高中数学课件：第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用.ppt

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1、2.3等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用课前预习巧设计名师课堂一点通创新演练大冲关第二章数列考点一考点二N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测考点三返回返回返回返回返回返回 读教材读教材填要点填要点 1等差数列前等差数列前n项和的最值项和的最值在等差数列在等差数列an中，当中，当a10，d0时，时，Sn有最大值；当有最大值；当a10，Sn有最小值有最小值返回返回返回 小问题小问题大思维大思维 1在等差数列在等差数列an中，若中，若a10，d0或或a10，d0，d0时，时，Sn的最小值为的最小值为a1，无最大值；，无最大值；当当a10，d0，an为递增数列由为递增数列由an2n37

2、0，得，得n18.5.a180，S18最小，最小，即当即当n18时，时，Sn取得最小值取得最小值返回3等差数列前等差数列前n项和项和Sn与函数有哪些关系？与函数有哪些关系？提示：提示：对于形如对于形如SnAn2Bn的数列一定为等差数列，的数列一定为等差数列，且公差为且公差为2A，记住这个结论，如果已知数列的前，记住这个结论，如果已知数列的前n项项和可以直接写出公差和可以直接写出公差返回(1)当当A0，B0时，时，Sn0是关于是关于n的常数函数的常数函数(此时此时a10，d0)；(2)当当A0，B0时，时，SnBn是关于是关于n的正比例函数的正比例函数(此时，此时，a10，d0)；(3)当当A0

3、，B0时，时，SnAn2Bn是关于是关于n的二次函数的二次函数(此时此时d0)(4)若若an是等差数列且是等差数列且d0，则，则Sn是关于是关于n的不含常数项的的不含常数项的二次函数二次函数返回返回 研一题研一题 例例1在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a120，前，前n项和为项和为Sn，且，且S10S15，求当，求当n取何值时，取何值时，Sn有最大值，并求出它有最大值，并求出它的最大值的最大值返回返回返回 将将“a120”改为改为“a10”其它条件不变，则其它条件不变，则n为何值时，为何值时，Sn最小？最小？解：解：S10S15，a11a12a13a14a150，即，即a130.又又a

4、10，当当n12或或13时，时，Sn取最小值取最小值返回 悟一法悟一法 在等差数列中，求在等差数列中，求Sn的最大的最大(小小)值，其思路是找出某值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正一项，使这项及它前面的项皆取正(负负)值或零，而它后面值或零，而它后面的各项皆取负的各项皆取负(正正)值，则从第值，则从第1项起到该项的各项的和为最项起到该项的各项的和为最大大(小小)由于由于Sn为关于为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解象或性质求解返回 通一类通一类 1在等差数列在等差数列an中，中，a125，S17S9，求前，求前n项和项和Sn的最大值

5、的最大值返回返回返回法三：法三：先求出先求出d2(同法一同法一)，由由S17S9，得，得a10a11a170，而而a10a17a11a16a12a15a13a14，故故a13a140.d20，a1250，a130，a140.故故n13时，时，Sn有最大值有最大值169.返回 研一题研一题 例例2数列数列an的前的前n项和项和Sn33nn2.(1)求证：求证：an是等差数列；是等差数列；(2)问问an的前多少项和最大；的前多少项和最大；(3)设设bn|an|，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.返回自主解答自主解答(1)证明：当证明：当n2时，时，anSnSn1342n，又当又当n1时，时

6、，a1S1323421满足满足an342n.故故an的通项为的通项为an342n.所以所以an1an342(n1)(342n)2.故数列故数列an是以是以32为首项，为首项，2为公差的等差数列为公差的等差数列返回(2)令令an0，得，得342n0，所以，所以n17，故数列故数列an的前的前17项大于或等于零项大于或等于零又又a170，故数列，故数列an的前的前16项或前项或前17项的和最大项的和最大(3)由由(2)知，当知，当n17时，时，an0；当当n18时，时，an0.所以当所以当n17时，时，Snb1b2bn返回|a1|a2|an|a1a2anSn33nn2.当当n18时，时，Sn|a1

7、|a2|a17|a18|an|a1a2a17(a18a19an)返回返回 悟一法悟一法 等差数列的各项取绝对值后组成数列等差数列的各项取绝对值后组成数列|an|若原等差若原等差数列数列an中既有正项，也有负项，那么中既有正项，也有负项，那么|an|不再是等差数不再是等差数列，求和关键是找到数列列，求和关键是找到数列an的正负项分界点处的的正负项分界点处的n值，再值，再分段求和分段求和返回 通一类通一类 2在等差数列中，在等差数列中，a1023，a2522，(1)该数列第几项开始为负；该数列第几项开始为负；(2)求数列求数列|an|的前的前n项和项和返回返回返回返回返回 研一题研一题 例例3一个

8、水池有若干进水量相同的水龙头，如果所一个水池有若干进水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池如果开始时可注满水池如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关倍，问最后关闭的这个水龙头放水多长时间？闭的这个水龙头放水多长时间？返回返回返回 悟一法悟一法 解决实际问题首先要审清题意，明确条件与问题

9、之间解决实际问题首先要审清题意，明确条件与问题之间的数量关系，然后建立相应的数学模型本题就是建立了的数量关系，然后建立相应的数学模型本题就是建立了等差数列这一数学模型，以方程为工具来解决问题的等差数列这一数学模型，以方程为工具来解决问题的返回 通一类通一类 3假设某市假设某市2011年新建住房年新建住房400万万 m2，其中有，其中有250万万 m2是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加房中，中低价房的面积均比上一年增加

10、50万万 m2，那么，那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以以2011年为累计的第一年年为累计的第一年)将等于将等于4 750万万 m2?返回返回令令25n2225n4 750，即即n29n1900.而而n是正整数，是正整数，n10.到到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4 750万平方米万平方米.返回 等差数列等差数列an中，设中，设Sn为其前为其前n项和，且项和，且a10，S3S11，则当，则当n为多少时，为多少时，Sn最大最大 解解法一：法一：要求数列前多少项的和最大，从函数的要

11、求数列前多少项的和最大，从函数的观点来看，即求二次函数观点来看，即求二次函数Snan2bn的最大值，故可用求的最大值，故可用求二次函数最值的方法来求当二次函数最值的方法来求当n为多少时，为多少时，Sn最大最大返回返回返回返回法四：法四：由由S3S11，可得，可得2a113d0，即即(a16d)(a17d)0，故故a7a80，由于，由于a10，可知，可知d0，所以所以a70，a80.所以当所以当n7时，时，Sn最大最大返回 点评点评求数列前求数列前n项和的最值问题的方法有：项和的最值问题的方法有：(1)运运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合，从而使问题得解；形结合，从而使问题得解；(2)通项公式法：求使通项公式法：求使an0成立成立的最大的最大n即可这是因为：当即可这是因为：当an0时，时，SnSn1，即，即Sn单单调递增；当调递增；当an0，SnSn1，即，即Sn单调递减单调递减返回返回返回点击此图片进入点击此图片进入NO.1 NO.1 课堂强化课堂强化返回点击此图片进入点击此图片进入NO.2 NO.2 课下检测课下检测