2023年函数与极限重点知识全面汇总归纳.pdf

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1、常量与变量 变量的定义 我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为 常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。变量的表示 如果变量的变化是连续的，则常用 区间 来表示其变化范围。在数轴上来说，区间 是指介于某两点之间的线段上点的全体。区间的名称 区间的满足的不等式 区间的记号 区间在数轴上的表示 闭区间 axb a，b 开区间 a x b（a，b）半开区间 axb 或 ax b（a，b 或 a，b）以上我们

2、所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：a，+)：表示不小于 a 的实数的全体，也可记为：ax+；(-，b)：表示小于 b 的实数的全体，也可记为：-x b；(-，+)：表示全体实数 R，也可记为：-x+注：其中-和+，分别读作 负无穷大 和 正无穷大,它们不是数,仅仅是记号。邻域 设 与 是两个实数，且 0.满足不等式x-的实数 x 的全体称为点 的 邻域，点 称为此邻域的中心，称为此邻域的半径。函 数 函数的定义 如果当变量 x 在其变化范围内任意取定一个数值时，量 y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称 y 是 x 的 函数。变量 x 的变化范围叫做这个 函数的定义域。通常

3、x 叫做 自变量，y 叫做 因变量。注：为了表明 y 是 x 的函数，我们用记号 y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母 f、F表示 y 与 x 之间的对应法则即 函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的.注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做 单值函数，否则叫做 多值函数。这里我们只讨论单值函数。函数的有界性 如果对属于某一区间 I 的所有 x 值总有f(x)M 成立，其中 M是一个与 x 无关的常数，那么我们就称 f(x)在区间 I 有界，否则便称无界。注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数 co

4、sx 在(-,+)内是有界的.函数的单调性 如果函数 在区间(a,b)内随着 x 增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点 x1及 x2，当 x1 x2时，有，则称函数 在区间(a,b)内是 单调增加 的。如果函数 在区间(a,b)内随着 x 增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点 x1及 x2，当x1 x2时，有，则称函数 在区间(a,b)内是 单调减小 的。例题：函数=x2在区间(-,0)上是单调减小的，在区间(0,+)上是单调增加的。函数的奇偶性 如果函数 对于定义域内的任意 x 都满足=，则 叫做偶函数；如果函数 对于定义域内的任意 x 都满足=-，则 叫做奇函数。注意：偶函数的图形

5、关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称。函数的周期性 对于函数，若存在一个不为零的数 l，使得关系式 对于定义域内任何 x 值都成立，则 叫做 周期函数，l 是 的周期。注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。例题：函数 是以 2 为周期的周期函数；函数 tgx 是以 为周期的周期函数。反函数 反函数的定义 设有函数，若变量 y 在函数的值域内任取一值 y0时，变量 x 在函数的定义域内必有一值 x0与之对应，即，那末变量 x 是变量 y 的函数.这个函数用 来表示，称为函数 的 反函数.注：由此定义可知，函数 也是函数 的反函数。反函数的存在定理 若 在(a，b)上严格增(减)，其值域

6、为 R，则它的反函数必然在 R上确定，且严格增(减).注：严格增(减)即是单调增(减)例题：y=x2，其定义域为(-,+)，值域为0,+).对于 y 取定的非负值,可求得 x=.若我们不加条件，由 y 的值就不能唯一确定 x 的值，也就是在区间(-,+)上，函数不是严格增(减)，故其 没有反函数。如果我们加上条件，要求 x0，则对 y0、x=就是 y=x2在要求x0 时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减).反函数的性质 在同一坐标平面内，与 的图形是关于直线 y=x 对称的。例题：函数 与函数 互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线 y=x 对称的。如右图所示：复合函数的定

7、义 若 y 是 u 的函数：，而 u 又是 x 的函数：，且 的函数值的全部或部分在 的定义域内，那末，y 通过 u 的联系也是 x 的函数，我们称后一个函数是由函数及 复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中 u 叫做中间变量。注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。例题：函数 与函数 是不能复合成一个函数的。因为对于 的定义域(-,+)中的任何 x 值所对应的 u 值（都大于或等于 2），使 都没有定义。初等函数 函 数 名 称 函数的记号 函数的图形 函数的性质 指数函数 a):不论 x 为何值,y 总为正数;b):当 x=0 时,y=1.对数函数 a):其图形总位

8、于 y 轴右侧,并过(1,0)点 b):当 a 1 时,在区间(0,1)的值为负；在区间(-,+)的值为正；在定义域内单调增.幂函数 a 为任意实数 这里只画出部分函数图形的一部分。令 a=m/n a):当 m为偶数 n 为奇数时,y 是偶函数;b):当 m,n 都是奇数时,y是奇函数;c):当 m奇 n 偶时,y 在(-,0)无意义.三角函数(正弦函数)这里只写出了正弦函数 a):正弦函数是以 2 为周期的周期函数 b):正弦函数是奇函数且 反三角函数(反正弦函数)这里只写出了反正弦函数 a):由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在-/2,/2上,并称其为反正弦函数的 主值.初等函数

9、由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为 初等函数.例题：是初等函数。双曲函数及反双曲函数 函数的 名称 函数的表达式 函数的图形 函数的性质 双曲正弦 a)：其定义域为:(-,+)；b)：是奇函数；c)：在定义域内是单调增 双曲余弦 a)：其定义域为:(-,+)；b)：是偶函数；c)：其图像过点(0,1)；双曲正切 a)：其定义域为:(-,+)；b)：是奇函数；c)：其图形夹在水平直线y=1 及 y=-1 之间；在定域内单调增；双曲函数的性质 三角函数的性质 shx 与 thx 是奇函数，chx 是偶函数 sinx 与 tanx 是奇函

10、数，cosx 是偶函数 它们都不是周期函数 都是周期函数 双曲函数也有和差公式：反双曲函数 双曲函数的反函数称为反双曲函数.a)：反双曲正弦函数 其定义域为：(-,+)；b)：反双曲余弦函数 其定义域为：1,+)；c)：反双曲正切函数 其定义域为：(-1,+1)；数列的极限 数列 若按照一定的法则，有第一个数 a1，第二个数 a2，依次排列下去，使得任何一个正整数 n 对应着一个确定的数 an，那末，我们称这列有次序的数 a1，a2，an，为 数列.数列中的每一个数叫做 数列的项。第 n 项 an叫做数列的 一般项或通项.注：我们也可以把数列 an看作 自变量为正整数 n 的函数，即：an=，

11、它的定义域是全体正整数 数列的极限 一般地，对于数列 来说，若存在任意给定的正数(不论其多么小)，总存在正整数 N，使得对于 n N时的一切 不等式 都成立，那末就称常数 a 是数列 的 极限，或者称数列 收敛 于 a.记作：或 注：此定义中的正数 只有任意给定，不等式 才能表达出 与 a 无限接近的意思。且定义中的正整数 N与任意给定的正数 是有关的，它是随着 的给定而选定的。注：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。数列 极限为 a 的一个 几何解释：将常数 a及数列 在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点 a的 邻域即开区间(a-，a+)

12、，如下图所示：因不等式 与不等式 等价，故当 n N时，所有的点 都落在开区 间(a-，a+)内，而只有有限个(至多只有 N个)在此区间以外。数列的有界性 对于数列，若存在着正数 M，使得一切 都满足不等式 M，则称数列 是 有界的，若正数 M不存在，则可说数列 是 无界的。定理：若数列 收敛，那末数列 一定有界。注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。例：数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1，是有界的，但它是发散的。函数的极限 函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点 x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数 A，就叫

13、做 函数存在极值。函数的极限(分两种情况)a):自变量趋向无穷大时函数的极限 定义：设函数，若对于任意给定的正数(不论其多么小)，总存在着正数 X，使得对于适合不等式 的一切 x，所对应的函数值 都满足不等式 那末常数 A就叫做函数 当 x时的极限，记作：数列的极限的定义 函数的极限的定义 存在数列 与常数 A 任给一正数 0 总可找到一正整数 N 对于 n N的所有 都满足 则称数列 当 x时收敛于 A 记：存在函数 与常数 A 任给一正数 0 总可找到一正数 X 对于适合 的一切 x 都满足 函数 当 x时的极限为 A 记：b):自变量趋向有限值时函数的极限 我们先来看一个例子.例：函数，

14、当 x1 时函数值的变化趋势如何？函数在 x=1 处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的范围内，都有无穷多个 点，为此我们把 x1 时函数值的变化趋势用表列出,如下图:从中我们可以看出 x1 时，2.而且只要 x 与 1 有多接近，就与 2 有多接近.或说：只要 与 2 只差一个微量，就一定可以找到一个，当 时满足 定义：设函数 在某点 x0的某个去心邻域内有定义，且存在数 A，如果对任意给定的(不论其多么小)，总存在正数，当 0 时，则称函数 当 xx0时存在极限，且极限为 A，记：注：在定义中为什么是在去心邻域内呢？这是因为我们只讨论 xx0的过程，与 x=x0出的情况无关。

15、此 定义的核心问题 是：对给出的，是否存在正数，使其在去心邻域内的 x 均满足不等式。用此极限的定义来证明函数的极限为 A，其证明方法是：a):先任取 0；b):写出不等式；c):解不等式能否得出去心邻域 0，若能；d):则对于任给的 0，总能找出，当 0 时，成立，因此 函数极限的运算规则 若已知 xx0(或 x)时，.则：推论：在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。例题：求 解答：例题：求 此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的 分子和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。解答：注：通过此

16、例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算 规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。无穷大量和无穷小量 无穷大量 我们先来看一个 例子：已知函数，当 x0 时，可知，我们把这种情况称为 趋向无穷大。为此我们可定义如下：设有函数 y=，在 x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数 N(一个任意大的数)，总可找到正数，当 时，成立，则称函数当 时为 无穷大量。记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）同样我们可以给出当 x时，无限趋大的定义：设有函数 y=，当 x 充分大时有定义，对于任意给定的正数 N(一个任意大的数)，总可以找到

17、正数 M，当 时，成立，则称函数当 x时是 无穷大量，记为：无穷小量 以零为极限的变量称为 无穷小量。定义：设有函数，对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正数(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切 x，所对应的函数值满足不等式，则称函数 当(或 x)时 为 无穷小量.记作：(或)注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有 0 可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于 0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.关于无穷小量的两个定理 定理一：如果函数 在(或 x)时有极限 A，则差 是当(或 x)时的无穷小量，反之

18、亦成立。定理二：无穷小量的有利运算定理 a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.无穷小量的比较 定义：设，都是 时的无穷小量，且 在 x0的去心领域内不为零，a)：如果，则称 是 的 高阶无穷小 或 是 的 低阶无穷小；b)：如果，则称 和 是 同阶无穷小；c)：如果，则称 和 是等价无穷小，记作：(与 等价)例：因为，所以当 x0 时，x 与 3x 是同阶无穷小；因为，所以当 x0 时，x2是 3x 的高阶无穷小；因为，所以当 x0 时，sinx 与 x 是等价无穷小 等价无穷小的性质 设，且 存在，则.注：这个性

19、质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。例题：1.求 解答：当 x0 时，sin ax ax，tan bx bx，故：例题：2.求 解答：(代換只能在 積商 時使用)注：問:代換是否只可以 x0 時的極限使用?注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只代换某个因子 函数的一重要性质连续性 在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念 增量 设变量 x 从它的一个初值 x1变到终值 x2，终值与初值的差 x2-x1就叫做 变量 x 的增量，记为：x 即：x=x2-x1 增量 x 可正可负.我们再来看

20、一个例子：函数 在点 x0的邻域内有定义，当自变量 x 在领域内从 x0变到 x0+x 时，函数 y 相 应地从 变到，其对应的增量为：这个关系式的几何解释如下图：现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当 x 趋向于零时，函数 y 对应的增量 y 也趋向于零，即：那末就称函数 在点 x0处连续 函数连续性的定义：设函数 在点 x0的某个邻域内有定义，如果有 称函数在点 x0处 连续，且称 x0为函数的 的 连续点.下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下 函数左、右连续 的概念：设函数 在区间(a,b 内有定义，如果左极限 存在且等于，即：=，那末我们就称函数 在点 b 左连续.设函数

21、在区间 a,b)内有定义，如果右极限 存在且等于，即：=，那末我们就称函数 在点 a 右连续.一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，若又在 a 点右连续，b 点左连续，则在闭区间 a，b 连续，如果在整个定义域内连续，则称为 连续函数。注：一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续.注：连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢？函数的间断点 定义：我们把不满足函数连续性的点称之为 间断点.它包括三种情形：a)：在 x0无定义；b)：在 xx0时

22、无极限；c)：在 xx0时有极限但不等于 间断点的分类 我们通常把间断点分成两类：如果 x0是函数 的间断点，且其左、右极限都存在，我们把 x0称为函数 的 第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为 第二类间断点.可去间断点 若 x0是函数 的间断点，但极限 存在，那末 x0是函数 的第一类间断点。此时函数不连续原因是：不存在或者是存在但。我们令，则可使函数 在点 x0处连续，故这种间断点 x0称为 可去间断点 连续函数的性质及初等函数的连续性 连续函数的性质 函数的和、积、商的连续性 我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论：a)：有限个在某点连续的函数的和是

23、一个在该点连续的函数；b)：有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；c)：两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数(分母在该点不为零)；反函数的连续性 若函数 在某区间上单调增(或单调减)且连续，那末它的反函数 也在对应的区间上单调增(单调减)且连续 例：函数 在闭区间 上单调增且连续，故它的反函数 在闭区间-1,1 上 也是单调增且连续的。复合函数的连续性 设函数 当 xx0时的极限存在且等于 a，即：.而函数 在点 u=a连续，那末复合函数 当 xx0时的 极限也存在 且等于.即：例题：求 解答：注：函数 可看作 与 复合而成，且函数 在点 u=e连续，因此可得出上述结论

24、。设函数 在点 x=x0连续，且，而函数 在点 u=u0连续，那末复合函数 在点 x=x0也是连续 的 初等函数的连续性 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义域内也都是连续的.闭区间上连续函数的性质 最大值最小值定理 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。(在此不作证明)例：函数 y=sinx 在闭区间 0，2 上连续，则在点 x=/2 处，它的函数值为 1，且大于闭区间 0，2 上其它各点出的函数值；则在点 x=3/2 处，它的函数值为-1，且小于闭区间 0，2 上其它各点出的函数值 介值定理 在 闭 区 间 上 连 续 的 函 数 一定 取 得 介 于 区 间 两 端 点 的函 数 值 间 的 任 何 值。即：，在、之间，则在 a，b间一定有一个，使 推论：在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。