基本不等式-重难点题型精讲.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 1 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571!#$%!#$%-&(&()*)*+,+,1.两个不等式两个不等式 ab2叫做正数 a，b 的算术平均数，ab叫做正数 a，b 的几何平均数 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数!#$%“当且仅当 ab 时，等号成立”是指若 ab，则 a2b22ab，abab2，即只能有 a2b22ab，ab0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件 学科网（北京）股份有限公司 2 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571 【题型【题型1 对

2、基本不等式的理解对基本不等式的理解】【方法点拨】【方法点拨】(1)不等式成立的条件：不等式成立的条件：a，b都是正数都是正数(2)“当且仅当当且仅当”的含义：的含义：当当ab时，时，ab2 ab的等号成立，即的等号成立，即abab2ab；仅当仅当ab时，时，ab2 ab的等号成立，即的等号成立，即ab2abab.【例 1】（2022 春肥东县月考）对于不等式4+625，+1 2（x0），!+!22(+)(、)，下列说法正确的是（）A正确，错误 B正确，错误 C错误，正确 D错误，正确【变式 1-1】（2022上海）若实数 a、b 满足 ab0，下列不等式中恒成立的是（）Aa+b2 Ba+b2

3、C$%+2b2 D$%+2b2【变式 1-2】（2022 春汤原县期末）若 a0，b0，a+b2，则（）Aab1 B+2 Ca2+b22 D&$+&2【变式 1-3】（2021 秋宿州期末）已知 a0，b0，a+2b1，则下列选项错误的是（）A012 B2#+4$22 Cab 的最大值是&(Da2+b2的最小值是)&*【题型【题型2 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式】【方法点拨】【方法点拨】(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积

4、”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到注意多次运用基本不等式时等号能否取到(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等 式的形式式的形式 学科网（北京）股份有限公司 3 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571【例 2】（2021 秋上饶期末）已知 a0，b0，且 a+b1，求证：(1+1)(1+1)9 【变式 2

5、-1】（2022甘肃模拟）已知 a，bR+，设 x=，y=52+22，求证：（1）xyab；（2）x+ya+b 【变式 2-2】（2021 秋桂林月考）已知 a0，b0（1）若&$+.=1，求证：a+b16；（2）求证：a+b+1 +【变式 2-3】（2022黄州区校级模拟）设 a，b，c0，且 ab+bc+ca1，求证：（1）a+b+c 3；（2）7+7+7 3（+） 学科网（北京）股份有限公司 4 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571 【题型【题型3 利用基本不等式求最值（无条件）利用基本不等式求最值（无条件）】【方法点拨】【方法点拨】(1)若是求和式

6、的最小值，通常化若是求和式的最小值，通常化(或利用或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用或利用)和为定值，其和为定值，其解答解答 技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同【例 3】（2022 春漳州期末）已知 a1，则+41的最小值是（）A5 B6 C32 D22【变式 3-1】（2022 春甘孜州期末）=+4(1)的最小值为（）A2 B3 C4 D5【变式 3-2】（2022怀仁市校级二模）函数=3+431(13)的最小值为（

7、）A8 B7 C6 D5【变式 3-3】（2022香坊区校级模拟）若 a0，b0，求$+&+的最小值为（）A2 B2 C22 D4【题型【题型4 利用基本不等式求最值（有条件）利用基本不等式求最值（有条件）】【例 4】（2022 秋凉州区校级月考）已知 a，b 为正实数且 a+b2，则$+%的最小值为（）A3%B2+1 C)%D3【变式 4-1】（2022 秋广东月考）若正实数 y 满足 2x+y9，则14的最大值是（）A*56%.B6+429 C6+42 D6 42【变式 4-2】（2022 秋浙江月考）已知正实数 x，y 满足&:+6;+4=+，则 x+y 的最小值为（）A13 2 B2

8、C2+13 D2+14【变式 4-3】（2022 春内江期末）已知正实数 a、b 满足 a+b4，则(+1)(+1)的最小值为（） 学科网（北京）股份有限公司 5 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571 A22+2 B4 C%)6 D22+1【题型【题型5 利用基本不等式求参数】利用基本不等式求参数】【例 5】（2022 春爱民区校级期末）已知 x0，y0 且&:+6;=1，若 x+ym2+8m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A9，+）B（，3 C1+）D（9，1）【变式 5-1】（2021 秋怀仁市校级期末）已知 x0、y0，且%:+&;=1，若 2

9、x+ym28m 有解，则实数 m的取值范围为（）A（，1）（9，+）B（9，1）C9，1 D（1，9）【变式 5-2】（2022 春内江期末）已知正实数 a、b 满足&$+&=，若(+1)(+1)的最小值为 4，则实数 m 的取值范围是（）A2 B2，+）C（0，2 D（0，+）【变式 5-3】（2021 秋武清区校级月考）设 x0，y0，设%:+3;=1，若 3x+2ym2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是（）Ax|x6 或 x4 Bx|x4 或 x6 Cx|6x4 Dx|4x6【题型【题型6 利用基本不等式解决实际问题利用基本不等式解决实际问题】【方法点拨】【方法点拨】解决实际问题时，

10、先弄清题意解决实际问题时，先弄清题意(审题审题)，建立数学模型，建立数学模型(列式列式)，再用所掌握的数学知识解决问题，再用所掌握的数学知识解决问题(求解求解)，最后，最后 要回应题意下结论要回应题意下结论(作答作答)【例 6】（2021 秋阳春市校级月考）用一段长为 32m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 6 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571【变式 6-1】（2021 秋凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园 设菜园的长为 x，宽为

11、 y（1）若菜园面积为 72，则 x，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为 30，求&:+%;的最小值 【变式 6-2】（2021 秋黄浦区校级期中）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为 60000cm2，四周空白的宽度为 10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为 5cm（1）试用栏目高 acm 与宽 bcm（a0，b0）表示整个矩形广告面积 Scm2；（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值 【变式 6-3】（2021 秋湖州期中）如图设矩形 ABCD（ABAD）的周长为 40cm

12、，把ABC 沿 AC 向ADC翻折成为AEC，AE 交 DC 于点 P设 ABxcm（）若13，求 x 的取值范围； 学科网（北京）股份有限公司 7 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（）设ADP 面积为 S，求 S 的最大值及相应的 x 的值 学科网（北京）股份有限公司 8!#$%!#$%-&(&()*)*+,+,1.两个不等式两个不等式 ab2叫做正数 a，b 的算术平均数，ab叫做正数 a，b 的几何平均数 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数!#$%“当且仅当 ab 时，等号成立”是指若 ab，则 a2b22ab，abab2

13、，即只能有 a2b22ab，ab0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件 学科网（北京）股份有限公司 9 【题型【题型1 对基本不等式的理解对基本不等式的理解】【方法点拨】【方法点拨】(1)不等式成立的条件：不等式成立的条件：a，b都是正数都是正数(2)“当且仅当当且仅当”的含义：的含义：当当ab时，时，ab2 ab的等号成立，即的等号成立，即abab2ab；仅当仅当ab时，时，ab2 ab的等号成立，即的等号成立，即ab2abab.【例 1】（2022 春肥东县月考）对于不等式4+625，+1 2（x0），!+!22(+)(、)，下列说法正确的是（）A正确，错误 B正确，错误 C错误

14、，正确 D错误，正确【解题思路】由已知结合基本不等式及相关结论分别判断各选项即可【解答过程】解：因为(4+6)!(25)!=10+24 20=24 100，所以4+625，故错误；当取 x1 时，显然+1=2 2不成立，故错误；因为 a2+b22ab（a，bR），所以 2（a2+b2）（a+b）2，所以!+!22(+)!=22|+|22(+)，故正确 故选：C【变式 1-1】（2022上海）若实数 a、b 满足 ab0，下列不等式中恒成立的是（）Aa+b2 Ba+b2 C$%+2b2 D$%+2b2【解题思路】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解【解答过程】解：因为 ab0，所以 a+b

15、2，当且仅当 ab 时取等号，又 ab0，所以 a+b2，故 A 正确，B 错误，$%+2 2!$%2=2，当且仅当$%=2，即 a4b 时取等号，故 CD 错误，故选：A【变式 1-2】（2022 春汤原县期末）若 a0，b0，a+b2，则（） 学科网（北京）股份有限公司 10 Aab1 B+2 Ca2+b22 D&$+&2【解题思路】由已知结合基本基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断【解答过程】解：因为 a0，b0，a+b2，所以 ab（$5%）21，当且仅当 ab1 时取等号，A 错误；因为（+）2a+b+2=2+2 2+a+b4，当且仅当 ab1 时取等号，所以+2，B 错误；因

16、为$5%($5%)2=1，当且仅当 ab1 时取等号，所以 a2+b22，C 正确；&$+&=&%（$5$+$5）=12（2+）12(2+2)=2，当且仅当 ab1 时取等号，D 错误 故选：C【变式 1-3】（2021 秋宿州期末）已知 a0，b0，a+2b1，则下列选项错误的是（）A012 B2#+4$22 Cab 的最大值是&(Da2+b2的最小值是)&*【解题思路】结合基本不等式，对选项逐一判断即可【解答过程】解：根据题意，a12b0，b0，则 0b12，所以选项 A 正确；2a+4b22#4$=22#&!$=22，当且仅当 a2b，即 a=12，b=14时等号成立，所以 2a+4b2

17、2，选项 B 正确；由 a0，b0，1a+2b22，即 ab18，当且仅当 a2b，即 a=12，b=14时等号成立，所以 ab 的最大值是&(，选项 C 正确；由 a+2b1，得 a2+b2（12b）2+b25b24b+1，所以当 b=25时，a2+b2有最小值 5（%)）2425+1=15，所以选项 D 错误 故选：D 学科网（北京）股份有限公司 11【题型【题型2 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式】【方法点拨】【方法点拨】(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”

18、式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到注意多次运用基本不等式时等号能否取到(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等 式的形式式的形式【例 2】（2021 秋上饶期末）已知 a0，b0，且 a+b1，求证：(1+1)(1+1)9【解题思路】本题的关键是把分子的“1”换成 a+b，由基本不等式即可证明【解答过程

19、】解：a0，b0，且 a+b1(1+1)(1+1)=(1+)(1+)=(2+)(2+)=4+2+2+5+2+2 5+2722=5+4=9 当且仅当%$=%$，即 ab=12时取“”号 故原题得证【变式 2-1】（2022甘肃模拟）已知 a，bR+，设 x=，y=52+22，求证：（1）xyab；（2）x+ya+b【解题思路】（1）利用基本不等式的性质即可得出（2）通过平方作差利用乘法公式即可得出【解答过程】证明：（1）a，bR+，x=，y=52+22，xy=52+22 =ab，当且仅当 ab 时取等号（2）a，bR+，x+y=+52+22， 学科网（北京）股份有限公司 12 则（a+b）2（x

20、+y）2（a+b）2(+2+22+2 52+22)=(+)2222(2+2)2，而（a+b）4（ab）48ab（a2+b2），（a+b）48ab（a2+b2）（ab）4，（a+b）2 22(!+!)，（a+b）2（x+y）20，a+bx+y【变式 2-2】（2021 秋桂林月考）已知 a0，b0（1）若&$+.=1，求证：a+b16；（2）求证：a+b+1 +【解题思路】（1）由基本不等式及乘“1”法即可得证；（2）由基本不等式可得 a+12，b+12，a+b2，当且仅当 ab1 时等号成立，三个式子相加即可得证【解答过程】证明：（1）因为&$+.=1，a0，b0，所以 a+b（a+b）（&$

21、+.）10+9+10+279=16，当且仅当.$=$，即 a4，b12 时等号成立，所以 a+b16（2）因为 a0，b0，则 a+12，b+12，a+b2，当且仅当 ab1 时等号成立，所以 a+1+b+1+a+b2+2+2，所以 a+b+1 +1【变式 2-3】（2022黄州区校级模拟）设 a，b，c0，且 ab+bc+ca1，求证：（1）a+b+c 3；（2）7+7+7 3（+）【解题思路】（1）运用分析法证明要证 a+b+c 3，结合条件，两边平方，可得 a2+b2+c21，运用重要不等式，累加即可得证（2）问题转化为证明 a+b+c 1，根据基本不等式的性质证明即可【解答过程】证明：

22、（1）运用分析法证明 要证 a+b+c 3， 学科网（北京）股份有限公司 13 即证（a+b+c）23，由 a，b，c 均为正实数，且 ab+bc+ca1，即有 a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）3，即为 a2+b2+c21，由 a2+b22ab，b2+c22bc，a2+c22ac，相加可得 a2+b2+c2zb+bc+ca1，则成立 综上可得，原不等式成立（2）7+7+7=+，而由（1）a+b+c 3，$55$3（+），故只需&$+，即 a+b+c 1，即：a+b+c ab+bc+ac，而 a=+2，b+2，c+2，a+b+c ab+bc+ac1 成立，（当且仅当 abc=33时）【题

23、型【题型3 利用基本不等式求最值（无条件）利用基本不等式求最值（无条件）】【方法点拨】【方法点拨】(1)若是求和式的最小值，通常化若是求和式的最小值，通常化(或利用或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用或利用)和为定值，其和为定值，其解答解答 技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同【例 3】（2022 春漳州期末）已知 a1，则+41的最小值是（）A5 B6 C32 D22【解题思路】由已知结合基本不等式即可直接求解【解答过程

24、】解：因为 a1，则+41=a1+41+1 27(1)41+15， 学科网（北京）股份有限公司 14 当且仅当 a1=41，即 a3 时取等号 故选：A【变式 3-1】（2022 春甘孜州期末）=+4(1)的最小值为（）A2 B3 C4 D5【解题思路】利用基本不等式的性质可求得答案【解答过程】解：由已知函数 =+4，x1，6:0，+4 27 4=4，当且仅当=4，即 x2 时等号成立，当 x2 时，函数=+4有最小值是 4，故选：C【变式 3-2】（2022怀仁市校级二模）函数=3+431(13)的最小值为（）A8 B7 C6 D5【解题思路】由 x13可得 3x10，所以 y3x+431=

25、3x1+431+1，进一步即可利用基本不等式进行求解【解答过程】解：由 x13，得 3x10，所以 y3x+431=3x1+431+127(3 1)(431)+15，当且仅当 3x1=431，即 x1 时等号成立，所以 y3x+431的最小值为 5 故选：D【变式 3-3】（2022香坊区校级模拟）若 a0，b0，求$+&+的最小值为（）A2 B2 C22 D4【解题思路】把$+&+变形，再由基本不等式求其最小值【解答过程】解：a0，b0， 学科网（北京）股份有限公司 15$+&+=$+&+$%+$%472122!=4714!=4712=22 当且仅当$=&=$%时等号成立，$+&+的最小值为

26、 22 故选：C【题型【题型4 利用基本不等式求最值（有条件）利用基本不等式求最值（有条件）】【例 4】（2022 秋凉州区校级月考）已知 a，b 为正实数且 a+b2，则$+%的最小值为（）A3%B2+1 C)%D3【解题思路】由已知可知$+%=$+$+1，利用基本不等式即可求解【解答过程】解：因为 a，b 为正实数且 a+b2，所以$+%=$+$5=$+$+127+12+13，当且仅当$=$，即 ab 时等号成立，所以$+%的最小值为 3 故选：D【变式 4-1】（2022 秋广东月考）若正实数 y 满足 2x+y9，则14的最大值是（）A*56%.B6+429 C6+42 D6 42【解

27、题思路】推导出14=19（&:+6;）（2x+y）=19（6+8+），利用基本不等式能求出14的最大值【解答过程】解：正实数 y 满足 2x+y9，14=19（&:+6;）（2x+y）=19（6+8+）19（6+278）=6+429，当且仅当(:;=;:时，取等号，则14的最大值是6+429 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 16【变式 4-2】（2022 秋浙江月考）已知正实数 x，y 满足&:+6;+4=+，则 x+y 的最小值为（）A13 2 B2 C2+13 D2+14【解题思路】由题意可得&:+6;=+4，再将两边同时乘以 x+y，然后利用均值不等式，可得关于整体 x+y 的一元

28、二次不等式，最后解不等式即可得解【解答过程】解：正实数 x，y 满足&:+6;+4=+，&:+6;=+4，(1+4)(+)=(+)!4(+)，(+)!4(+)=5+4 5+24=9，当且仅当;:=6:;，即 y2x，又&:+6;+4=+，当且仅当 y2x=4+2133时，取得等号，（x+y）24（x+y）9，解得 x+y2+13，x+y 的最小值为2+13 故选：C【变式 4-3】（2022 春内江期末）已知正实数 a、b 满足 a+b4，则(+1)(+1)的最小值为（）A22+2 B4 C%)6 D22+1【解题思路】由题可知(+1)(+1)=ab+1+2，再利用基本不等式求解即可【解答过程

29、】解：正实数 a、b 满足 a+b4，(+1)(+1)=ab+1+227 1+24 当且仅当 ab=1，即 ab1，a+b4 时取等号，(+1)(+1)的最小值为 4 故选：B【题型【题型5 利用基本不等式求参数】利用基本不等式求参数】【例 5】（2022 春爱民区校级期末）已知 x0，y0 且&:+6;=1，若 x+ym2+8m 恒成立，则实数 m 的取 学科网（北京）股份有限公司 17 值范围是（）A9，+）B（，3 C1+）D（9，1）【解题思路】由基本不等式“1”的用法得 x+y9，进而解不等式 m2+8m9 即可得答案【解答过程】解：x0，y0，且且&:+6;=1，x+y（x+y）（

30、&:+6;）5+4274+59，当且仅当;:=6:;，即 x3，y6 时取等号（x+y）min9，由 x+ym2+8m 恒成立，即 m2+8m（x+y）min9，解得：9m1，即 m（9，1）故选：D【变式 5-1】（2021 秋怀仁市校级期末）已知 x0、y0，且%:+&;=1，若 2x+ym28m 有解，则实数 m的取值范围为（）A（，1）（9，+）B（9，1）C9，1 D（1，9）【解题思路】由已知先利用基本不等式求出 2x+y 的最小值，然后结合不等式的存在性问题与最值关系进行转化，解二次不等式可求【解答过程】解：因为 x0、y0，且%:+&;=1，2x+y（2x+y）（%:+&;）5

31、+2+2 5+2722=9，当且仅当%:;=%;:且%:+&;=1，即 xy3 时取等号，此时 2x+y 取得最小值 9，若 2x+ym28m 有解，则 9m28m，解得 m9 或 m1，即实数 m 的取值范围为（，1）（9，+）故选：A【变式 5-2】（2022 春内江期末）已知正实数 a、b 满足&$+&=，若(+1)(+1)的最小值为 4，则实数 m 的取值范围是（）A2 B2，+）C（0，2 D（0，+）【解题思路】由题意可得(+1)(+1)=ab+1+24，将&$+&=化为 a+1=m，再利用基本不 学科网（北京）股份有限公司 18 等式可求得 m 的范围【解答过程】解：因为 a，b

32、 为正实数，所以(+1)(+1)=ab+1+22+24，当 ab=1，即 ab1 时等号成立，此时 b=1，又因为&$+&=，所以 a+1=m，所以由基本不等式可知 a+12（a1 时等号成立），所以 m2 故选：B【变式 5-3】（2021 秋武清区校级月考）设 x0，y0，设%:+3;=1，若 3x+2ym2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是（）Ax|x6 或 x4 Bx|x4 或 x6 Cx|6x4 Dx|4x6【解题思路】由 x0，y0，%:+3;=1，得 3x+2y（%:+3;）（3x+2y），以此变形可解决此题【解答过程】解：由 x0，y0，%:+3;=1，得 3x+2y（%:

33、+3;）（3x+2y）=4+9+122749+1224，当且仅当6;:=.:;且%:+3;=1，即 x4 且 y6 时等号成立 又因为 3x+2ym2+2m 恒成立，m2+2m24，解得 m（6，4）故选：C【题型【题型6 利用基本不等式解决实际问题利用基本不等式解决实际问题】【方法点拨】【方法点拨】解决实际问题时，先弄清题意解决实际问题时，先弄清题意(审题审题)，建立数学模型，建立数学模型(列式列式)，再用所掌握的数学知识解决问题，再用所掌握的数学知识解决问题(求解求解)，最后，最后 要回应题意下结论要回应题意下结论(作答作答)【例 6】（2021 秋阳春市校级月考）用一段长为 32m 的篱

34、笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【解题思路】根据已知条件，求出 x+y16，再结合基本不等式的公式，即可求解【解答过程】解：设矩形菜园的长为 x（m），宽为 y（m），则 2（x+y）32，x+y16， 学科网（北京）股份有限公司 19 矩形菜园的面积为 xy（m2），由+2=162=8，xy64，当且仅当 xy，即 xy8 时，等号成立，故这个矩形的长、宽都为 8（m）时，菜园的面积最大，最大面积为 64（m2）【变式 6-1】（2021 秋凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园 设菜园的长为 x，宽为 y

35、（1）若菜园面积为 72，则 x，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为 30，求&:+%;的最小值 【解题思路】（1）根据积定，应用基本不等式求和的最小值，注意等号成立条件；（2）应用基本不等式“1”的代换求&:+%;的最小值，注意等号成立条件【解答过程】解：（1）由题意知：xy72，篱笆总长为 x+2y 又+2 22=24，当且仅当 x2y，即 x12，y6 时等号成立 当 x12，y6 时，可使所用篱笆总长最小；（2）由题意得：x+2y30，又(1+2)(+2)=5+2+2 5+2722=9，&:+%;3&A，当且仅当 xy，即 x10，y10 时等号成立&:+%

36、;的最小值是3&A【变式 6-2】（2021 秋黄浦区校级期中）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为 60000cm2，四周空白的宽度为 10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为 5cm（1）试用栏目高 acm 与宽 bcm（a0，b0）表示整个矩形广告面积 Scm2；（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值 学科网（北京）股份有限公司 20 【解题思路】（1）根据矩形栏目面积确定高与宽的关系，从而可得整个矩形广告面积；（2）利用基本不等式，即可求得最值【解答过程】解：（1）设矩形栏目的高为 acm，宽为 b

37、cm，则 ab20000，b=20000 广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中 a0，b0），广告的面积 S（a+20）（3b+30）30（a+2b）+60600；（2）S30（a+2b）+6060030（a+40000）+606003027 40000=12000+6060072600，当且仅当 a=40000，即 a200 时，取等号，此时 b100 故当广告矩形栏目的高为 200cm，宽为 100cm 时，可使广告的面积最小【变式 6-3】（2021 秋湖州期中）如图设矩形 ABCD（ABAD）的周长为 40cm，把ABC 沿 AC 向ADC翻折成为AEC，AE 交

38、DC 于点 P设 ABxcm（）若13，求 x 的取值范围；（）设ADP 面积为 S，求 S 的最大值及相应的 x 的值 【解题思路】（）由折叠性质可知ADPCEP，进而可得 APPC（xa），再利用勾股定理得到（20 x）2+a2（xa）2，化简整理求出 a，根据 ABAD 求出 x 的范围即可；（）=300 10(+200)，利用基本不等式即可求出 S 的最大值以及相应的 x 的值【解答过程】解：（）由矩形周长为 40cm，可知 AD（20 x）cm，设 DPacm，则 PC（xa）cm，ADPCEP，APPC（xa）cm 在 RtADP 中，AD2+DP2AP2，即（20 x）2+a2（xa）2， 学科网（北京）股份有限公司 21 得=20 200，由题意，20 20013，即 x260 x+6000，解得30 10330+103，由 ABAD 得，10 x20，30 10320，即 x 的取值范围是（30 103，20）（）=12 =12(20 )(20 200)，10 x20 化简得=300 10(+200)x0，+200 202，当且仅当=200，即=102时，(+200)()*=202，(#+=300 学科网（北京）股份有限公司 22