2023年数学一轮复习函数零点问题的综合应用含答案.pdf

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1、2023年 数 学 一 轮 复 习 函 数 零 点 问 题 的 综 合 应 用【方 法 技 巧 与 总 结】1.函 数 零 点 问 题 的 常 见 题 型:判 断 函 数 是 否 存 在 零 点 或 者 求 零 点 的 个 数;根 据 含 参 函 数 零 点 情 况，求 参 数 的 值 或 取 值 范 围.求 解 步 骤：第 一 步：将 问 题 转 化 为 函 数 的 零 点 问 题,进 而 转 化 为 函 数 的 图 像 与 X轴(或 直 线 y=k)在 某 区 间 上 的 交 点 问 题；第 二 步：利 用 导 数 研 究 该 函 数 在 此 区 间 上 的 单 调 性、极 值、端 点 值

2、 等 性 质，进 而 画 出 其 图 像；第 三 步:结 合 图 像 判 断 零 点 或 根 据 零 点 分 析 参 数.【题 型 归 纳 目 录】题 型 一:零 点 问 题 之 一 个 零 点 题 型 二:零 点 问 题 之 二 个 零 点 题 型 三:零 点 问 题 之 三 个 零 点 题 型 四:零 点 问 题 之 m ax,m in问 题 题 型 五:零 点 问 题 之 同 构 法 题 型 六:零 点 问 题 之 零 点 差 问 题 题 型 七:零 点 问 题 之 三 角 函 数 题 型 八:零 点 问 题 之 取 点 技 巧【典 例 例 题】题 型 一:零 点 问 题 之 一 个 零

3、 点 例 1.己 知 a 0,函 数/Q)=2ax:i 3(a2+l)x2+6ac 2.(1)讨 论/(力 的 单 调 性；(2)若/年)在 H上 仅 有 一 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围.例 2.已 知 函 数/Q)=(3a-2)e，-xm E R).(1)若 a;=0是 函 数/(田)的 一 个 极 值 点，试 讨 论 八 Q)=bln/+/(/)仇 G R)的 单 调 性;(2)若/(0在 H 上 有 且 仅 有 一 个 零 点，求 馆 的 取 值 范 围.例 区 已 知 函 数/(/)=(-l)e，a/+b.(I)讨 论/(的 单 调 性：(II)从 下 面 两 个 条 件

4、中 选 一 个，证 明：/()恰 有 一 个 零 点.V a&b 2a；0 V a V J,b&2a.题 型 二:零 点 问 题 之 二 个 零 点 例 4已 知 函 数/(z)=(X 2)eT a(x l)2,a 6 R.(1)讨 论/(工)的 单 调 性；(2)若/(0有 两 个 零 点,求 a 的 取 值 范 围.例 5已 知 函 数/(%)=(1)讨 论/(/)的 单 调 性；(2)若/(0有 两 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围.例 6.已 知 函 数 f(x)ccr-2(a+1)+2ale(e为 自 然 对 数 的 底 数，且 a W 1).(1)讨 论/Q)的 单 调 性；

5、(2)若/(0有 两 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围.例 7.已 知 函 数/(工)=a(hiw+，a C 兄(1)求/(的 极 值；(2)若 方 程 2/Q)Ina:+工+2=0有 三 个 解，求 实 数 a 的 取 值 范 围.例 8.已 知 函 数/(rr)=xlnx(a+l)x+1,a/?.(1)求 函 数/(，)的 单 调 区 间 和 极 值 若 方 程(2a 1)(等+a+l)+/+2=0有 三 个 解,求 实 数 a 的 取 值 范 围.例 9.已 知 函 数/(/)=一 也+2.(1)讨 论/(，)的 单 调 性；(2)若/(0 有 三 个 零 点，求 k 的 取 值

6、范 围.题 型 四:零 点 问 题 之 max,min问 题 例 Kh 已 知 函 数/Q)=x3+ax+：,g(x)=Ina;.(1)当 a 为 何 值 时，z 轴 为 曲 线 y=的 切 线.设 尸 3)=f(x)-f f(x)在 1,+8)单 调 递 增，求 a 的 取 值 范 围.(3)用 m inm,n 表 示 m,n 中 的 最 小 值,设 函 数 八=m in/(T),g(rc)(工 0),讨 论 从 零 点 的 个 数.例 11.已 知 函 数/(c)=x1+ax+-,g(x)=Inrr.若 函 数 g L f(0 的 定 义 域 为 凡 求 实 数 a 的 取 值 范 围；(

7、2)若 函 数 在(1,+8)上 单 调 递 减,求 实 数 a 的 取 值 范 围；(3)用 m in m,九 表 示 m,n中 的 最 小 值，设 函 数 九(=m inf()，g(c)(力 0),讨 论 八()零 点 的 个 数.例 12.已 知 函 数/(立)=3?-3at+e,g(:r)=1-Inz,其 中 e为 自 然 对 数 的 底 数.(1)讨 论 函 数/(*)的 单 调 性；(2)用 maxm n表 示？n,n 中 较 大 者,记 函 数 五 3)=max/(x),g.x)(rr0).若 函 数 用 re)在(0,+oo)上 恰 有 2个 零 点，求 实 数 a 的 取 值

8、 范 围.题 型 五，零 点 问 题 之 同 构 法 例 13已 知 函 数/(立)=*+,ln(aa)-2(a 0),若 函 数/(0在 区 间(0,+8)内 存 在 零 点,求 实 数 a 的 e取 值 范 围 例 以 已 知/(0=Tina;+1.(1)若 函 数 gQ)=/(x)+4COSC-sinN-ilni-1在(0,皆 上 有 1个 零 点，求 实 数 a 的 取 值 范 围.(2)若 关 于 T 的 方 程 呢=/(，)-f x2+a x-l 有 两 个 不 同 的 实 数 解,求 a 的 取 值 范 围.例 15已 知 函 数/()=aeJ:ln(s+1)+Ina 1.(1)

9、若 a=l,求 函 数/(rr)的 极 值；(2)若 函 数/Q)有 且 仅 有 两 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围.题 型 六:零 点 问 题 之 零 点 差 问 题 例 16已 知 关 于 C 的 函 数 沙=/(x),y=g(x)与 hx)=kx+b(k,b E R)在 区 间。上 恒 有 f(x)/i(x)g().(1)若/(c)=x2+2X9 g(x)=-x2+2x,D=(-8,+8),求 肌 的 表 达 式；(2)若 f(c)=2 2+1,g(x)=knx9 hx)=kx k,D=(0,+8),求 足 的 取 值 范 围；(3)若 f(x)=rc4 2x2f g(x)=4d

10、 一 8,h(x)=4(t3 t)x 3t4+2t2(0 6.例 18已 知 函 数，(z)=ae2x-X2 ax9 aE R.(1)当 a=1时，求 函 数 gQ)=f(x)+炉 的 单 调 区 间；(2)当 0 V a V 时，函 数/(%)有 两 个 极 值 点 为，g 3 1 V g)，证 明：g 2.e 1题 型 七:零 点 问 题 之 三 角 函 数 例 19已 知 函 数/)=sine-ln(l+x),f(x)为/(的 导 数.证 明：(l)f(x)在 区 间(一 1,食)存 在 唯 一 极 大 值 点；(2)/(力 有 且 仅 有 2个 零 点.例 20已 知 函 数/(z)=

11、lnz:r+2simr,证 明:(1)/3)在 区 间(0,兀)存 在 唯 一 极 大 值 点；(2)/(0有 且 仅 有 2 个 零 点.例 21已 知 函 数=sine-e-，求 证：(l)/(x)在 区 间(0,强)存 在 唯 一 极 大 值 点;(2)/(x)在(O)+oo)上 有 且 仅 有 2个 零 点.例 22 已 知 函 数/(4)=cosx+-j-a:2 1 证 明：/3)&o,z e-1 奇(2)判 断 夕=/(的 零 点 个 数,并 给 出 证 明 过 程.题 型 八:零 点 问 题 之 取 点 技 巧 例 23(2022.黑 龙 江.双 鸭 山 一 中 高 二 期 末(

12、理)已 知 函 数/(c)=a田 n2(1)当 a=l,求 函 数/(z)的 单 调 区 间；(2)若 g(c)=(位)+立 一(/+a)有 且 只 有 一 个 零 点,求 实 数 a 的 取 值 范 围.例 2 4(2022天 津 耀 华 中 学 高 三 月 考)已 知 函 数/=髻+a(e=2.71828是 自 然 对 数 的 底 数，a C R且 a W0).(1)求/(的 单 调 区 间；(2)若 出=2 是 函 数。(力)=我”/(力)一 或/：+J 2力 在(0,+8)上 的 唯 一 的 极 值 点,求 实 数 a 的 取 值 范 围；若 函 数 加)=|ln,|一 a+1有 两

13、个 不 同 的 零 点,求 实 数 a 的 取 值 范 围.例 25(2022安 徽 合 肥 一 六 八 中 学 模 拟 预 测(文)已 知 函 数/=e-IT 翻*t对 层 一 瞌 一 项 嘘 R).(1)试 讨 论 函 数/(0 的 零 点 个 数；(2)若 当 工 1时，关 于 c 的 方 程,f(z)=g(z)+e有 且 只 有 一 个 实 数 解，求 实 数 a 的 取 值 范 围.例 26(2022全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数/(c)=xe1-2ax+a.(1)当 a=4时，求/(z)在(1,/(1)处 的 切 线 方 程；(2)设 g(rr)=2ea/,若/i(

14、x)=f(x)-g(x)有 两 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围.【过 关 制 试】1.)22江 西 师 大 附 中 三 模(理)已 知 函 数 穴 r)=千 一 singgC r)为 了 的 导 函 数.(1)判 断 函 数 仪 在 区 间(0,)上 是 否 存 在 极 值,若 存 在，请 判 断 是 极 大 值 还 是 极 小 值;若 不 存 在，说 明 理 由；(2)求 证:函 数/Q)在 区 间(一 8,兀)上 只 有 两 个 零 点.2.(2022 湖 南 模 拟 预 测)已 知 函 数 湖 力=魂 一 ln(l+x),(e是 自 然 对 数 的 底 数，e=2.71828).

15、(1)求 函 数/(2)的 最 小 值；(2)若 函 数 F-(a-l)l n(x+1)-a(lna+l)(a 0)有 且 仅 有 两 个 零 点,求 实 数 a 的 取 值 范 围.3.(2022江 苏 南 通 模 拟 预 测)已 知 函 数/(1)=21n/立，g(z)=与(7 2)?(a W 1).(1)讨 论/(的 单 调 性；(2)若 函 数 九(X)=/(/)+g(rr),讨 论 九(刀)的 零 点 个 数.4.(2022广 东 惠 来 县 第 一 中 学 高 二 阶 段 练 习)设/Q)=43?+-(b-l)x2-bx,x e R(1)当 b=l 时，求/(/)的 单 调 区 间

16、；(2)当 f(G在 R 上 有 且 仅 有 一 个 零 点 时,求 b的 取 值 范 围.25.(2022.河 北 邯 郸.二 模)已 知 函 数/=三 anx,a 片 0.(1)若 a=：,分 析/(的 单 调 性；(2)若 在 区 间(l,e)上 有 零 点,求 实 数 a 的 取 值 范 围.6.(2022 江 苏 模 拟 预 测)已 知 函 数.f(0=ae工+bcost+*/(其 中 明 匕 为 实 数)的 图 象 在 点(0,/(1)处 的 切 线 方 程 为 沙=3 求 实 数 a 的 值；(2)证 明：方 程/3)=nx+sinx|有 且 只 有 一 个 实 根.7.(202

17、2广 东 深 圳 市 高 级 中 学 高 二 期 中)已 知 函 数/(z)=/+asin/+l,Q,GR,设 函 数 卷)=7(z),若,=g 在 区 间 0,*上 是 增 函 数，求 a 的 取 值 范 围;(2)当。=-2时，证 明 函 数/Q)在 区 间(0,兀)上 无 零 点.8.(2022 河 南 高 二 阶 段 练 习(文)已 知 函 数/=a21n/(ao).当 a=1时，求 曲 线 沙=/(c)在 点(口(5)处 的 切 线 方 程；(2)讨 论/位)在 区 间(l,e2)上 的 零 点 个 数.9.(2022.湖 北 啷 南 高 中 模 拟 预 测)函 数/=(7 2)e,

18、g(a:)=-ax-x2 x+4asinx+o 乙(a:+l)ln(x+l),a 0.(1)求 函 数/(c)在 e(1 的 值 域；记#3)0 3)分 别 是/(i),g(/)的 导 函 数，记 maxtn,n表 示 实 数 m,n 的 最 大 值,记 函 数 R S)=maxr(c),g;r),讨 论 函 数 F(c)的 零 点 个 数.10.(2022.黑 龙 江.大 庆 实 验 中 学 高 三 阶 段 练 习(理)已 知/(c)=c(lnc a)+ln，+a,(1)若 a=2,讨 论 函 数 g=/(c)的 单 调 性；(2)已 知(0,-|-),x E 1,+8),判 断 函 数 g

19、(i)=x(nx-1)-ax+2aln(T+1)的 零 点 个 数.注：hi2-0.69函 数 零 点 问 题 的 综 合 应 用【方 法 技 巧 与 总 结】1.函 数 零 点 问 题 的 常 见 题 型:判 断 函 数 是 否 存 在 零 点 或 者 求 零 点 的 个 数;根 据 含 参 函 数 零 点 情 况，求 参 数 的 值 或 取 值 范 围.求 解 步 骤：第 一 步:将 问 题 转 化 为 函 数 的 零 点 问 题，进 而 转 化 为 函 数 的 图 像 与“轴(或 直 线=k)在 某 区 间 上 的 交 点 问 题；第 二 步:利 用 导 数 研 究 该 函 数 在 此

20、区 间 上 的 单 调 性、极 值、端 点 值 等 性 质，进 而 画 出 其 图 像；第 三 步:结 合 图 像 判 断 零 点 或 根 据 零 点 分 析 参 数.HK型 归 纲 目 录】题 型 一，零 点 问 题 之 一 个 点 题 型 二:零 点 问 题 之 二 个 零 点 题 型 三:零 点 问 题 之 三 个 零 点 题 型 四:零 点 问 题 之 m ax,m in问 题 题 型 五:零 点 问 题 之 同 构 法 题 型 六:零 点 问 题 之 零 点 差 问 题 题 型 七:零 点 问 题 之 三 角 函 数 题 型 八:零 点 问 题 之 取 点 技 巧【典 例 例 题】题

21、 型 一:零 点 问 题 之 一 个 零 点 例 1.己 知 a 0,函 数/()=2ax:,3(a2+l)x2+6ax 2.(1)讨 论/(的 单 调 性；(2)若/(7)在 R 上 仅 有 一 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)由 题 可 知:f=6ax2-6(a2+l)x+6a=6(x-a)(ax-1),令/(re)=0,则,2=a 或=1.当 十 a，即 OVaVl 时,x(a 或 4)：0,此 时,/3)在(-oo,a),(1,+8)单 调 递 增，/在(a，!)单 调 递 减；当 a=1时，/Q)0恒 成 立，所 以/(。)在 R 上 单 调 递 增.当.

22、Q,即 Q)1时，力 或 力)Q时 J(l)0,此 时，/(力)在(一 8,十),(Q,+8)上 单 调 递 增，/(力)在 信,。)单 调 递 减.综 上，当 U V Q V I 时,/(%)的 增 区 间 为(一 8)和(5+8),/()的 减 区 间 为(。，5)；当 Q=1 时,/(0)在 R 上 单 调 递 增；当 Q 1 时，/3)的 增 区 间 为(一 8,十)和(Q,+8),/(%)的 减 区 间 为 借,a).(2)由 题 可 得：f(a)=Q J+3a2-2=(a2 1)(2 a2);由(i)可 得：当 0 a 1 时，/(a)l 时，/)(),又/在 R 上 仅 有 一

23、个 零 点，则 f(a)0,即 2。2 0,解 得 1 V a 0 时，(i)0=0 V c V V b.:.h(x)在(Vd,4-oo)上 单 调 递 减，在(O,Vb)递 增.综 上，当 b 4 0 时，在(0,4-oo)上 单 调 递 减.当 b 0 时，h(x)在(瓜+8)上 单 调 递 减，在(0,7 6)递 增.(2)/(c)在 R 上 有 且 仅 有 一 个 零 点，即 方 程 3 m-2=有 唯 一 解，2ea2 x令 以=三，9,(力=一 百 一，令(立)=(),可 得=。或 T=2 x E(00,0)时，g，3)V O,二 e(0,2)时，g(z)0,e(2,4-)时，g(

24、x)T 或 2=0.2.2.2 至+京 或 7九=日 所 以,m 的 取 值 范 围(A轰+8”圉.例 3已 知 函 数/3)=(X l)ex ax2+b.(I)讨 论/()的 单 调 性；(I I)从 下 面 两 个 条 件 中 选 一 个，证 明：/(力)恰 有 一 个 零 点.:V a&f b 2a；0 V a V J,b&2a.【解 答】解：(I”.(c)=3 1)eT ax2+b,f x)=x(ex-2a),当 a&O 时，当,0 时，/(,)0,当 c V 0 时 J 3)0 时，令/(%)=0,可 得=0 或=In(2a),(i)当 0 a 0 或 V ln(2 a)时,/(a)

25、0,当 ln(2a)x 0 时，/(z)时，当 c V 0 或 u ln(2 a)时 J Q)0,当 0 V z V ln(2 a)时,/3)0,f(x)在(-o o,0),(ln(2a),+)上 单 调 递 增，在(0,ln(2 a)上 单 调 递 减.综 上 所 述：当 a 4 0 时，/(力)在(-8,0)上 单 调 递 减;在(0,+8)上 单 调 递 增；当 0 V a V 4 时，/&)在(-8,ln(2 a)和(0,+8)上 单 调 递 增;在(ln(2 a),0)上 单 调 递 减;当 a=9 时 J 3)在 R 上 单 调 递 增；当 时，/(在(-8,0)和(ln(2a),

26、4-oo)上 单 调 递 增；在(0,ln(2 a)上 单 调 递 减.(II)证 明：若 选，由(I)知，f 在(一 8,0)上 单 调 递 增，(0,ln(2a)单 调 递 减，(ln(2a),+8)/(x)单 调 递 增.注 意 到/(-7 5)=(一-2 a-l 0./()在(一 J 上 有 一 个 零 点；J(ln(2a)=(ln(2a)1)-2a a,hr2a+b 2aln(2a)2a aln22a+2Q=aln(2a)(2 ln(2a),由 义 V a W 导 得 0vln(2a)V2,/.aln(2a)(2-ln(2a)0,jf(ln(2a)0,当 时,/(/)/(ln(2a)

27、0,此 时/(化)无 零 点.综 上：/(N)在 凡 上 仅 有 一 个 零 点.另 解：当 aC 诙 用 时，有 ln(2a)e(0,2,而 fQ)=b l a 1=0,于 是/(ln(2a)=(ln(2a)1),2a-aln2(2a)+b=ln(2a)(2-ln(2a)+(fe-2a)0,所 以/Q)在(0,+oo)没 有 零 点，当 土 V 0 时，e,W(0,1),于 是/-ax2+b n f(-)V 0,所 以 f(x)在(一 层，0)上 存 在 一 个 零 点，命 题 得 证.若 选，则 由(I)知：/(G)在(-8,ln(2a)上 单 调 递 增，在(ln(2a),0)上 单 调

28、 递 减，在(0,+8)上 单 调 递 增./(ln(2a)=(ln(2a)l)2a a In2 2a+b&2aln(2a)2a aln22a+2a=aln(2a)(2 ln(2a),.ln(2a)0,A o,ln(2a)(2-ln(2a)0,.-./(ln(2a)0,/.当 z 0 时 J(a:)&0时，/(0 单 调 递 增，注 意 到/(O)=b-l c+l,/./(c)=(c l)ec ac2+b(c 1)(c+1)ac2+b=(1 a)c2+b 1-yc2+6 1=1 b+l+b 1=l0,.,./(x)在(O,c)上 有 唯 一 零 点，即/(在(0,+8)上 有 唯 一 零 点.

29、综 上：/(在 H 上 有 唯 一 零 点.题 型 二:零 点 问 题 之 二 个 零 点 例 4己 知 函 数 抵 c)=(2)ex a(x l)2,a R.(D 讨 论/3)的 单 调 性；(2)若/(有 两 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围.【解 答】解：由/(1)=(x-2)ex-a(rr-I)2,可 得 了(%)=(4 De，2a(x-1)=(x 1)(ex-2a),当 a 4 0 时，由 产(力)0,可 得 c 1;由 尸 3)V 0,可 得 c V 1,即 有/3)在(-8,1)递 减;在(1,+OO)递 增；当 Q 0 时，由/(力)=0,解 得 力=1或 c=ln2a,

30、若 a=1，则/3)0 恒 成 立，即 有 了 在 R 上 递 增；若 0 V Q V|时，由 r(x)0,可 得 c l 或 e V ln(2a);由 产 3)V 0,可 得 ln(2a)x 0,可 得 2 V l 或/ln(2a);由#3)V 0,可 得 1V V ln(2a)即 有 f3)在(0,1),(ln(2a),+oo)递 增;在(1,ln(2a)递 减；综 上：当 Q&0 时，/(力)在(00,1)递 减;在(1,+8)递 增；当 Q 0 时，0=受 时,/(%)在 7?上 递 增；0a)递 增，在(ln(2a),1)递 减；a-|-时 J 3)在(ln(2a),+)递 增;在(

31、1,ln(2a)递 减.由 可 得，当 a V 0 时，/在(-8,1)递 减;在(1,+8)递 增，且/(I)=-e 0,故/(在(1,2)上 存 在 1个 零 点，取 b 满 足 bVO,且 bVln(一 号)，则 f(b)=(b 2)eb a(b 1)2-(6 2)a(b 1)2=ab(b 0,故 f Q)在(6,1)是 也 存 在 1个 零 点，故 a V 0 时,/Q)有 2 个 零 点；当 Q=0 时，/(%)=(力 一 2),所 以/(c)只 有 一 个 零 点 力=2,不 合 题 意；当 Q 0 时，若 时，/(在 R 递 增 J Q)不 存 在 2 个 零 点，不 合 题 意

32、；若 0 V a V 1,/3)在(1,+8)递 增，又 当 时，/V O J Q)不 存 在 2 个 零 点，不 合 题 意,当 时 J 3)在(8,1)单 调 增，在(1,ln(2a)递 减，在(ln(2a),+)递 增，/3)极 大 值=/(1)=e0,故/(c)不 存 在 2 个 零 点，不 合 题 意；综 上 J Q)有 两 个 零 点 时，a 的 取 值 范 围 为(-8,0).例 5已 知 函 数 f 3)=In-ax2.（1）讨 论/（1）的 单 调 性；（2）若/（C）有 两 个 零 点,求 a 的 取 值 范 围.【解 答】解：/的 定 义 域 为（0,+8）,且 广=1

33、一 严,当 Q 4 0 时，/（X）0,此 时/（力）在（0,4-00）上 单 调 递 增；当 a（）时，由:3）0 解 得 0 a;率，此 时/在（0,率）上 单 调 递 增，在（空,+8）上 单 调 递 减；综 上，当 a W O 时，/（工）在（0,+8）上 单 调 递 增；当 a（）时，/（）在（0,乎）上 单 调 递 增，在（率,+8）上 单 调 递 减；（2）由（1）知，当 a&O 时，/（在（0,+8）上 单 调 递 增，函 数/（至 多 一 个 零 点，不 合 题 意；当 a 0 Bt,f（x）在（0,卓）上 单 调 递 增,在（乎,+8）上 单 调 递 减，则 f（x）lmx

34、=f（-）=ln-j-a（）2=_iln（a+1）,当 a、卷 时，f（率）=-yln（a+1）&0,函 数 f 至 多 有 一 个 零 点，不 合 题 意；当 0 V a V（时，./（土 濡*=/1n（a+1）0,由 于 I（圭）,J./(l)=lnl-y-a-l2=-y a o,由 零 点 存 在 性 定 理 可 知，/（工）在（。，表）上 存 在 唯 一 零 点,由 于 经 由 零 点 存 在 性 定 理 可 知 J Q）在（4,+8）上 存 在 唯 一 零 点;综 上，实 数 a 的 取 值 范 围 为（0,巳）.例 6.已 知 函 数/Q）=e，2（a+l）+2ac（e为 自 然

35、对 数 的 底 数，且 a&l）.（1）讨 论 了 3）的 单 调 性；（2）若/（有 两 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围.【解 答】解：:3）=2 l）（e-a）,力 V O 时，/（c）。时，r（1）。，/（力）在（0,+8）递 增,当 a 0 时，由/(x)=0 得 g=In a,g=0,若 Q=1,则/Q)0,故/(力)在 A 递 增，若 O V a V l,则 当 力 V Ina 或 2 0 时，/(力)0,Ina x 0 时，/(x)0,故/()在(-oo,lna),(0,+oo)递 增，在(lna,O)递 减；综 上：a&O 时 J Q)在(-8,0)递 减，在(0,+8

36、)递 增，0 a 1 B 寸，/(力)在(一 8 1 n a),(0,+8)递 增，在(lna,O)递 减；a=1 时，/(1)在 R 递 增；(2)Q=1 时 J Q)在 H 递 增，不 可 能 有 2 个 零 点，当 0 V a V l 时，/3)在(8/n a),(0,+8)递 增，(lna,O)递 减，故 当 0=I n a时,/(力 取 极 大 值，极 大 值 为/(In a)=-a(a+2)+2 a ln a 0,此 时，/(力)不 可 能 有 2 个 零 点，当 a=0 At,/()=ex(eI-2),由/(力)=()得 c=ln2,此 时，/Q)仅 有 1个 零 点，当 Q,0

37、)递 减，在(0,+8)递 增，故 jf3)m in=/(0)=1 2a,3)有 2 个 零 点，/()VO,解 得：a-V Q VO,而/(l)=ee 2(Q+1)+2a 0,取 b V(。或 I)，则/(b)=eb(a+1)2+2ab efe(a+l)2 0,故/(在(-8,0),(0,+8)各 有 1个 零 点，综 上，a 的 取 值 范 围 是(一,0),题 型 三:零 点 问 题 之 三 个 零 点 例 7 已 知 函 数/(3；)=矶 11/+；),0 7?.(1)求/(的 极 值；(2)若 方 程 2/Q)In。+c+2=0有 三 个 解,求 实 数 a 的 取 值 范 围.【解

38、 答】解：(1)/(力)的 定 义 域 为(0,+8),止)=七 一 十)=若 2当 Q 0 时，/Q)在(0,1)上 递 减，在(L+8)上 递 增，所 以/(。)在，=1处 取 得 极 小 值 a,当 Q=0 时，/(。)=0,所 以 无 极 值，当 a v o 时，/(C)在(0,1)上 递 增，在(1,+8)上 递 减，所 以 f 在 力=1 处 取 得 极 大 值 a.(2)设 h(x)=2/(x)Inx+4+2,即 h(x)=(2a l)lnx+rr+2,=包 3+l=3 T)(j+2a)3 0)若 a)0,则 当 nW(0,1)时，矶 力 VO,h(x)单 调 递 减，当 力 E

39、(1,+)时，3)0,h(x)单 调 递 增，h(x)至 多 有 两 个 零 点.若 Q=-则 x E(0,+oo),(I)0(仅 九 0,h(x)单 调 递 增；当 力 E(-2a,l)时，h!(x)1.当 力(0,1)或 cW(-2a,+8)时，M N)单 调 递 增;当 a E(1,2Q)时，-3)VO,h(x)单 调 递 减，要 使 九()有 三 个 零 点，必 须 有 成 立，一/Q)(),得 a 由/i(2a)=(2a 1)ln(-2a)1VO 及 Q V.，得 a V,V a V 1.并 且，当 V a V 时，0 V c 2 Vl,e?2a,/i(e-2)=4+e-2-l-2a

40、(e2-2)4 4-e-2-e(e2-2)4+l-5e e2 3(e-2-F 2)=e2 6 3e-2 e2 7 0.综 上，使/乂 力)有 三 个 零 点 的 a 的 取 值 范 围 为(一.例 8.已 知 函 数/()=xnx(a+1)a+1,a C R.(1)求 函 数/(x)的 单 调 区 间 和 极 值(2)若 方 程(2a-1)(幺?+a+1)+十+z+2=0 有 三 个 解,求 实 数 a 的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)函 数 的 定 义 域(0,+8)J(x)=lnx a,当 4,e。时，/(0,函 数 单 调 递 增，当 O V i V e 时，/3)0?V=xln

41、x+1 0,+1)2故 原 方 程 可 转 化 为 1-2a=4,xlnx+1人/3+1)2(x+1)(Inx-1)(x-1)令 g(，)=五 e，则 g Q)=一 国 嬴 旬 一，因 为%0,易 得 当 i e 或 0 V/V 1 时，d 3)0,函 数 单 调 递 增，当 i V o V e 时，dCr)VO,函 数 单 调 递 减,故 当 c=1 时，函 数 取 得 极 大 值 g(l)=4,当 i=e 时，函 数 取 得 极 小 值 g(e)=6+1,由 题 意 可 得，y=l 2a与 g(%)3个 交 点，则 e+1 V 1 2a V4,解 可 得,9 V a V/故 a 的 范 围

42、.例 9 已 知 函 数/3)=七 一 far+收.(1)讨 论/Q)的 单 调 性;(2)若/(有 三 个 零 点，求 卜 的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)/(T)=X3 kx+k2.f(cr)=3T2 k,k&O 时,(Q)0,/3)在/?递 增,fco 时，令 r 3)。,解 得：店 或 0 时,/(工)在(一 8,递 增，在(递 减，在+)递 增；由(I)得：k 0 J Q)机 上 体=/(、修)，/()极 大 值=/(一、传)，若/(0有 三 个 零 点,故 he(),言).题 型 四:零 点 问 题 之 max,min问 题 例 10.已 知 函 数/(2)=+az+,g(

43、x)=Inc.(1)当 a 为 何 值 时，z 轴 为 曲 线 y=/(z)的 切 线.(2)设 F(x)=f(x)g(x)在 1(+0),讨 论 八 3)零 点 的 个 数.【解 答】解：:3)=3/+a.设 曲 线 y=/Q)与 z 轴 相 切 于 点 P(z(”0),则/(g)=。，/(g)=o,.fa；o+a.Xn+Y=o(3xo+a=0解 得 的=4,a=等，因 此 当 a=-时，。轴 为 曲 线 g=/()的 切 线；(2)F(x)=f(x)g(x)=x3+ax+J+Inx,4导 数 为 Fr(%)=3/+。+1,由 题 意 可 得 3/+Q+1 0 在 1,+8)恒 成 立，即

44、有 一 a 4 3x+：的 最 小 值，由 3x2+的 导 数 为 6x 0 在 递 增，即 有 最 小 值 为 4,则 一 a 4 4,解 得 Q-4;(3)当 J e(l,4-oo)时,g(x)=nx0,工 函 数 h(x)=min/(x),g(rr)W gx 7，则/(1)=Q+3 0,.hx)=min/(I),g=g=0,故=1是 函 数 九()的 一 个 零 点；若 则/(1)=。+*V0,-3)=min/(l),g(l)=/(l)0,因 此 只 考 虑/(4；)在(0,1)内 的 零 点 个 数 即 可.当 a 4 一 3 或 a 0 时,/(x)=3/+a 在(0,1)内 无 零

45、 点，因 此/(工)在 区 间(0,1)内 单 调，而 用)=,Al)=a+菅,当 a W-3 时，函 数 代 人)在 区 间(0,1)内 有 一 个 零 点,当 a 0 时，函 数/(了)在 区 间(0,1)内 没 有 零 点.当 一 3 V a V 0 时，函 数 f()在(。，J 年)内 单 调 递 减，在(J 亭，1)内 单 调 递 增，故 当 x=y/时，/(力)取 得 最 小 值/(,若(0,即 一 苧 V a V 0,则 f(x)在(0,1)内 无 零 点.若/Q Z)=，即 o=一 号，则/(土)在(，1)内 有 唯 一 零 点,若 V。，即 一 3 V a V 由/(0)=1

46、,/=a+5，当 一 Y V Q V-T-时,/(x)在(0,1)内 有 两 个 零 点.当 一 3 V Q 4-7-Hf,f(x)在(0,1)内 有 一 个 零 点.综 上 可 得：当 Q-p或 a V y 时，h(x)有 一 个 零 点；当 Q=*或 一 T-时，hx)有 两 个 零 点；4 4当 一 T-V a V 一 y 时，函 数 九(1)有 三 个 零 点.4 4例 11 已 知 函 数/(=/+g(o)=Inx.(1)若 函 数 g/(的 定 义 域 为 R,求 实 数。的 取 值 范 围；(2)若 函 数 g/(0在(1,+8)上 单 调 递 减,求 实 数 a 的 取 值 范

47、 围；(3)用 minm,n表 示 m,n 中 的 最 小 值，设 函 数“示=min/Q),gQ)(10),讨 论 中 零 点 的 个 数.【解 答】解:若 函 数 g/(。)的 定 义 域 为 凡则 任 意 c W R,使 得/3)=+a力+1 o,4所 以=a?4 x 1 x J V 0,解 得 一 1 a 0,所 以 一|4 1,且/0,即 一 冬 41,且 l+a+0,Z 4耳 解 得 Q,所 以 a 的 取 值 范 围 为(一,，+8).(3)因 为 当 I 1 时，gx)=Inx 0,所 以 h(x)=min/(x),gQ)g(x)。时，/(%)过(。,;)点,且 对 称 轴 一

48、/&0,作 出 hx)的 图 象,可 得 无(N)只 有 一 个 零 点 N=l,当 a V 0 时 J 过(0,1)点,且 对 称 轴-y 0,当=a?-4xl x 4 0,即 一 laV()时，%()只 有 一 个 零 点 工=1,4当=?-4 x l x：=0,即。=-1 时,/（力）的 零 点 为=一 得=4-,M）由 两 个 零 点=J,i=l,4 N N 2当=Q?4 x 1 x 土 0,即 a V 1 时，令 f()=0,解 得 i=二 1二 二,x2=一 仪+J 一，且 0 V4 Z 2Xi 1,0 X2,若 x2=-3 t 2。：一 V 1,即 一 号 a 1,即 Q V 一

49、综 上 所 述，当。(8,-U(-1,0)时，h(x)只 有 一 个 零 点,当 Q=-1或 一 时，九(人)有 两 个 零 点，当 Q e(一 今，一 1)时，九(1)有 三 个 零 点.例 12,已 知 函 数/(c)=x 3ax+e,g(i)=1 Ini,其 中 e为 自 然 对 数 的 底 数.(1)讨 论 函 数/3)的 单 调 性；(2)用 maxm,n表 示 m,n 中 较 大 者，记 函 数 h(x)=max/(x)，g(),(i 0).+8)上 恰 有 2个 零 点,求 实 数。的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)/(X)=3.T23a,当 a&0 时,#3)0 J 3)

50、在 R 上 单 调 递 增,当 Q 0 时，/(c)=3(a;+Va)(Va),当 力 w(8,(6,+8),/3)O,/3)单 调 递 增，当 G(Va Va),f(x)0,九()gQ)X),hx在(0,e)无 零 点，当 力=e 时，g(e)=0,/(e)=e3 Sae+e,若/(e)W 0,即 a)以 工，则 e 是 0 的 一 个 零 点，O2 11若/(e)0,即 a 3e2 3a,当 a 4 2时，r(%)0,/(x)在(e,+8)上 单 调 递 增.所 以：(i)当 Q W 巳 1 时，/(e)0,/(力)在(c,+8)上 无 零 点;(i i)当，,L a e2 时，/(e)8