2018年数学高考真题（选修1-1部分）.pdf

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1、2018年 数 学 高 考 真 题（选 修 1-1部 分）剖 析 解 读 高 考 全 国 I、n、m卷 都 是 教 育 部 按 照 普 通 高 考 考 试 大 纲 统 一 命 题，适 用 于 不 同 省 份 的 考 生.虽 然 在 难 度 上 会 有 一 些 差 异，但 在 试 卷 结 构 和 命 题 方 向 上 基 本 上 都 是 相 同 的.“稳 定”是 高 考 的 主 旋 律.在 今 年 的 高 考 试 卷 中，试 题 分 布 和 考 核 内 容 没 有 太 大 的 变 动，三 角、数 列、立 体 几 何、圆 锥 曲 线、函 数 与 导 数 等 都 是 历 年 考 查 的 重 点.每 套

2、 试 卷 都 注 重 了 对 数 学 通 性 通 法 的 考 查，淡 化 特 殊 技 巧，都 是 运 用 基 本 概 念 分 析 问 题、基 本 公 式 运 算 求 解、基 本 定 理 推 理 论 证、基 本 数 学 思 想 方 法 分 析 和 解 决 问 题，这 有 利 于 引 导 中 学 数 学 教 学 回 归 基 础.试 卷 难 度 结 构 合 理，由 易 到 难，循 序 渐 进，具 有 一 定 的 梯 度.今 年 数 学 试 题 与 去 年 相 比 整 体 难 度 有 所 降 低.“创 新”是 高 考 的 生 命 线.与 历 年 试 卷 对 比，1、n卷 解 答 题 顺 序 有 变，这

3、 也 体 现 了 对 于 套 路 性 解 题 的 变 革，单 纯 地 通 过 模 仿 老 师 的 解 题 步 骤 而 不 用 心 理 解 归 纳，是 难 以 拿 到 高 分 的.在 对 数 据 处 理 能 力 以 及 应 用 意 识 和 创 新 意 识 上 的 考 查 有 所 提 升，也 符 合 当 前 社 会 的 大 数 据 处 理 热 潮 和 青 少 年 创 新 性 的 趋 势.导 数 和 圆 锥 曲 线 是 高 考 数 学 中 最 难 的 两 块 内 容，而 且 在 考 试 中 相 比 其 他 考 点 分 值 也 是 最 多 的.圆 锥 曲 线 试 题 命 制 以 椭 圆、抛 物 线、双

4、 曲 线 的 定 义、标 准 方 程、曲 线 性 质（焦 点、离 心 率、准 线、渐 近 线）为 载 体，综 合 性 考 查 位 置 关 系、范 围、面 积、定 点、定 值 等.对 数 形 结 合 思 想 及 分 类 讨 论 思 想 有 较 高 的 要 求，对 运 算 能 力 的 要 求 比 较 高.导 数 试 题 的 命 制 往 往 融 函 数、不 等 式、方 程 等 知 识 于 一 体，通 过 演 绎 证 明、运 算 推 理 等 理 性 思 维，解 决 单 调 性、极 值、最 值、切 线、方 程 的 根、参 数 的 范 围 等 问 题，这 类 题 难 度 很 大、综 合 性 强、内 容 新

5、、背 景 新、方 法 新，是 高 考 命 题 的 丰 富 宝 藏.解 题 中 需 用 到 函 数 与 方 程 思 想、分 类 讨 论 思 想、数 形 结 合 思 想、转 化 与 化 归 思 想.请 同 学 们 根 据 所 学 知 识，测 试 自 己 的 能 力，寻 找 自 己 的 差 距，把 握 高 考 的 方 向，认 清 命 题 的 趋 势！（说 明：有 些 试 题 带 有 综 合 性，是 与 以 后 要 学 的 内 容 相 关 的 小 综 合 试 题，同 学 们 可 根 据 目 前 所 学 习 的 内 容，有 选 择 性 地 试 做！）穿 越 自 测 1.（2018 天 津 高 考）设 X

6、 G R,则“1 8”是“枕|2”的（）A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件答 案 A解 析 求 解 不 等 式/8 可 得 x 2,求 解 绝 对 值 不 等 式|x|2可 得 x 2 或 xV 2,据 此 可 知，“炉 8 是 园 2”的 充 分 而 不 必 要 条 件.本 题 选 A.2.（2018北 京 高 考）设 集 合 A=a，y）|x-y2l,or+y4,jcayW2,则（）A.对 任 意 实 数 a,（2,1）WAB.对 任 意 实 数 a,（2,1）骁 1C.当 且 仅 当 a引

7、 此 命 题 的 逆 否 3命 题 为：若 a W 5,则 有（2,1）4A,故 选 D.3.（2018北 京 高 考）设 a,b,c,d 是 非 零 实 数，则“a d=A”是“a,b,c,d 成 等 比 数 列”的（）A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 答 案 B解 析 当。=4,b=l,c,d=（时，a,b,c,d 不 成 等 比 数 列，所 以 不 是 充 分 条 件；当 a,b,c,成 等 比 数 列 时，则 ad=儿，所 以 是 必 要 条 件.综 上 所 述，“ad=bc”

8、是“a,h,c,d 成 等 比 数 列”的 必 要 而 不 充 分 条 件.故 选 B.4.（2018浙 江 高 考）双 曲 线，一 方=1的 焦 点 坐 标 是（）A.（一 卷 0）,（蛆，0）B.（-2,0）,（2,0）C.（0,一 啦），（0,业 D.（0,-2）,（0,2）答 案 B9解 析 因 为 双 曲 线 方 程 为 方 一 丁=1,所 以 焦 点 坐 标 可 设 为（土 c,0）,因 为/=屋+/=3+1=4,c=2,所 以 焦 点 坐 标 为（2,0）,选 B.尤 2 v25.（2018.天 津 高 考）已 知 双 曲 线/一 方=l（a0,4 0）的 离 心 率 为 2,过

9、 右 焦 点 且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 与 双 曲 线 交 于 A,B 两 点.设 A,8 到 双 曲 线 的 同 一 条 渐 近 线 的 距 离 分 别 为 di和 山，且 4+法=6,则 双 曲 线 的 方 程 为（）?2.2A 工 一 匕=B-=1入 3 9 1 D,9 3 1D-=lc-4 12 1 u12 4 1答 案 A解 析 设 双 曲 线 的 右 焦 点 坐 标 为 尸（C,O）（CO）,则 XA=XB=C,由 於 一%=1 可/Bb2付,尸 7不 妨 设 A（c,3,，一；），双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 Z?x-ay=o,据 此 bc-b2 bc

10、-b2 bc+b2 bc+b1.2bc#可 付 小=7 层+扶=心=现 有=则”+。2=丁=2b=6,则 b=3,b2=9,双 曲 线 的 离 心 率 为 e=y 1+=1+*=2,据 此 可 得，a29 2=3,则 双 曲 线 的 方 程 为 全 苫=1.故 选 A.9 26.（2018 全 国 卷 I）已 知 椭 圆 C：a+：=1 的 一 个 焦 点 为（2,0）,则 C 的 离 心 率 为（）A1 R1 正 口 空 z v.D.?2 3答 案 C解 析 根 据 题 意，可 知 c=2,因 为=4,所 以 即 a=2&,所 以 椭 圆 C 的 离 心 率 为 6=翕 2=芋 7.故 选

11、C.7.（2018全 国 卷 I）设 函 数 兀）=+（。-l）+ax.若 九 x）为 奇 函 数，则 曲 线 y=/1）在 点（0,0）处 的 切 线 方 程 为（）A.y=-2x B.y=xC.y=2x D.y-X答 案 D解 析 因 为 函 数 x）是 奇 函 数，所 以 1=0,解 得 a=l,所 以 八%）=炉 十%,/（x）=3 f+l,所 以/（0）=1，x0）=0,所 以 曲 线 y=/）在 点（0,0）处 的 切 线 方 程 为 y-A0）=f（0）x,化 简 可 得 y=x.故 选 D.8.（2018.全 国 卷 II）函 数.*）=匚 岳 一 的 图 象 大 致 为（）,

12、(ev+e-r)x2(ee X)2x(%2)ex+(x+2)ex.,：f W=-=-.x2 时，/(x)0,二 排 除 C.因 此 选 B.9.(2018全 国 卷 II)双 曲 线，一 方=l(a O,b0)的 离 心 率 为 小，则 其 渐 近 线 方 程 为（）A.y=2x B.y=f3xC.y=土 坐 x D.y=土 乎 无 答 案 A解 析，：6=泉=事,=e2l=3 l=2,.,.%=地.：渐 近 线 方 程 为 丫=3，.渐 近 线 方 程 为 k 故 选 A.10.（2018.全 国 卷 II）已 知 F i,五 2是 椭 圆 C 的 两 个 焦 点，尸 是。上 的 一 点，若

13、 P F J P F 2,且/尸 尸 2乃=60。，则。的 离 心 率 为（）A.1一 生 B.2一 小 小 T。2D.y13-1答 案 D解 析 在 R P B 中，/F IPF2=90,Z PF2F I=60,设|P尸 2|=小,则 2c=/1 尸 2|=2加，PFi=y/3m,又 由 椭 圆 的 定 义 可 知 2a=PF+PF2=(y3+l)m,则 离 心 率 e三=1 1=瑞 荷=小 t 故 选 D11.（2018.全 国 卷 III）函 数 y=/+f+2 的 图 象 大 致 为（）答 案 D解 析 当 x=0 时，y=2,排 除 A,B.y=-4X3+2 JC=-2X（2X2 1

14、）,当*时，y 0，排 除 C,故 选 D.9 212.（2018全 国 卷 川）已 知 双 曲 线 C：，一 方=1（支 0,人 0）的 离 心 率 为 也，则 点（4,0）到 C 的 渐 近 线 的 距 离 为（）A S B.2 C呼 D.272答 案 D解 析 因 为 6=3 7 1+=市,所 以 5=1，所 以 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 4 Lxy=0,所 以 点（4,0）到 渐 近 线 的 距 离 下=26.故 选 D.y i+i13.（2018北 京 高 考）已 知 直 线/过 点（1,0）且 垂 直 于 无 轴，若/被 抛 物 线 寸=4依 截 得 的 线 段 长

15、为 4,则 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为.答 案（1,0）解 析 如 图，由 题 意 可 得，点 P(l,2)在 抛 物 线 上，将 P(l,2)代 入 尸=4以 中，解 得 a=l,.y2=4x,由 抛 物 线 方 程 可 得，2P=4,p=2,?=1,.焦 点 坐 标 为(1,0).14.(2018.北 京 高 考)能 说 明“若。江 则*卜 为 假 命 题 的 一 组 a,的 值 依 次 为 答 案 1,一 1(答 案 不 唯 一)解 析 只 需 取 a=l,6=1即 可 满 足，所 以 满 足 条 件 的 一 组 a,人 的 值 为 1,一 1(答 案 不 唯 一).15.(20

16、18.北 京 高 考)若 双 曲 线，一 彳=150)的 离 心 率 为 半，则 a=.答 案 4解 析 在 双 曲 线 中，c=Na2+l2=Na2+4,且 0=?=坐，,也 赵 二 坐,.+4 5a2=16,V 0,，a=4.16.(2018全 国 卷 II)曲 线 y=21nx在 点(1,0)处 的 切 线 方 程 为.答 案 y=2x-22解 析 由 y=7(x)=21nx,得/(x)=：,则 曲 线 y=21nx在 点(1,0)处 的 切 线 的 斜 率 为 k=f(1)=2,则 所 求 切 线 方 程 为 y0=21),即 y=2x-2.17.(2018 天 津 高 考)已 知 函

17、 数/U)=e、ln x,/(x)为/U)的 导 函 数，则/的 值 为.答 案 e解 析 由 函 数 的 解 析 式 可 得，/(x)=eMn x+exq=e(lnx+；),则#(1)=e1(lnl+；)=e.即/(1)的 值 为 e.18.(2018 浙 江 高 考)已 知 点 P(O,1),椭 圆，+y2=?”(2 i)上 两 点 4,B 满 足 AP=2PB,则 当 机=时，点 8 横 坐 标 的 绝 对 值 最 大.答 案 5解 析 设 4(如，州)，8(x2,*),由 AP=2PB得 一 无 I=2X2.1yi=2(”-1),二 yi=223,因 为 A,8 在 椭 圆 上，所 以

18、 号+行=机，+yi=m,.,.才+(2”-3)2=根,与 学+次=相 对 应 相 减 得=一；(加 210,+9)W4,当 且 仅 当 加=5 时 取 得 最 大 值，即 当 加=5 时，点 8 横 坐 标 的 绝 对 值 最 大.19.(2018.江 苏 高 考)在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，若 双 曲 线，一 方=l(a0,b0)的 右 焦 点 P(c,0)到 一 条 渐 近 线 的 距 离 为 竽 c,则 其 离 心 率 的 值 是.答 案 2解 析 因 为 双 曲 线 的 右 焦 点 F(c,0)到 渐 近 线 y=%,即 bxay=0的 距 离 为 疝 曹 2=3=。所

19、 以 匕=乎。，因 此 层=02=,2,c2=：c2,a=C,g=2.20.(2018北 京 高 考)已 知 椭 圆 M：最+苴=1(。心 0)的 离 心 率 为 坐 焦 距 为 2虚.斜 率 为 左 的 直 线/与 椭 圆 M 有 两 个 不 同 的 交 点 A,B.(1)求 椭 圆 M 的 方 程；(2)若 女=1,求 的 最 大 值；(3)设 P(2,0),直 线 刑 与 椭 圆 M 的 另 一 个 交 点 为 C,直 线 与 椭 圆 M 的 另 一 个 交 点 为。.若 C,。和 点。(一】,共 线，求 k解(1)由 题 意 得 2c=2/2,所 以 又 6=-,所 以 a=,所 以

20、b1=a2c1=,所 以 椭 圆 M 的 标 准 方 程 为 全+尸=1.（2）设 直 线 的 方 程 为 y=x+m,由,x2 消 去 y 可 得 4/+6如+3m23=0,性+产 1贝 1/=36m24X4(3m23)=4812m20,即 m24,o 372/2_3 _设 4(犬 1，yi)，B(X2,),则+犬 2=亍，X1X2=-则|A3|=dl+的 XI X 2产 7 a X 2=x尸 易 得 当 fn=0 时，|A3|max=，,故|AB|的 最 大 值 为 求.(3)设 A(xi,yi),8(x2,y2),C(X3,”),0(x4,*),则 X+3y?=3,xi+3yl=3,又

21、P（2,0）,所 以 可 设 玄=a4=消，直 线 山 的 方 程 为 y=Zi（x+2）,由 y=A(x+2),2=1消 去 y 可 得（1+3后）/+12后+12好 一 3=0,12届,12后 则 加+尤 3=7：由 即 尤 3=一 干 后 X I,1*7 v*i 1 2又 k=号，联 立 可 得 乂 户 不,所 以 户=肃？所 以 管 胃,谭 7日（7X212同 理 可 得)堂 4x2+7/1-47-甲.呀 因 为 Q,C,。三 点 共 线，所 以（尤 3+J（y4：）（入 4+,）卜 3J=0,将 点 C,。的 坐 标 代 入 化 简 可 得 充=1,即 仁 L2,221.(2018天

22、 津 高 考)设 椭 圆%+方=1(4 Q O)的 右 顶 点 为 A,上 顶 点 为 B.已 知 椭 圆 的 离 心 率 为 坐，|AB|=V13.(1)求 椭 圆 的 方 程；(2)设 直 线/：y=h:(kV0)与 椭 圆 交 于 尸，Q 两 点，/与 直 线 A 8 交 于 点 M,且 点 P,M 均 在 第 四 象 限.若 BPM的 面 积 是 BPQ面 积 的 2 倍，求 A 的 值.c2 5解(1)设 椭 圆 的 焦 距 为 2c,由 已 知 得 宗=*又 由 层=扶+/,可 得 2a=3.由 帝=，T5，从 而 可 得 a=3,b=2.所 以 椭 圆 的 方 程 为 卷+?=1

23、.(2)设 点 P 的 坐 标 为(xi,yi),点 M 的 坐 标 为(X2,*),由 题 意，得 X2尤 i0,点。的 坐 标 为(一 xi,yi).由 3PM的 面 积 是 BP。面 积 的 2 倍，可 得|PM=2|PQ,从 而 X2Xl=2xi-(-XI),即 X2=5xi.易 知 直 线 A B 的 方 程 为 2x+3y=6,由 方 程 组，元 总.由 方 程 组 IV I 4W消 去 y,可 得 XI=诉 M.由 尼=5汨，可 得 _ Q 1也 户 44=5(3左+2),两 边 平 方，整 理 得 183+25左+8=0,解 得=一 或=一,Q 1 12当 上=一 时，X2=9

24、0,不 符 合 题 意，舍 去；当 上=一 时，尼=12,XI=y,符 合 题 意.所 以，攵 的 值 为 一 看 22.(2018浙 江 高 考)如 图，已 知 点 P 是 y 轴 左 侧(不 含 y 轴)一 点，抛 物 线 C：V=4 x 上 存 在 不 同 的 两 点 A,3 满 足 鬼，P B 的 中 点 均 在。上.(1)设 A 3 中 点 为 M,证 明：P M 垂 直 于 y 轴；(2)若 P 是 半 椭 圆 f+，=l(x6-4xo=-4xo-4xo+4e 4,5.因 此，B 面 积 的 取 值 范 围 是 6隹 呼 23.(2018全 国 卷 I)设 抛 物 线 C：丁 二

25、级，点 A(2,0),B(-2,0),过 点 A 的 直 线/与 C 交 于 M,N 两 点.(1)当/与 x 轴 垂 直 时，求 直 线 的 方 程；(2)证 明：Z A B M=ZABN.解(1)当/与 x 轴 垂 直 时，/的 方 程 为 x=2,可 得 M 的 坐 标 为(2,2)或(2,-2).所 以 直 线 B M 的 方 程 为 y=x+或 y=xl.(2)证 明：当/与 x 轴 垂 直 时，A B 为 线 段 M N 的 垂 直 平 分 线，所 以/A B M=NABN.当 直 线/与 x 轴 不 垂 直 时，设 直 线/的 方 程 为=网%2)伏 WO),M(xi,yi),N

26、(X2,2),则 Xl0,X20.y=k(x1),2由 j,-得 Zy22y4左=0,可 知 yi+y2=E，”=4.iy=2z,K直 线 BM,B N 的 斜 率 之 和 为 AB”+ABN=加，2+口；2X2.yi+m”+2()1+v)(xi+2)(x2+2),.将 xi=?+2,*2=+2 及 yi+2,yi”的 表 达 式 代 入 式 分 子，可 得 K K2yly2+4 左(_yi+y2)8+8X2yi+xyz+2y+)=工=-1-=0.所 以 依 M+ABN=0,可 知 8M,B N 的 倾 斜 角 互 补，所 以 N A B M=N A B N.综 上，/A B M=NABN.2

27、4.(2018全 国 卷 II)设 抛 物 线 C：尸=4%的 焦 点 为 F 过 F 且 斜 率 为 网 心 0)的 直 线/与 C 交 于 A,B 两 点,|AB|=8.(1)求/的 方 程；(2)求 过 点 A,8 且 与 C 的 准 线 相 切 的 圆 的 方 程.解 由 题 意，得 尸(1,0),/的 方 程 为 y=Z(x1)伙 0).设 A(xi,yi),3(x2,|y=ZQ1),由 0,故 xi+x2=-p-.4必+4所 以 HB|=M W+|BF|=(如+l)+(X2+l)=p.4d+4由 题 设 知 一 后 一=8,解 得=1(舍 去)，k=l.因 此，I的 方 程 为 y

28、=x-l.(2)由(1),得 A B 的 中 点 坐 标 为(3,2),所 以 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 y2=(x3),即 y=-x+5.设 所 求 圆 的 圆 心 坐 标 为(次，声)，则yo=xo+5,9(yox()+i)_(xo+1)2=2+16,xo3,xo=11,解 得 c 或 Nlyo=2 lyo=-6.因 此，所 求 圆 的 方 程 为(x3)2+。-2)2=16或(x11)2+。+6)2=144.25.(2018全 国 卷 川)已 知 斜 率 为 人 的 直 线/与 椭 圆 C：+=1 交 于 A,B两 点.线 段 A 3 的 中 点 为 M(l,机)。心 0).(

29、1)证 明：一 4(2)设 尸 为。的 右 焦 点，P 为 C 上 一 点，且 尸 产+放+尸 8=0.证 明：2下 2|=|放 l+|FB|.证 明(1)设 A(xi,yi),B(xi,yi),则+g=l,访 少 如 讨 论,刀 一 x+x2 y+y2两 式 相 减，并 由 一 攵 仔 A+&，k0.x-X2 4 3.血、八 尤 i+及.yi+y2 丁 目，3由 就 吹 知 2=，2=2，于 k=-4/,3 3 1由 题 设 得 m 0,即 0zn2,故 k一 1.由 题 意 得 尸(1,0).设 尸(孙”)，则 由(1)及 题 设 得(X31,*)+(x1 1,yi)+(X21,)=(0,

30、0),X3=3(+x2)=l,V3(yi+y2)2m+y 仁 y(XL 1)2+31=2.同 理 尸=2 I所 以|胡|+尸 8|=4/Qi+X2)=3.故 2下 P|=|E4|+|FB|.26.（2018 江 苏 高 考）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，椭 圆。过 点（小，焦 点、Fl（一 小,0）,尸 2（小，0）,圆。的 直 径 为 四 尸 2.（1）求 椭 圆 C 及 圆。的 方 程；设 直 线/与 圆。相 切 于 第 一 象 限 内 的 点 P.若 直 线/与 椭 圆。有 且 只 有 一 个 公 共 点，求 点 尸 的 坐 标；直 线/与 椭 圆 C 交 于 A,8 两

31、点.若 048的 面 积 为 半，求 直 线 I的 方 程.解（1）因 为 椭 圆 C 的 焦 点 为 尸|（一 4,0）,尸 2（小，0）可 设 椭 圆 c 的 方 程 为 立 奈=1伍。0）.又 点 Q 份，在 椭 圆。上，所 以/+4 一 1，解 得./一/=3,屋=4,扶=1,因 此 椭 圆。的 方 程 为 上 十 丁=1.因 为 圆。的 直 径 为 所 以 其 方 程 为 f+y2=3.（2）设 直 线/与 圆 O 相 切 于 P（xo,jo）（xoO,oO）,则 xG+y8=3,所 以 直 线/的 方 程 为 y=一 比（尤 一 xo）+y o,即 尸 一 牛 十 楙.消 去 y,

32、得(4而+的)x224xox+364y8=O.(*)因 为 直 线/与 椭 圆 C 有 且 只 有 一 个 公 共 点，所 以/=（24xo）24（4+y8）（364网）=48京（而-2）=0.因 为 xoO,yoO,所 以 无 o=啦，yo=l.因 此 点 P 的 坐 标 为（啦，1）.因 为 三 角 形 0 4 8 的 面 积 为 邛，所 以;4 8卜|。|=半，从 而 依 用=早.设 A(xi,yi),B(X29”),24x()土 yj 48)3(X3不 2(4x6+y)由(*)式 得 Xl,2=所 以 1 阴 2=(X f)2+3 券)2=(i+2；鬻%)?.因 为+济=3,所 以|A

33、3|2=；)=,，即 2x845届+100=0,解 得 益=|(而=20舍 去)，则 网=今 因 此 点 尸 的 坐 标 为。卑，由.综 上，直 线/的 方 程 为 丁=小 x+3，I27.(2018北 京 高 考)设 函 数 凡 灯=加 一(3a+l)x+3a+2e*.(1)若 曲 线 y=/U)在 点(2,X2)处 的 切 线 斜 率 为 0，求。；(2)若/U)在 x=l 处 取 得 极 小 值，求 a 的 取 值 范 围.解(1)因 为)=加 一(3a+l)x+3a+2e)所 以/(x)=ax2(6?+l)x+1 e/=(2QG由 题 设 知/(2)=0,即(2。-1把 2=0,解 得

34、 a=；.(2)解 法 一：由(1)得，(x)=ax2(a+l)x+1=(以 一 1)(九 一 l)e；若 a,则 当 X d g 1)时，/(x)vo；当 尤 G(l,+8)时，/(x)0.所 以 段)在 X=1 处 取 得 极 小 值.若 a W l,则 当 x6(o,l)时，以 一 lWx-l0.所 以 1不 是 於)的 极 小 值 点.综 上 可 知，a 的 取 值 范 围 是(1,+).解 法 二：f(x)=(arl)(x1户.当 a=0 时，令/(x)=0得 x=l./(x),加)随 x 的 变 化 情 况 如 下 表:X(8,1)1(1,+8)f（X）+0fix)极 大 值.；/

35、U）在 X=1 处 取 得 极 大 值，不 符 合 题 意.当。0 时，令/（x）=0 得 xi=5，X2=l.a.当 xi=X2,即。=1 时，/（x）=（x1）220,.求 X）在 R 上 单 调 递 增，./a）无 极 值，不 符 合 题 意.b.当 汨 及，即 0al时，f（x）,/U）随 x 的 变 化 情 况 如 下 表:X(一 8,1)1(Ja1a(1,+Jaf（X）+00+於）极 大 值 极 小 值 在 X=1 处 取 得 极 大 值，不 符 合 题 意.C.当 X11 时，/（X）,凡）随 X 的 变 化 情 况 如 下 表:X(-Ja1aa1(1,+0)f M+00+式 X

36、）极 大 值 极 小 值.7/U）在 X=1 处 取 得 极 小 值，即 1满 足 题 意.当。0 时，令/（x）=0 得 Xl=5，X2=l./（x）,段）随 光 的 变 化 情 况 如 下 表：X(i Jaa(1Ja1(1,+8)/（X）0+0於）极 小 值 极 大 值.7/U)在 X=1处 取 得 极 大 值，不 符 合 题 意.综 上 所 述，a 的 取 值 范 围 为(1,+).28.(2018天 津 高 考)设 函 数 y(x)=(x-fi)(x(x一 白),其 中 力，t2,ftGR,且 九，2,h 是 公 差 为 4 的 等 差 数 列.(1)若/2=0,d=,求 曲 线 y=

37、/(x)在 点(0,.*0)处 的 切 线 方 程；(2)若 d=3,求 火 x)的 极 值；(3)若 曲 线 y=/(九)与 直 线 y=(x-一&打 有 三 个 互 异 的 公 共 点,求 d 的 取 值 范 围.解(1)由 已 知，可 得 人 x)=x(xl)(x+D=必 一 x，故(x)=3/-1,因 此.*0)=0,/(0)=1,又 因 为 曲 线 y=/U)在 点(0次 0)处 的 切 线 方 程 为 y-/(0)=/(0)(x-0),故 所 求 切 线 方 程 为 x+y=0.由 已 知 可 得 加)=。一/2+3)。一/2)。一/2 3)=。一/2)3 9(九 一 二 炉 一？

38、/”+(3 4 9)X6+%2.故，(%)=3-6/u+3/2-9.令/a)=o，解 得 x=t2一 小 或 尤=女+小.当 X变 化 时，/(X),凡 X)的 变 化 情 况 如 下 表：X(,f21 小)，2小 2小，tz+事)段 十 小+5,+)f(x)+00+於)极 大 值 极 小 值 所 以 函 数/(X)的 极 大 值 为 1/2小)=(一 小)3 9X(小)=6小；函 数/U)的 极 小 值 为 7(72+小)=(小)3-9 X小=-6 步.(3)曲 线 y=/(x)与 直 线 y=一(X 一 6小 有 三 个 互 异 的 公 共 点 等 价 于 关 于 x 的 方 程(Xf2+

39、J)(x-f 2 J)+(X短)+6小=0 有 三 个 互 异 的 实 数 解，令 u=x一 tii可 得 7+(1一 心)+6小=0.设 函 数 8。)=炉+(1一 1)X+6小，则 曲 线 y=/(x)与 直 线 y=(xf2)6小 有 三 个 互 异 的 公 共 点 等 价 于 函 数 y=g(x)有 三 个 零 点.g1(x)=3x2+(l#).当 心 w i时，g a)e o,这 时 g(x)在 R 上 单 调 递 增，不 符 合 题 意.当 淤 1时，由 g(%)=0,解 得 的=展 I,X2=1+2易 得，g(x)在(-8,XI)上 单 调 递 增，在 xi,X2上 单 调 递

40、减，在(X2,+)单 调 递 增.(、庐 川 23(-1)1g(x)的 极 大 值 g(R)=g-七 石 一 J=9+6小。(户 2小(心 1),g(X)的 极 小 值 g(X2)=gV 小=g+6小.若 g(x2)20,由 g(x)的 单 调 性 可 知 函 数 y=g(x)至 多 有 两 个 零 点，不 符 合 题 意.3若 g(X2)V0,即(法-1)27,也 就 是 同,此 时 依 X2,g(M)=M+6 s 0,且 一 2|M九 i，g(2|/|)=6|/|32|J|+6/362,/TO+6/3881n2；(2)若 a W 3 41n 2,证 明：对 于 任 意 攵 0,直 线=五+

41、。与 曲 线 y=r)有 唯 一 公 共 点.证 明 函 数 段)的 导 函 数/(刘=4 一 二 由/)=/(也)得 忐 一 5=志 一 因 为 xi W 九 2,所 以 I-+I-=5.yjxi y/x2 2因 为 XI W%2,所 以 X1X2256.由 题 意 得 y(xi)+X-V2)=-/京 In xi-1-yx2In xi=3/幻 九 2In(xi九 2).设 g(x)=/&-In 九，则 g。)=之(5 4),所 以 x(0,16)16(16,+0)g W0+gU)2-41n2所 以 g(x)在 256,+8)上 单 调 递 增，故 g(xi%2)g(256)=881n 2,即

42、/Ui)+/U2)8 81n 2.令 加=广(乜)，=(同 贝 i j人 加)一 km(X a kkaNO,危)T-a 巾 竽 T)0,所 以 存 在 xod(m,)使 兀)=e0+。，所 以 对 于 任 意 的 a G R 及 46(0,+),直 线 y=A x+a与 曲 线 y=/(x)有 公 共 点.,，口 A/XIn x-a由 fix)=kx+a 何 k-.、”A/X-In x-a设 A(x)=J-,n l,l n x-l+a _ g(x)_+则(x)-f f,其 中 g(x)=，-Inx.由(1)可 知 g(x)2 g(1 6),又 aW341n2,故 一 g(x)1+a 0,判 断

43、 是 否 存 在 匕 0,使函 数/U)与 g(x)在 区 间(0,+8)内 存 在“S 点”，并 说 明 理 由.解(1)证 明：函 数 x)=x,g(x)=/+2 x 2,则/(x)=l，g(x)=2x+2.由 於)=g(x)且 G(x)=g(x),得 x=x2+2 r-2,c 此 方 程 组 无 解，U=2 x+2,因 此，於)与 g(不 存 在“S 点”.函 数 於)=加 一 1,g(x)=l n x,则/(x)=2ox,g(x)=.设 xo 为 r)与 g(x)的 S 点”,由/(xo)=g(xo)且/(x o)=g(x o),得-1=ln xo,1 即 2以。一 三，a 1=ln2

44、cix=19xo,*)得 In%0=-2 即 xo=e错 误！，则。=错 误！=错 误!.p当 时，xo=e错 误!满 足 方 程 组(*),即 xo为./U)与 g(x)的 S 点.因 此,。的 值 为 宗(3)对 任 意 0,设 h(x)=xi 3 f ax-ra.因 为/2(0)=Q 0,/z(l)=l3+=2 V 0,且(冗)的 图 象 是 不 间 断 的,2y3所 以 存 在 M)(0,1),使 得 必 知)=0,令-；，则 力 0.e)(l xo)be*函 数 凡 r)=-f+a,g(x)=V,则/(x)=-2 x,g(x)=-*2 D由 犬 x)=g(x)且/a)=g()，得 r

45、,妈 x1+a，*h e x-1)H=-7，9.2 ev即 42x8 式 1-1)(*)-2 x=exo(l-xo)f此 时,0满 足 方 程 组(*),即 X 0是 函 数 火 x)与 g(x)在 区 间(0,1)内 的 一 个“S点”.因 此，对 任 意。0,存 在/0,使 函 数 火 X)与 g(x)在 区 间(0,+8)内 存 在“S点”.31.(2018全 国 卷 III)已 知 函 数 外)=加+尢 一 1(1)求 曲 线 y=/U)在 点(0,1)处 的 切 线 方 程;(2)证 明：当 时，.*x)+e2 0.解(i)r-l)x+2ex,(0)=2.因 此 曲 线 y=/U)在

46、 点(0,-1)处 的 切 线 方 程 是 2A y-1=0.(2)证 明：当 时，./O O+eN lf+x1+e 1 e 令 g(x)=f+x l+e I则 g(x)=2x+l+et+L当 x-l 时，g(x)时，g(x)0,g(x)单 调 递 增；所 以 g(x)2g(l)=0.因 此/(x)+e2 0.32.(2018全 国 卷 II)已 知 函 数 应 x)=gx3a(N+x+1).(1)若 a=3,求/U)的 单 调 区 间；(2)证 明：/(x)只 有 一 个 零 点.解(1)当。=3 时，./(AOugx33 f 3x3,f(x)=f 6x3.令/(x)=0,解 得 x=3 2

47、小 或%=3+2小.当 xG(8,32#)U(3+2小，+8)时，/。)0；当 工(32小，3+2小)时，f(x)o,所 以 7 U)=0等 价 于 炉+3a=0.设 g(x)=x 2 1+-3 a,则 g。)=省 二?2 0,仅 当 x=0 时 g(x)=0,所 以 g(x)在(一 8,+8)上 单 调 递 增.故 g(x)至 多 有 一 个 零 点，从 而 兀 r)至 多 有 一 个 零 点.3a I)2 1 0,故/(x)有 一 个 零 点.综 上，/U)只 有 一 个 零 点.33.(2018全 国 卷 I)已 知 函 数 yCx)=ae“一 lnxl.设 x=2 是/U)的 极 值

48、点，求 m 并 求“r)的 单 调 区 间；(2)证 明：当“2 5 寸，x)20.解(1 求 x)的 定 义 域 为(0,+),f(x)=aev由 题 设 知，/(2)=0,所 以。=5.b 1,1 1 xex 22从 而 4%)=五 是，一 Inx1,f(x)=2eA-=一 1 一.当 042 时，f(x)2 时，f(x)0.所 以 4x)在(0,2)上 单 调 递 减，在(2,十 8)上 单 调 递 增.|e*(2)证 明：当 1时，Inx1.p K 1 e设 g(x)=W_lnx-l,则 g W=T-=ejc.当 0al时，g(x)l时，g(x)0.所 以 x=l 是 g(x)的 最 小 值 点.故 当 x0 时，g(x)Ng(l)=0.因 此，当 时，/U)20.