专题突破练22　圆锥曲线中的范围、最值、证明问题.pdf

《专题突破练22　圆锥曲线中的范围、最值、证明问题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题突破练22　圆锥曲线中的范围、最值、证明问题.pdf（5页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专 题 突 破 练 2 2 圆 锥 曲 线 中 的 范 围、最 值、证 明 问 题 1.(2021河 北 唐 山 一 模)已 知 抛 物 线 E;d=4y,点 P(l,-2),斜 率 为 k(Q0)的 直 线/过 点 P,与 E 相 交 于 不 同 的 两 点 AB.(1)求 的 取 值 范 围；(2)斜 率 为/的 直 线 加 过 点 P,与 E 相 交 于 不 同 的 点 C,。,证 明:直 线 A C、直 线 B Q 及 y轴 围 成 等 腰 三 角 形.2.(2021.山 东 潍 坊 三 模)设 抛 物 线 C:f=2py(p0)的 焦 点 为 F,点 P(m,2)(?0)在 抛 物

2、线 C 上,且 满 足|PF|=3.(1)求 抛 物 线 C 的 标 准 方 程；(2)过 点 G(0,4)的 直 线/与 抛 物 线 C 交 于 A,B两 点,分 别 以 4,8为 切 点 的 抛 物 线 C 的 两 条 切 线 交 于 点 Q,求 周 长 的 最 小 值.3.(2021广 东 深 圳 一 模)设。是 坐 标 原 点，以 Q,尸 2为 焦 点 的 椭 圆 谆+，=1(0)的 长 轴 长 为 2企,以 的 尸 2|为 直 径 的 圆 和 C 恰 好 有 两 个 交 点.(1)求 C 的 方 程；(2)P是 C 外 的 一 点，过 P 的 直 线/12均 与 C 相 切，且 人,

3、/2的 斜 率 之 积 为/(-1 m 60)的 短 轴 长 为 2,离 心 率 为 里(1)求 椭 圆 C 的 方 程；(2)点 P 是 椭 圆 C 上 一 点，且 在 第 一 象 限 内，过 P 作 直 线 交 y 轴 正 半 轴 于 A 点，交 x 轴 负 半 轴 于 B 点，与 椭 圆 C 的 另 一 个 交 点 为 瓦 且 点。是 P 关 于 x 轴 的 对 称 点，直 线 Q A 与 椭 圆 C 的 另 一 个 交 点 为 F.ilE明:直 线 AQ,AP的 斜 率 之 比 为 定 值；求 直 线 E F 的 斜 率 的 最 小 值.5.(2021.河 北 唐 山 三 模)在 平

4、面 直 角 坐 标 系 xOy中 工(-1,0),B(1,O),C为 动 点，设 B C 的 内 切 圆 分 别 与 边 AC,8cAB相 切 于 P,Q,R,且|CP|=1,记 点 C 的 轨 迹 为 曲 线 E.(1)求 曲 线 E 的 方 程；(2)不 过 原 点 O 的 直 线/与 曲 线 E 交 于 MN,且 直 线 尸)经 过 M N 的 中 点 T,求 4 0 M N 的 面 积 的 最 大 值.6.(2021河 南 九 师 联 盟 联 考)在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，椭 圆。:马+4=1360)的 离 心 率 为 望 短 轴 的 一 个 端 点 的 坐 标 为(0

5、,-1).(1)求 椭 圆 C 的 方 程；点 P 为 椭 圆 C 的 右 焦 点,过 椭 圆 C 上 一 点 A(xi,yD(xiyi#O)的 直 线/i：x1x+2yiy=2与 直 线 L：x=2交 于 点 P,直 线 A F 交 椭 圆 C 于 另 一 点 B,设 A 8 与 0 P 交 于 点。.证 明：ZAFP=,2 为 线 段 A 8 的 中 点.专 题 突 破 练 2 2 圆 锥 曲 线 中 的 范 围、最 值、证 明 问 题 1.(1)解 由 题 意 设/的 方 程 为 y+2=k(x-1),与/=4)，联 立 得,/-4区+4%+8=0.由 J0 得-上 20,即 K-1 或

6、 k2.又%0,所 以 女 的 取 值 范 围 是(2,+8).证 明 设 A(xi,yi),B(x2,y2),Ca3,y3),O(x4,y4),由 可 得 x+x2=4k.由 题 意 设 m 的 方 程 为 y+2=-Z(x-l),与 W=4y联 立 得 1+4 6-4攵+8=0,得 X3+X4=-4Z.公，二 为-乃=x专-好 X3-X1 4(X3-%1)空 同 理 而 空 因 为 MC+ZBO=空 垃=0,所 以 直 线 A C、直 线 8。及 y 轴 围 成 等 腰 三 角 形.2.解 由 抛 物 线 定 义，得|PF|=2+=3,得 p=2,故 抛 物 线 C的 标 准 方 程 为

7、X2=4(2)设 A(xi,yD,3(x2,y2),直 线/的 方 程 为 y=kx+4,联 立”W+4,消 去 无，得 姨 4履-16=0,U=4y,A 0,xi+X2=4kX2=-16.设 处 的 切 线 斜 率 分 别 为 kl,左 2,则 匕 呼 火 2考,2在 点 A 处 的 切 线 方 程 为 y-yi=与(%-幻),即 产 乎-，Z Z 42同 理，在 点 8 处 的 切 线 方 程 为 产 零 一 今，Z 4由 得 3=3 苧=24,代 入 或 中 可 得 y=bci-?=yi-4-yi=-4,故 Q(2A,-4),即 点 Q在 定 直 线)=-4上.设 点 G 关 于 直 线

8、 产-4 的 对 称 点 为 G；则 G0,-12),由 知 P(2a,2),:|PQ+|GQ=|PQ+|GQ2|GP|=2同，即 P,Q,G三 点 共 线 时 等 号 成 立，.：P Q G 周 长 的 最 小 值 为|GP|+1 G 了|=2同+2V3.3.解 由 题 意 可 得 24=2或，故 a=y2.因 为 以 日 放|为 直 径 的 圆 和 C 恰 好 有 两 个 交 点，则 b=c,。2+/=2匕 2=/=2,可 得 A=c=L因 此 椭 圆 C 的 方 程 为 彳+)2=1.(2)由 题 意 可 知，直 线/“2的 斜 率 存 在 且 不 为 零，设 过 点 P(xo,yo)的

9、 切 线 l:y-yo=k(x-xo),(y-y0=k(x-xo),联 立 消 去 y 可 得 Q S+1)/+4取 W-b0)犬+2任 0-米 0)2-2=0,匕+y=1，由 于 直 线/与 椭 圆。相 切，则=16必(加 版)2-4(2F+l)2(yo-Ho)2-2=O,化 简 并 整 理 得(yo-kxo)2=2lc+l.整 理 成 关 于 k的 二 次 方 程 得(就-2)d-2xoyoZ+y林 1=0(易 知 x#V 2),设 直 线 一/2的 斜 率 分 别 为 k,ki,易 知 力，依 为 关 于 z 的 二 次 方 程(亚-2)3-2xoyo%+羽-1=0的 两 根，y2_所

10、以-九 羽=加 1+1 2肛 所 以，诏+据=(加+1)就+1 2见 故|PO|二+光=y/(m+1)%Q+l-2m.易 知 当 xo=O 时，有 w=|PO|min=Vl-2m.因 为 所 以 V3,即 的 取 值 范 围 是 四,百.(2b=2,4.(1)解 由 题 意 得=彖 解 得 卜=战 a 2(b=1.(Q 2=廿+c2.丫 2所 以 椭 圆。的 方 程 为 a+V=L 证 明 设 P 点 的 坐 标 为(X 0,”)，因 为 点 Q是 P(xo,yo)关 于 x 轴 的 对 称 点,PA=AB,所 以 Q(xo,-yo)(o,|yo).1 1所 以 直 线 QA的 斜 率 为 处

11、=包 坐=学,P A 的 斜 率 为 妊=至 3=件.%o Z%0%0所 以 辔=-3.所 以 直 线 A Q/P的 斜 率 之 比 为 定 值.kpA 解 设 直 线 PA的 方 程 为 y=kx+m.联 立 方 程 组 哙 2-y2 12化 简 得(l+Z Fl+dk/ru+Z？=。.设 E 点 的 坐 标 是(加),所 以 xoxi=雷.所 以 为=冷 冷 一.所 以 v=出 耍+?.(l+2k)XQ(l+2k)XQ所 以 E 点 的 坐 标 是(2小；2 2k 川+巾).由 可 知，直 线 Q A 的 方 程 是 y=-3日+/九 所 以 厂 点 的 坐 标 是(2m2蓑 叫 1)+(

12、n-i8r)x0(i+i8r)%0/q 吗 1)+i 吟 1)7n所 以 直 线 所 的 斜 率 切=。+个)辫(片)。=空.2m-2 2m-2 4K(1+18/c 2)x720(l+2k，o因 为 攵 0,所 以 近 片 空 31-k6/C-(JvX21-4-+修 1-4V62当 且 仅 当 6 7 即 上 曲 U E F 有 最 小 值 当 所 以 直 线 所 的 斜 率 的 最 小 值 是 当 5.解(1)依 题 意 可 知,|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|二 2|CP|+|A3|=4|A8|,所 以 曲 线 E是 以 A 8 为 焦 点，长 轴 长 为 4 的

13、 椭 圆(除 去 与 x 轴 的 交 点)，因 此 曲 线 E 的 方 程 为+(2)设 M(xi,yi),N(x2,y2),显 然 直 线 I的 斜 率 存 在，设 其 方 程 为)=丘+，(#0),2 2代 入 a+尹 L整 理 得(43+3)/+8的 a+4 m 2-12=0,(*)则、依=专 之 皿 2=我 学 所 以 V+*=总 也)+2吁 岛,故 M N 的 中 点 7 的 坐 标 为(悬 言 而 直 线 广 森 经 过 M N 的 中 点 T,得 手-=J X 坐，又*0,所 以 直 线/的 斜 率 A=|.2 4+3 2 4+3 2故(*)式 可 化 简 为 3%2+3如+加

14、2.3=0,士 1r,m2-3故 xi+X2=-m,xiX2=,由 J=36-3m20且 加 注 0,得 2、22g且 m#0.又|脑 7|=6 中|汨 依|=孚 X 丝 型.=瑞 X g y 左，而 点 O 到 直 线 I的 距 离 21nli713则 OMN 的 面 积 X g称 X 崇 x V12-m2=*1?区 V12-m2 孟 Xm24-12-m2 _当 且 仅 当 初=土 历 时，等 号 成 立，此 时 满 足-2旧 z 1(x-1),代 入 X2+29=2,并 结 合 蜡+2y”2 整 理，得(3-2xi4+2(xi-1)yiy-y*O.设 3(x2,*),则 1+”=-幺 芸 譬.设 A8 中 点 为 R(x(),yo),则.()=了 2=_(?；1刈=叫+心.等 斗 仔,即 吊 兽,一 等 巧，丫 1 J yr L 3-2勺 J 3-2勺 3-2x1 3-2q/所 以 丽=杀 1,手)=法 而,即 如 与 赤 共 线，即 A 3 的 中 点 R 在 直 线 O P 上,从 而 点 R 与。重 合，故。是 线 段 A 8 的 中 点.