2019年数学新同步湘教版必修2第9章9等比数列.pdf

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1、9.3/等 比 数 列 第 一 课 时 等 比 数 列 的 概 念 抽 象 问 题 情 境 化，新 知 无 师 自 通 犊 敖 材 蟆 要 点 1.等 比 数 列 一 般 地，如 果 一 个 数 列 从 第 项 起，每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 比 都 等 于 同 一 个 常 数,这 样 的 数 列 叫 作 等 比 数 列，这 个 常 数 叫 作 等 比 数 列 的 公 比,公 比 通 常 用 字 母 z 表 示.(gWO).也 就 是 说，当 2 时，如 果&*=g,那 么 数 列 斯 称 为 等 比 数 列，z 称 为 数 列 斯 的 公 比.2.等 比 中 项 如 果 在。与

2、中 间 插 入 一 个 数 G,使 a,G,6 成 等 比 数 列，那 么 G 叫 做 a 与 小 的 等 比 中 项.由 等 比 中 项 的 定 义 可 知：卷 今 G 曲 今 G=V否.冏 救 一 一 傕 1.下 列 给 出 的 两 个 数 列 是 否 为 等 比 数 列.(1)1,1,1,1,；(2)0,1,2,4,8.提 示(1)为 等 比 数 列，为 常 数 列，(2)不 是 等 比 数 列，在 等 比 数 列 中 即 中 0.2.若 G 2=a b,则 a,G,b 一 定 成 等 比 数 列 吗？I提 示 不 一 定，例 如 0,0,2,满 足 G 2=a-b但 不 是 等 比 数

3、 列.高 频 考 点 题 组 化，名 师 一 点 就 通 注 工 等 比 数 列 定 义 的 应 用 爨 直 D 观 察 下 面 几 个 数 列，其 中 是 等 比 数 列 的 有 哪 些？数 歹(J 1,1,2,4,8,16,32,61；数 列 斯 中，已 知 号=2,=2；(3)常 数 列 a,a,a9(4)在 数 列%中，笠=1,其 中 GN+.解(1)不 符 合 等 比 数 列 的 定 义，故 不 是 等 比 数 列.(2)不 一 定 是 等 比 数 列，当 数 列%只 有 3 项 时，数 列 斯 是 等 比 数 列；当 数 列 斯 的 项 数 超 过 3 项 时，不 一 定 符 合

4、等 比 数 列 的 定 义.(3)不 一 定 是 等 比 数 列，当 常 数 列 各 项 都 为 0 时，它 不 是 等 比 数 列；当 常 数 列 各 项 不 为 0 时，是 等 比 数 列.(4)是 等 比 数 列.等 比 数 列 的 定 义 用 数 学 式 子 表 示 出 来 就 是 对 任 意 G N+,有 竽=%那 么 数 列%就 是 等 比 数 列.规 律 总 蜀 解 决 此 类 问 题 要 准 确 理 解 等 比 数 列 的 定 义，注 意“每 一 项 与 前 一 项 的 比”的 含 义：-是 强 调 顺 序，二 是 强 调 相 邻；此 外 等 比 数 列 中 不 含“0”项，公

5、 比 q 也 不 能 为 0,竽 5G N+)均 为 同 一 个 常 数，这 样 的 数 列 才 是 等 比 数 列.1.判 断 下 列 数 列 是 否 为 等 比 数 列(1)2,2,2,2,(2)0,3,32,3J,(3)1,2，4 8 16，解：(1)所 给 数 列 是 以 首 项 为 2,公 比 为 1 的 等 比 数 列;(2)因 为 0 不 能 作 除 数，所 以 所 给 数 列 不 是 等 比 数 列；(3)所 给 数 列 是 以 首 项 为 1,公 比 为 的 等 比 数 列.E 等 比 数 列 的 判 定 已 知 数 列 斯 的 前“项 和 S“=2%,求 证：数 列 斯 是

6、 等 比 数 列.|解 5=2%,；S+i=2。+1.斯+1=5+1-5=(2-。+1)一(2一%)=斯 一 斯+1-2 斯 又 S I=2-GI,=又 由。”+1=%知%。0,:誓=；，是 等 比 数 列 an/规 律 总.证 明 一 个 数 列 是 等 比 数 列，常 用 方 法 是(1)定 义 法：要 证 明 一 个 数 列&是 等 比 数 列，只 要 证 明 对 于 任 意 自 然 数 明 笠 都 等 于 an同 一 个 常 数 即 可.，(2)中 项 法：对 于 一 个 数 列，除 了 首 项 和 末 项(有 穷 数 列)外，任 何 一 项 都 是 它 的 前 后 两 项 的 等 比

7、 中 项，则 此 数 列 即 为 等 比 数 列.2.已 知 等 比 数 列%中，Q i=l,公 比 为 g,且 瓦,=a“+i斯，判 断 数 列 瓦 是 否 为 等 比 数 列？说 明 理 由.解：,等 比 数 列%,中，=公 比 为 g,.an=a l=q若 g=l,则%=1,b=an+ia=O,是 各 项 均 为()的 常 数 列，不 是 等 比 数 列.若 内,.b,+i%+2-。+1 q+J q q(qi)bn a+an q_ qT _ qT(q-1)一%瓦,是 首 项 为 仇=。2s=g 1,公 比 为 g 的 等 比 数 列.r r r e 等 比 中 项 的 应 用 三 个 正

8、 数 成 等 差 数 列，它 们 的 和 等 于 1 5,如 果 它 们 分 别 加 上 1,3,9就 成 等 比 数 列，求 这 三 个 数.解 设 所 求 之 数 为 ad,a,a+d,则 由 题 设 得 a-d+a+d=15,(a+3)2=(ad+l)(a+d+9).Q=5,Q=5,解 此 方 程 组，得 或 v d=2 d=T O.又 三 个 数 为 正 数，:d=2.所 求 三 数 为 3,5,7.规 律 府 蜀 1.此 类 问 题 一 般 设 成 等 差 数 列 的 数 为 未 知 数，然 后 利 用 等 比 数 列 的 知 识 建 立 等 式 求 解.另 外，对 本 题 若 设

9、所 求 三 数 为 a,b,c,则 列 出 三 个 方 程 求 解，运 算 过 程 冗 繁，因 此,在 计 算 过 程 中，设 的 未 知 数 个 数 应 尽 可 能 少.2.等 比 中 项 G=W 不 在 解 决 问 题 时 经 常 用 G2=ab.但 任 意 两 个 数 间 未 必 存 在 等 比 中 3 2433.已 知 a,-p b,一 卷，c 这 五 个 数 成 等 比 数 列，求 a,b,c 的 值.H-叱 空 2下 27后 豹 243当=i-rHVL-:/5=理 解：当 於 同 3-z10-/、叱-k278H-综 上 所 述，a,b,c 的 值 分 别 为;,27一 8,-2-3

10、-或 27不 随 堂 练 习 常 态 化，当 堂 强 化 所 学 I随 堂 体 验 落 实 1.下 面 有 四 个 结 论：由 第 1项 起 乘 相 同 常 数 得 后 一 项，这 样 所 得 到 的 数 列 一 定 为 等 比 数 列；常 数 列 b,，6 一 定 为 等 比 数 列；等 比 数 列%中，若 公 比 g=l,则 此 数 列 各 项 相 等；等 比 数 列 中，各 项 与 公 比 都 不 能 为 零.其 中 正 确 的 结 论 的 个 数 是（）A.0 B.1C.2 D.3解 析：选 C 由 等 比 数 列 的 定 义 可 知 不 正 确，正 确.2.设 等 比 数 列 的 的

11、 前 三 项 分 别 为 加，范 版，则 该 数 列 的 第 四 项 为（）A.1 B.y/2C.yj2 D.%解 析：选 A 9=音=2一/，；.a 4=%,2=1.3.已 知 等 差 数 列%的 公 差 为 2,若 a”。3,。4成 等 比 数 列，则 做 等 于（）A.-4 B.-6C.-8 D.-1 0解 析：选 B 由 已 知 得 J(i+2rf)2=ai(ai+3d),d=2,解 得 i=8,；&=8+2=-6.4.在 等 比 数 列 斯 中，已 知。2=3,恁=2 4,则 何=.解 析：谭=4=铝=8,；q=2,U2，=2 4X 8=192.答 案：1925.已 知 数 列%的

12、前 项 和 为 S”S=|(a-l)(n GN+).求 屈,。2；求 证：数 列 斯 是 等 比 数 列.解：(1)由 S=(ai 1),得 1=(。1 1),，。1=-1 又 52=|(2-1),即。1+。2=；(。2-1),得。2=(2)证 明:当 2 2 时，a=S-1)一；(斯-L 1),得 公=T 又 能 T所 以%是 首 项 为 一;，公 比 为 一;的 等 比 数 列.感 悟 高 手 解 题 若 数 列%的 前 n 项 和 S“=2+a,证 明 数 列 斯 是 否 为 等 比 数 歹 U.证 明 当 n=l 时，at=Si=2+a;当，2 时，%=S“一 S“-i=(2+a)-(

13、2 T+a)=2-2 T=2 T,所 以 肾 二 及 二=2.而 瓷=W 一,若 J=2,则 a=T.。2。3 2+a 2+a所 以 当。=一 1 时，数 列 斯 是 等 比 数 列；当 a-1 时，数 列 斯 不 是 等 比 数 列.应 用 课 下 训 练 经 典 化，贵 在 触 类 旁 通 一、选 择 题 1.在 等 比 数 列 斯 中，。4=8 1，则 公 比 4 为（）A.2 B.3C.4 D.8=8,:q=2.2.已 知 互 不 相 等 的 正 实 数 a,b,c（a l,b l9 c l）成 等 比 数 列，则 log?。，lo&b，log2。为（）A.等 差 数 列 B.等 比

14、数 列 C.既 为 等 差 数 列，又 为 等 比 数 列 D.不 能 确 定 关 系 解 析：选 A 由 题 意，得 b=ac,而 10g2+10g2C=10g2C=10g2）2=210g2瓦 二 k）g2，10g2。成 等 差 数 列.3.设 色，的，成 等 比 数 列，其 公 比 为 2,则 誓 萼 的 值 为（）“3 十 Ai B 1C.1 D.1o解 析：选 A,:公 比 为 2,*.也=2a 1,的=4。1,%=8。1,.2。+2 2+2 a l 4 12。3+。4 8。1+8。1 16 4,4.若，儿。成 等 比 数 列，所 是，的 等 差 中 项，是 儿 c 的 等 差 中 项

15、，则）A.4 B.3C.2 D.1解 析：选 C 由 已 知 得 b2=a c92 m=a+b,2 n=b+c92(b+a c+a c+4 c)2(b+2 c+bc)(a+方)(+c)a b+b 2+a c+b c2(a+2ac+b c)a b-2 a c+b c二、填 空 题 5.2+1与&-1两 数 的 等 比 中 项 是.解 析：G2=(V 2+1)(V 2-1)=1,A G=1.答 案：16.公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 斯 的 第 二、三、六 项 构 成 等 比 数 列，则 公 比 为 解 析：2=。1+4。3=。1+2 4,。6=。1+5 4,:3 1+2 d)2=(1+

16、d)(a+5 d)9，d(d+2ai)=0,V r f O,：.d=-2 al 9.。3。1+2d-3勿 尸 不=3 答 案：37.等 差 数 列%中，公 差 d W O,且 4“。3,的 成 等 比 数 列，则 亭 广 9。4 十。7 十。10解 析：的,的 成 等 比 数 列，.3 i+2 d)2=a i(a+8 d),即 d(d D=0,T d W O,:.d=a i,.内+即+%3 a 6 i+5 d 6 d 6 4 4+0 7+0 1 0 3“7+6d 7 d 7,答 案：38.若 A,2A+2,3+3是 等 比 数 列 的 前 3 项，则 第 4 项 为.解 析：；A,2Jt+2,

17、3A+3成 等 比 数 列，：.(2 k+2)2=k(3 k+3),即 必+5 4+4=0,.k=-1 或 k=4,当 A=-l时，A,2A+2,3A+3不 成 等 比 数 列；当 A=-4 时，前 三 项 为-4,6,9,272-3-2272案 答 三、解 答 题9.已 知 数 列 1g%是 等 差 数 列，求 证：的 是 等 比 数 歹 C.证 明：设 数 列 1 g%的 公 差 为 d,根 据 等 差 数 列 定 义，得 lg%+1一 lg%=d,所 以 1/=4,所 以 手=10(常 数)，an un所 以%是 一 个 以 10为 公 比 的 等 比 数 列.10.设 x,y,zGR,

18、3x,4y,5z成 等 比 数 列，且:，匕;成 等 差 数 列,求 升 孑 的 值.f(4y)2=3x-5z,解：由 题 意 得：1 1 1b=x+?由 得 7=年.代 入 消 去 y,得 xrz,z 34g+h i?等 比 数 列 的 通 项 公 式 及 性 质 抽 象 问 题 情 境 化，新 知 无 师 自 通【楝 我 衬 蟆 耍 JLI1.等 比 数 列 的 递 推 公 式 与 通 项 公 式 已 知 等 比 数 列 斯 的 首 项 为 由，公 比 为 g(g W O),填 表:递 推 公 式 通 项 公 式%L1a n=a Ql2.等 比 数 列 的 项 与 序 号 的 关 系 以

19、及 性 质 两 项 关 系 多 项 关 系 通 项 公 式 的 推 广：an=am*ql,n(m9 wGN+)项 的 运 算 性 质：若 机+=p+g(w,n,p,q N+),则 砧。=纭 生 冏 盟 上 思 脩 1.已 知 数 列%,%=5QT,则 数 列 的 公 比 q 等 于 多 少？I提 示 q=un5-25-22.如 果 等 比 数 列%中，in+n=2 k(m,n,M G N+),那 么 a,“产 足.是 否 成 立？|提 示 成 立，由%,=a 0 T,A-。=。闻，夕，_ 2 m+n-2 2 _ 2 2 k 2.am-anaxq,akaYq,m+n=2k9高 频 考 点 题 组

20、 化，名 师 一 点 就 通 E O S等 比 数 列 通 项 公 式 及 应 用 例 已 知 斯 为 等 比 数 列，且 恁=8,的=2,该 数 列 的 各 项 都 为 正 数，求 时;若 等 比 数 列 斯 的 首 项 a产 M9 末 项 斯=字 1 公 比 广 东 2 求 项 数；(3)若 等 比 数 列“中 时+4=。4，求 公 比 0 解(1)由 已 知 得*M=2,得 j 2。0 1”1=128.a“=1 2 8 X()T=&-8.(2)由%=a r g T,得 g=X(|)7,即 售)1=(乳 得=4(3)Va+4=a49l，+4 又。+4=。4,，当”为 偶 数 时，q=l;当

21、 为 奇 数 时，q=l.现 1.在 等 比 数 列 通 项 公 式 a”=a ig T中，含 有 首 项 第 项“,公 比 q,项 数 四 个 量，如 果 知 道 其 中 的 三 个，便 可 求 出 另 外 一 个.2.利 用 通 项 公 式 的 变 通 形 式%=%0L 计 算 可 简 化 解 题 步 骤，提 高 解 题 速 度.3.在 通 项 公 式 计 算 中，经 常 使 用 函 数 与 方 程 的 思 想，整 体 思 考.1.已 知 数 列%为 等 比 数 列，20(1)若 的=2,a2+a 4=y 求 数 列 a,J的 通 项 公 式;(2)若 6 2+4 5=1 8,。3+。6=

22、9,%=1,求.解：(1)设 等 比 数 列%的 公 比 为 0,则 g#0.aa3 22=,a4=a3q=2q,.1+2 q=至 解 得 g=g或 q=3.当 时，“1=18,un=18X i=2X 3、当 g=3 时，i=1,/.aH=1 X 3H1=2 X 3n-3.(2)法 一：因 为 综 上，当 g=g时，即=2 x 3 3-；当 q=3 时，斯=2 X 3”-3.。2+恁=。1。+。194=1 8,。3+。6=的/+4可 5=9,由 称 得 4=3，从 而 1=32.又 斯=1,所 以 32X Q)T=1,即 2 6 f=2,所 以=6.法 二：因 为 的+6=432+。5),所

23、以=；.由。均+1夕 4=1 8,得。i=32.由(in=(iql 1=1,得=6.CFFB 等 比 数 列 性 质 的 应 用 修 例 2)(1)在 各 项 均 为 正 的 等 比 数 列%中，3。9=4,。6。1()+。3 5=4 1,求 心+恁 的 值；(2)在 等 比 数 列 斯 中，。5,。9是 方 程 7/一 18工+7=0 的 两 个 根，求 劭.解；斯 为 等 比 数 列，且 3+9=4+8,6+1 0=2 X 8,3+5=2 X 4,的，9=4，8=4,06，。1 0=。：，3，。5=诏，.6。1 0+。3%=屑+吊=4 1,。1。8=4,A(4+8)2=41+2 X 4=4

24、 9,且%0,.。4+8=7.(2).恁，。9是 方 程 71 8+7=0的 两 个 根，,_ 1 8恁+。9 7，：.7:.题,幽 为 正 数.叼 的=1,又,.,*=。5“9=1,且。7=5/。，。7=1.规 律 总 蜀 在 等 比 数 列 中，若 机，it,p,g G N+,且，+=p+q,则 有%斯=为%,特 别 地，若,+”=2小 则 斯，斯=成 这 一 性 质 是 等 比 数 列 最 常 用 的 性 质，在 应 用 时，要 和 等 差 数 列 的 这一 类 似 性 质 区 分 开.第 题 是 一 个 很 容 易 出 错 的 题 目，出 错 主 要 是 由 于 不 知 道 如 何 判

25、 断“7的 符 号.应 当 这 样 考 虑：由 于 的=恁/,所 以 的 与 的 同 号，又 由 根 与 系 数 的 关 系 定 理 可 知 as,的 都 为 正 数，因 此，”70.2.已 知 等 比 数 列%中，a2-a6-aw=l,求 时 的 的 值.解：法 一：根 据 等 比 数 列 的 性 质。2 0=3。9=/，由。2,琳。410=1得 l）升 纯 酒 精 的 容 器 里 倒 出 1升 然 后 添 满 水 摇 匀，再 倒 出 1升 混 合 溶 液 后 又 用 水 添 满 摇 匀，如 此 继 续 下 去，问：第 次 操 作 后 溶 液 的 浓 度 是 多 少？若。=2 时,至 少 应

26、 倒 几 次 后 才 能 使 酒 精 的 浓 度 低 于 10%?解 设 开 始 的 浓 度 为 1,操 作 一 次 后 溶 液 浓 度 右=1 一 十，操 作“次 后 溶 液 的 浓 度 为 时,则 操 作”+1 次 后 溶 液 的 浓 度 为 从 而 建 立 了 递 推 关 系.&是 以“1=1 一，首 项，公 比 为 q=l十 的 等 比 数 列.即 第 n 次 操 作 后 酒 精 的 浓 度 是（1一：）.当 a=2 时，由 即=古，解 得 2 4.故 至 少 应 操 作 4 次 后 才 能 使 酒 精 浓 度 小 于 10%.规 律 惊 图 本 题 是 一 道 有 关 浓 度 的 应

27、 用 问 题，首 先 弄 清 一 次 操 作 的 含 义，其 次 是 列 出 第 次 操 作 后 与 第+1 次 操 作 后 溶 液 浓 度 间 的 递 推 关 系，即 期+1=册（1-3，然 后 利 用 数 列 的 有 关 知 识 解 决 问 题.3.某 工 厂 2018年 1月 的 生 产 总 值 为 a 万 元，计 划 从 2018年 2 月 起，每 月 生 产 总 值 比上 一 个 月 增 长 机,那 么 到 2019年 8 月 底 该 厂 的 生 产 总 值 为 多 少 万 元?解：设 从 2018年 1 月 开 始，第 个 月 该 厂 的 生 产 总 值 是“万 元，则 an+i=

28、an+anm%9+帆%.，数 列%是 首 项 的=4,公 比 q=l+m%的 等 比 数 列.,斯=。（1+6）-1.A 2019年 8 月 底 该 厂 的 生 产 总 值 为。20=。（1+帆 产-1=。（1+a）19（万 元）.随 堂 练 习 常 态 化,当 堂 强 化 所 学 随 堂 体 验 落 实 1.在 等 比 数 列%中,。1=1,公 比|q|#l.若 2a3。4。5，则 相 等 于（）A.9 B.10C.11 D.12解 析：选 c 在 等 比 数 列 斯 中，,内=1,*dm=4 a 5=。常。=，_ m _ _ in Q，一 q 9A/n-1=10,:.m=11.2.等 比

29、数 列%的 各 项 为 正，公 比 g 满 足=4,则 印 1的 值 为（）A.1 B.2C.1 D.T解 析：选 D,斯 0,q=2,*a4+5 a i/(l+q)q 2,3.已 知 各 项 为 正 数 的 等 比 数 列%中，2a3=5,。7 8。9=10，则 4 5。6等 于()A.5啦 B.7C.6 D.4/2解 析：选 A。1 2。3=星=5,*.C 1 2=1。，:。8=28=/50=50,又 丁 数 列 斯 各 项 为 正 数,；。4。5。6=屋=50=5yfi 4.（2017全 国 卷 出）设 等 比 数 列 斯 满 足 5+。2=一 1，。1一 的=一 3,则。4=,解 析：

30、设 等 比 数 列 斯 的 公 比 为 q,则+。2=。1（1+。）=-1,。1一。3=。1（1/）=-3,两 式 相 除，得 3=彳 解 得 0=2,4=1,1 O 3所 以“4=41。=-8.答 案：一 85.在 等 比 数 列 斯 中，已 知 的+a6=36,a4+a7=18,%=；,求“的 值.解：设 等 比 数 列 斯 的 公 比 为 q.因 为 4+7=ayq+a6q=（a3+a6）9,缶 4+a7 18 1所 以 0=面 启=正=1因 为。4+。7=1 8,所 以 4（1+/）=18 所 以“4=16.所 以“=4必=16 X Q）t令 16X（1）y 所 以（升 4=表=（%所

31、 以-4=5,=9.感 悟 高 手 解 题 有 四 个 数，其 中 前 三 个 数 成 等 差 数 列，后 三 个 数 成 等 比 数 列，并 且 第 一 个 数 与 第 四 个 数 的 和 是 1 6,第 二 个 数 与 第 三 个 数 的 和 是 1 2,求 这 四 个 数.解 法 一：设 四 个 数 依 次 为 ad,a,a+d9（+砂,由 条 件 得(a+d)2a-d+a=16a+(a+d)=12.a=4,a=9,解 得 V 或（d=4.d=-6.所 以，当 a=4,d=4 时，所 求 四 个 数 为 0,4,8,16;当”=9,4=-6 时，所 求 四 个 数 为 15,9,3,1.

32、故 所 求 四 个 数 为 0,4,8,16或 15,9,3,1.法 二：设 四 个 数 依 次 为 那 一 a,aq（aWO）.*1 H由 条 件 得 s(la.y-a+aq=l69+a=2iq所 以，当 g=2,=8 时，所 求 四 个 数 为 0,4,8,16;当 g=g,a=3 时，所 求 四 个 数 为 15,9,3,1.法 三：设 四 个 数 依 次 为 x,j,12j,16x.由 条 件 得 2 j=x+(1 2 j),(12-J)2=X 1 6-X).解 得,x=0,y=4故 所 求 四 个 数 为 0,4,8,16或 15,9,3,1.点 评 在 解 决 与 等 比 数 列

33、有 关 数 的 设 法 时 常 有 如 下 规 律:三 个 数 成 等 比 数 列 时，常 设 三 个 数 a,aq,或 会 ma q.（2）四 个 数 成 等 比 数 列 时，常 设 四 个 数 为 a,aq,aq2,a/或 j a，aq,一 选 择 题 课 下 训 练 经 典 化，贵 在 触 类 旁 通 1.在 等 比 数 列 斯 中，。0,且。2=1 1，“4=9“3，则 见+恁 的 值 为（）A.16 B.27C.36 D.81解 析：选 B 由 已 知。1+。2=1,的+。4=9,/.q2=9.:.q=3（q=3 舍），4+。5=（的+。4）4=27.2.已 知 等 比 数 列 斯

34、满 足。1+%=3,%+。3=6,则 的 等 于（）A.64 B.81C.128 D.243解 析：选 A%为 等 比 数 列，.”2+。3_,-q-2.十 色 又 4+。2=3,I.G=1.故 7=1，26=64.3.已 知 等 比 数 列%中，各 项 都 是 正 数，且 可，%3,2。2成 等 差 数 列，则 誓 于 等 于（A.1+2 B.1-2C.3+2 2 D.3-2 A/2解 析：选 C 设 等 比 数 列%的 公 比 为 g,V ai,5 a a 2成 等 差 数 列,*的=。1+2。2 9.iq2=a+2aq,:.q2_2ql=0,:q=l 0V aM0,.,q0,q=l+6.

35、卷=。+何=3+2 6.4.设 数 列 斯 为 等 比 数 列，则 下 面 四 个 数 列：*;pa“（p 为 非 零 常 数）；斯 5+1;a+a+i.其 中 是 等 比 数 列 的 个 数 为）A.B.2C.3 D.4解 析：选 D 对 于，因 为 等 誓 1）=/（常 数）,所 以*是 等 比 数 列；对 于，因 为 P%+ipaa+i=q（常 数）,所 以 p%是 等 比 数 列;对 于，因 为 皿 必 色=%=/（常 数），a 斯+i a 所 以 斯 斯+i 是 等 比 数 列;对 于，因 为，土 曹+2=4?*：+仪=幺 会/口 二 成 常 数）,所 以 即+%+/是 等 比 数%

36、十%+i aTa+i%十%+1列.二、填 空 题5.已 知 等 比 数 列%中，“3=1 2,。2+。4=3 0,则 a10=.解 析：设 等 比 数 列 斯 的 公 比 为 q;4 1/=1 2,alq+aiqi=3 0,“1=3,两 式 相 除 得 匕=2,M=4 8,或 1.,.a10=3 X 29=l 536 或 a io=4 8 x Q=*.答 案：1 536或 卷 6.在 1与 2之 间 插 入 6个 正 数，使 这 8个 数 成 等 比 数 列，则 插 入 的 6个 数 的 积 为.解 析：设 这 8 个 数 组 成 的 等 比 数 列 为%,则。1=1,(tg2.插 入 的 6

37、 个 数 的 积 为 a 2 a 3 a M 5 a 6 a 7=(a 2 a 7)，(a 3 a 6)，(。4 a 5)=(。1。8)3=2,=8.答 案：87.画 一 个 边 长 为 2 厘 米 的 正 方 形，再 以 这 个 正 方 形 的 对 角 线 为 边 画 第 2 个 正 方 形，以 第 2 个 正 方 形 的 对 角 线 为 边 画 第 3 个 正 方 形，这 样 一 共 画 了 1 0个 正 方 形，则 第 1 0个 正 方 形 的 面 积 等 于 平 方 厘 米.解 析：这 1 0个 正 方 形 的 边 长 构 成 以 2 为 首 项，啦 为 公 比 的 等 比 数 列 a

38、“(lWW10,nGN+),则 第 10个 正 方 形 的 面 积 S=M O=22-29=2“=2O48.答 案：2 0488.已 知 数 列 一 1,a r 生，4 成 等 差 数 列，-1,bi，岳，岳，一 4 成 等 比 数 列，则 陛 的 值 是.解 析：.一 1,Q i,。2,4 成 等 差 数 列，设 公 差 为 d,则 a2 4)(1)=1,V 1,bi,b2 9灰，一 4 成 等 比 数 列，M=(-l)X(-4)=4,：.b2=2.若 设 公 比 为 q,则)2=(1)/,工。2Vo.答 案：I三 解 答 题 9.等 比 数 列%同 时 满 足 下 列 三 个 条 件:“1

39、+劭=11；。3。4=学 三 个 数 表 2，嫉，依 次 成 等 差 数 列，试 求 数 列%的 通 项 公 式.解：由 等 比 数 列 的 性 质 知 41。6=。3。4=罟.a i+a6=l l,32-1为 一 3,32(_ 3 2由=手 或、琳 一 7解 得 3当 413132T时 q=2.，.%=；2T.*.ja2+4+|=y,2诏=学 al,图+成 等 差 数 列,.a=y 2n-1./.1a2+4+92 a3 不 符 合 题 意，二 通 项 公 式%=；2T.1 0.数 列%的 前 项 和 记 为 S“，a i=l,an+1=2 S+l(l).(1)求 斯 的 通 项 公 式；(2

40、)等 差 数 列 也“的 各 项 为 正，其 前 项 和 为 7“，且 4=1 5,又 一+瓦,a2+b2,a3+b3成 等 比 数 列，求 T“.解：由 a+i=2S+l 可 得 a“=2 S“-i+l(2),两 式 相 减 得 斯+1-斯=2alt9即+1=3alt(n 2 2).又。2=21+1=3,且 供=1,故 斯 是 首 项 为 1,公 比 为 3 的 等 比 数 列，.斯=3-1.(2)设 儿 的 公 差 为 d,由 4=1 5,可 得 可+4+3=1 5,即 劝 2=1 5,可 得)2=5.故 可 设 仇=5-d,b3=5+d.又“1=1,。2=3,43=9,由 题 意 可 得

41、(5d+l)(5+d+9)=(5+3)2,解 得 d i=2,di=-10.等 差 数 列 仍“的 各 项 为 正，；.d 0,.,./=2.:.T=3n+2 X 2=n2+2n.第 三 课 时 等 比 数 列 的 前 项 和 抽 象 问 题 情 境 化，新 知 无 师 自 通 1.等 比 数 列 的 前”项 和 公 式 禳 敷 材 确 要 克 已 知 量 首 项、公 比 与 项 数 首 项、末 项 与 公 比(g(q=l)公 式 1-g(户 1)Sn=ai-anq,I-g(户 1)2.等 比 数 列 的 前 项 和 的 常 用 性 质(1)项 的 个 数 的“奇 偶”性 质：等 比 数 列%

42、中，公 比 为 q.若 共 有 2 项，则 S 0s：5$=g；若 共 有 2 n+l项，则 S L S 里 修%#1 且 少 一 1).(2)“片 断 和”性 质：等 比 数 列 斯 中，公 比 为 g,前 机 项 和 为 SMSwWO),则 S,“，S2m Sm,S3 m-S2 m,S.一”-加，构 成 公 比 为 的 等 比 数 列，即 等 比 数 列 的 前，项 的 和 与 以 后 依 次 m 项 的 和 构 成 等 比 数 列.(3)“相 关 和”性 质：S“+“,=S,+gS,“O g=汕 七 为 公 比).M同 做 士 思 傕 1.如 何 利 用 函 数 的 观 点 看 等 比

43、数 列 的 前 项 和 公 式？提 示(1)当 公 比 q于 1 时，等 比 数 列 的 前 项 和 公 式 可 写 成 S=-Aq+A 的 形 式.由 此 可 见，非 常 数 列 的 等 比 数 列 的 前 n 项 和 S,是 由 关 于 n 的 一 个 指 数 式 与 一 个 常 数 的 和 构 成 的，而 指 数 式 的 系 数 与 常 数 项 互 为 相 反 数.当 公 比 q=时，因 为“iW O,所 以 S=a i是 的 正 比 例 函 数(常 数 项 为 0 的 一 次 函 数).(2)当 q W l时，数 列 Si,S2,Sit S“，的 图 像 是 函 数 y=-A q*+A

44、 图 像 上 的 一 群 孤 立 的 点.当 g=l时，数 列 用,S2,S3,当,的 图 像 是 正 比 例 函 数 7=。章 图 像 上 的一 群 孤 立 的 点.2.数 列 斯 的 前 项 和 为 S“=A+3 g(g W l),若%是 等 比 数 列，则 4,8 满 足 什 么 关 系？提 示 4+8=0.高 频 考 点 题 组 化，名 师 一 点 就 通 等 比 数 列 前 项 和 的 基 本 运 算 篇 也 在 等 比 数 列 斯 中，公 比 为 q,前 项 和 为 S“.(l)a i=8,a=1,S=y,求；(2)。6。4=2 4,。3。5=6 4,求 8 解(1)显 然 gW

45、l,S,=*二,又%=。闯 1即 8 X y_=1,/.n=6.法 由 题 意,得 ai以 q-%(。)=2644,化 简 得，1)=24,0=8,+，得/-1=3(负 值 舍 去),.,.=4,：.g=2 或 q=-2.当 q=2时，代 入 得 供=1,a i(l-9*).S 8=255.1-0当 g=-2 时，代 入 得 ai=-1,.1(18)255$8-1-g 于、255综 上 知$8=255或 Sg=7.法 二：由 等 比 数 列 的 性 质 得。3 恁=裙=64,当。4=8 时，。6“4=24,ci 329 04/q=2.当 4=8 时，。6。4=24,ci(t=16.，/=纭=2

46、,无 解.故=2.04当 g=2 时，a i=j=l,&=_；)=255.当 q=-2 时，”1=3=-1,:.$8=%(：_：)=孽.255综 上 知 8=255或 Sg=3,规 律 忘.在 等 比 数 列%中 的 五 个 量 a”q,a,S,中，和 q 是 最 基 本 的 元 素，在 条 件 与 结 论 间 的 联 系 不 很 明 显 时，均 可 用 s 和 g 的 方 程(组)求 解.1.设 等 比 数 列%的 公 比 q l,前 n 项 和 为 S”.已 知 的=2,S4=5 S2,求%的 通 项 公 式.解：由 题 意 知，WO,s”=,_；),faiq2-2 则 怦 子 不 韦 由

47、 得，1/=5(1/),则(才 一 4)(/-1)=0,所 以(q2)(q+2)(ql)(q+l)=O.因 为 q l,所 以 g=1 或 q=-2.当 g=-1 时，由 得，a i=2,则 斯 的 通 项 公 式 为 a=2 X(-l)n-1；当 g=-2 时，由 得，a i=1,则%的 通 项 公 式 为 a“=；X(2)T=(-l)T-2-2.等 比 数 列 前 项 和 性 质 的 应 用 如 刚 已 知 等 比 数 列 斯 中，前 1 0项 和$0=1 0,前 2 0项 和 S 2 0=3 0,求 S30.解 法 一：设 公 比 为 g,则 Z iQ-g)i-q。心 一 冷、iq=1

48、0,落 得 l+/=3,=2,3 哈 工 咋 料 a+L+泮=10X(1+24-4)=70.法 二：S10,S20-S.0,SQ-S Z O仍 是 等 比 数 列，即 10,20,$30一 3 0成 等 比 数 列,.1OX(S3O-3O)=2O2,二$30=40+30=70.规 律 I总.在 解 决 等 比 数 列 前”项 和 的 问 题 时，利 用 一 些 结 论 解 决 会 使 问 题 更 容 易，如：Sn,S2nS,S3,；一$2,构 成 等 比 数 列，若 项 数 为 偶 数，W=q 等.J号 2.若 等 比 数 列 斯 的 公 比 为:，且 s+的+如=6 0,则“的 前 100项

49、 和 为 解 析：令 X=ai+a3H-1。99=60,=“2+0 4+aioo,则 S i0 o=x+y,由 等 比 数 列 前 项 和 性 质 知：4=q=g,A J所 以 y=2 0,即 S io o=x+y=8 o.答 案：803.一 个 项 数 为 偶 数 的 等 比 数 列 斯,全 部 各 项 之 和 为 偶 数 项 之 和 的 4 倍，前 3 项 之 积 为 6 4,求 数 列 的 通 项 公 式.解：设 数 列%的 首 项 为 a”公 比 为 q,所 有 奇 数 项、偶 数 项 之 和 分 别 记 作 S+,S,由 题 意 可 知，S+S=4 S,即 S*=3 S K.因 为

50、数 列%的 项 数 为 偶 数，所 以 有 g=1=；.又 因 为 5 4|/4 1/=6 4,所 以 力/=6 4,即“1=1 2,故 所 求 通 项 公 式 为 a“=12X1通 求 数 列 1,3a,5a2Z A,(2-1时(小 0)的 前 项 和.口 塞 甘 利 用 错 位 相 减 法 求 数 列 的 前 n 项 和 解 当”=1 时，数 列 变 为 1,3,5,7,，(2 n-l),|1+(2-1)2则 Sn 2 n.(2)当 时，有 S=l+3 a+5 a 2+7 a 3+(2-l)G T aS”=+32+5/+(2-1)“一 得 S 一 aS=l+2 a+2公 2+2屋+2”一