2015年高考数学（理）真题分项解析：专题10+立体几何.pdf

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1、专 题 十 立 体 几 何 1.12015高 考 安 徽，理 5】已 知 加，是 两 条 不 同 直 线，a,万 是 两 个 不 同 平 面，则 下 列 命 题 正 确 的 是()(A)若 a,2 垂 直 于 同 一 平 面，则 a 与 月 平 行(B)若 加，平 行 于 同 一 平 面，则 加 与 平 行(C)若 a,，不 平 行，则 在。内 不 存 在 与 平 行 的 直 线(D)若“7,不 平 行，则”2与 不 可 能 垂 直 于 同 一 平 面【答 案】D【解 析】由 A,若 a,尸 垂 直 于 同 一 平 面，则 a,6 可 以 相 交、平 行，故 A 不 正 确；由 B,若?，平

2、行 于 同 一 平 面，则 加，可 以 平 行、重 合、相 交、异 面，故 8 不 正 确：由 C,若 a,尸 不 平 行，但 a 平 面 内 会 存 在 平 行 于 月 的 直 线，如 a 平 面 中 平 行 于 a,万 交 线 的 直 线；由。项，其 逆 否 命 题 为“若 加 与”垂 直 于 同 一 平 面，则?，平 行”是 真 命 题，故。项 正 确.所 以 选 D.【考 点 定 位】1.直 线、平 面 的 垂 直、平 行 判 定 定 理 以 及 性 质 定 理 的 应 用.【名 师 点 睛】空 间 直 线、平 面 平 行 或 垂 直 等 位 置 关 系 命 题 的 真 假 判 断，常

3、 采 用 画 图(尤 其 是 画 长 方 体)、现 实 实 物 判 断 法(如 墙 角、桌 面 等)、排 除 筛 选 法 等；另 外，若 原 命 题 不 太 容 易 判 断 真 假，可 以 考 虑 它 的 逆 否 命 题，判 断 它 的 逆 否 命 题 真 假，原 命 题 与 逆 否 命 题 等 价.2.12015高 考 北 京，理 4】设 a,4 是 两 个 不 同 的 平 面，z是 直 线 且，”u a.机 6是“a 夕”的()A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】B【解 析】

4、因 为 a,是 两 个 不 同 的 平 面，”是 直 线 且 mu a.若“机”，则 平 面 a、，可 能 相 交 也 可 能 平 行，不 能 推 出。力，反 过 来 若 a,m u a,则 有?,则“?/”是“a 6”的 必 要 而 不 充 分 条 件.考 点 定 位：本 题 考 点 为 空 间 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系，重 点 考 察 线 面、面 面 平 行 问 题 和 充 要 条件 的 有 关 知 识.【名 师 点 睛】本 题 考 查 空 间 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系 及 充 要 条 件，本 题 属 于 基 础 题，本 题 以 空 间 线、面 位 置 关 系

5、为 载 体，考 查 充 要 条 件.考 查 学 生 对 空 间 线、面 的 位 置 关 系 及 空 间 面、面 的 位 置 关 系 的 理 解 及 空 间 想 象 能 力，重 点 是 线 面 平 行 和 面 面 平 行 的 有 关 判 定 和 性 质.3.12015高 考 新 课 标 1,理 6】九 章 算 术 是 我 国 古 代 内 容 极 为 丰 富 的 数 学 名 著，书 中 有 如 下 问 题：“今 有 委 米 依 垣 内 角，下 周 八 尺，高 五 尺。问：积 及 为 米 几 何？”其 意 思 为：”在 屋 内 墙 角 处 堆 放 米（如 图，米 堆 为 一 个 圆 锥 的 四 分

6、之 一），米 堆 为 一 个 圆 锥 的 四 分 之 一），米 堆 底 部 的 弧 长 为 8 尺，米 堆 的 高 为 5 尺，问 米 堆 的 体 积 和 堆 放 的 米 各 为 多 少？”已 知 1 斛 米 的 体 积 约 为 1.62立 方 尺，圆 周 率 约 为 3,估 算 出 堆 放 斛 的 米 约 有（）（A）14 斛（B）22 斛（036 斛 0）66 斛【答 案】B【解 析】设 扇 锥 底 面 半 径 为 r,贝 Ij1x2x3/=8=尸=竺，所 以 米 堆 的 体 积 为 二 4 3 4 3 3 9故 堆 放 的 米 约 为 3吧 0+1.6222,故 选 B.9【考 点 定

7、位】圆 锥 的 性 质 与 圆 锥 的 体 积 公 式【名 师 点 睛】本 题 以 九 章 算 术 中 的 问 题 为 材 料，试 题 背 景 新 颖，解 答 本 题 的 关 键 应 想 到 米 堆 是 L 圆 锥，底 面 周 长 是 两 个 底 面 半 径 与 工 圆 的 和，根 据 题 中 的 条 件 列 出 关 于 底 面 半 径 4 4的 方 程，解 出 底 面 半 径，是 基 础 题.4.12015高 考 陕 西，理 5】一 个 儿 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 几 何 体 的 表 面 积 为（）A.B.4）C.27+4【答 案】D【解 析】由 三 视 图 知 I：

8、该 几 何 体 是 半 个 圆 柱，其 中 底 面 圆 的 半 径 为 1,母 线 长 为 2,所 以 该 几 何 体 的 表 面 积 是 g x 2 万 xlx(l+2)+2x2=37+4,故 选 D.【考 点 定 位】1、三 视 图；2、空 间 几 何 体 的 表 面 积.【名 师 点 晴】本 题 主 要 考 查 的 是 三 视 图 和 空 间 几 何 体 的 表 面 积，属 于 容 易 题.解 题 时 要 看 清 楚 是 求 表 面 积 还 是 求 体 积,否 则 很 容 易 出 现 错 误.本 题 先 根 据 三 视 图 判 断 几 何 体 的 结 构 特 征,再 计 算 出 几 何

9、体 各 个 面 的 面 积 即 可.5.12015高 考 新 课 标 1,理 11】圆 柱 被 一 个 平 面 截 去 一 部 分 后 与 半 球(半 径 为 力 组 成 一 个 几 何 体，该 几 何 体 三 视 图 中 的 正 视 图 和 俯 视 图 如 图 所 示.若 该 几 何 体 的 表 面 积 为 16+20%，则 尸()(A)1(B)2(C)4(D)8【答 案】B【解 析】由 正 视 图 和 俯 视 图 知，该 几 何 体 是 半 球 与 半 个 圆 柱 的 组 合 体，圆 柱 的 半 径 与 球 的 半 径 都 为 r,圆 柱 的 高 为 2r,其 表 面 积 为-x 4乃 尸

10、+rx2r+%产+2rx2/=5乃 r+4/=16+22万，解 得 尸 2,故 选 B.【考 点 定 位】简 单 几 何 体 的 三 视 图；球 的 表 面 积 公 式、圆 柱 的 测 面 积 公 式【名 师 点 睛】本 题 考 查 简 单 组 合 体 的 三 视 图 的 识 别，是 常 规 提，对 简 单 组 合 体 三 三 视 图 问 题,先 看 俯 视 图 确 定 底 面 的 形 状，根 据 正 视 图 和 侧 视 图，确 定 组 合 体 的 形 状，再 根 据“长 对 正，宽 相 等，高 平 齐”的 法 则 组 合 体 中 的 各 个 量.6.12015高 考 重 庆，理 5】某 几

11、何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 几 何 体 的 体 积 为I*-1 2-j正 视 图 左 视 图 俯 视 图 题（5 图 1A、-F 713C-F 27r3【答 案】A【解 析】这 是 一 个 三 2B、F 7132 cD-F 27r3棱 锥 与 半 个 圆 柱 的 组 合 体 V=-x2x2+x(xxlx2)xl=zr+-,选 A.2 3 2 3【考 点 定 位】组 合 体 的 体 积.【名 师 点 晴】本 题 涉 及 到 三 视 图 的 认 知，要 求 学 生 能 由 三 视 图 画 出 几 何 体 的 直 观 图，从 而 分 析 出 它 是 哪 些 基 本 几 何 体 的

12、 组 合，应 用 相 应 的 体 积 公 式 求 出 几 何 体 的 体 积，关 键 是 画 出 直 观 图，本 题 考 查 了 学 生 的 空 间 想 象 能 力 和 运 算 求 解 能 力.7.12015高 考 北 京，理 5】某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 三 棱 锥 的 表 面 积 是（）俯 视 图 A.2+V5【答 案】CB.4+6 C.2+26 D.5p【解 析】根 据 三 视 图 恢 复 成 三 棱 锥 P-ABC，其 中 _ 平 面 ABC,取 皿 棱 的 中 点 D,连 接 CD、PD,有 依 _ 斯，一 胸，底 面 ABC为 等 腰 三 角 形 底

13、边 AB上 的 高 CD为 2,AD=BD=1,PC=1,P D=3 S、.”=x 2 x 2=S、_,1r=x 2 x=赤,AC=BCj 2 2=6 Sa=1 注=1 x x 1=逅，三 棱 锥 表 面 积 S表=2 7 5+2.考 点 定 位：本 题 考 点 为 利 用 三 视 图 还 原 几 何 体 及 求 三 棱 锥 的 表 面 积，考 查 空 间 线 线、线 面 的 位 置 关 系 及 有 关 线 段 长 度 及 三 角 形 面 积 数 据 的 计 算.【名 师 点 睛】本 题 考 查 三 视 图 及 多 面 体 的 表 面 积，本 题 属 于 基 础 题，正 确 利 用 三 视 图

14、 还 原 为 原 几 何 体，特 别 是 有 关 数 据 的 还 原，另 外 要 利 用 线 面 垂 直 的 性 质，判 断 三 角 形 的 形 状，特 别 是 侧 面 用 8 的 形 状 为 等 腰 三 角 形，正 确 求 出 三 个 侧 面 的 面 积 和 底 面 的 面 积.8.12015高 考 安 徽，理 7】一 个 四 面 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 四 面 体 的 表 面 积 是（）(A)1+V3(B)2+V3(C)1+2 0(D)272侧（左）视 图（7）题 图【答 案】B【解 析】由 题 意，该 四 面 体 的 直 观 图 如 下，AABD,ABC。是 等 腰

15、直 角 三 角 形，M B G M C D是 等 边 三 角 形，则 S&BCD=SM B D=白 叵 X C=1，S“BC=S故 CD=；x 员 乂 近 s t n 6 0=Y 所 以 四 h面 体 的 表 面 积 S=%8+SM+S+SM C L 2*I+2 X E=2+G 故 选 B.【考 点 定 位】1.空 间 几 何 体 的 三 视 图 与 直 观 图；2.空 间 几 何 体 表 面 积 的 求 法.【名 师 点 睛】三 视 图 是 高 考 中 的 热 门 考 点，解 题 的 关 键 是 熟 悉 三 视 图 的 排 放 规 律：长 对 正，高 平 齐，宽 相 等.同 时 熟 悉 常

16、见 几 何 体 的 三 视 图，这 对 于 解 答 这 类 问 题 非 常 有 帮 助，本 题 还 应 注 意 常 见 几 何 体 的 体 积 和 表 面 积 公 式.9.【2015高 考 新 课 标 2,理 9】已 知 A,B是 球 O 的 球 面 上 两 点，NAOB=90,C为 该 球 面 上 的 动 点，若 三 棱 锥 O-ABC体 积 的 最 大 值 为 36,则 球 O 的 表 面 积 为（）A.36兀 B.64兀 C.144兀 D.256兀【答 案】Ct解 析】如 图 所 示，当 点 C 位 于 垂 直 于 面 的 直 径 端 点 时，三 棱 锥。-T 5 c 的 体 积 最 大

17、，设 球。的 半 1 1,1.径 为 出，此 时 二 心,=7二=36,故 E=6,则 球。的 表 面 积 为 J 2 6S=4,M：=144/，故 选 C.【考 点 定 位】外 接 球 表 面 积 和 椎 体 的 体 积.c【名 师 点 睛】本 题 以 球 为 背 景 考 查 空 间 几 何 体 的 体 积 和 表 面 积 计 算，要 明 确 球 的 截 面 性 质，正 确 理 解 四 面 体 体 积 最 大 时 的 情 形，属 于 中 档 题.TT10.2015 高 考 山 东，理 7】在 梯 形 A B C D 中,Z A B C=,2ADI IBC,BC=2 A D=2AB=2.将 梯

18、 形 A 8 C O 绕 A D 所 在 的 直 线 旋 转 一 周 而 形 成 的 曲 面 所 围 成 的 几 何 体 的 体 积 为（）（A）27r 错 误！未 找 到 引 用 源。（B）4空 7r错 误！未 找 到 引 用 源。3 354（C）错 误!未 找 到 引 用 源。（D）2乃 3【答 案】C【解 析】直 角 梯 形 ABCD绕 AD所 在 的 直 线 旋 转 一 周 而 形 成 的 曲 面 所 围 成 的 几 何 体 是 一 个 底 面 半 径 为 1,母 线 长 为 2 的 圆 柱 挖 去 一 个 底 面 半 径 同 样 是 1、高 为 1 的 圆 锥 后 得 到 的 组 合

19、 体，所 以 该 组 合 体 的 体 积 为：=%柱 一/谁=/rxl2x2；X T T X F X 1=|）故 选 C.【考 点 定 位】1、空 间 几 何 体 的 结 构 特 征；2、空 间 几 何 体 的 体 积.【名 师 点 睛】本 题 考 查 了 空 间 几 何 体 的 结 构 特 征 及 空 间 几 何 体 的 体 积 的 计 算，重 点 考 查 了 圆 柱、圆 锥 的 结 构 特 征 和 体 积 的 计 算，体 现 了 对 学 生 空 间 想 象 能 力 以 及 基 本 运 算 能 力 的 考 查，此 题 属 中 档 题.II.12015高 考 浙 江，理 8】如 图，已 知 A

20、 A B C,。是 的 中 点，沿 直 线 C O 将 A A C。折 成 A A C D,所 成 二 面 角 A C D-8 的 平 面 角 为 a,则（）A.ZADB a C.Z A C B a D.ZACB aD CB【答 案】B.【解 析】试 题 分 析：设=设 A8=2,则 由 题 意 AO=8 0=1,在 空 间 图 形 中，设 A 8=f,在 AACB中,cos ZADB=AD2+DB-AB22ADxDB12+12-?2-t22x1x1-2在 空 间 图 形 中，过 4 作 AN，。，过 8 作 8 M L O C,垂 足 分 别 为 N,M,过 N 作 连 结 AP,N P 1

21、O C,则 ZANP就 是 二 面 角 A-C D-B的 平 面 角，；.NANP=a,在 放 A/iN。中，DN=ADcos/AOC=cos。，AN=AQsinNAOC=sin。，同 理，BM=PN=sin。,DM=cos。，故 8P=MN=2cos。，显 然 B P,面 A N P,故 B PLA P,在 RtM!BP 中，AP2=4 夕 一 3尸=产(2 cos 夕 产=r 4 cos2 6,在 AANP 中 z n A N+N P-A J s i h0+s f 4 4 i&c o&=c(a6 A N P=-=-2ANx NP 2 s i fix sd n2+2 cos2 9-r2sin

22、*cos2 6sin*；-cos 乙 DB+sin*cos 0sin*6 1；0 CS-,0,coscc cosZ.ADB（当 8=，时 取 等 号）,sin*0 sin*0 2a,Z.ADB e0,而 j=cosx在 0,刈 上 为 递 减 函 数，a KZJOB,故 选 B.【考 点 定 位】立 体 几 何 中 的 动 态 问 题【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 立 体 几 何 中 的 动 态 问 题，属 于 较 难 题，由 于 A 4 B C的 形 状 不 确 定，N A C B与 a 的 大 小 关 系 是 不 确 定 的，再 根 据 二 面 角 的 定 义 即 可 知 N A

23、 O B N a,当 且 仅 当 AC=8 C时，等 号 成 立 以 立 体 几 何 为 背 景 的 创 新 题 是 浙 江 高 考 数 学 试 卷 的 热 点 问 题，12年，13年 选 择 题 压 轴 题 均 考 查 了 立 体 几 何 背 景 的 创 新 题，解 决 此 类 问 题 需 在 平 时 注 重 空 间 想 象 能 力 的 培 养，加 强 此 类 问 题 的 训 练.【2015高 考 湖 南，理 10】某 工 件 的 三 视 图 如 图 3 所 示，现 将 该 工 件 通 过 切 割，加 工 成 一 个 体 积 尽 可 能 大 的 长 方 体 新 工 件，并 使 新 工 件 的

24、 一 个 面 落 在 原 工 件 的 一 个 面 内，则 原 工 件 材 料 新 工 件 的 体 积 的 利 用 率 为(材 料 利 用 率=I,嬲 1-)()原 工 件 的 体 积 8A.9万 16B.9万 c4（V2-1）3 0 12（行-1尸 71 71俯 视 图【答 案】A.【解 析】试 题 分 析：分 析 题 意 可 知，问 题 等 价 于 圆 锥 的 内 接 长 方 体 的 体 积 的 最 大 值，设 长 方 体 体 的 长,宽，高 分 别 为 x,y,h,长 方 体 上 底 面 截 圆 锥 的 截 面 半 径 为 a,则 无 2+V=(2。)2=4/，如 下 图 所 示，圆 锥

25、的 轴 截 面 如 图 所 示，则 可 知 也 n=2-2a,而 长 方 体 的 体 积 1 22 2丫=孙 力 4；右=2a%=2/(2 2a)2(4+2-24)3二,当 且 仅 当 工 二 丁，a=2 2ana=Z 时，等 号 成 立，此 时 3 27 316利 用 率 为 2=,故 选 A.k x/x2 9n【考 点 定 位】1.圆 锥 的 内 接 长 方 体；2.基 本 不 等 式 求 最 值.【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 立 体 几 何 中 的 最 值 问 题，与 实 际 应 用 相 结 合，立 意 新 颖，属 于 较 难 题，需 要 考 生 从 实 际 应 用 问 题

26、中 提 取 出 相 应 的 几 何 元 素，再 利 用 基 本 不 等 式 求 解，解 决 此 类 问 题 的 两 大 核 心 思 路：一是 化 立 体 问 题 为 平 面 问 题，结 合 平 面 几 何 的 相 关 知 识 求 解；二 是 建 立 目 标 函 数 的 数 学 思 想,选 择 合 理 的 变 量，或 利 用 导 数 或 利 用 基 本 不 等 式，求 其 最 值.12.【2015高 考 浙 江，理 2】某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示（单 位：cm）,则 该 几 何 体 的 体 积 是()A.8cm3俯 视 图 40,D.cm3【答 案】C.【解 析】1 4 0试

27、 题 分 析：由 题 意 得，该 几 何 体 为 一 立 方 体 与 四 棱 锥 的 组 合，如 下 图 所 示，.体 积 尸=F+x2：x2=二,3 3故 选 C.【考 点 定 位】1.三 视 图；2.空 间 几 何 体 的 体 积 计 算.【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 了 根 据 三 视 图 判 断 空 间 几 何 体 的 形 状，再 计 算 其 体 积，属 于 容 易 题，在 解 题 过 程 中，根 据 三 视 图 可 以 得 到 该 几 何 体 是 一 个 正 方 体 与 四 棱 锥 的 组 合，将 组 合 体 的 三 视 图，正 方 体 与 锥 体 的 体 积 计 算 结

28、 合 在 一 起，培 养 学 生 的 空 间 想 象 能 力、逻 辑 推 理 能 力 和 计 算 能 力，会 利 用 所 学 公 式 进 行 计 算，体 现 了 知 识 点 的 交 汇.13.12015高 考 福 建，理 7 若/，团 是 两 条 不 同 的 直 线，m 垂 直 于 平 面。，则“/上 加”是“/a 的（）A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】B【解 析】若 因 为?垂 直 于 平 面。，则/a 或/u a；若/a,又 加 垂 直 于 平 面 a,则 所 以“/_!

29、加”是“/a 的 必 要 不 充 分 条 件，故 选 B.【考 点 定 位】空 间 直 线 和 平 面、直 线 和 直 线 的 位 置 关 系.【名 师 点 睛】本 题 以 充 分 条 件 和 必 要 条 件 为 载 体 考 查 空 间 直 线、平 面 的 位 置 关 系，要 理 解 线 线 垂 直 和 线 面 垂 直 的 相 互 转 化 以 及 线 线 平 行 和 线 面 平 行 的 转 化 还 有 平 行 和 垂 直 之 间 的 内 部 联 系，长 方 体 是 直 观 认 识 和 描 述 空 间 点、线、面 位 置 关 系 很 好 的 载 体，所 以 我 们 可 以 将 这 些 问 题 还

30、 原 到 长 方 体 中 研 究.14.【2015高 考 新 课 标 2,理 6】一 个 正 方 体 被 一 个 平 面 截 去 一 部 分 后，剩 余 部 分 的 三 视 图 如 右 图，则 截 去 部 分 体 积 与 剩 余 部 分 体 积 的 比 值 为（）【答 案】D【解 析】由 三 视 图 得，在 正 方 体 旦 G A 中，截 去 四 面 体 A 4 4 3，如 图 所 示，.设 正 方 体 棱 长 为 a,则 匕 0 n=1 x L a 3=_ L a 3,故 剩 余 几 何 体 体 积 为/一,自 3 2 6 6 6所 以 截 去 部 分 体 积 与 剩 余 部 分 体 积 的

31、 比 值 为,，故 选 D.5【考 点 定 位】三 视 图.【名 师 点 睛】本 题 以 正 方 体 为 背 景 考 查 三 视 图、几 何 体 体 积 的 运 算，要 求 有 一 定 的 空 间 想 象 能 力，关 键 是 能 从 三 视 图 确 定 截 面，进 而 求 体 积 比，属 于 中 档 题.【2015高 考 上 海，理 6】若 圆 锥 的 侧 面 积 与 过 轴 的 截 面 面 积 之 比 为 2，则 其 母 线 与 轴 的 夹 角 的 大 小 为.、兀【答 案】-31 7 T【解 析】由 题 意 得：乃：(5/?-2尸)=2乃=/=2/7=母 线 与 轴 的 夹 角 为 5【考

32、 点 定 位】圆 锥 轴 截 面【名 师 点 睛】掌 握 对 应 几 何 体 的 侧 面 积,轴 截 面 面 积 计 算 方 法.如 圆 柱 的 侧 面 积 S=2加 7,圆 柱 的 表 面 积 S=2初(7+/),圆 锥 的 侧 面 积 S=m7,圆 锥 的 表 面 积 S=m(r+/),球 体 的 表 面 积 S=4成 2,圆 锥 轴 截 面 为 等 腰 三 角 形.2015高 考 上 海，理 4】若 正 三 棱 柱 的 所 有 棱 长 均 为。，且 其 体 积 为 16百，则。=.【答 案】4h【解 析】ci a=6A/3=a3=64=d=44【考 点 定 位】正 三 棱 柱 的 体 积

33、【名 师 点 睛】简 单 几 何 体 的 表 面 积 和 体 积 计 算 是 高 考 的 一 个 常 见 考 点，解 决 这 类 问 题，首 先 要 熟 练 掌 握 各 类 简 单 几 何 体 的 表 面 积 和 体 积 计 算 公 式，其 次 要 掌 握 平 几 面 积 计 算 方 法 柱 的 体 积 为 V=S/z,区 别 锥 的 体 积 丫=彳 5人；熟 记 正 三 角 形 面 积 为 四 正 六 边 形 的 面 积 为 3 4c V3 26 x ci 415.12015高 考 四 川，理 14】如 图，四 边 形 A B C D 和 A D P Q 均 为 正 方 形，它 们 所 在

34、的 平 面 互 相 垂 直，动 点 M 在 线 段 P Q 上，E、F 分 别 为 A B、B C 的 中 点。设 异 面 直 线 E M 与 A F 所 成 的 角 为 则 COS。的 最 大 值 为 一.AB【答 案】I【解 析】1 1 1建 立 坐 标 系 如 图 所 示.设=1,贝=（L 个 0）：（4：0：0）.设”（0 J IX。4 J 1），则 EI=（一 二 11）,由 于 异 面 直 线 所 成 角 的 范 围 为（0：1,所 以+迎-2 一 5 2(1二 J)r 2g-3-)126/1+5 击“+5=1-44-+5,令 8丁+1=1 金 4 9,则 当，=1时 取 等 号.

35、所 以 cosO=2(1 5)=_ LX-=.=(当 y=0 时，取 得 最 大 值.石 1 4 y 2+5 6 6 5【考 点 定 位】1、空 间 两 直 线 所 成 的 角；2、不 等 式.【名 师 点 睛】空 间 的 角 与 距 离 的 问 题，只 要 便 于 建 立 坐 标 系 均 可 建 立 坐 标 系，然 后 利 用 公 式 求 解.解 本 题 要 注 意，空 间 两 直 线 所 成 的 角 是 不 超 过 9 0度 的.几 何 问 题 还 可 结 合 图 形 分 析 何 时 取 得 最 大 值.当 点 M 在 P 处 时，E M与 A F所 成 角 为 直 角，此 时 余 弦 值

36、 为 0（最 小），当 M 点 向 左 移 动 时，E M与 A F所 成 角 逐 渐 变 小，点 M 到 达 Q 点 时，角 最 小，从 而 余 弦 值 最 大.1 6.【2015高 考 天 津，理 10】一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示（单 位：m）,则 该 几 何 体 的 体积 为 俯 视 图 Q【答 案】-7T3【解 析】由 三 视 图 可 知，该 几 何 体 是 中 间 为 一 个 底 面 半 径 为 1,高 为 2 的 圆 柱，两 端 是 底 面 1 Q半 径 为 1,高 为 1的 圆 锥，所 以 该 几 何 体 的 体 积 V=12x x2+2x X12x x

37、l=?7.3 3【考 点 定 位】三 视 图 与 旋 转 体 体 积 公 式.【名 师 点 睛】主 要 考 查 三 视 图 与 旋 转 体 体 积 公 式 及 空 间 想 象 能 力、运 算 能 力.识 图 是 数 学 的 基 本 功，空 间 想 象 能 力 是 数 学 与 实 际 生 活 必 备 的 能 力，本 题 将 这 些 能 力 结 合 在 一 起，体 现 了 数 学 的 实 用 价 值，同 时 也 考 查 了 学 生 对 旋 转 体 体 积 公 式 的 掌 握 与 应 用、计 算 能 力.17.1 2015 高 考 浙 江，理 1 3】如 图，三 棱 锥 A-B C D 中 AB=A

38、C=BD=C=3,AO=BC=2,点 分 别 是 的 中 点，则 异 面 直 线 AN,CA7所 成 的 角 的 余 弦 值 是【解 析】试 题 分 析：如 下 图，连 结。.V,取。中 点 尸，连 结 a u,P C,则 可 知 二 P J/C即 为 异 面 直 姓 A X,C.V所 成 角(或 其 补 角)易 得 PM=i j.V=0.PC=7P.V：+C.v:=V i+i=-x/3,d A C：-A M：=2 0,S+2-3 7.cosZPJZC=，；！。即 异 面 直 线 XV,G V 所 成 角 的 余 弦 值 为 2 x 2 7 2 x 7 2 S S【考 点 定 位】异 面 直

39、线 的 夹 角.【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 了 异 面 直 线 夹 角 的 求 解，属 于 中 档 题，分 析 条 件 中 出 现 的 中 点，可 以 考 虑 利 用 三 角 形 的 中 位 线 性 质 利 用 平 移 产 生 异 面 直 线 的 夹 角，再 利 用 余 弦 定 理 的 变 式 即 可 求 解，在 复 习 时 应 了 解 两 条 异 面 直 线 夹 角 的 范 围，常 见 的 求 异 面 直 线 夹 角 的 方 法 等 知 识 点.1 8.【2015江 苏 高 考，9】现 有 橡 皮 泥 制 作 的 底 面 半 径 为 5、高 为 4 的 圆 锥 和 底 面 半

40、径 为 2、高 为 8 的 圆 柱 各 一 个.若 将 它 们 重 新 制 作 成 总 体 积 与 高 均 保 持 不 变，但 底 面 半 径 相 同 的 新 的 圆 锥 与 圆 柱 各 一 个，则 新 的 底 面 半 径 为【答 案】41【解 析】由 体 积 相 等 得：g x 4 x ix 5 2+万 x2?x 8=(x/X T X 4+T X/x 8 n r=5【考 点 定 位】圆 柱 及 圆 锥 体 积【名 师 点 晴】求 空 间 几 何 体 体 积 的 常 用 方 法(1)公 式 法：直 接 根 据 相 关 的 体 积 公 式 计 算.(2)等 积 法：根 据 体 积 计 算 公 式

41、，通 过 转 换 空 间 几 何 体 的 底 面 和 高 使 得 体 积 计 算 更 容 易，或 是 求 出 一 些 体 积 比 等.（3）割 补 法：把 不 能 直 接 计 算 体 积 的 空 间 几 何 体 进 行 适 当 的 分 割 或 补 形，转 化 为 可 计 算 体 积 的 几 何 体.19.2015高 考 新 课 标 2,理 19（本 题 满 分 12分）如 图，长 方 体 中，AB=16,BC=10,A 4 1=8,点 E,F 分 别 在 G A 上，4 后=。尸=4.过 点 E,尸 的 平 面 a 与 此 长 方 体 的 面 相 交，交 线 围 成 一 个 正 方 形.（I）

42、在 图 中 画 出 这 个 正 方 形（不 必 说 出 画 法 和 理 由）；（II）求 直 线 A E与 平 面。所 成 角 的 正 弦 值.【答 案】（I）详 见 解 析；（H）士.15【解 析】（I）交 线 围 成 的 正 方 形 EHGF加 图：（II）作 E X _ A B,垂 足 为 41,贝 i j T J/=4 E=4,E J/=4 4=8,因 为 E H G F 为 正 方 形，所 以 E H=E F=B C=1 0.于 是、阳=JE H：=6,所 以.田=1 0.以 D 为 坐 标 原 点，刀 的 方 向 为 x轴 的 正 方 向，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角

43、 坐 标 系。一 甲 z,则 T（10：0:0）,H（10s10s0）,（10=4=S）,下（0.4.8）,F=（10.0:0）,班=电-6,8）.设 般=（无 居 2）是 平 面 EHGF的 法 向 量，则 _ 即 K-HE=0:10 x=0.-I-n-Ar:/c c 所 以 可 取“=.又,1F=（10：1 8），故|cos|=皿=-.所 以 直-6y+8z=0s 1 1 叫 15线 J F 与 平 面 a 所 成 角 的 正 弦 值 为 士 亚.15【考 点 定 位】1、直 线 和 平 面 平 行 的 性 质；2、直 线 和 平 面 所 成 的 角.【名 师 点 睛】根 据 线 面 平

44、行 和 面 面 平 行 的 性 质 画 平 面 a 与 长 方 体 的 面 的 交 线；由 交 线 的 位 置 可 确 定 公 共 点 的 位 置，坐 标 法 是 求 解 空 间 角 问 题 时 常 用 的 方 法，但 因 其 计 算 量 大 的 特 点 很 容 易 出 错，故 坐 标 系 的 选 择 是 很 重 要 的，便 于 用 坐 标 表 示 相 关 点，先 求 出 面 a 的 法 向 量，利 用 sin 6=|cos n,A F|求 直 线 A F 与 平 面 a 所 成 角 的 正 弦 值.20.【2015江 苏 高 考，16（本 题 满 分 14分）如 图，在 直 三 棱 柱 A

45、6 C 4 4 G 中，已 知 A C L B C,8 C=C C，设 A g 的 中 点 为。，耳。8。1=求 证：（1）D E 平 面 A 4 C C；(2)B C、_L 叫【答 案】（1）详 见 解 析（2）详 见 解 析【解 析】试 题 分 析（1）由 三 棱 锥 性 质 知 侧 面 8 8 C C 为 平 行 四 边 形，因 此 点 为 8 c 的 中 点，从 而 由三 角 形 中 位 线 性 质 得 DE A C,再 由 线 面 平 行 判 定 定 理 得 D E 平 面 H 4 G C（2）因 为 直 三 棱 柱 A B C-4 8 cl中 B C=C Cl t所 以 侧 面 班

46、:C：C为 正 方 形，因 此 5C：一 旦。，又 一 T C _ 8 C,XC_CC：（可 由 直 三 棱 柱 推 导）,因 此 由 线 面 垂 直 判 定 定 理 得 AC 一 平 面 5 5 C,从 而 AC _ BC.,再 由 线 面 垂 直 判 定 定 理 得 3C：一 平 面 X与。,进 而 可 得 试 题 解 析：（1）由 题 意 知，E 为 B 的 中 点，又 D 为 AB】的 中 点，因 此 DE AC.又 因 为 D EU平 面 AAiGC,A C u平 面 AAiGC,所 以 DE,平 面 AACC.一 卜 大（2）因 为 棱 柱 ABC-AiBiG是 直 三 棱 柱，/

47、7，11所 以 CC平 面 ABC.因 为 AC u 平 面 A B C,所 以 AC CC.又 因 为 AC_LBC,CC|U 平 面 BCC|B B C u 平 面 BCQB,BC CCI=C,所 以 A C L平 面 BCC|B1.又 因 为 BC|u 平 面 BCC|B1,所 以 BC|_LAC.因 为 BC=C C 1,所 以 矩 形 BCCjB|是 正 方 形，因 此 BCj_LB|C.因 为 AC,B|C u平 面 B|AC,AC B（=C，所 以 BC】J平 面 B】AC.又 因 为 AB|u 平 面 B|A C,所 以 BC|_LAB.【考 点 定 位】线 面 平 行 判 定

48、 定 理，线 面 垂 直 判 定 定 理【名 师 点 晴】不 要 忽 视 线 面 平 行 的 判 定 定 理 中 线 在 面 外 条 件.证 明 直 线 与 平 面 平 行 的 关 键 是 设 法 在 平 面 内 找 到 一 条 与 已 知 直 线 平 行 的 直 线，常 利 用 几 何 体 的 特 征，合 理 利 用 中 位 线 定 理、线 面 平 行 的 性 质，或 者 构 造 平 行 四 边 形、寻 找 比 例 式 证 明 两 直 线 平 行.证 明 线 面 垂 直 时,不 要 忽 视 面 内 两 条 线 为 相 交 线 这 一 条 件.证 明 直 线 与 平 面 垂 直 的 关 键 在

49、 于 熟 练 把 握 空 间 垂 直 关 系 的 判 定 与 性 质，注 意 平 面 图 形 中 的 一 些 线 线 垂 直 关 系 的 灵 活 利 用，这 是 证 明 空 间 垂 直 关 系 的 基 础.21.2015高 考 安 徽，理 19如 图 所 示，在 多 面 体 4 耳 D Q C B A,四 边 形 的 3乃，A D A A，A B C O 均 为 正 方 形，E 为 四 口 的 中 点，过 A，D,E 的 平 面 交 C。于 F.（I）证 明：E F B、C；（II）求 二 面 角 E A。4 余 弦 值【答 案】（I）EF/BC-,（II）-y.【解 析】试 题 分 析：（I

50、）证 明：依 据 正 方 形 的 性 质 可 知 A4/A8/OC，且 A 4=A 3=OC,从 而 A 4 C D 为 平 行 四 边 形，则 4 C/A。，根 据 线 面 平 行 的 判 定 定 理 知 qc/面 D E,再 由 线 面 平 行 的 性 质 定 理 知 EF/8C.（II）因 为 四 边 形 A D DtA,ABC。均 为 正 方 形，所 以 A 4 1 A 3,且 A 4=A 8=A。，可 以 建 以 A 为 原 点，分 别 以 A8,AD,AA为 x 轴，y 轴，z轴 单 位 正 向 量 的 平 面 直 角 坐 标 系，写 出 相 关 的 点 的 坐 标，设 出 面 A