导数解答题高考试卷(含详解答案).pdf-得力文库

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1、导数解答题最新高考试题精选.解答题(共40小题)1.已知函数 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.2.已知函数 f(x)=e*(ex-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)2 0,求a的取值范围.3.已知函数 f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间 0,工上的最大值和最小值.24.已知函数 f(x)=lnx+ax2+(2a+l)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当 aVO 时，证明 f(x)-J-2.4a5.已知函数 f

2、(x)=x-1-alnx.(1)若f(x)2 0,求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n,(1+1)(1+L).(1+A-)V m,求2 22 2nm的最小值.6.设a e z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x?-6x+a在区间(1,2)内有一个零点Xo，g(x)为f(X)的导函数.(1 )求g(X)的单调区间；(I I)设m W l,x0)U(xo，2 ,函数 h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m),求证：h(m)h(x0)0；(I I I)求证：存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且X0)qU(xo,2 ,满足 x()|q Aq47.设函数 f(x

3、)=(1-x2)ex.(1)讨论f(X)的单调性；(2)当x 2 0 时，f(x)W ax+1,求 a 的取值范围.8.已知函数 f(x)=X2+2COSX,g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2),其中 e=2.71828.是自然对数的底数.(I)求曲线y=f(x)在点(兀，f(71)处的切线方程；(I I)令 h(x)=g(x)-a f(x)(a G R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.9 .设 a,bGR,a|1.已知函数 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(I)求 f(x)的单调区间；(I D 已知函数y=g(x)和丫=

4、6乂的图象在公共点(xo,y0)处有相同的切线，(i)求证：f(x)在 x=x0处的导数等于0；(ii)若关于x 的不等式g(x)We*在区间 xo-1,xo+l 上恒成立，求 b 的取值范围.10.已知函数 f(x)=Xx3-Lax2,aGR,3 2(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程；(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.11.已知函数 f(x)=ax2-ax-xln x,且 f(x)20.(1)求 a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x o,且 e 2 f(X。)0是f(

5、x)有三个不同零点的必要而不充分条件.14.设函数 f(x)=lnx-x+1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当 xe(1,+8)时，i x z L l,证明当 x(0,1)时，1+(c-1)xcx.15.设函数 f(x)=ax?-a-In x,其中 aR.(I)讨论f(x)的单调性；(I D确定a的所有可能取值，使得f(x)L-e】x在区间(1,+8)内恒成X立(e=2.718 为自然对数的底数).16.设 f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a G R.(1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x=l处取得极大值，求正实数a的取值范围.17.设函

6、数 f(x)=x-ax-b,xR,其中 a,b CR.(1)求f(x)的单调区间；(2)若 f(x)存在极值点 xo，且 f(x i)=f(xo),其中 XiWxo，求证：Xi+2xo=O；(3)设a 0,函数g(x)=|f(x)I，求证：g(x)在区间-1,1上的最大值不小于418.设函数 f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中 a 0,记|f(x)|的最大值为A.(I)求 f，(x)；(I I)求 A；(I I I)证明:|f(x)W2A.19.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(I)求a的取值范围；(I I)设Xi，X2是f(x)的两个零点，

7、证明：X1+X2 f (x)+W对于任意的xG l,2成立.221.已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(I)讨论f(X)的单调性；(H)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.22.设函数 f(x)=ax2-a-In x,g(x)=-其中 aR,e=2.718为自然x ex对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当 x l 时，g(x)0；(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)g(x)在区间(1,+8)内恒成立.23.设函数 f(x)=(x-1)3-ax-b,x S R,其中 a,b GR.(1)求f(x)的单调区间；(2)若 f(x)存在极值点 X o,且 f(

8、Xi)=f(Xo),其中 XiWxo，求证：xi+2xo=3；(3)设a 0,函数g(x)=|f(x)I，求证：g(x)在区间0,2上的最大值不小于L.424.(I)讨论函数f(x)=之0的单调性，并证明当x o时，(x-2)ex+x+2x+2 0；(I I)证明：当ae0,1)时，函数g(x)=ezaxza (x 0)有最小值.设g2x(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.25.设函数 f(x)=emx+x2-mx.(1)证明：f(X)在(-8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增；(2)若对于任意Xi，X2G -1,1,都有|f(x i)-f(x2)|We-1,求 m 的取值范围

9、.26.设函数 f(x)=lnx+a(1-x).(I)讨论：f(x)的单调性；(I I)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.27.已知函数f(x)=ax3+x2(a E R)在x=4处取得极值.3(I)确定a的值；(I I)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.28.已知函数f(x)=ln也，l-x(I)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；3(I I)求证，当 xW(0,1)时，f(x)2 6+三-)；33(I I I)设实数k 使得f(x)k(x+Z)对xG(0,1)恒成立，求 k 的最大值.3229 .设函数 f(x)=(x+a)Inx,g

10、(x)=.?一.已知曲线 y=f(x)在点(1,f(1)Xe处的切线与直线2x-y=0平行.(I)求 a 的值；(H)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；(I I I)设函数 m(x)=minf(x),g(x)(min p,q表示 p,q 中的较小值),求 m(x)的最大值.,230.设函数 f(x)=-klnx,k 0.2(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,正上仅有一个零点.31.已知函数 f(x)=当一(a 0,r 0)(x+r)2(1)求 f(x)的

11、定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若占 4 0 0,求f(x)在(0,+8)内的极值.r32.已知函数 f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a,其中 a 0.(I)设 g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(I I)证明：存在aS(0,1),使得f(x)2 0 在区间(1,+8)内恒成立，且f(x)=0在区间(1,+8)内有唯一解.33.设函数f(x)=红色些(aGR)Xe(1 )若 f(x)在 x=0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(D)处的切线方程；(I I)若f(x)在 3,+)上为减函数，求 a 的取值范围.34.已知

12、函数 f(x)=x3+ax+,g(x)=-Inx(i)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；(ii)用 min m,n 表示 m,n 中的最小值，设函数 h(x)=min f(x),g(x)(x 0),讨论h(x)零点的个数.35.设 a l,函数 f(x)=(1+x2)ex-a.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明f(X)在(-8,+8)上仅有一个零点；(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m,n)处的切线与直线0P平行，(0是坐标原点)，证明：1.36.已知函数 f(x)=x3+ax2+b (a,b e R).(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若b=c-a(

13、实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(-8,-3)U(1,3)U(3,+8),求c的值.2 237.已知函数 f(x)=nx-X(1,x G R,其中 nGN，,且 nB2.(I)讨论f(x)的单调性；(I I)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证：对于任意的正实数x,都有f(x)Wg(x)；(I I I)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根xi，X 2,求证：仅2-xj 0,函数 f(x)=eaxsinx(x 0,+8).记 X n 为 f(x)的从小到大的第n(n G N*)个极值点.

14、证明：(I)数列f(xQ 是等比数列；(I I)若a 2t 1，则对一切nN*,xn0,f(x)巳0成立，求a的取值范围.40.设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a0.(I)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(I I)当X G O,1 时，求f(X)取得最大值和最小值时的X的值.导数解答题最新高考试题精选参考答案与试题解析一.解答题(共40小题)1.已知函数 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.【解答】解：(1)由 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,求导 f(x)=2ae2x+(a-2)e

15、x-1,当 a=0 时，r (x)=-2ex-l0 时，f(x)=(2ex+l)(aex-1)=2a(ex+l)2 a令 F(x)=0,解得：x=ln.L,a当(x)0,解得：x ln l,a当(x)0,解得：x 0时，f(x)在(-8,|n l.)是减函数，在(InL,+)是增函数；a a(2)若aWO时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，当 a0 时，f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,当 x玲-8时，e2x0,e、玲0,当 X-8时，f(X)-+8,当x 0 8,e 2 x f+8,且远远大于ex和x,当 f（X）-+8,函数有两个零点，f(x)的最小值小于0即可，由f(x)在(

16、-8,|n L)是减函数，在(InL,+8)是增函数，a a.*.f(x)mjn=f(In)=aX(-)+(a-2)x L-ln工VO,a a?a a/.I-In 0,a a a a设 t二工，则 g(t)=lnt+t-1,(t 0),a求导 g(t)=Ll,由 g(1)=0,tA t=l l,解得:0 a l,a a的取值范围(0,1).方法二：(1)由 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,求导 fz(x)=2ae2x+(a-2)ex-1,当 a=0 时，f (x)=-2ex-l0 时，f(x)=(2ex+l)(aex-1)=2a(ex+)(ex-2 a令(x)=0,解得：x=-Ina

17、,当 F(x)0,解得：x-Ina,当 E(x)0,解得：x -Ina,二.xW(-,-In a)时，f(x)单调递减，(-Ina,+)单调递增；当 aVO 时,f (x)=2a(ex+l)(ex-l)0时，f(x)在(-8,-|n a)是减函数，在(-Ina,+)是增函数；(2)若aWO时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，当a 0时，由(1)可知：当x=-Ina时，f(x)取得最小值，f(x)min=f(-Ina)=1-In,a a当a=l,时，f(-Ina)=0,故f(x)只有一个零点，当 aw(1,+8)时，由 1-In 0,即 f(-Ina)0,a a故f(x)没有零点,当 a(

18、0,1)时，1-L-InLvO,f(-Ina)-2e-2+20,故f(x)在(-8,-|n a)有一个零点，假设存在正整数 n0,满足 n0ln(2-1),则 f(n0)=eno (aeno+a-2)-n0a eno -n0 2”。-n00,由 In(-1)-Ina,a因此在(-Ina,+8)有一个零点.，a的取值范围(0,1).2.已知函数 f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)2 0,求a的取值范围.【解答】解:(1)f(x)=ex(ex-a)-a2x=e2x-exa-a2x,/.fz(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a),当a

19、=0时,f (x)0恒成立,A f(x)在R上单调递增，当 a0 时，2ex+a 0,令 f(x)=0,解得 x=lna,当xVIna时，f (x)lna时，f (x)0,函数f(x)单调递增，当 a0 时，ex-a 0,令 f，(x)=0,解得 x=ln(一旦)，2当xVIn(-A)时，f (x)ln(-A)时，f (x)0,函数f(x)单调递增，2综上所述，当a=0时，f(x)在R上单调递增，当a 0时，f(x)在(-8,|n a)上单调递减，在(Ina,+)上单调递增，当 a0恒成立，当 a0 时，由(1)可得 f(x)mm=f(Ina)=-a2lna0,.InaWO,.OVaWl,当a

20、O时，由(1)可得：f(x)min=f(In(-5.)=3a-a21n(一旦)20,2 4 2Ain(一旦)W W,2 43/.-2 jW a 0,3综上所述a的取值范围为-2；13.已知函数 f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间 0,工上的最大值和最小值.2【解答】解：(1)函数 f(x)=ecosx-x 的导数为 f(x)=ex(cosx-sinx)-1,可得曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线斜率为匕e(cosO-sinO)-1=0,切点为(0,ecosO-0),即为(0,1),曲线y=f(x)在点

21、(0,f(0)处的切线方程为y=l；(2)函数 f(x)=ecosx-x 的导数为 f(x)=ex(cosx-sinx)-1,令 g(x)=ex(cosx-sinx)-1,贝ij g(x)的导数为 g(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx,当)0,可得 g(x)=-2ex*sinx0,2即有g(x)在 0,工递减，可得g(x)Wg(0)=0,2则f(x)在 o,2L递减，2即有函数f(x)在区间 0,工匚上的最大值为f(0)=ecosO-0=1；2IT最小值为f(2 L)=e Teos匹-2-2 L.2 2 2 24.已知函数 f(x)=lnx+ax2+(2

22、a+l)x.(1)讨论f(X)的单调性；(2)当 a V O 时，证明 f (x)0),X X X当a=O 时，f (x)=L+1 O 恒成立，此时y=f (x)在(0,+)上单调递增；x当a 0,由于x 0,所以(2 a x+l)(x+1)0恒成立，此时y=f (x)在(0,+8)上单调递增；当a V O 时，令f，(x)=0,解得：x=-L.2 a因为当 x e (o,-J _)f (x)0、当 x (-J _,+8)r (x)0 时f (x)在(0,+8)上单调递增，当a V O 时，f (x)在(0,-L)上单调递增、在(-L,+8)上单调递减；2 a 2 a(2)证明：由(1)可知

23、：当a V O 时f (x)在(0,-)上单调递增、在(-2 aA-,+8)上单调递减，2 a所以当 x=-L 时函数 y=f (x)取最大值 f (x)m a x=f (-)=-1 -I n 2 -X-+l n2 a 2 a 4 a(-1).a从而要证f (x)-A-2,即证f (-L)W-a-2,4 a 2 a 4 a即证-1 -I n 2 -A-+l n (-L)W-2,即证-i,(-L)+l n (-)0,问题转化为证明：-L t+l n t W -1+I n 2.(*)a 2令 g (t)=-t+l nt,则 g，(t)=-+.L,2 2 t令 g (t)=0 可知 t=2,则当 0

24、 V tV 2 时 g，(t)0,当 t 2 时 g，(t)0,所以y=g (t)在(0,2)上单调递增、在(2,+8)上单调递减，即 g (t)Wg (2)=-X 2+l n2=-1+I n2,即(*)式成立，2所以当a 0,所以F (x)=1-耳三3 且 f (1)=0.X X所以当a 0恒成立，此时y=f (x)在(0,+)上单调递增，这与f (x)2 0矛盾；当a 0 时令f (x)=0,解得x=a,所以y=f (x)在(0,a)上单调递减，在(a,+-)上单调递增，即f (x)m in=f(a),若 a W l,则 f (a)f (1)=0,从而与 f (x)N O 矛盾；所以a=l

25、；(2)由(1)可矢口当 a=l 时 f (x)=x -1-l nx 2O,即 I nx Wx -1,所以I n(x+1)W x当且仅当x=0 时取等号，所以 I n(1+A-)A _,k GN*.2k 2k一方面，I n(1+)+l n(1+-)+.+l n(1+-)+-+.+-i=1-1 1,2 22 2n 2 22 2n 2n即(l+)(1+A _).(1+J .)(1+L)(l+L)(1+A-)=13 5_ 2；2 2 2n 2 22 23 6 4从而当 n23 时，(l+L)(1+L)(1+L)e (2,e),2 22 2n因为m为整数，且对于任意正整数n,(1+1)(1+J-

26、).(1+-L)m成立，2 22 2n所以m的最小值为3.6.设 a e z,已知定义在R 上的函数f (x)=2x 4+3 x 3 -3 x 2-6 x+a在区间(匕2)内有一个零点X o，g (x)为f (x)的导函数.(I )求 g (x)的单调区间；(II)设 m 1,x0)U(xo，2 ,函数 h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证:h(m)h(x0)0,故当 xW l,x0)时，H(x)0,Hi(x)单调递增.因此，当 XG 1,Xo)u(Xo，2 时，Hl(x)H1(x0)=-f(x0)=0,可得 Hi(m)0 即 h(m)0,令函数 H2(x)=g(x0)(x-Xo)-

27、f(x),则 H2 (x)=g(x0)-g(x).由(I)知，g(x)在1,2 上单调递增，故当 x G l,x0)时，H，2 (x)0,H2(x)单调递增；当xd(x0,2时，H3(x)H2(X0)=0,可得得 h (m)V0 即 h(x0)0,.所以，h(m)h(XQ)0.(H I)对于任意的正整数p,q,且2 口，X n)U(xn-2，q u u令 m=R,函数 h(x)=g(x)(m-x0)-f(m).q由(I I)知，当m G l,x0)时，h(x)在区间(m,x0)内有零点；当mW(x0,2时，h(x)在区间(xo，m)内有零点.所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为X

28、i，则h(xi)=g(x i)(2-q-Xo)-f(.)=0.q由(I)知 g(x)在 1,2上单调递增，故 OVg(1)g(X1)0,故f(x)在 1,2上单调递增，所以f(x)在区间 1,2上除X。外没有其他的零点，而RWx。，故f(R)WO.q q又因为p q,a均为整数，所以12P4+3p3q-3P2q2-6pq3+aq4|是正整数，从而 12P，+3p3q-3P2q2-6pq3+aq4|N l.所以|R-X o|2 J.所以，只要取A=g(2),就有|R-x o|2.q g(2)q4 q Aq47.设函数 f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当xNO时，f(

29、x)W ax+1,求a的取值范围.【解答】解：(1)因为 f(x)=(1-x2)ex,xER,所以 F(x)=(1-2x-x2)ex,令 f(X)=0 可知 X=-1 y/2当 X-1+V寸 f，(X)0,当-1-&x 0,所以f(x)在(-8,-1-&),(-1+a,+oo)上单调递减，在(-1-1+V2)上单调递增；(2)由题可知f(x)=(1-x)(1+x)ex.下面对a的范围进行讨论：当 a21 时，设函数 h(x)=(1-x)ex,则 h，(x)=-xex0),因此h(x)在 0,+)上单调递减，又因为h(0)=1,所以h(x)1,所以 f(x)=(1+x)h(x)Wx+lWax+1

30、；当 0 a 0 (x0),所以g(x)在 0,+)上单调递增，又 g(0)=1-0-1=0,所以 e2x+l.因为当 O V xV l 时 f(x)(1-x)(1+x)2,所以(1-x)(1+x)2-ax-l=x(1-a-x-x2),Xo=V5-4a-1 e(o,i),则(1-x0)(1+xo)2-ax0-1=0,2所以 f(Xo)a xo+l,矛盾；当 aWO 时，取 XCF2/IZLE(0,1),贝Uf(x0)(l-x o)(1+x。)2=lax0+l,2矛盾；综上所述，a的取值范围是 1,+8).8.已知函数 f(x)=X2+2COSX,g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)

31、,其中 e2.71828.是自然对数的底数.(I)求曲线y=f(x)在点 g f(R)处的切线方程；(I I)令h(x)=g(x)-af(x)(a e R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【解答】解：(I)f(n)=n2-2.7(x)=2x-2sinx,A fz(n)=2n.曲线y=f(x)在点(ri,f(n)处的切线方程为:y-(n2-2)=2n(x-n).化为：2nx-y-n2-2=0.(II)h(x)=g(x)-a f(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx)h(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+ex(-sinx-cosx+2

32、)-a(2x-2sinx)=2(x-sinx)(ex-a)=2(x-sinx)(ex-elna).令 u(x)=x-sin x,则 if(x)=1-cosxO,，函数 u(x)在 R 上单调递增.Vu(0)=0,.x0 时，u(x)0；xVO 时,u(x)0,x 0 时，h/(x)0,函数 h(x)在(0,+)单调递增；x 0 时，hz(x)0 时，令 h，(x)=2(x-sinx)(ex-elna)=0.解得 xi=lna,x2=0.0 a l 时，xG(-8,h a)时，ex-elna 0,函数 h(x)单调递增；xe(Ina,0)时，ex-elna 0,h，(x)0,h(x)0,函数 h

33、(x)单调递增.,.当x=0时，函数h(x)取得极小值，h(0)=-2a-1.当 x=lna 时,函数 h(x)取得极大值，h(Ina)=-aln2a-2lna+sin(Ina)+cos(Ina)+2.当a=l时，lna=0,x R 时，h(x)20,.,.函数h(x)在 R 上单调递增.l 0,xG(-0)时，ex-elna 0,函数 h(x)单调递增；xe(0,In a)时，ex-elna0,h，(x)0,h，(x)0,函数 h(x)单调递增.当x=0时，函数h(x)取得极大值，h(0)=-2 a-1.当 x=lna 时，函数 h(x)取得极小值，h(Ina)=-aln2a-2lna+si

34、n(Ina)+cos(Ina)+2.综上所述：aWO时，函数h(x)在(0,+)单调递增；xVO 时，函数h(x)在(-8,o)单调递减.x=0时，函数h(x)取得极小值，h(0)=-1-2a.0 a l 时，函数h(x)在(-8,o),(Ina,+8)上单调递增；函数h(x)在(0,Ina)上单调递减.当x=0时，函数h(x)取得极大值，h(0)=-2 a-1.当x=lna时，函数 h(x)取得极小值，h(Ina)=-aln2a-2 lna+sin(Ina)+cos(Ina)+2.9.设 a,bGR,a|W l.已知函数 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).

35、(I )求f(x)的单调区间；(I D已知函数y=g(x)和丫=6乂的图象在公共点(X。，y0)处有相同的切线，(i)求证：f(x)在x=x0处的导数等于0；(ii)若关于x的不等式g(x)We*在区间 xo-1,xo+l上恒成立，求b的取值范围.【解答】(I )解：由 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得 f(x)=3x2-12 x-3a(a-4)=3(x-a)(x-(4-a),令 f (x)=0,解得 x=a,或 x=4-a.由|a W l,得 aV4-a.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：Af(x)的单调递增区间为(-8,a),(4-a,+8),单调递减区间为

36、(a,4X(-8,a)(a,4-a)(4-a,+8)f(x)+-+f(x)7171-a)；g(x0)=eXc(II)(i)证明：.3)=ex(f(x)+f(x),由题意知，(x0)=eXc(x xf(x0)e =e 0 ff(x0)=leX (f(X o)+fy(X o)=eX lf C x0)=0Af(x)在x=x0处的导数等于0；(ii)解：Yg(x)We,xe x0-11 x0+l,由 e、0,可得 f(x)Wl.又,门(x0)=1，f(x0)=0,故Xo为f(x)的极大值点，由(I)知Xo=a.另一方面，由于|a W 1,故a+lV4-a,由(I)知f(x)在(a-1,a)内单调递增，

37、在(a,a+1)内单调递减，故当 x()=a 时,f(x)Wf(a)=1 在 a-1,a+1 上恒成立,从而 g(x)We在 x0-1,Xo+1 上恒成立.由 f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=l,得 b=2a3-6a2+l,-lW aW l.令 t(x)=2x3-6x2+1,x e -i,1,At(x)=6x2-12x,令t(x)=0,解得x=2(舍去)，或 x=0.Vt(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,故 t(x)的值域为-7,1.，b 的取值范围是-7,1.1 0.已知函数 f(x)=lj 0 时，当x 0 恒成立，故 g(x)在(-8,o)上单调递增，当x a

38、时，gz(x)0 恒成立，故 g(x)在(a,+)上单调递增，当O V xV a时，gz(x)V 0 恒成立，故 g(x)在(0,a)上单调递减，.,.当x=a时，函数有极小值，极小值为g(a)=-皂？-sina6当x=0时，有极大值，极大值为g(0)=-a,若a V 0 时，当x 0 时，gr(x)0 恒成立，故 g(x)在(-8,o)上单调递增，当x 0恒成立，故g(x)在(-8,a)上单调递增，当a x 0时，g(x)0时，gz(x)0恒成立，故g(x)在(0,+8)上单调递增，当x0时，g，(x)0恒成立，故g(x)在(-8,o)上单调递增，Ag(x)在R上单调递增，无极值.1 1.已

39、知函数 f(x)=ax2-ax-x ln x,且 f(x)20.(1)求 a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x o,且e V f(xo)0),则 f(x)2 0 等价于 h(x)=ax-a-lnxO,求导可知 h，(x)=a-.x则当aWO时h，(x)l 时，h(x0)0.因为当 O V xvL rt h，(x)L时 h，(x)0,a a所以 h(x)min=h(),a又因为 h(1)=a-a-lnl=0所以b l,解得a=l；a(2)证明：由(1)可知 f(x)=x2-x-xlnx,f(x)=2x-2-Inx,令 F(x)=0,可得 2x-2-lnx=O,-记 t(x)=2x-2-I

40、n x,贝Ut，(x)=2-,x令 t，(x)=0,解得：X=L,2所以t(x)在区间(0,1)上单调递减，在(1，+8)上单调递增，2 2所以 t(x)min=t(L)=ln2-1 0,从而 t(x)=0 有解，即 f (x)=0 存在两根2Xo，X2,且不妨设f(x)在(0,Xo)上为正、在(Xo，X2)上为负、在(X2，+)上为正，所以f(x)必存在唯一极大值点Xo，且2xo-2-lnxo=O,所以 f(x。)=X 02-xo-Xolnxo=X 02-xo+2 x o-2X 0 xo-XQ2,由 X o L可知 f(Xo)f(1)=A _；e e 2e综上所述，f(x)存在唯一的极大值点

41、X o,且e-V f(X。)0,.I-x+e i与 f(x)同号,令 g(x)=1-x+ex l则 g，(x)=-l+e-i,由(x)0,得xl,此时g(x)为增函数，则当x=l时，g(x)取得极小值也是最小值g(1)=1,贝U g(x)2 g(1)=10,故r(x)o,即f (x)的单调区间是(-8,+8),无递减区间.13.设函数 f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f (0)处的切线方程；(2)设a=b=4,若函数f (x)有三个不同零点，求c的取值范围；(3)求证：a2-3b0是f (x)有三个不同零点的必要而不充分条件.【解答】解：函数f(x)=x3

42、+ax?+bx+c的导数为f (x)=3x2+2 ax+b,可得y=f(x)在点(0,f (0)处的切线斜率为1 -x0,g(x)递增；3当-2 VxV-2时，gz(x)0,g(x)递减.3即有g(x)在x=-2处取得极大值，且为0；g(X)在X=-三处取得极小值，且为-3 27由函数f(x)有三个不同零点，可得-四V-cVO,27解得0(),即 4a2-12b 0,即为 a2-3 b 0；若 a2-3 b 0,即有导数f (x)=3 x 2+2ax+b 的图象与x 轴有两个交点，当 c=0,a=b=4 时,满足 a2-3 b 0,即有f (x)=x (x+2)2,图象与x轴交于(0,0)

43、,(-2,0),则 f (x)的零点为 2 个.故 a2-3 b 0 是f (x)有三个不同零点的必要而不充分条件.14.设函数 f (x)=l nx -x+1.(1)讨论f (x)的单调性；(2)证明当 x (1,+8)时，i x z L l,证明当(0,1)时，1+(c-1)x cx.【解答】解：(1)函数f (x)=l nx-x+l 的导数为f (x)=1-1,X由 E (x)0,可得 O V x V l；由 F (x)l.即有f (x)的增区间为(0,1)；减区间为(1,+8)；(2)证明：当 x (1,+)时，I V 三支Vx,即为 I nx V x -l V x I nx.Inx由

44、(1)可得 f (x)=l nx-x+l 在(1,+8)递减，可得 f (x)l,F (x)=l+l nx -l=l nx,当 x l 时，F (x)0,可得 F (x)递增，即有 F (x)F (1)=0,即有x l nx x-1,则原不等式成立；(3)证明：设 G (x)=1+(c-1)x-cx,则需要证明：当x G (0,1)时，G (x)0 (c l)；G (x)=c -1 -cxl n c,G (x)=-(I n c)2 c x 0,由(2)可得G(1)=c -1 -c l n c=c (1 -I n c)-l 0,XG(t,1)时，G(x)0成立，不等式得证；即 c l,当 x(0

45、,1)时，1+(c-1)xcx.1 5.设函数f(x)=ax?-a-In x,其中 aWR.(I)讨论f(x)的单调性；(I I)确定a的所有可能取值，使得f(x立(e=2.718 为自然对数的底数).【解答】解：(I)由题意，f (x)=2ax-当 aWO 时，2ax2-1W0,f(x)WO,f2a(x+-J)当 a0 时，f，(x)=_ L2a_X:)L-e-在区间(i,+8)内恒成XB a x 2 7,x0,X X (x)在(0,+8)上单调递减.二)m，当 xG(0,工)时，F(x)0,故f(x)在(0,肾上单调递减，在(,(I I)原不等式等价于f(x)-U e x。在xeX一方面，

46、令 g(x)=f(x)-4-e1 X=ax2-Inx-HX X只需g(x)在x(1.+8)上恒大于0即可，又 g(1)=0,故g，(x)在x=l处必大于等于0.令 F (x)=gz(x)=2ax-e1 x,gz(1)2(x x2另一方面，当时，F(x)=2a+-+/r2 x x-XV xe(1,+8),x3+x-20,X el x 0,故+8)上单调递增.(1.+8)上恒成立，卜ex-a,可得a 1.?_+e f+x 2+ei2 3r e 3X X XF(x)在a片时恒大于0.当a冶时，F (x)在xW(1,+8)单调递增.AF(x)F(1)=2 a-1 2 0,故 g(x)也在 xd(1

47、,+o)单调递增.*.g(x)g(1)=0,即 g(x)在 x(1,+)上恒大于 0综上，a1 6.设 f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR(1)令g(x)=fz(x),求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在处取得极大值，求正实数a的取值范围.【解答】解:(1)由 f(x)=ln x-2ax+2a,可得 g(x)=ln x-2ax+2a,x(0,+),所以 g，(x)=1-2a=1-2 a x,X X当 aWO,x(0,+8)时，gz(x)0,函数 g(x)单调递增；当 a0,x(0,)时，g/(x)0,函数 g(x)单调递增，2ax(JL,+8)时，gf(x)0

48、时，g(x)的单调增区间为(0,工)，单调减区间为(工，+8).(62a 2a分)(2)由(1)知，f (1)=0.当0 1,由(1)知(x)在(0,一)内单调递增，2 2a 2a可得当 x(0,1)时，f (x)0.2a所以f(x)在(0,1)内单调递减，在(1,J-)内单调递增，2a所以f(x)在x=l处取得极小值，不合题意.当2=工时，L=1,f (x)在(0,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减,2 2a所以当x(0,+8)时，f (x)WO,f(x)单调递减，不合题意.当 a U寸，O J-0,f(x)单调递增，2 2a 2a当 x(1,+8)时，f (x)0,函数g(x)=|f

49、(x)|,求证：g(x)在区间-1,1上的最大值不小于L.4【解答】解:(1)若 f(x)=x3-ax-b,则 f (x)=3x2-a,分两种情况讨论：、当a W O时，有(x)=3x2-a2 0恒成立，此时f(X)的单调递增区间为(-8,+8),、当 a0 时，令 f(x)=3x2-a=0,解得 x=或 x=Y,_ 3 3当 x 亚瑞x 0,f(x)为增函数，3 3当-Y至V x 1 5时，fz(x)=3x2-a 0,且XoWO,由题意可得，f (x)=3x2-a,则x02=?，3进而 f(x0)=x03-ax0-b=-b,3又 f(-2 x0)=-8x03+2 ax0-b=-当3由题意及

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