习题多元函数微分推荐学习交流见例例习题空间曲线在点处的切线方程及法平面

11、方程见例习题曲面在点处的切平面方程与法线方程见例精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 1)第一类曲面积分(对面积的曲面积分)Skip Record If.步骤：将积分曲面Skip Record If.的方程Skip Record If.改写为：Skip Record If.；画出积分曲面Skip Record If.在Skip Record If.面上的投影区域Skip Record If.；根据积分曲面Skip Record If.的方程写面积元素：Skip Record If.化曲面积分为二重积分：Skip Record If.2)第二类曲面积分(对坐标

12、的曲面积分)Skip Record If.方法一：（直接化曲面积分为二重积分）步骤：将积分曲面Skip Record If.的方程Skip Record If.改写为：Skip Record If.，并指明此有向曲面Skip Record If.取上侧还是下侧；画出积分曲面Skip Record If.在Skip Record If.面上的投影区域Skip Record If.；化曲面积分为二重积分：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.特别地，Skip Record If.注：1）计算出此二重积分的值就为所求的曲面积分的值；2）若此二重积分

13、不好计算或是积分曲面是由几个部分组成，分区面做积分比较麻烦的时候可以考虑利用高斯公式求解。方法二：利用高斯公式 习题习题复合函数的偏导数见例例例习题会求由方程确定的隐函数的偏导数显方程确定的隐函数求偏导数公式法见例求导过程中把都看做是的函数然后解方程组即可见例习题由方程组确定的隐函数的偏导数直接法见习题多元函数微分推荐学习交流见例例习题空间曲线在点处的切线方程及法平面方程见例习题曲面在点处的切平面方程与法线方程见例精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 分情况讨论：)若积分曲面Skip Record If.是一个取外侧的封闭的曲面，且Skip Record I

14、f.，Skip Record If.，Skip Record If.及其偏导数在此闭曲面围成的空间有界闭区域Skip Record If.上连续，则由高斯公式有：Skip Record If.)若积分曲面Skip Record If.不是封闭的曲面，则不能直接利用高斯公式，一般需要添补平面Skip Record If.：Skip Record If.Skip Record If.，并指明Skip Record If.所取的侧，使得Skip Record If.与Skip Record If.围成一个取外侧的闭曲面，记此闭曲面围成的空间有界闭区域为Skip Record If.，从而：Skip

15、Record If.Skip Record If.Skip Record If.（此处用到了第二类曲面积分的垂直投影性）5、多元函数积分学的应用 1）Skip Record If.（用于求平面图形的面积）2）Skip Record If.（用于求立体的体积）3）Skip Record If.（用于求曲线的弧长）4）Skip Record If.（用于求曲面的面积）5）物理应用 三、无穷级数 一）常数项级数 1、正项级数Skip Record If.Skip Record If.的敛散性的判定 步骤：习题习题复合函数的偏导数见例例例习题会求由方程确定的隐函数的偏导数显方程确定的隐函数求偏导数公式

16、法见例求导过程中把都看做是的函数然后解方程组即可见例习题由方程组确定的隐函数的偏导数直接法见习题多元函数微分推荐学习交流见例例习题空间曲线在点处的切线方程及法平面方程见例习题曲面在点处的切平面方程与法线方程见例精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 1)做极限Skip Record If.，若Skip Record If.，则此级数发散；若Skip Record If.，则Skip Record If.2)2)根据一般项的形式选择适当的方法Skip Record If.判断其敛散性。2、交错级数Skip Record If.或Skip Record If.Sk

17、ip Record If.的敛散性的判定 莱布尼兹判别法：找到Skip Record If.做极限Skip Record If.，若Skip Record If.，则此交错级数发散；若Skip Record If.，则此交错级数收敛。3、判断一般项级数Skip Record If.Skip Record If.是否收敛，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：1）判断Skip Record If.的敛散性，（注：Skip Record If.是一个正项级数）2）若Skip Record If.收敛，则作结论：Skip Record If.收敛，且绝对收敛。3）若Skip Record If.发散，

18、则还要讨论Skip Record If.本身的敛散性。Skip Record If.二）幂级数 1、求幂级数Skip Record If.的收敛域。（先求收敛半径Skip Record If.，再讨论端点Skip Record If.处幂级数的敛散性）2、求幂级数Skip Record If.的和函数Skip Record If.。习题习题复合函数的偏导数见例例例习题会求由方程确定的隐函数的偏导数显方程确定的隐函数求偏导数公式法见例求导过程中把都看做是的函数然后解方程组即可见例习题由方程组确定的隐函数的偏导数直接法见习题多元函数微分推荐学习交流见例例习题空间曲线在点处的切线方程及法平面方程见例

19、习题曲面在点处的切平面方程与法线方程见例精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 1）充分利用等比级数的求和公式及幂级数可用逐项求导或逐项积分的性质，先求Skip Record If.，再求Skip Record If.。2）利用幂级数展开式Skip Record If.，计算系数中含有阶乘的幂级数的和函数Skip Record If.。3、将函数Skip Record If.用Skip Record If.的幂级数逼近或将Skip Record If.展开成Skip Record If.的幂级数 方法：利用已知的幂级数展开式，通过变量代换求 Skip Reco

20、rd If.的幂级数展开式；先求Skip Record If.的幂级数展开式，再利用幂级数可以逐项积分或逐项求导得性质求出Skip Record If.的幂级数展开式。4、将函数Skip Record If.用Skip Record If.的幂级数逼近或将Skip Record If.展开成Skip Record If.的幂级数 方法：利用已知的幂级数展开式，通过变量代换将 Skip Record If.展开成Skip Record If.的幂级数 5、幂级数的应用用于求数项级数Skip Record If.的和 关键找数项级数Skip Record If.对应的幂级数Skip Record

21、If.，并求幂级数Skip Record If.的和函数Skip Record If.，从而Skip Record If.。三）傅里叶级数 1、已知Skip Record If.，求Skip Record If.的傅里叶级数在点Skip Record If.处的和Skip Record If.。2、将Skip Record If.用傅里叶级数逼近。习题习题复合函数的偏导数见例例例习题会求由方程确定的隐函数的偏导数显方程确定的隐函数求偏导数公式法见例求导过程中把都看做是的函数然后解方程组即可见例习题由方程组确定的隐函数的偏导数直接法见习题多元函数微分推荐学习交流见例例习题空间曲线在点处的切线方程及法平面方程见例习题曲面在点处的切平面方程与法线方程见例