【数学】江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期末模拟数学试题（三）含答案.pdf

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1、南京市秦淮中学南京市秦淮中学 20192020 学年第二学期学年第二学期 高二数学期末模拟检测试卷（三）高二数学期末模拟检测试卷（三）试题试题 时间：时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分分 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。1.已知集合0,1,2,3,4,2,3,5,AB=则AB=()A.0,2,4B.2,3C.1,3,5D.0,1,2,3,4,52.已知(,)abi a b+R是11ii+的共轭复数，则ab+=()A.1B.12 C.12D.13.设向量(1,1)=a，(1,3)=b，(2,1)=c，且()abc，则=()A.3B.2C.2D.34.1

2、01()xx的展开式中4x的系数是()A.210B.120C.120D.2105我国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为()A108里 B96里 C64里 D48里 6为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（）A.310 B.25 C.35 D.

3、7107 已知函数 f(x)的定义域为 R 当 x时，11()()22f xf x+=，则 f(6)=()A2 B1 C0 D2#抢占高考毕业班优质师资#“399元一对一试上课”语/数/英/物/化任选小娜老师 8设QP,分别为()2622=+yx和椭圆11022=+yx上的点，则QP,两点间的最大距离是()A25 B246+C27+D26 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。9 对于实数 a，b，c，下列命题是真命题的为()A若 ab，则11abb，则22a

4、cbc C若a0b，则a2ab0，则acabcb 10.已知双曲线C过点(3,2)且渐近线为33yx=，则下列结论正确的是()A.C的方程为2213xy=B.C的离心率为3 C.曲线21xye=经过C的一个焦点 D.直线210 xy=与C有两个公共点 11 将函数()2sin(sin3cos)1f xxxx=图象向右平移3个单位得函数()g x的图像 则下列命题中正确的是()A()f x在(,)4 2 上单调递增 B 函数()f x的图象关于直线56x=对称 C()2cos2g xx=D函数()g x的图像关于点(,0)2对称 12 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为a，线段 B1

5、D1上有两个动点 E，F，且 EF=22a，以下结论正确的有()AACBE；B点 A 到 BEF 的距离为定值 C三棱锥 ABEF 的体积是正方体1111ABCDABC D体积的112；D异面直线 AE，BF 所成的角为定值#抢占高考毕业班优质师资#“399元一对一试上课”语/数/英/物/化任选小娜老师 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13如果角的终边过点)30cos2,30sin2(ooP，那么sin等于 .14设0,0,25xyxy+=，则(1)(21)xyxy+的最小值为 .15.已知直线20axy+=与圆心为C的圆22(1)()4xya+=相交于A、B两点，

6、且ABC为等边三角形，则实数a=.16.已知三棱锥SABC中，,4,2 13,2,62SABABCSBSCABBC=，则 三 棱 锥SABC的 体 积 是 _;三 棱 锥SABC的 外 接 球 的 表 面 积 是_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 17.7.（1 10 0 分）分）ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC=（1）求 A；（2）若22abc+=，求 sinC#抢占高考毕业班优质师资#“399元一对一试上课”语/数/英/物/化任选小娜老师 1 18.8.（1010

7、分）分）已知数列 na的前n项和为nS，且nS=22nn+，nN，数列 nb满足24log3nnab=+，*nN（）求,nna b；（）求数列nnab的前n项和nT#抢占高考毕业班优质师资#“399元一对一试上课”语/数/英/物/化任选小娜老师 1 19.9.（1212 分）分）如图，直三棱柱111ABCABC中，,D E分别是1,AB BB的中点，122AAACCBAB=（）证明：1BC/平面1ACD；（）求二面角1DACE的正弦值 EDCBAA1B1C1#抢占高考毕业班优质师资#“399元一对一试上课”语/数/英/物/化任选小娜老师 20.20.（1 12 2 分）分）某书店刚刚上市了中国

8、古代数学史，销售前该书店拟定了 5 种单价进行试销，每种单价（x元）试销 l 天，得到如表单价x（元）与销量y（册）数据：单价x（元）18 19 20 21 22 销量y（册）61 56 50 48 45（l）根据表中数据，请建立y关于x的回归直线方程：（2）预计今后的销售中，销量y（册）与单价x（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是 12 元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？附：1221niiiniix ynxybxnx=，aybx=，515160iiix y=，5212010iix=.#抢占高考毕业班优质师资#“399元一对一试上课”语/数/英/物/化任选小娜老师

9、 21.21.（1212 分）分）已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P （1）若4AFBF+=，求 l 的方程；（2）若PBAP3=，求AB#抢占高考毕业班优质师资#“399元一对一试上课”语/数/英/物/化任选小娜老师 2 22 2.（1414 分）分）已知函数()(1)xf xea x=，其中,aR e为自然对数底数.（1）当1a=时，求函数()f x在点(1,(1)f处的切线方程；（2）讨论函数()f x的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知bR，若函数()f xb对任意xR都成立，求ab的最大值.#抢占高考

10、毕业班优质师资#“399元一对一试上课”语/数/英/物/化任选小娜老师 参考参考答案答案 时间：时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分分 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。1.已知集合0,1,2,3,4,2,3,5,AB=则AB=(B )A.0,2,4 B.2,3 C.1,3,5 D.0,1,2,3,4,5 2.已知(,)abi a b+R是11ii+的共轭复数，则ab+=(D )A.1 B.12 C.12 D.1 3.设向量(1,1)=a，(1,3)=b，(2,1)=c，且()abc，则=(A )A.3 B.2 C.2 D.3 4.101()xx的展开式

11、中4x的系数是(B )A.210 B.120 C.120 D.210 5我国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为(B)A108里 B96里 C64里 D48里 6为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（C）A.310 B.25 C.35 D.71

12、0 7 已知函数 f(x)的定义域为 R 当 x 时，11()()22f xf x+=，则 f(6)=(D )A2 B1 C0 D2 8设QP,分别为()2622=+yx和椭圆11022=+yx上的点，则QP,两点间的最大距离是(D )#抢占高考毕业班优质师资#“399元一对一试上课”语/数/英/物/化任选小娜老师 A25 B246+C27+D26 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。9 对于实数 a，b，c，下列命题是真命题的为(BD )A若 ab，则11

13、abb，则22acbc C若a0b，则a2ab0，则acabcb 10.已知双曲线C过点(3,2)且渐近线为33yx=，则下列结论正确的是(AC )A.C的方程为2213xy=B.C的离心率为3 C.曲线21xye=经过C的一个焦点 D.直线210 xy=与C有两个公共点 11 将函数()2sin(sin3cos)1f xxxx=图象向右平移3个单位得函数()g x的图像 则下列命题中正确的是(AC )A()f x在(,)4 2 上单调递增 B 函数()f x的图象关于直线56x=对称 C()2cos2g xx=D函数()g x的图像关于点(,0)2对称 12 如图，正方体 ABCDA1B1C

14、1D1的棱长为a，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且 EF=22a，以下结论正确的有(ABC )AACBE；B点 A 到 BEF 的距离为定值 C三棱锥 ABEF 的体积是正方体1111ABCDABC D体积的112；D异面直线 AE，BF 所成的角为定值 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13如果角的终边过点)30cos2,30sin2(ooP，那么sin等于_23_.14设0,0,25xyxy+=，则(1)(21)xyxy+的最小值为_34_.15.已知直线20axy+=与圆心为C的圆22(1)()4xya+=相交于A、B两点，且#抢占高考毕业班优质师资#“3

15、99元一对一试上课”语/数/英/物/化任选小娜老师 ABC为等边三角形，则实数a=415 .16.已知三棱锥SABC中，,4,2 13,2,62SABABCSBSCABBC=，则三棱锥SABC的体积是_34_;三棱锥SABC的外接球的表面积是_52_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC=（1）求 A；（2）若22abc+=，求 sinC 解：（1）由已知得222sinsinsinsinsinBCABC+=，故由正弦定理得222bcabc+

16、=由余弦定理得2221cos22bcaAbc+=因为0180A，所以60A=（2）由（1）知120BC=，由题设及正弦定理得()2sinsin 1202sinACC+=，即631cossin2sin222CCC+=，可得()2cos602C+=由于0120C，所以()2sin602C+=，故()sinsin6060CC=+()()sin60cos60cos60sin60CC=+624+=18.已 知 数 列 na的 前n项 和 为nS，且nS=22nn+，n N ，数 列 nb满 足24log3nnab=+，*nN（）求,nna b；（）求数列nnab的前n项和nT#抢占高考毕业班优质师资#“

17、399元一对一试上课”语/数/英/物/化任选小娜老师【解析】（）由nS=22nn+，得 当n=1 时，113aS=；当n2 时，1nnnaSS=2222(1)(1)41nnnnn+=，*nN.由24log3nnab=+，得21nbn=，*nN.（）由（1）知1(41)2nnna bn=，*nN 所以()2137 2 11 2.41 2nnTn=+，()2323 27 211 2.41 2nnTn=+，()21241 234(22.2)nnnnTTn=+(45)25nn=+(45)25nnTn=+，*nN 19.如 图，直 三 棱 柱111ABCABC中，,D E分 别 是1,AB BB的 中

18、点，122AAACCBAB=（）证明：1BC/平面1ACD；（）求二面角1DACE的正弦值 【解析】（）连结1AC，交1AC于点 O，连结 DO，则 O 为1AC的中点，因为 D 为 AB 的中点，所以 OD1BC，又因为 OD平面1ACD，1BC平面1ACD，所以1BC/平面1ACD；（）由1AA=AC=CB=22AB 可设：AB=2a，则1AA=AC=CB=2a，EDCBAA1B1C1#抢占高考毕业班优质师资#“399元一对一试上课”语/数/英/物/化任选小娜老师 所以 ACBC，又因为直棱柱，所以以点 C 为坐标原点，分别以直线 CA、CB、1CC为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角

19、坐标系如图，zxyFEDCBAA1B1C1 则(0,0,0)C、1(2,0,2)Aaa、22(,0)22aaD、2(0,2,)2aEa，1(2,0,2)CAaa=，22(,0)22aaCD=，2(0,2,)2aCEa=，12(2,2,)2aAEaa=，设平面1ACD的法向量为(,)nx y z=，则0n CD=且10n CA=，可解得yxz=，令1x=，得平面1ACD的 一个法向量为(1,1,1)n=，同理可得平面1ACE的一个法向量为(2,1,2)m=，则cos,n m=33，所以6sin,3n m=，所以二面角 D-1AC-E 的正弦值为63 20.某书店刚刚上市了中国古代数学史，销售前该

20、书店拟定了 5 种单价进行试销，每种单价（x元）试销 l 天，得到如表单价x（元）与销量y（册）数据：单价x（元）18 19 20 21 22 销量y（册）61 56 50 48 45 （l）根据表中数据，请建立y关于x的回归直线方程：（2）预计今后的销售中，销量y（册）与单价x（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是 12 元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？#抢占高考毕业班优质师资#“399元一对一试上课”语/数/英/物/化任选小娜老师 附：1221niiiniix ynxybxnx=，aybx=，515160iiix y=，5212010iix=.【详解】解：（1

21、）18 19202122205x+=，61 56504845525y+=515160iiix y=，5212010iix=，1221niiiniix ynxybxnx=251605 20 5240420105 2010=，52(4)20132aybx=所以y对x的回归直线方程为：4132yx=+（2）设获得的利润为W，2(12)41801584Wxyxx=+，因为二次函数241801584Wxx=+的开口向下，所以当22.5x=时，W取最大值，所以当单价应定为 22.5 元时，可获得最大利润 21.已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x

22、 轴的交点为P（1）若4AFBF+=，求 l 的方程；（2）若PBAP3=，求AB 解析解析 设直线()()11223:,2l yxt A x yB xy=+（1）由题设得3,04F，故123|2AFBFxx+=+，由题设可得1252xx+=由2323yxtyx=+=，可得22912(1)40 xtxt+=，则1212(1)9txx+=从而12(1)592t=，得78t=所以l的方程为3728yx=（2）由3APPB=uu u ruur可得123yy=#抢占高考毕业班优质师资#“399元一对一试上课”语/数/英/物/化任选小娜老师 由2323yxtyx=+=，可得2220yyt+=所以122y

23、y+=从而2232yy+=，故211,3yy=代入C的方程得1213,3xx=故4 13|3AB=22.已知函数()(1)xf xea x=，其中,aR e为自然对数底数.（1）当1a=时，求函数()f x在点(1,(1)f处的切线方程；（2）讨论函数()f x的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知bR，若函数()f xb对任意xR都成立，求ab的最大值.解：（1）当1a=时，()e1xfx=+，()1e 1f=+，()1ef=，函数()f x在点()()1,1f处的切线方程为()()ee 11yx=+，即()e 11yx=+（2）()exfxa=，当0a时，()0fx，函数()f x在R

24、上单调递增；当0a 时，由()e0 xfxa=得lnxa=，(),lnxa 时，()0fx，()f x单调递增 综上，当0a时，函数()f x的单调递增区间为(,)+；当0a 时，函数()f x的单调递增区间为()ln,a+，单调递减区间为(),lna （3）由（2）知，当0a 时，由函数()f xb对任意xR都成立，得()minbfx，()()minln2lnfxfaaaa=，2lnbaaa 222lnabaaa，#抢占高考毕业班优质师资#“399元一对一试上课”语/数/英/物/化任选小娜老师 设()()222ln0g aaaaa=，()()42 ln32 lngaaaaaaaa=+=，由于0a，令()0ga=，得3ln2a=，32ea=，当320,ea时，()0ga，()g a单调递增；32e,a+时，()0ga，()g a单调递减()3maxe2ga=，即ab的最大值为3e2，此时33221e,e2ab=#抢占高考毕业班优质师资#“399元一对一试上课”语/数/英/物/化任选小娜老师