24.3 正多边形与圆.ppt

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1、24.3 正多边形和圆正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。三条边相等，三个角也三条边相等，三个角也相等（相等（6060度）。度）。四条边都相等，四个角四条边都相等，四个角也相等（也相等（9090度）。度）。想一想：问题1：菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？问题2：正多边形都是轴对称图形吗？有多少条对称轴呢？也都是中心对称图形吗？答：答：正多边形都是轴对称图正多边形都是轴对称图形，对称轴条数等于正多边形，对称轴条数等于正多边形边数形边数;只有正偶数边形才是只有正偶数边形才是中心对称图形。中心对称图形。你知

2、道正多边形与圆的关系吗？正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出正多边形;并且随着边数的增加，正多边形的形状逐渐趋近于一个圆形。1 12 23 3A AB BC CDDE E4 45 5我们以正五边形为例。如图(1)，把O分成相等的5段弧，依次连接各分点可得正五边形ABCDE。此时正五边形叫圆内接正五边形，圆叫正五边形的外接圆。如图(2)，把O分成相等的5段弧，过每个分点做圆的切线可得正五边形ABCDE。此时正五边形叫做圆外切五边形，圆叫正五边形的内切圆。（1 1）（2 2）EFCDAB.中心O中心角半径R边心距r一个正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的

3、中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形的每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.抢答题：1、O是正ABC的中心，它是ABC的_圆与_圆的圆心。2、OB叫正ABC的_，它是正ABC的_圆的半径。3、OD叫作正ABC的_，它是正ABC的_圆的半径。ABC.OD外接内切半径外接边心距内切4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的_5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做正方形ABCD的_ABCD.OE中心边心距6、O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE的_，它是正五边形ABCDE的_圆的半径。7、AO

4、B叫做正五边形ABCDE的_角，它的度数是_.DEABC.OF边心距内切中心72度8、图中正六边形ABCDEF的中心角是_它的度数是_.9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？BAEFCD.OAOB60度EFCDAB.O中心角边心距r边心距把AOB分成2个全等的直角三角形G设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.R Ra a例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积.FADE.OBCrRP解解:亭子的周长亭子的周长 L=6L=6 4=24(m)4=24(m)练习：分别求出半径为练习：分别求出半径为R R的圆内接正三角形，正方形的的圆

5、内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积边长，边心距和面积.解：作等边解：作等边ABCABC的的BCBC边上的高边上的高AD,AD,垂足为垂足为D D连接连接O OB B，则，则OBOB=R R在在RtRtOBDOBD中，中，OBDOBD=30=30,边心距边心距ODOD=A AB BC CD DO OBC=2 BD=3 R R在在RtOBDRtOBD中中 由勾股定理得：由勾股定理得：BD=OB2-BD2=R2()2=32R RS SABC=BCBCAD=AD=3 3R R R R=R R2 2 3.34322121解：连接解：连接OBOB，OCOC 作作OEOEBCBC垂足为垂足为E E，O

6、EBOEB=90=90 OBEOBE=BOEBOE=45=45在在RtRtOBEOBE中为等腰直角三角形中为等腰直角三角形A AB BC CD DO OE E补充练习:各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反例.各边相等的圆内接多边形是正多边形.证明：证明：多边形多边形A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A An n是是OO的内接多边形的内接多边形且且A A1 1A A2 2=A A2 2A A3 3=A A3 3A A4 4=A An n1 1A An,n,多边形多边形A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A

7、n n是正多边形是正多边形.A A1 1A AA AA AA AA AA AA An nOO 弧弧A A1 1A A2 2=弧弧A A2 2A A3 3=弧弧A An-1n-1A An n =弧弧A An nA A1 1 弧弧A A2 2A A3 3A An n=弧弧A A3 3A A4 4A A1 1=弧弧A A4 4A A5 5A A2 2=弧弧A A1 1A A2 2A An-1n-1各角相等的圆内接多边形是正多边形.例如矩形。1、正n边形的一个内角的度数是_;2、正多边形的中心角与外角的大小关系是_.相等提高题：由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用由于正多边形在生产、生活实际中有

8、广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。怎样画一个正多边形呢？怎样画一个正多边形呢？问题问题1 1：已知：已知OO的半径为的半径为2cm2cm，求作圆的内接正三角，求作圆的内接正三角形形.120 120 用量角器度量，用量角器度量，使使 AOB=BOCAOB=BOC=COA=120=COA=120 用量角器或用量角器或3030 角的三角板度量，角的三角板度量，使使 BAO=CAOBAO=CAO=30=30 A AOOC CB B你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？A AB BC CDDOOA AB BC CDDE EOOOA

9、AB BC CDDE EF F9090 7272 6060 你能尺规作出正四边形、正八边形吗？A AB BC CDDOO只要作出已知只要作出已知OO的的互相垂直的直径即得互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与圆心作各边的垂线与OO相交，或作各中相交，或作各中心角的角平分线与心角的角平分线与OO相交，即得圆接相交，即得圆接正八边形，照此方法正八边形，照此方法依次可作正十六边形、依次可作正十六边形、正三十二边形、正六正三十二边形、正六十四边形十四边形 你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？OOA AB BC CE EF FDD 以半径长在圆以半径长在圆周上截取六段相等周上截取六段相等的弧，依次连结各的弧，依次连结各等分点，则作出正等分点，则作出正六边形六边形.先作出正六边先作出正六边形，则可作正三角形，则可作正三角形，正十二边形，形，正十二边形，正二十四边形正二十四边形 说说作正多边形的方法有哪些?归纳（1）用量角器等分圆周作正n边形；（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形等；用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形等