第25届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答.pdf

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1、第 2 5届 全 国 中 学 生 物 理 竞 赛 复 赛 理 论 试 题 参 考 解 答 一、答 案 I.1.3 x l0142.kg%m%-sT 1.06xl0-5(答 105x10-5 也 给)33.-T T4二、参 考 解 答：I.椭 圆 半 长 轴。等 于 近 地 点 和 远 地 点 之 间 距 离 的 一 半，亦 即 近 地 点 与 远 地 点 矢 径 长 度(皆 指 卫 星 到 地 心 的 距 离)4 与 4 的 算 术 平 均 值，即 有 J+R(1)(2)(3)(4)(5)a=；(心+斤)=；(/+R)+(f+R)=；(H/代 入 数 据 得 a=3.1946x1(/km椭 圆

2、 半 短 轴 b等 于 近 地 点 与 远 地 点 矢 径 长 度 的 几 何 平 均 值，即 有=无 代 入 数 据 得=1.942x1()4 km椭 圆 的 偏 心 率 a2-b2e=-a代 入 数 据 即 得 e=0.79412.当 卫 星 在 16小 时 轨 道 上 运 行 时，以 0n和 分 别 表 示 它 在 近 地 点 和 远 地 点 的 速 度，根 据 能 量 守 恒，卫 星 在 近 地 点 和 远 地 点 能 量 相 等，有 1 2 GMm 1 2 GMm-、mv-=m vi-(7)2 rn 2 rf式 中 M 是 地 球 质 量，G 是 万 有 引 力 常 量.因 卫 星

3、在 近 地 点 和 远 地 点 的 速 度 都 与 卫 星 到 地 心 的 连 线 垂 直，根 据 角 动 量 守 恒，有 mvnrn-mv(rf注 意 到 GM(8)由、(8)、(9)式 可 得“=尸 一(1)0 f=%n=j 2-R(ID当 卫 星 沿 16小 时 轨 道 运 行 时，根 据 题 给 的 数 据 有 rn=R+Hn r(=R+H(由(11)式 并 代 入 有 关 数 据 得 v(=1.198 km/s(12)依 题 意，在 远 地 点 星 载 发 动 机 点 火，对 卫 星 作 短 时 间 加 速，加 速 度 的 方 向 与 卫 星 速 度 方 向 相 同，加 速 后 长

4、轴 方 向 没 有 改 变，故 加 速 结 束 时，卫 星 的 速 度 与 新 轨 道 的 长 轴 垂 直，卫 星 所 在 处 将 是 新 轨 道 的 远 地 点.所 以 新 轨 道 远 地 点 高 度=%=5.0930 x1()41，但 新 轨 道 近 地 点 高 度=6.00 xl()2 km.由(11)式，可 求 得 卫 星 在 新 轨 道 远 地 点 处 的 速 度 为 V；=1.230 km/s(13)卫 星 动 量 的 增 加 量 等 于 卫 星 所 受 推 力 厂 的 冲 量，设 发 动 机 点 火 时 间 为 加，有 mvf-uf)=F/V(14)由(12)、(13)、(14)

5、式 并 代 入 有 关 数 据 得 A/=1.5X102S(约 2.5 分)(15)这 比 运 行 周 期 小 得 多.3.当 卫 星 沿 椭 圆 轨 道 运 行 时，以，表 示 它 所 在 处 矢 径 的 大 小，。表 示 其 速 度 的 大 小，0表 示 矢 径 与 速 度 的 夹 角，则 卫 星 的 角 动 量 的 大 小 L=nnv sin 0=2 m a(16)其 中(7=rvsr6(17)2是 卫 星 矢 径 在 单 位 时 间 内 扫 过 的 面 积，即 卫 星 的 面 积 速 度.由 于 角 动 量 是 守 恒 的，故(7是 恒 量.利 用 远 地 点 处 的 角 动 量，得

6、又 因 为 卫 星 运 行 一 周 扫 过 的 椭 圆 的 面 积 为 S iuih(19)所 以 卫 星 沿 轨 道 运 动 的 周 期 ST=(20)由(18)、(19)、(20)式 得 代 入 有 关 数 据 得(21)T=5.678 x 1(/$(约 15 小 时 46 分)(22)注：本 小 题 有 多 种 解 法.例 如，由 开 普 勒 第 三 定 律，绕 地 球 运 行 的 两 手 卫 星 的 周 期 r 与 之 比 的 平 方 等 于 它 们 的 轨 道 半 长 轴。与。之 比 的 立 方，即 若 a。是 卫 星 绕 地 球 沿 圆 轨 道 运 动 的 轨 道 半 径，则 有

7、代 入 有 关 数 据 便 可 求 得(22)式.4.在 绕 月 圆 形 轨 道 上，根 据 万 有 引 力 定 律 和 牛 顿 定 律 有 G Mmm/2兀、2 卜 二 叫 噌)一(23)这 里+是 卫 星 绕 月 轨 道 半 径，M m 是 月 球 质 量.由(23)式 和(9)式，可 得 gR弋(24)代 入 有 关 数 据 得 M7=0.0124M(25)三、参 考 解 答：足 球 射 到 球 门 横 梁 上 的 情 况 如 图 所 示(图 所 在 的 平 面 垂 直 于 横 梁 轴 线).图 中 B表 示 横 梁 的 横 截 面，。为 横 梁 的 轴 线:VOt0 Q；为 过 横 梁

8、 轴 线 并 垂 直 于 轴 线 的 水 平 线；A表 示 足 球，。2为 其 球 心；。点 为 足 球 与 横 梁 的 碰 撞 点，碰 撞 点 o 的 位 置 由 直 线 与 水 平 线 a a 的 夹 角。表 示.设 足 球 射 到 横 梁 上 时 球 心 速 度 的 大 小 为。,方 向 垂 直 于 横 梁 沿 水 平 方 向，与 横 梁 碰 撞 后 球 心 速 度 的 大 小 为。，方 向 用 I它 与 水 平 方 向 的 夹 角 夕 表 示(如 图).以 碰 撞 点。为 原 点 作 直 角 坐 标 系 Oxy,y轴 与。2。0|重 合.以 预 表 示 碰 前 速 度 的 方 向 与

9、y轴 的 夹 角，以 a表 示 碰 后 速 度 的 方 向 与 y轴(负 方 向)的 夹 角，足 球 被 横 梁 反 弹 后 落 在 何 处 取 决 于 反 弹 后 的 速 度 方 向，即 角 a的 大 小.以 Fx表 示 横 梁 作 用 于 足 球 的 力 在 x方 向 的 分 量 的 大 小，Fy表 示 横 梁 作 用 于 足 球 的 力 在 y方 向 的 分 量 的 大 小，加 表 示 横 梁 与 足 球 相 互 作 用 的 时 间，机 表 示 足 球 的 质 量，有 K FQt=mvy+mvOy(2)式 中 q)x、%和 先 分 别 是 碰 前 和 碰 后 球 心 速 度 在 坐 标

10、系 Oxy中 的 分 量 的 大 小.根 据 摩 擦 定 律 有 K=y(3)由、(2)、(3)式 得(4)一%+0 y根 据 恢 复 系 数 的 定 义 有%=e%(5)因 tan a0=%(6)vtan a=%(7)由(4)、(5)、(6)、(7)各 式 得 tan a=tan aQ-/1+-(8)由 图 可 知(p=0+a(9)若 足 球 被 球 门 横 梁 反 弹 后 落 在 球 门 线 内，则 应 有 9 2 90在 临 界 情 况 下，若 足 球 被 反 弹 后 刚 好 落 在 球 门 线 上，这 时 e=90.由(9)式 得 tan(90=tana(10)(11)因 足 球 是

11、沿 水 平 方 向 射 到 横 梁 上 的，故 a。=6,有-tan 1+j(12)tan。e e J这 就 是 足 球 反 弹 后 落 在 球 门 线 上 时 入 射 点 位 置。所 满 足 的 方 程.解(12)式 得 代 入 有 关 数 据 得 tan 8=1.6(14)8=58(15)现 要 求 球 落 在 球 门 线 内，故 要 求 0 58(16)四、参 考 解 答：1.当 阀 门 F关 闭 时，设 封 闭 在 M 和 B 中 的 氢 气 的 摩 尔 数 为 小，当 B处 的 温 度 为 7 时，压 力 表 显 示 的 压 强 为 p,由 理 想 气 体 状 态 方 程，可 知 B

12、 和 M 中 氢 气 的 摩 尔 数 分 别 为=IB 曾 IM RT()式 中 R为 普 适 气 体 恒 量.因 B+IM解(1)、(2)、(3)式 得 1 _ 代 1%T VR p%(4)或T=PnxR彳 VM%”p（4）式 表 明，,与 成 线 性 关 系，式 中 的 系 数 与 仪 器 结 构 有 关.在 理 论 上 至 少 要 测 得 两 个 已 T P知 温 度 下 的 压 强，作,对 L 的 图 线，就 可 求 出 系 数.由 于 题 中 己 给 出 室 温 n 时 的 压 强 po,故 T P至 少 还 要 测 定 另 一 己 知 温 度 下 的 压 强，才 能 定 量 确 定

13、 T与 p之 间 的 关 系 式.2.若 蒸 气 压 温 度 计 测 量 上 限 温 度 7；时 有 氨 气 液 化，则 当 B处 的 温 度 TK7；时，B、M 和 E中 气 态 氢 的 总 摩 尔 数 应 小 于 充 入 氢 气 的 摩 尔 数.由 理 想 气 体 状 态 方 程 可 知 充 入 氢 气 的 总 摩 尔 数+%+%）（6）-RT。假 定 液 态 氢 上 方 的 气 态 氨 仍 可 视 为 理 想 气 体，则 B中 气 态 氢 的 摩 尔 数 为（7）-B RT在（7）式 中，己 忽 略 了 B中 液 态 氢 所 占 的 微 小 体 积.由 于 蒸 气 压 温 度 计 的 其

14、 它 都 分 仍 处 在 室 温 中，其 中 氢 气 的 摩 尔 数 为 必+/（%+%）2M+%E 口 下 刈 0根 据 要 求 有 2B+2M+2E 工 2（9）解（6）、（7）、（8）、（9）各 式 得 九（10）（P o-P、M代 入 有 关 数 据 得 V,+VE18VB（11）五、答 案 与 评 分 标 准：1.-=2 收=0.59（3 分）2（2 分）V2+12.如 图（15分.代 表 电 流 的 每 一 线 段 3 分，其 中 线 段 端 点 的 横 坐 标 占 1分，线 段 的 长 度 占 1分,线 段 的 纵 坐 标 占 1分）六、参 考 解 答：如 果 电 流 有 衰 减

15、，意 味 着 线 圈 有 电 阻，设 其 电 阻 为 R,则 在 一 年 时 间 f 内 电 流 通 过 线 圈 因 发 热 而 损 失 的 能 量 为 E=Rt（1）以 夕 表 示 铅 的 电 阻 率，S表 示 铅 丝 的 横 截 面 积，/表 示 铅 丝 的 长 度，则 有 R=p（2）S电 流 是 铅 丝 中 导 电 电 子 定 向 运 动 形 成 的，设 导 电 电 子 的 平 均 速 率 为。，根 据 电 流 的 定 义 有 I-Svne（3）所 谓 在 持 续 一 年 的 时 间 内 没 有 观 测 到 电 流 的 变 化，并 不 等 于 电 流 一 定 没 有 变 化，但 这 变

16、 化 不 会 超 过 电 流 检 测 仪 器 的 精 度/,即 电 流 变 化 的 上 限 为/=：!.0 m A.由 于 导 电 电 子 的 数 密 度 凡 是 不 变 的，电 流 的 变 小 是 电 子 平 均 速 率 变 小 的 结 果，一 年 内 平 均 速 率 由。变 为 v-v,对 应 的 电 流 变 化 A/=neSo（4）导 电 电 子 平 均 速 率 的 变 小，使 导 电 电 子 的 平 均 动 能 减 少，铅 丝 中 所 有 导 电 电 子 减 少 的 平 均 动 能 为 ISrunvv（5）由 于/,所 以 A o v c o,式 中 Ao的 平 方 项 已 被 略 去

17、.由（3）式 解 出 V,（4）式 解 出 A。,代 入（5）式 得=ImIMne2S(6)铅 丝 中 所 有 导 电 电 子 减 少 的 平 均 动 能 就 是 一 年 内 因 发 热 而 损 失 的 能 量，即 Ek=A(7)由、(2)、(6)、(7)式 解 得 0=%(8)ne1 It式 中 t-365x 24x 3600s=3.15x 107s(9)在(8)式 中 代 入 有 关 数 据 得 p=1.4 xl(T26c.m(10)所 以 电 阻 率 为 0的 结 论 在 这 一 实 验 中 只 能 认 定 到 p=P(5)即 圆 盘 单 位 时 间 内 接 收 到 的 能 量 与 单

18、位 时 间 内 辐 射 的 能 量 相 等 时，圆 盘 达 到 稳 定 状 态，其 温 度 达 到 最 高.由、(3)、(4)、(5)各 式 得依 题 意，薄 圆 盘 半 径 为 太 阳 的 像 的 半 径 尺 的 2 倍，即 尺=2尺.由 透 镜 成 像 公 式 知 R R 于 是 有 RD=2 与(8)之 把(8)式 代 入(6)式 得 4=()条 4%代 入 已 知 数 据，注 意 到 7；=(273.15+4)K,7b=1.4X103K(10)即 有 rD=7-273.15=1.lxl03(11)八、参 考 解 答：1.根 据 爱 因 斯 坦 质 能 关 系，3H和 3He的 结 合

19、能 差 为 B=(mn-mp-w,H+w，He)c2(1)代 入 数 据，可 得 AB=0.763 MeV(2)2.3He的 两 个 质 子 之 间 有 库 仑 排 斥 能，而 3H没 有.所 以 3H与 3He的 结 合 能 差 主 要 来 自 它 们 的 库 仑 能 差.依 题 意，质 子 的 半 径 为 不，则 3He核 中 两 个 质 子 间 的 库 仑 排 斥 能 为 线、若 这 个 库 仑 能 等 于 上 述 结 合 能 差，Ec=A B,则 有 大=ke12AB代 入 数 据，可 得 rN=0.944 fm(4)(5)3.粗 略 地 说，原 子 核 中 每 个 核 子 占 据 的 空 间 体 积 是(2人 了.根 据 这 个 简 单 的 模 型，核子 数 为 4 的 原 子 核 的 体 积 近 似 为 V=A(2)3=8 A 3另 一 方 面，当 4 较 大 时，有 V R33由(6)式 和(7)式 可 得 R 和 A 的 关 系 为(6)(7)其 中 系 数 把(5)式 代 入(9)式 得(9)(10)由(8)式 和(10)式 可 以 算 出 208 P b 的 半 径 跖=6.93fm(11)