复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案2.pdf

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1、复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）裸后习题答案习题一1.用复数的代数形式a+i b表示下列复数-m/4.3+，7/+1解黄 阊+1疝,：）=争 卜 别 邛 等1 3(2+0(4+30;_+_,解.3+5 i=(3+5 i)(l-7 i).7 i+l -(l+7 i)(l-7 i)16 13.-+125 25解：(2+i)(4+3i)=8 3+4i+6i=5+10i解：1+J _=_i+M k l)=3 _ 5.i 1+i 2 2 22.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)三二(a e R)；z3;f-1+，研Tt 研;in.z+a I 2 八 2 J：设 z=x+i

2、 y则 z _(x +iy a _(x-a)+iy _(x _a)+iy(x +a)_ .R ef z _ a =/_02 _12z+a(x +iy)+a(x +a)+iy (x +t z)2+y2 z+aJ(x +6 T)+I m f =.(z+aj(x +a)-+y 2解：设z=x+i yz=(x +iy)3=(x +i.y)2(x +i)，)=(x 2-y 2+2 D i)(x +i)，)(?)=-3x y2,I m(z3)=3x2y-/.=x(x2-y2)-2xy2+y y-/)+2 x2y ji=x3-3xy2+(3fy -y。)i解：夫 叼=与，-3.(R(可卜卜(7)小一(矶Re

3、fzl2Li,227解:-l+iV32-i+ix/r-2-解:(1),n=2kj =2%+1，当=2%时，Re(i)=(-1)*I m(i)=O；当=2左 +1 时，Re(i)=O,I m(i)=(-1)*.3.求下列复数的模和共帆复数解：|-2 +i|=V4+1 =5.解：|-3|=3 三=-3解：|(2 +i)(3+2 i)|=|2 +i|3+2 i|=V5-V13=/6 5 .解:|l +i|=也2 24、证明：当且仅当z=W时，z才是实数.证明：若名=2,设2 =犬+,则有 x+i y-x-y,从而有(2 y)i=0,即产0z=x为实数.若 z=x,贝丘=x =x.z z 命题成立.5

4、、设z,犷，证明：|z+vv|w|z|+同证明|z+w j2=(z+w(z+w)=(z+.|z+M W|z|+卜W .6、设z,犷e，证明下列不等式.并给出最后一个等式的几何解释.证明：|z+f=|z+2 Re(z.可+时在上面第五题的证明已经证明了.下面证|z-w.-2 Re(z.+.仅供个人学习参考V z-w|2=(z-w)(z-w)=(z-w)-w)=|z|2 Z w W -Z+|kv|2=，-2R e(z 可+时.从而得证.z+kvj2+|z-uj2=2|z|2 4-|w|2 j几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和.7.将下列复数表示为指数形式或三角形式 2g3+绊二

5、 7?7i+l(l+7i)(l-7i)38-16i 19-8i 而，苴山,8=-=-=-e 县 勺 。=兀-arctan 50 25 5 19解：；/其中夕J.2解：一1 =”解：卜8瓦(1+G ij=16兀 0=2.-8兀(1 +/)=1 6兀.解：c o s +isin-8.计算：i的三次根;(2)-1的三次根；(3)根+办的平方根.i的三次根.解：.7 1 .JT y/3 1 .5.5 yfi I.z,=cos+isin =-Fi.z,=cosK+ism?t=-h i1 6 6 2 2 2 6 6 2 2T的三次根解：G +6 i的平方根.解：庠 心(也+乌 =后 一1 2 2 J._/

6、rt.U I 2kn+-2kit+-|+/5i=V6-e4/=64-cos丁 +i$inI=0,1)仅供个人学习参考:z,=64-cos+isin =64-e81 I 8 8j-(9 9z2.=64-I cos8 n+isin 8 n)=64-e8,2n9.设 z=e ,2 2.证明：l+z+zT=O证 明:z=e *.z=1,BP z-1=0.，(z-l)(l+z+zT)=o又,：n，2.z#l从而 l+z+z?+zT=011.设厂是圆周2：|2-0,。=，+沱沽.令其中b =e J求出4在。切于圆周厂的关于夕的充分必要条件.解：如图所示.因为q =z:Im =0 表示通过点a且方向与8同向

7、的直线,要使得直线在a处与圆相切,则过C作直线平行与，则有/式次,N B=90故 =9 0 所以今在a处切于圆周7的关于的充要条件是。-=90。.12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.解：(1)argz=n.表示负实轴.(2)z-l=z .表示直线2=.2、l|2+i|Imz.解：表示直线片x的右下半平面5、Im z l,且|z|2.解：表示圆盘内的一弓形域。习题二1.求 映 射 下 圆 周Iz|=2的像.解：设2=+，w=+iu 贝”.5 3.因为x2 +.y=2 4A,所以 +“=4x +4y-i仅供个人学习参考5 3u=-x v =4-y所 以4 ,“上T +T =2 +

8、E =l所 以 图0 即 G),表示椭圆.2.在映射w=z?下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设w =pe 或 卬=+7TTT0 r =-0 r 2,0 -(1)4.(2)4 ；(3)x=a,y=b.(a,b 为实数)解：设卬=“+2=。+5)2 =/-V+2盯i所 以-丫2 =2孙i(p 0 r 2,0 =记 卬=外，则 4映射成w平面内虚轴上从0到4 i的一段，即7 T即 0 ,0 r 2(2)记 卬=外，则 4 映成了 w平面上扇形域,7 T0 /4,0 /(0,0)x+y2.xy kh m -=-若令y=kx,则s,+y 1 +卜因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所

9、以f(z)在z=0处极限不存在.从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.(2)0解：“(x，y)=x2#(x，y)=V在全平面上可微8u _6v 曳 _ _ 包只有当z=o时，即0)处有&一，8y.所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.f(z)=2/+3 iy3 .解：“(x,y)=2 x心,y)=3 y3在全平面上可微.所以只有当及x=8 y时，才满足C-R方程.从而f(z)在夜x土相 =处可导，在全平面不解析.z)=J z2.解：设2=+咏 则所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.7.证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.上)=

10、；仅供个人学习参考3 _ 6 _ O dv _ dv证明：因为(z)=0,所以烝_办一，法-dy所以u,v 为常数，于是f(z)为常数.(2)很解析.证明：设 布=一”在 D内解析，则du _ du du _ dv而 f(z)为解析函数，所以&一 办 一改dv=-dv,dv=-dv,du=du=dv=dv=u.所以&dx dy 即&从而V 为常数，U 为常数，即 f(z)为常数.(3)Ref(z)=常数.du _ du _证明：因为Ref (z)为常数，即u=C l,正一二一du _ 3 _ 0因为f(z)解析，C-R条件成立。故瓦一瓦一即u=C 2从而f(z)为常数.(4)I m f(z)=

11、常数.dv dv.U证明：与(3)类似，由 丫=(：1 得以方包=包=0因为f(z)解析，由C-R方程得取 6，即-C 2所以f(z)为常数.5 f(z)|=常数.证明：因为|f(z)|=C,对 C进行讨论.若 C=0,则 u=0,v=0,f (z)=0 为常数.若 00,则 f (z)=0,但/(z/(z)=C,即 u 2+v 2=C 2则两边对x,y 分别求偏导数，有利用C-R条件，由于f(z)在 D内解析，有-0_ dx dxy.包 _“0 =0 曳=0,包=0所以&dx 所 以&dx即u=C l,v=C 2,于是f(z)为常数.(6)argf (z)=常数.证明：argf(z)=常数,

12、仅供个人学习参考于是 l+(V/)2得八3 0 ）-2（吟-号）2(u2+v2)=00&0办VVarav-办=0=0C-R条件一du dv du dv 八=0解 得&，即u,v 为常数，于是f(z)为常数.8.设 f (z)=m y 3+n x 2y+i(x 3+l x y 2)在 z 平面上解析,求 m,n,1 的值.解：因为f(z)解析，从而满足C-R条件.所以=-3,/=-3,m=1.9 .试证下列函数在z 平面上解析，并求其导数.(I)f(z)=x 3+3x 2y i-3x y 2-y 3i证 明:u(x,y)=x 3-3x y 2,v(x,y)=3x 2y-y 3 在全平面可微，且所

13、以f(z)在全平面上满足C-R方程，处处可导，处处解析.我Z)嚏+琮=#*+3期=3(x2-r+2xyi)=3z：/=e7 x co sy-ySin y)+ie(y co sy+xsiny).证明：”(x,y)=e*(xcosy-)，siny),v(x,y 尸 e”(ycosy+xsiny)处处可微，且不=eA(-xsin y-sin y y cos y)=ex(-xsin j-sin y-ycos y)=ex(ycos y+xsin y)+ev(sin y)=ex(ycos y+xsin y+sin y)du _ d v du _ dv=e，(cos y+v(_sin y)+xcos y)=

14、e(cos y-ysin y+xcos y)-=dy 所以 dx dy 8y dx所以f(z)处处可导，处处解析.y(z)=+i=e(A T C O S y-ysin y+cosy)+i(e(ycosy+xsin y+sin y)dx dx=er cos y+ie sin y+x(e*cos y+ie sin y)+iy(ev cos y+ier sin y)=e*+xe:+iye：=e*(l+z)0 设求证：(l)f (z)在 z=0 处连续.(2)f (z)在 z=0 处满足柯西一黎曼方程.(3)f (0)不存在.lim f(z)=lim y)+iv(x,y)证明:5(3。)V V 7_

15、v3而(，牌 =4 f 4=(x-y)+x+y IOX2+y2仅供个人学习参考d y3 3 .*7lim y.(x,y)-*(O,O)x-+y-=0lim R同理 SM T。，。)x+y=0l im(x，)(0,0)/(z)=0 =/(O)；.f(z)在 z=0 处连续.考察极限Ef(z)-/(O)z当 z 沿虚轴趋向于零时，z=iy,有玛，口一-卜雪(Z2=l+i当 Z 沿实轴趋向于零时，z=x,有d u .d v-F 1-它们分别为&d v.d u-1一d y d yd u _d v d u _ d v.&d y d y d x满足C-R条件.当 z 沿 y=x 趋向于零时，有不存在.即f

16、(z)在 z=0 处不可导.1 1.设区域D 位于上半平面,D 1 是D 关于x 轴的对称区域，若f(z)在区域D 内解析，求证F(z)=/Q)在区域D 1 内解析.证 明:设 f (z)=u(x,y)+iv(x,y),因为f (设在区域D内解析.d u _ d v d u _ d v所以u(x,y),v(x,y)在 D内可微且满足C-R方程，即&一丹为一 私./(z)=(x,-y)-iv(x,-y)=e(x,y)+i”(x,y),得d(p _d(p _ d y/故 6 (x,y),中(x,y)在 D 1 内可微且满足C-R条件 d x d y d y d x从而/G)在 D l 内解析1 3

17、.计算下列各值(I)e2+i=e2?ei=e2?(co sl+isin l)仅供个人学习参考(3)(4)1 4 .设z沿通过原点的放射线趋于8 点，试讨论f (z)=z+ez的极限.解：令 z=rei 9 ,对于 V 0 ,z-8时，r-8.取 lim(d+e)=lim(d+eHcosisinfl)=oo故f f.lim/(z)=oo所 以 1 5.计算下列各值.(1)ln(3-V3i)=ln2/3+iarg(3-s/3i)=ln2V3+i-=ln273-i(3)l n(ei)=l n l+iarg(ei)=l n l+i=i(4)1 6.试讨论函数f(z)=|z|+l n z的连续性与可导性

18、.解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，I n z除负实轴及原点外处处连续.设 z=x+iy,g(z)=l z|=J/+y 2=(x,y)+iv(x,y)=二,v(x,y)=0在复平面内可微.故g(z)=|z|在复平面上处处不可导.从而f (x)=|z|+l n z在复平面上处处不可导.f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续.1 7.计算下列各值.(1)(2)1i-i=r t lne I-1=e4-ilnl=e-i-dn l+i-0+2Axi)(3)=e=e1 8.计算下列各值(1)(2)i(3-i)_ -i(3-i)_ sin(3-i)_ 2i _ sin 6-i sin 2)=cos(

19、3-i)=e e)+e-e)=2(ch21-si/3)2i,1 2|sin zh=(e-v+A1-e 一 箱)=|sin x-ch y+i cos x-sh y|2=sin2 x ch2 y+cos2 x-sh2 y=sin2x-(ch2 y-s h2 y)+(cos2 x+sin2x)sh2 y=sin2x+sh2 y(4)仅供个人学习参考arctan(l +2i)=-l n1 +11 +21=-l n f-+-il2 l-i(l +2i)2 1 5 5；,1 c i ,u=E+arctan 2+I n 5(6)2 41 9.求解下列方程(1)sin z=2.解：(2)e2-l-V3i=0解

20、：e;=l +/3i 即(3),I n z=T C i.-Ni解：2 即 z=e?=i z-l n(l +i)=Oz-l n(l +i)=l n /24-i+2E i=l n V2+1 2攵 +兀i解：4 I 4 j .20.若 z=x+iy,求证(1)sin z=sin x chy+ico sx?shy证明：(2)co sz=co sx?chy-isin x?shy证明：(3)|sin z1 2=sin 2x+sh2y证明：(4)|co sz|2=co s2x+sh2y证 明 c o s z=co sx ch y-isin x sh y21.证明当y f 8时，|sin(x+iy)|和|co

21、 s(x+iy)I都趋于无穷大.证明：I si n z|=L|e W_e T|2.e叫=e|e F =e I si n z|-(|e-v+r i|-51)=-(e-y-ev)而 2 2当 yf+8时，e-y f。，e y f+8有|si nz|f 8.当 yf-8时，e-y f+8,e y f 0 有|si nz|f 8.|c o s(x+i y)|=-|e+xi+e-xi|-(e-y-ev)同理得 1 2 2所以当y f 8时有|c o sz|f 8.习题三f(x-y +r2)d 2i.计算积分！，其中c为从原点到点i+i的直线段.仅供个人学习参考解设直线段的方程为y =x4!j z =x+

22、比.0 x l故J J JC(l-z)dz2.计算积分，其中积分路径C为(D从点0到点1+i的直线段；(2)沿抛物线y=x2,从点0到点1+i的弧段.解 设z =x+比.O W x W l(2)设z =x+i x2.0 x 1 4-t a n Z r i 2 j f1 2 i I,I 2 I;Jj-2 d z=J j se c _ zaz+se c z t a n zaz=t anz|+t a n-z|)=-f t a n 1+t a n21 +t/r2l l +z/z l$-5-dz1 2 2 J IL计算积分y C z 2 +1 ，其中。为 /=1|z+d =1|z|=2解dz=z市(z

23、+/)(z-z)z-i=-7 r e 忙 仔 吨 品 山+4 d z=K e：-7 r el=2 z si n 11 6.求下列积分的值,其中积分路径C均为|z =1.2t a n i(1)外 丁%z3孔9一%)一。1 2解(2)(3)I 7.计算积分HH,其中积分路径0为(1)中心位于点二=1,半径为R 2的正向圆周(2)中心位于点z =T,半径为R =f)-dz2niY P(z)2n 3一 印 仁 一 生)(z-a”)噎近十z+宗十”一+呆;=1 +I+.+1 H (f)-dl+.4(f)-dz 2兀i,z-ak+l 2ni z-an=%2 4,试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式):l

24、im f(z)=A W8设f(z)在闭路C及其外部区域D内解析，且,贝IJ其中G为C所围内部区域.证明：在D内任取一点Z,并取充分大的R,作圆CRZI=R,将C与Z包含在内则f(z)在以C及CR为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有因 为一在口 总上解析，且所以，当Z在C外部时，有设Z在C内，则f(z)=0,即故有：2兀i%.z习题四1.复级数 勺与 仇都发散,则级数(为士幻和之他发散这个命题是否成立?为什么？n=l/J=1 n=l n=i答.不一定.反例：00 001 1 00 00 1 1n=n=n=1 =1 n n仅供个人学习参考但1 4+瓦）=与收敛n=,=!2 4也）=发散=|=1

25、也=-（4+月收敛，=1 n=几2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?Z 工空 乞宜n-M=I 2,?=n 三名嘤=in n N=o z,K-l +i2+,解 ZF-71=1 几-A i+(-ir-i.A i 1(ir .占 n 占 n00 1 8因 为 发 散，所以Zn=ll+i2 n+l发散86n=ll +5 i2C 回、.Z（-r）发散M=1 乙又因为lim(上答)=lim(：+n)”10i，t g 2 2 2g 1 5 i所以z（=一）发散w=l 乙匚=1发散，又因为n=l|1 n=s ll n=I =|in兀.兀-o o c o s +1 s in ”7T 7T1 7（

26、c o s i+is in/收敛,所以不绝对收nn敛.8(4)E=|iI n/?00 1y=i I n n1 1因 为 而 不所以级数不绝对收敛.又因为当n=2 k时,级数化为发（-）收敛2 r I n 2k当n=2 k+l时,级数化为寸上J 也收敛 ln（2/+l）所以原级数条件收敛仅供个人学习参考/r-V。面 .1 e +e ”1 /。1 .,1、（5）L-=L 7,-n-二 5 （5）+5、（五）M=0 乙 n=0乙 乙 乙/i=0 乙 乙“=0 乙匕其中（$”发散，（；）”收敛n=0 2 =o 2.C所以原级数发散.3 .证明:若R e（4）N 0,且“和以:收敛,则级数绝对收敛.n=

27、l=1=1证明：设因为 q,和 收 敛=1 n=l所以-y j S x.y”收敛n=l ZJ=1 n=l/J=I又因为R e ）N O,所以x，？0且 隗Z已叫无，”02当n充分大时，居 Zco所以Z片收敛n=lo p o p而收敛，2（片-城）收敛“=1 n=co 00所以Zk收敛，从而级数I?/绝对收敛.=1=】4.讨论级数（Z M-Z）的敛散性 二0解因为部分和5“=3 -力=尸-1,所以，当恸1时,S.f 1k=0当z =l时,s“-0,当z =-1时,s“不存在.当2=/而6x0时（即|z|=l,z l）,c o s n O和s i n n 0都没有极限，所以也不收敛.当忖 1时,s

28、“-8.00故当Z =1和恸1时,Z（z T-z）收敛.=0.85.基级数ZC，（z-2）”能否在z=0处收敛而在z=3处发散.n=0Q）|解：设 如 肃=夕，则当|z-2|时，级数收敛，|z-2|时发散.仅供个人学习参考1 c若在z=0处收敛,则万2若在z=3处发散,则一 1r显然矛盾,所以事级数Z Q(z-2)不能在z=0处收敛而在z=3处发散=06 .下列说法是否正确？为什么？(1)每一个幕级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2)每一个基级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答：(1)不正确，因为幕级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.(2)不正确，因为收敛的幕级数的和函数在收敛圆周内是

29、解析的.7 .若c“z 的收敛半径为R,求的收敛半径。n=0 n=0 所以H =H川8 .证明：若 幕 级 数 的 系 数 满 足!吧 俩=夕，则n=0(1)当 O 0+CO 时，R =-P当=0时，氏=内 当 =4W 吐R =0证明：考虑正项级数由 于 也 也 可=则 朝 幅=p|z|,若0。”，由正项级数的根值判别法知，当a|z|i 时,即忖；时，1 收敛。当夕.忖1时，即目；时，卜,/不能趋于零，四 标 j i 级数发P”=o P散.故收敛半径R =LP.当夕=0 时，/恸1 级数收敛且A=+.若 夕=入，对VZ RO,当充分大时，必 有 不 能 趋 于 零,级 数 发 散.且 R =0

30、9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。*？沙 Z/r=0 n=0 (一 产.空=o 2仅供个人学习参考(4)E(1)-(2-l)n(n+l)=o n解：(1)71)=l i m(-)p=l i m(l-)p=1n +1 ,i s n+收敛圆周（2）所以收敛圆周 记，（z）=（T产 岁 卷 由比值法，有要级数收敛,则级数绝对收敛，收敛半径为所以收敛圆周（4）记力（z）=（与 C-1严 钊n所以|z T|1时绝对收敛，收敛半径R =1收敛圆周上10.求下列级数的和函数.产oc_2n Z（T）f z（2）Z（-l）”冷”=0（2）！解:故收敛半径R=l,由逐项积分性质，有:所以于是有：令:故R=

31、8,由逐项求导性质X-2rt-2-_2w a 2n由此得到丁（Z）=-S（Z）艮有微分方程s（z）+s（z）=故 有.s(z)=Ac o s z +Bs i n zA，B待定。所以i i.设 级 数 收 敛，而发散，证明 c,z 的收敛半径为1n=Q H=0/i=0仅供个人学习参考证明：因为级数E c,收敛w=0设若00E 的收敛半径为1n=0则忖=；A现用反证法证明2=1C8若（）4 1,有 则 固=力 1则目%|点z都发散.n-0Q0证明：不妨设当%|时，EG Z”在4处收敛=0则对 W z|z J c z 门,=。绝对收敛，则=。在点Z。处收敛00所以矛盾,从而Z Cz在|z|同处发散.

32、n=013.用直接法将函数I nQ+e-）在z =0点处展开为泰勒级数，（到一项），并指出其收敛半径.l +e2解:因为 皿1 +e-z）=ln（）e奇点为4 =（2左+1）兀i（A =0,L ）所以?=兀又于是，有展开式仅供个人学习参考14.用 直 接 法 将 函 数 出 在 点 处 展 开 为 泰 勒 级 数，（到（z-1）4项）解：z =i为T的奇点，所以收敛半径R=8又于是，/（Z）在z =l处的泰勒级数为15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其收敛性.五 匕 分 别 在z =和z =l处 s i r z在z=0处 ar ct anz在z =0处Z(z +l)(z +2)在 z

33、 2 处 1n(l+z)在z =0处解(1)(2+1)!z3 Z5z-+一+3!5!1 1 jar ct an z-az（3）J l+z二 z =i为 奇 点,H =1（4）因为从z =T沿负实轴m（l +z）不解析所以，收敛半径为R=116 .为什么区域I W R内解析且在区间（-R R）取实数值的函数/（力展开成z的幕级数时，展开式的系数都是实数？答：因为当z取实数值时，/仁）与/（%）的泰勒级数展开式是完全一致的，而在凶 火内，八幻的展开式系数都是实数。所以在|z|R内，z）的基级数展开式的系数是实数.17.求/.）=等 三 的 以z =为中心的各个圆环域内的罗朗级数.解：函数/有奇点4

34、=1与Z2 2,有三个以z=0为中心的圆环域，其罗朗级数.分别为：119.在1 回 ”内将/=e-展开成罗朗级数.1解:令=匚7则仅供个人学习参考而 匚 在l|z|内展开式为所以，代入可得20.有人做下列运算,并根据运算做出如下结果Z Z因为二+力=,所以有结果你认为正确吗?为什么？答:不正确，因为=Z+Z 2+Z 3+要求磔 1所以,在不同区域内21.证明：/(z)=co s(z+1)用z的嘉表示的罗朗级数展开式中的系数为证明：因为z =和z =8是co s(z +f的奇点，所以在|z|8内，co s(z +f的罗朗级数为cos(7+)其中 G=*J c 尸二阳,=0，1，2,其中C为1 4

35、 8时，e 1-11所以，Zf 8是的可去奇点.(2)因为所以，00是c o s z-s i nz的本性奇点.当z-8时，丸T-仅供个人学习参考2 z所以，z-0 0是藐我的可去奇点.2 7 .函数/(z)=/在z =l处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式：z(z l)-=+-l z(z-l)2(z-1)3(z-1)4(z-1)3 1 1我们得到“z =l又是/(z)的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么？解:不对,Z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在内得到的在 内 的 罗 朗 展 开 式 为2 8 .如果C为正向圆周忖=3,求积分1/(z)d z的值/=五

36、%/=(z +i：z +2)解：(1)先将展开为罗朗级数，得而旧=3在2|z|-内，C-=0,故(2)(z +i；z +2)在2 上 一内处处解析,罗朗展开式为而I z|=3在2 上3内,%=1,故习题五1.求下列函数的留数.(1)/)=在 z=0 处.Z解：二1在0|z|+8的罗朗展开式为Z.z2 z3 Z4.+5+同 +币 +1 1 1 1 1 1 1 c-e:-l 八 1,1-三-=+-+-+-+.Ke s ：,0=1 =z5 Z4 2!Z5 3!Z2 4!z L z5 J 4!2 4 f(z)=e在斤1处.解：e士在0|z-l|卜+8的罗朗展开式为2 .利用各种方法计算H z)在有限孤

37、立奇点处的留数.(1)/(z)=3z +2Z2(Z+2)解 一 小 号 的 有 限 孤 立 奇 点 处 有2 2.其 中-为 二 级 极 点-2为一级极点.Res/(z),0=-lim3z+2)z+2)lim3(z+2)-3 z-2(z+2)2441仅供个人学习参考3.利用罗朗展开式求函数(z+l)2.sin!在8处的留数.Z解:(z4-1)2 sin =(z2+2z+l)sin z z=(/z2 2 +2nz f 1 1 1 1 1 、+D-7+-r+-lz 3!z3 5!z5)e Res/(z),O=l-从而 Res/(z),co=-l+5.计算下列积分.(1)tannzdz,为正整数，。

38、为I z|二 刀 取 正向.解：(tan jczdz=(f)汇dz 外 几c o s兀z为在c内ta n冗z有zk=k-(A=0,1,2 G rD)一级极点人 2由于 R es/(z),z=X(cos nz)z=2k71 tariTtzdz，2疝，Res|f(z),zj=2Tli.(2)3-2w仅供个人学习参考Ia|!.解：令令好占.cos0 =d0=dz 9 则2z iz U(f+流5 2 a0,0.解：令H(z)=1 -，被积函数A(z)在上半平面有一级极点好i a和i 8.故(z+a )(z+b )(4).J+-，a0/=2 7 c i(R e s /?(z)i +R e s /?(z)

39、,/ji)(x2+a2)=可邺z-叫“L+府+邺Z-八 泰 就”.1 12 a(b2-a2)2i b(a2-b2)_nab(a+b)解:产 x,1 r”x.-70,b 0.。G+/)2故 j 0 X 2 c L v=2 7 i i (R e s?(z),i +R e s /?(z),-i)(I(x2+a2 2=7 i i l i mzfaiZ2(z +a i)2z,+lim-T1叫(z-a i)兀 2 a解：而考知R(z)=J,则/?(z)在上半平面有z=bi 一个二级极点.从 而 广 土 包 竺 人 些J0(x2+/?2)4 b 4加 俄(6)-d x,a0Jy x+a-解：令R(Z)=JF

40、，在上半平面有或a i一个一级极点+a?c L r =2m-R e s /?(z)e；5=2兀i l i m =2疝=7.计一算下列积分J-X A+a 二-z +a i 2a ae0 普、必Jo x(l+x)解：令R(z)=。，则斤(z)在实轴上有孤立奇点z=0,作以原点为圆心、r为半径的上半圆z(l+z2)周 5 使嬴 r,巧构成封闭曲线，此时闭曲线内只有一个奇点i,仅供个人学习参考ez dz于正：/=Im -rdr=Im2m-Res/?(z),i-lim -7Tdz 而 7T=-7ti，L2J-X(1+X2)2 1 1 f J“z(l+z2)i0&M l+z-)Z故：/=-lm 2ra-l

41、im-+ni=-lm Zml-+m=-(l-e2).(2)fdz,其中 7为直线 Re2FC,c0,0水12 =-z(z+i)J 2 I 2；J 2 2 m z2nz _sln clnfl解：在 直 线 z=c+iy(-8 y)|=?匚|f(c +iy)|d尸 匚 及7dy收敛，所以积分：/(z)d z是存在的，并且f r C 4-y T 8其 中 为 复 平 面 从bi 到c+i/?的线段.考虑函数f(z)沿长方形-虑xW c,-七yW火周界的积分.如下图因为f(z)在其内仅有一个二级极点Z=0,而且Res/(z),O=吗(z?/(z)=lna所以由留数定理.P /*+胤b。r/nu(-Jo

42、C C in o而/(z)4f 7di d 0,卬=(l+i)z;解：卬=(1+i)(x+)=(X-y)+iQ+y)所以 Im(vv)Re(vv).故 w=(l+i)z 将 Im(z)0,映成 Im(w)Re(w).(2)Re(z)0.0Im(z)0,仅供个人学习参考Re 0.Im 0.若 后冰i r,则因为 0 7 1,贝I0 丁 0,0 I m（z）0,I m 0,明，(以(1,0)为圆心、工为半径的圆)；2 2 23 .求 呼/在z=i处的伸缩率和旋转角，问 尸/将经过点z=i且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成田平面上哪一个方向？并作图.解:因为僦=2 z,所以M(i)=2 i,|M|

43、=2,旋转角a r g u/Y.2于是,经过点i且平行实轴正向的向量映成犷平面上过点T,且方向垂直向上的向量.如图所示.-1 O4.一个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？映 射 在z平面上每一点都具有这个性质吗？答:一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射呼/在2=0处导数为零，所以在z=0处不具备这个性质.5 .求将区域0 求1变为本身的整体线性质变换w=s z +的一般形式.6.试求所有使点 1不动的分式线性变换.解：设所求分式线性变换为卬=丝女(a小AH 0)由-1-1.得因为 w=a（z+l）+c 二 4,cz+d即 W+1一（

44、z+D +c（z+l）cz+d由1 .1代入上式，得2 =2上n a=d因 止 匕 W+1 =（Z+1）+=（Z+1）-令1 =4,得C其中a为复数.反之也成立，故所求分式线性映射为 W=.出，a为复数.w1 z 17 .若分式线性映射，卬=丝业将圆周|z|=l映射成直线则其余数应满足什么条件?解：若卬=丝也将圆周|z|=l映成直线，则2 =-仪映成卬=8.cz+d c仅供个人学习参考而Z=：落在单位圆周|z|=l,所 叶S =l,|c|=|d|.故系数应满足ad bc 钝,且|c|=|d|.8.试确定映射，w=2作用下，下列集合的像.Z +1(1)Re(z)=O ;(2)|z|=2;(3)I

45、m(z)0.解：(l)Re(z)=O是虚轴，即 代 入 得.写成参数方程为“二，丫 =工，丫0 时，即 l=_z=Im()0,vv-1 W 1令I尸冰i p得TI m(/-+-1)、=ITm(/-(-+-l-)-+-i-叭)=-2zv r O.9.求出一个将右半平面Re(z)0映射成单位圆|“0).Z -Z。10.映射卬=十 二，将|z|v l映射成|卬|0,映射成|1单位圆的分式线性变换呼f(z),并满足条件 f =0,arg/=0;/=l,A i)=.解：将上半平面Im(z)0,映为单位圆|0).z-a仅供个人学习参考由/(i)=0 得 a =i,又由 a r g 尸(i)=0,即/r(z

46、)=eiz,生下，(z+i:=e T=O,得8 =四，所以2 2.z-iVV=1-z+i 由 A D=1,得 A=；由F =3,得k=-W 联立解得l-a V 5 V 5(i-a)_ 3z+(V 5-2i)一 (V 5-2i)z+31 2.求将|z|l 映射成|犷|1 的分式线性变换呼/1(z),并满足条件:小)=0,F(-l)=l.上)=0,a r g r(i)=p(3)f (H)二 为 a r g f c i)=(P .解:将单位圆I z|G 映成单位圆|同 1 的分式线性映射，为卬二 d z f,|a|1.1-a-z 由/6)=(),知a =；.又由f(T)=l,知-1-1e-=e (-

47、1)=d =_ =8 =兀.5故 w =-l-11 22z lz 2由 F G)=0,知 a =L 又2(2-z)2/G)=e、ne=a r g/G)、，于是卬=/(二 l)=i.2.1 -j 2-z(3)先求 J =0(z),使 自=。,a r g d(a)=e,且映成 l 朽a,a r g g (O)=O,且|1 映成 I r r|l.仅供个人学习参考先求其反函数J=(w),它使|w|l映为|1,w a映为4=0,且arg(w)=arg(l/g(O)=0,则J=(w)=w-a-a-w因此，所求犷由等式给出.w-a 一 冶-=-C1-a-wz-al-a z13.求将顶点在0,1,i的三角形式

48、的内部映射为顶点依次为0,2,1+i的三角形的内部的分式线性映射.解：直接用交比不变性公式即可求得w-0.1+i 0 _ z-0 .i-0w 2 1 +i-2 z 2 i 1w 1 +i-2 _ z i-1w-2 1 +i z-1 i-4zw=-(i-l)z (1+i)14.求出将圆环域2V zi5映射为圆环域4|犷|w=-.w-4 z+5 z讨论求得映射是否合乎要求，由 于I尸f(z)将|z|=2映为|=1 0,且将斤5映 为k4.所以3 2映为|犷|10.又 行f(z)将|z|=5映为|犷|=4,将万=2映为产-1 0,所以将|z|4,由此确认，此函数合乎要求.15.映射w=z2将z平 面

49、 上 的 曲 线+映射到犷平面上的什么曲线？解：略.16.映 射w-e将下列区域映为什么图形.(1)直线网 Re(z)=G,Im(z)=C；带形区域aIm(z)A 04a/?0,0 Im(z)a,0a w=ec,-eiv,Im(z)=G,则仅供个人学习参考z=x+i Ci=w=er-eiC-故卬=e?将直线Re(z)映成圆周/?=eC；直线Im(z)=C映为射线e =C2.(2)令 z=x+iy,a y ,则卬=e?=e*+w=e*，,0 y 故卬=e：将带形区域a Im(z)f3映为a arg(w)0,0y0,0Im(z)a,0 1,0arg wtz(0 cr l保形映射为全平面除去线段-l

50、Re(而1,Im(面=0的映射.解：先用映射“=将|z|l映为|跖|0,然后用嘉函数卬3 =*2映为有割痕为正实轴的W -1全平面，最后用分式线性映射w=上二!将区域映为有割痕-1,1 的全平面.吗+i18.求出将割去负实轴-ooRe(z)K0,Im(z)=0的带形区域-工 lm(z)色映射为半带形区域2 2-7 1 Im(卬)0的映射.解：用吗=e;将区域映为有割痕(0,1)的右半平面Re(M)0；再用w =ln匕里将半平面映为有“-1割痕(-8,-1 的单位圆外域；又用吗甘如将区域映为去上半单位圆内部的上半平面；再用得=ln%将区域映为半带形00；最后用w=2%-i无映为所求区域，故,e;