导数系统班11、隐零点之零点代换.docx

《导数系统班11、隐零点之零点代换.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数系统班11、隐零点之零点代换.docx（7页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 第十一讲 隐零点之零点代换知识与方法在研究函数单调性时，常常会遇到零点不可求的情形，此时可先论证有零点，再虚设零点，最后运用零点代换，化简函数极值的策略来解决问题，这是隐零点问题常用的处理方法.隐零点的零点代换处理策略被广泛应用于零点讨论、不等式证明、求最值等各种题型中，是零点不可求问题中一个必备的基本处理方法，真题中也十分常见.典型例题【例1】设函数，证明：.证法1：由题意，设，则，所以在上单调递增，又，所以在上有1个零点，且当时，所以，当时，所以，从而在上单调递减，在上单调递增，故，因为，所以，两边取对数得：，故，代入式得，从而，所以.证法2：设，则，所以，从而在上单调递减，在上单调递增

2、，故，所以，故，设，则，所以，故在上单调递减，在上单调递增，从而，因为，所以.证法3：设，则，所以，从而在上单调递增，在上单调递减，故，所以，故，设，则，所以，故在上单调递减，在上单调递增，从而，因为，所以.证法4：易证，所以.【例2】设函数，其中，是自然对数的底数.（1）当时，求的最小值；（2）当时，设的极小值点为，证明：.【解析】（1）当时，所以，从而在上单调递减，在上单调递增，故.（2）当时，所以，从而在上单调递减，在上单调递增，又，所以在R上有两个零点和，其中，且当时，当时，当时，从而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数唯一的极小值点，所以，从而，由于，且在上递减，所以，

3、另一方面，故，所以，易知二次函数在上单调递减，所以，综上所述，即.【反思】遇到零点不可求的情形时，可虚设零点，运用零点代换，化简函数极值的策略来解决问题，这是隐零点问题常用的处理方法.例如在本题中，有一个零点不可求，我们采取的是设该零点为t，利用去化简，再证不等式的方法来处理问题.【例3】已知，是的导函数，其中.（1）当时，证明：存在唯一的，使得；（2）若存在实数a、b，使得恒成立，求的最小值.【解析】（1）由题意，当时，所以在R上单调递增，因为，所以存在唯一的，使得.（2）当时，对任意的，所以对任意的实数b，不可能恒成立；当时，要使恒成立，只需，所以，当时，由（1）可得存在唯一的，使得，且，

4、所以在上单调递减，在上单调递增，从而，因为恒成立，所以，故，又，所以，代入不等式可得，整理得：，设，则，所以，故在上单调递减，在上单调递增，从而，所以，当，时取等号，综上所述，的最小值为.强化训练1.已知函数，其中.（1）当时，证明：有最小值m且；（2）设，且恒成立，求a的取值范围.【解析】（1）当时，所以，从而在上单调递增，又，所以有唯一的零点且，当时，故单调递减，当时，故单调递增，所以有最小值m，且，由可得，从而，因为，所以.（2）由题意，所以在上单调递增，当时，又，所以在上有唯一的零点，设为，则，故在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，代入式可得，所以，结合可解得：，由可得，显然

5、当时，又，所以，故，从而，所以实数a的取值范围是.2.已知函数满足对任意的恒成立，其中e为自然对数的底数.（1）求a的值；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.【解析】（1）由题意，设，则，且恒成立，当时，显然对任意的，不合题意；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，从而，因为恒成立，所以，设，则，所以，从而在上单调递增，在上单调递减，故，即，结合可得只能，且此时，综上所述，实数a的值为1.（2）由（1）可得，所以，设，则，所以，从而在上单调递减，在上单调递增，故，因为，所以在上有一个零点，记作，又，所以共有和0这2个零点，且或，从而或，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以有唯一的极大值点，且，因为，所以，代入化简得：，因为，所以，从而，故，所以，显然，所以，从而，故，所以.3.已知函数（1）若，求函数的极值；（2）若当时，求a的取值范围.【解析】（1）若，则，当时，所以；当时，所以，从而在上单调递减，在上单调递增，故有极小值，无极大值.（2）由题意，所以在上单调递增，当时，又，所以在上有唯一的零点，且当时，单调递减，当时，单调递增，从而，因为，所以，两边取对数得：，故，从而，因为恒成立，所以，解得：或，又，所以，显然随着的增大而减小，当时，当时，所以的取值范围 7