中华中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题.pdf

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1、 第1页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）南京市中华中学南京市中华中学20212022学年度第二学期期中试卷学年度第二学期期中试卷 高一数学高一数学 2022.05 本卷考试时间：本卷考试时间：120分钟分钟 总分：总分：150分分 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共8小题，每小题小题，每小题5分，共分，共40分分.每小题给出的四个选项中，只有一每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的项是符合要求的.1.在中，已知 C=45，则角 B为（）A.30 B.60 C.30 或 150 D.60

2、或 120 2.已知向量，若，则 y的值为（）A 4 B.-4 C.1 D.-1 3.设复数，则复数 z的虚部是（）A.i B.C.1 D.4.黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型 A B AB O 该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35 已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给 AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是（）A.任找一个人，AB型血的人能为其输血的概率是 0.65 B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是 0.29 C.任找一个人，其血可以输给 O型血人的概率是 1 D.任找一个人，

3、其血可以输给 B型血的人的概率是 0.64 5.如图，正方体的棱长为 2，E 为的中点，则异面直线与 ED 所成的角的余弦值为（）ABC!2b=2c=()1,2a=-!()2,by=!ab!.51 i1 iz+=-i-1-的1111ABCDABC D-1AA1AB 第2页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）A.B.C.D.6.在中，（a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边），则的形状为 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 7.已知，且，则的值是（）A.B.C.D

4、.8.17世纪德国著名天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 36的等腰三角形（另一种是顶角为 108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多分，在每小题给出的四个选项中，有多321255

5、1010ABC!2cos22Bacc+=ABC!(),0,a bp()11tan,tan37abb-=2ab-4p34p54p74p的ABC!512BCAC-=cos216=458+514+-358+-12 54- 第3页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）项符合题目要求，全部选对得项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得分，部分选对的得2分，有错选的得分，有错选的得0分分.9.下列关于平面向量，的运算，一定成立的有（）A.B.C.D.10.下列各式中值为 1是（）A.B.C.D.11.如图，E，F，G

6、，H分别是空间四边形 ABCD各边上的点（不与各边的端点重合），且 AE：EB=AH：HD=m，CF：FB=CG：GD=n，ACBD，AC=4，BD=2.下列结论正确的是（）A.E，F，G，H一定共面 B.若直线 EF与 GH有交点，则交点不一定在直线 AC上 C.AC平面 EFGH D.当 m=n时，四边形 EFGH的面积有最大值 2 12.锐角ABC中，内角 A，B，C所对边分别为 a，b，c，且，下列结论正确的是（）A.A=2B B.B的取值范围为 C.的取值范围为 D.的取值范围为 三、填空题：本题共三、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分.13.若复数与它的

7、共轭复数所对应的向量互相垂直，则_ 14.为迎接 2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为 0.93，抽到一等品或三等品的概率a!b!c!()abca cb c+=+!()()a bcab c=r rrrr ra bab!abab-+!的sincos1212ppsin72 cos18cos72 sin18+tan12tan331 tan12 tan33+-222(cossin)88pp-2 coscbbA-=0,4pab()23,112sintantanABA-+5 3,33()izaa

8、=+Rz= 第4页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）为 0.82，则抽到一等品的概率为_.15.如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与、分别交于点、，则_.16.在中，角，所对的边为，若，且的面积，则的取值范围是_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共6小题，共小题，共70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复，为虚数单位.（1）若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若，求的模.18.某校有甲、乙两个数学兴趣小组，甲组有

9、男生 3名，女生 2名；乙组在男生 2名，女生 2名.（1）若从甲数学兴趣小组任选 2人参加学校数学竞赛，求参赛学生恰好有 1名男生的概率；（2）若从甲、乙数学兴趣小组各选 1人参加市级数学竞赛，求参赛学生有 1名男生和 1名女生的概率.19.如图所示，已知 P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是 AB，PC的中点，平面 PAD平面 PBC=l.求证:（1）lBC;（2）MN平面 PAD.ABC!DBCGAD2AGBDDGCD=GABACEF2ABACAEAF+=ABC!ABCabcsinsincoscos3sinBCACAac=+ABC!2223()4ABCSabc=+-cab+112iz

10、=-234iz=+i12zaz+a1212zzzzz-=+ 第5页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）20.在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：的内角，的对边分别为，.已知_.（1）求；（2）若为的中点，求的面积.21.如图，已知是边长为 2的正三角形，点 P在边 BC上，且，点 Q为线段 AP上一点.（1）若，求实数的值；（2）求的最小值.22.如图，某闸口附近有一块半圆形区域，其中豁口（阴影部分）是一块景点水域为了进一步发展旅游业，现要划出两块陆地进行打造，一块为矩形建成停车场，另

11、一块为直角三角形建成休闲区（），它们的面积分别记为、；同时，为了保护景点水域，限定扇形必须为四分之一圆，不作其它开发已知为圆心，直径为，点、分别在弧、上（均不含端点），且点、分别在、上，点和在上，记 （1）求的最大值，并指出相应的值；（2）为了给旅游主管部门提供决策依据，求取值范围 cos3 sin2aBbAa+=()sin3 cosbBCaB+=22coscaCbb+=ABC!ABCabcBDAC13BD=2c=ABC!ABC!14BPBC=112AQABACl=+!lQA!QC!PEMNOQF2OFQp=1S2SPOQOAD200mPQABCDEFOBODMNOA3AOBp=2CODp=A

12、OPa=1Sa12SS的 第6页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 南京市中华中学南京市中华中学20212022学年度第二学期期中试卷学年度第二学期期中试卷 高一数学高一数学 2022.05 本卷考试时间：本卷考试时间：120分钟分钟 总分：总分：150分分 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共8小题，每小题小题，每小题5分，共分，共40分分.每小题给出的四个选项中，只有一每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的项是符合要求的.1.在中，已知 C=45，则角 B为（）A.30 B.60 C.30 或 150 D.60 或 120 【答案】A【解析】【分析】由正弦定理，求得，结合

13、，即可求解.【详解】在中，由正弦定理可得，又因为，可得，即，所以.故选：A.2.已知向量，若，则 y的值为（）A.4 B.-4 C.1 D.-1【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直，可得向量的数量积为零，根据向量数量积的坐标公式，可得，可解得答案.【详解】由，可得，则，解得，故选：C.3.设复数，则复数 z的虚部是（）A.i B.C.1 D.【答案】C【解析】ABC!2b=2c=1sin2B=cbABC!sin2sin451sin22bCBc=!cbCB(0,45)B!30B=!()1,2a=-!()2,by=!ab!220y-+=ab!0a b=!220y-+=1y=51 i1 iz+=-

14、i-1- 第7页/共25页 学科网（北京）股份有限公司【分析】应用复数的乘方、除法化简复数，即可得 z的虚部.【详解】.所以复数 z的虚部是 1.故选：C 4.黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型 A B AB O 该血型的人所占比例 0 28 0.29 0.08 0.35 已知同种血型人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给 AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是（）A.任找一个人，AB型血的人能为其输血的概率是 0.65 B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是 0.29 C.任找一个人，其血可以输给 O型血的人的概率是 1

15、D.任找一个人，其血可以输给 B型血的人的概率是 0.64【答案】D【解析】【分析】根据输血的规则，AB血型只能给 AB血型人输血，B型血能输给 B型、AB型，可以输给 B型血的人为 B或 O型，可以输给 O型血的人只能是 O型.【详解】对于 A，AB血型的人只能给 AB型的输血，故概率为 0.08，错误；对于 B，B血型的人能给 B型输血，也可给 AB血型输血，故概率为，错误；对于 C，能给 O型血输血的只能是 O型，故概率为 0.35，错误；对于 D，O型、B型血可以输给 B型血的人，故概率为，正确.故选：D 5.如图，正方体的棱长为 2，E 为的中点，则异面直线与 ED 所成的角的余弦值

16、为（）521 i1 i(1 i)i1 i1 i(1 i)(1 i)z+=-+.的0.290.080.37+=0.290.350.64+=1111ABCDABC D-1AA1AB 第8页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】连接，得到，把直线与所成的角，转化为异面直线与所成的角，在中，结合余弦定理，即可求解.【详解】由题意，在正方体中，分别连接，可得，则直线与所成的角，即为异面直线与所成的角，设角，在中，可得，由余弦定理，可得.即异面直线与所成的角的余弦值为.故选：D.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成角的求法是解答

17、的关键，着重考查数形结合思想，以及计算能力.6.在中，（a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边），则的形状为 A.等边三角形 B.直角三角形 32125510101111,AC C D C E11/ABC D1C DED1ABED1C DE1111ABCDABC D-1111,AC C D C E11/ABC D1C DED1ABED1C DEq=1C DE112 2,5,3C DDEC E=222222111(2 2)(5)310cos2102 2 25C DDEC EC D DEq+-+-=1ABED1010ABC!2cos22Bacc+=ABC! 第9页/共25页 学科网（北京）股份有

18、限公司 C 等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得【详解】，整理得，三角形为直角三角形 故选：B【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键 7.已知，且，则的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据题设条件，利用正切的两角和公式求得的值，进而利用根据两角和公式求得的值，进而根据和的范围确定的值【详解】，故选：A【点睛】方法点睛：求角的大小，一般转化为求角的三角函数值，三角函数求值的一般方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）.8.17世纪德国著名的天文学家开

19、普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄.2cos22Bacc+=22cos2Bacc+=1 cosacBc+=22212acbacacc+-+=222+=abc(),0,a bp()11tan,tan37abb-=2ab-4p34p54p74ptanatan(2)tan()ababa-=-+tan 2()ab-ab2ab-1tan()3ab-=!1tan7b=tan()tan1tantan()1tan()tan2abbaabbabb-+=-+=-tan()tantan(2)tan()11tan()tanabaababaaba-+-=-+=-13tan23a=!13ta

20、n73b=a(0,)bp06pa 0 6pb263ppab-24pab-= 第10页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 36的等腰三角形（另一种是顶角为 108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出【详解】由题意可得：，且，解得：，解得：，故选：B 二、多项

21、选择题：本题共二、多项选择题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得分，部分选对的得2分，有错选的得分，有错选的得0分分.ABC!512BCAC-=cos216=458+514+-358+-12 54-72ACB=51cos4ACB-=cos36cos216!72ACB=15 12cos4BCACBAC-=251cos722cos 3614-=-=!225351cos 3684+=!51cos364+=!()51cos216cos 18036co

22、s364+=+=-=-! 第11页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 9.下列关于平面向量，的运算，一定成立的有（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据数量积的定义及运算律判断即可；【详解】解：对于 A：根据平面向量数量积的分配律可知一定成立，故 A正确；对于 B：由数量积的结果为数量，则表示与共线的向量，表示与共线的向量，则与不一定相同，即 B错误；对于 C：设与的夹角为，则，因为，所以，故 C正确；对于 D：，由 C知，所以，即，即，故 D正确；故选：ACD 10.下列各式中值为 1的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用两角和差的三角函数公式及倍角公式

23、对选项逐一判断即可【详解】解：对于 A：，选项 A错误；对于 B：，选项 B正确；对于 C：，选项 C正确；a!b!c!()abca cb c+=+!()()a bcab c=r rrrr ra bab!abab-+!()abca cb c+=+!()a bcr rrc!()ab crr ra!()a bcr rr()ab crr ra!b!qcosa babq=!1cos1-aba bab-!2222ababa b-=+-!()2222ababa b+=+!()2222ababa b-=+-!222aba bab-!222222222aba baba baba b+-+-+!()()222a

24、babab-+!ababab-+!sincos1212ppsin72 cos18cos72 sin18+tan12tan331 tan12 tan33+-222(cossin)88pp-1111sincossin121226224ppp=sin72 cos18cos72 sin18sin(7218)sin901+=+=tan12tan33tan(1233)tan4511 tan12 tan33+=+=- 第12页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 对于 D：，选项 D正确 故选：BCD 11.如图，E，F，G，H分别是空间四边形 ABCD各边上的点（不与各边的端点重合），且 AE：EB=A

25、H：HD=m，CF：FB=CG：GD=n，ACBD，AC=4，BD=2.下列结论正确的是（）A.E，F，G，H一定共面 B.若直线 EF与 GH有交点，则交点不一定在直线 AC上 C.AC平面 EFGH D.当 m=n时，四边形 EFGH的面积有最大值 2【答案】AD【解析】【分析】A根据等比例的性质可得；B、C由题设得、，若易得直线 EF与 GH有交点，结合点、线、面的关系判断交点位置即可确定正误；D由 B、C的分析知 EPGH为平行四边形，结合有 EFGH为矩形，设并得到 EFGH面积关于的函数关系，由二次函数性质求最值即可判断.【详解】因为，则，又，则.所以，即四点共面，A正确；因为，所

26、以，同理.当时，又，此时四边形 EFGH为梯形，即直线 EF与 GH有交点，交点在面 ABC内，又在面 ADC内，而面面，所以直线 EF与 GH的交点在直线 AC上，B错误，C错误；因为及得：，四边形 EPGH为平行四边形，又，所以，故平行四边形 EFGH为矩形.设，因为，所以，而，2222(cossin)2cos218842ppp-=/EHFG1mEHBDm=+1nFGBDn=+mnACBDEFBExACAB=x:AE EBAH HD=/EHBD:CF FBCG GD=/FGBD/EHFG,E F G H1EHAEmBDAEEBm=+1mEHBDm=+1nFGBDn=+mnEHFG/EHFG

27、ABCADCAC=,11mnEHBD FGBDmn=+mn=EHFG=ACBDEFEHEFBExACAB=/EFAC4EFx=/EHBD 第13页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 所以，所以，则矩形 EFGH的面积，可得，D正确.故选：AD 12.锐角ABC中，内角 A，B，C所对边分别为 a，b，c，且，下列结论正确的是（）A.A=2B B.B的取值范围为 C.的取值范围为 D.的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理，三角函数的恒等变换可将条件化为，结合角的范围可得，即可判断 A；由题意可得范围，可得，即可判断 B；由正弦定理，二倍角公式可得，结合的范围，利用余弦函数的性

28、质即可判断 C；利用三角函数的恒等变换可得，又，可得，令，则，由对勾函数性质即可判断 D【详解】，由正弦定理可得，又，即，为锐角，即，故选项 A正确；1AEEHxABBD=-()(1)2 1EHBDxx=-=-242(1)88,(01)yEFEHxxxxx=-=-+max1()22f xf=2 coscbbA-=0,4pab()23,112sintantanABA-+5 3,33sin()sinABB-=2AB=022032BBppp-64Bpp2cosaBb=B1112sin2sintantansinAABAA-+=+32App3sin12A3sin(1)2tAt=13()2(1)2f tt

29、tt=+2 coscbbA-=!sinsin2sincosCBBA-=sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+sincoscossinsin2sincosABABBBA+-=sincossinsincosABBBA-=sincoscossinsin()sinABABABB-=-=A!BCABB-=2AB= 第14页/共25页 学科网（北京）股份有限公司，故选项 B错误；，故选项 C正确；，又，令，则，由对勾函数性质可知，在，上单调递增，又，（1），故选项 D正确 故选：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分.13.若复

30、数与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则_【答案】【解析】【分析】利用数量积为列方程，解方程求得.【详解】对应坐标为，对应坐标为，依题意，解得.故答案为：14.为迎接 2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为 0.93，抽到一等品或三等品的概率为 0.82，则抽到一等品的概率为_.【答案】#!022032BBppp-64Bpp32App!sin2sincos2cos(2sinsinaABBBbBB=3)!11sin()sin(2)12sin2sin2sin2sintantansinsin

31、sinsinsinABBBAAAABABABAA-+=+=+=+32App3sin12A3sin(1)2tAt=13()2(1)2f tttt=+1()2f ttt=+3(2t1)3135 3()222332f=+=f12 131=+=3)()izaa=+Rz=a10azai=+(),1aza i=-(),1a-()()2,1,110aaa-=-=1a= 第15页/共25页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】由互斥事件的概率加法公式进行求解即可【详解】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，则，解得，所以抽到一等品的概率为.故答案为：.15.如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，

32、过点作直线与、分别交于点、，则_.【答案】#【解析】【分析】利用三点共线可得出，可得出，设，则，将用表示，可得出关于、的等式，即可得解.【详解】因为、三点共线，则存在，使得，则，所以，由已知，则，所以，设，则，因为，则，因为，ABC()()()()()()()0.930.821P AP BP AP CP AP BP C+=+=+=()()()0.750.180.07P AP BP C=0.750.75ABC!DBCGAD2AGBDDGCD=GABACEF2ABACAEAF+=924.5EGEFl=!()1AGAEAFll=-+!AEmAB=AFnAC=AEmAB=!AFnAC=!AG!,AB

33、AC!mnEGFRlEGEFl=!()AGAEAFAEl-=-!()1AGAEAFll=-+!2BDDC=!()2ADABACAD-=-!1233ADABAC=+!AEmAB=AFnAC=AEmAB=!AFnAC=!2AGDG=224399AGADABAC=+!()()11AGAEAFmABn ACllll=-+=-+! 第16页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 所以，所以，因此，.故答案为：.16.在中，角，所对的边为，若，且的面积，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由面积公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理将角化边，即可求出，再由正弦定理及三角恒等变换公式将转化为关于的三角函

34、数，最后由三角函数的性质计算可得；【详解】解：由，又，所以，由正弦定理得，所以 ，()21949mnll-=241199mnll+=-+=21292ABACAEAFmn+=+=92ABC!ABCabcsinsincoscos3sinBCACAac=+ABC!2223()4ABCSabc=+-cab+1,12Cccab+A2223()4ABCSabc=+-22213sin()24abCabc=+-2222coscababC=+-13sin2cos24abCabC=tan3C=0Cp!60C=!sinsincoscos3sinBCACAac=+3sin1coscos23sinBACAac=+222

35、2222326222bbcaabcbbaabcabcabcac+-+-=+=2 3c=2 324sinsin3cRCp=24sin4sin4sin4sin3abABAAp+=+=+-224sin4sincos4cossin33AAApp=+-316sin2 3cos4 3sincos4 3sin()226AAAAAp=+=+=+ 第17页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 因为，所以，所以，故答案为：四、解答题：本题共四、解答题：本题共6小题，共小题，共70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复，为虚数单位.（1）若复数对应的点在第

36、四象限，求实数的取值范围；（2）若，求的模.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用复数代数形式的运算法则化简复数，求出对应点利用点在第四象限，得到不等式组，即可求实数的取值范围；（2）利用复数代数形式的除法运算化简复数，从而求出其模【小问 1 详解】解：，复数，则复数在复平面内所对应的点为，由题意可得，解得，即【小问 2 详解】203Ap5666Appp+-1132a-cos3sin2BB+=13cossinsin1226BBBp+=+=0Bp7666Bppp+sin3cosBB=tan3B=0Bp1cos2B=为0Bp3Bp=DAC的()12BDBABC=+!13BD=()()222

37、211244BDBABCBABA BCBC=+=+!2111342 242aa=+6a=8a=-113sin2 63 3222ABCSacB=!ABC!14BPBC= 第22页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 （1）若，求实数的值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平面向量基本定理可得，再由向量相等即可求解；（2）由平面向量基本定理可得，再结合两项数量积的运算性质与二次函数的性质求解即可【小问 1 详解】由题意，即，故，因为 Q为线段 AP上一点，设，又不共线，所以，解得 所以；【小问 2 详解】，由（1）知，112AQABACl=+!lQA!QC!14l=2

38、552-3114412AQmABmACABACl=+=+!311314444QA QCmABmACm ACmAB=-!14BPBC=!()14APABACAB-=-!3144APABAC=+!()3111,04412AQmAPmABmACABACml=+=+!,AB AC!3411412mml=1314ml=14l=1cos602 222AB ACABAC=!3144APABAC=+!()31,0144AQmAPmABmACm=+! 第23页/共25页 学科网（北京）股份有限公司，所以 ，当时，所以的最小值为 22.如图，某闸口附近有一块半圆形区域，其中豁口（阴影部分）是一块景点水域为了进一步

39、发展旅游业，现要划出两块陆地进行打造，一块为矩形建成停车场，另一块为直角三角形建成休闲区（），它们的面积分别记为、；同时，为了保护景点水域，限定扇形必须为四分之一圆，不作其它开发已知为圆心，直径为，点、分别在弧、上（均不含端点），且点、分别在、上，点和在上，记 （1）求的最大值，并指出相应的值；（2）为了给旅游主管部门提供决策依据，求的取值范围 311314444QCACAQACmABmACm ACmAB=-=-+=-!311314444QA QCmABmACm ACmAB=-!22223191131144164416mm AB ACm ABmm ACm AB AC=-+-+!22319113

40、12414244164416mmmmmm=-+-+22319131124448mmmmmm=-+-+22222339131352844842mmmmmmmm=-+-+=-()()2135,0142f mmmm=-513m=()2min513555251341321352f mf=-=-QA QC!2552-PEMNOQF2OFQp=1S2SPOQOAD200mPQABCDEFOBODMNOA3AOBp=2CODp=AOPa=1Sa12SS 第24页/共25页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）当时，取得最大值 （2）【解析】【分析】（1）求出、的长，可得出关于的表达式，利用三角恒等变换化

41、简关于的表达式，结合以及正弦型函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值；（2）求出，利用正切函数的基本性质结合可求得的取值范围.【小问 1 详解】解：在中，则，其中，在中，则，所以，因为，则，故当时，即当时，取得最大值.【小问 2 详解】解：因为，则，因为，则，6pa=1S25000 3m3()0,2PNMN1Sa1Sa03pa1Sa122 32tan3SSa=-03pa12SSRt OPN!100OP=AOPa=sin100sinPNOPaa=03paRtOME3EOMp=100sinEMPNa=100 3sin3tan3MEOMap=100 3100cossin3MNONOMaa=-=-2

42、1100 33100sin100cossin10000 sincossin33SPN MNaaaaaa=-=-13 1 cos213310000sin210000sin2cos2232266aaaa-=-=+-3310000sin 2366pa=+-03pa52666pppa+262ppa+=6pa=1S235000 310000m63=AOPa=2POQp=2QOFpa=-2OFQp=100sin100cos2QFpaa=-=100cos100sin2OFpaa=-= 第25页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 所以，所以，.211100cos100sin5000sincos22SQF OFaaaa=()212310000 sincossin32 32tan0,25000sincos3SSaaaaaa-=-