Cq重庆大学电子课件.pptx

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1、Cq重庆大学电子课件重庆大学电子课件课件制作课件制作:吴新生吴新生 樊桂洁樊桂洁课程课程:高等数学高等数学20052005年年6 6月月2021/9/121第一章 函数与极限分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁本章主要内容：映射函数函数极限数列极限无穷大与无穷小函数的连续性与间断点2021/9/122第一节 映射与函数一、集合二、映射三、函数2021/9/123一、集合（一）定义及表示法 定义1：称为集集元素 a 属于集合 M,记作元素 a 不属于集合 M,记作(或).不含任何元素的集合称为空集空集 ,记作 .含有有限个元素的集合成为有限集.不是有限集的

2、集合称为无限集.N：全体自然数集合 N+：全体正整数集合 Z：全体整数集合 Q：全体有理数集合 R:全体实数集合 R*:全体正实数集合合合。组成集合的事物称为元素元素.2021/9/124(1)列举法：按某种方式将集合中的元素一一列举出来.例例:有限集合(2)描述法：x 所具有的特征例例:整数集合或有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数表示法：2021/9/1251、基本运算：并集并集：由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，记作AB。交集：由即属于A又属于B的元素组成的集合，记作AB。差集：所有属于A而不属于B的元素组成的集合，记作AB补集：称集合I为全集，称IA为A的余集

3、或补集。直积特例:记为平面上的全体点集（二）集合的运算2021/9/126交换律：ABBA，ABBA；结合律：（AB）CA（BC），分配律：（AB）C（AC）（BC），对偶律：（AB）CACBC，（AB）CA（BC）；（AB）C（AC）（BC）；（AB）CACBC；2、集合的并、交、补运算满足下列法则：2021/9/127点的 邻域邻域其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.去心 邻域邻域左左 邻域邻域:右右 邻域邻域:2021/9/128f二、映射（一）映射的概念设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法 则 f,使得对X中的每个元素x，按法则 f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称 f 为从

4、X到Y的映射。记作定义：元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像,记作元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像原像.集合 X 称为映射 f 的定义域定义域;Y 的子集称为 f 的 值域值域.XxYy2021/9/1291、构成映射必备的三要素：2、元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.对应法则f是对每个xX，有唯一确定的y=f(x)与之对应。值域范围Df Y;定义域 Df=X；注意：2021/9/1210对映射若,则称 f 为满射满射;若有 则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射.满射：单射：双射：2021/9/1

5、211X(数集 或点集)在不同数学分支中有不同的惯用 X()Y(数集)f 称为X 上的泛函X()X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子.名称.例如,说明说明:2021/9/12121、逆映射的定义 定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为 f 的逆映射.（二）（二）逆映射与复合映射逆映射与复合映射2021/9/1213定义：设有两个映射其中，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个映成显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和 f构成的复合映射，记作即2、复合映射202

6、1/9/1214三、函数（一）函数的概念定义域Df定义定义4.设数集则称映射为定义在D 上的函数,记为自变量因变量 f(D)称为值域Rf(对应规则)(值域)(定义域)2021/9/1215 定义域定义域 对应规律对应规律对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法。使表达式及实际问题都有意义的函数构成要素如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，自变量集合.那么这两个函数就是相同的，否则就是不同。2021/9/1216设函数且有区间1、有界性、有界性使称 使称 为有界函数.在 I 上有界.使若对任意正数 M,均存在 则称 f(x)无界.，称 在I上有上界称 在I上有下界当（二）（二）函数的几种特

7、性函数的几种特性使使2021/9/12172、单调性单调性时,称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数;单调减函数.2021/9/1218且有若则称 f(x)为偶函数;若则称 f(x)为奇函数.3、奇偶性奇偶性由定义知偶函数关于y轴对称xy且有由定义知奇函数关于原点对称2021/9/1219有则称为周期函数,且称 l 为周期(一般指最小正周期).周期为 注注:周期函数不一定存在最小正周期.4、周期性周期性设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数l，使得对于任一例如：常数函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数或2021/9/12201、反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,

8、的反函数记成称此映射为 f 的反函数.（三）（三）反函数与复合函数反函数与复合函数2021/9/1221其反函数(减)(减).1)yf(x)单调递增且也单调递增 2)函数与其反函数的图形关于直线对称.如图：对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数性质:2021/9/12222、复合函数则设有函数链称为由,确定的复合函数,u 称为中间变量.注意:构成复合函数的条件 不可少.例如例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合2021/9/1223例如,可定义复合函数:其中u、v都是中间变量两个以上函数也可构成复合函数.2021/9/12243、函数的运算的定义域依次为则可以定义两个函数的下列运算和（差）商积2021/9/12251、基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数2、初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.例如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.定义（四）初等函数2021/9/1226内容小结内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构2.函数的定义及函数的二要素2021/9/12272021/9/1228