高考数学解答题常考公式及答题模板（Word版28页免费下载）.docx

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1、 高考数学解答题常考公式及答题模板题型一：解三角形1、正弦定理： （是外接圆的半径）变式： 变式： 变式：2、余弦定理： 变式：3、面积公式：4、射影定理： （少用，可以不记哦o）奇：的奇数倍偶：的偶数倍5、三角形的内角和等于，即 6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限利用以上关系和诱导公式可得公式： 和 7、平方关系和商的关系： 8、二倍角公式： 降幂公式：，8、和、差角公式： 9、基本不等式： 注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求面积的最大值时。答题步骤：抄条件：先写出题目所给的条件；（但不要抄题目）写公式：写出要用的公式，如正弦定理或余弦定理；有过程：写出运算过程；得结

2、论：写出结论；（不会就猜一个结果）猜公式：第二问一定不能放弃，先写出题目所给的条件，然后再写一些你认为可能考到的公式，如均值不等式或面积公式等。例1：(2016天津文)在中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知.(1)求B；(2)若，求sinC的值.解：已知 将题目的条件抄一遍由正弦定理 写出要用的公式 写出要用的公式 写出运算过程 又 故. 写出结论 (2)已知, 写出题目的条件和要用的公式 先写公式再写运算过程.例2：(2013江西理)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos C(cos Asin A)cos B=0.(1)求角B的大小；(2)若ac=1，求b

3、的取值范围解：(1)已知cos C(cos Asin A)cos B=0 将题目的条件抄一遍 写出必要的运算过程 . 得出结论(2)由余弦定理，得 写出要用的公式 写出必要的运算过程根据基本不等式，得 写出要用的公式 写出必要的运算过程即. 得出结论10、不常用的三角函数公式（很少用，可以不记哦o）（1）万能公式： （2）三倍角公式： 题型二：数列1、等差数列 2、等比数列定义： 定义：通项公式： 通项公式：前n项和：（大题小题都常考） 前n项和：（常考） （小题常考） （可以不记哦o）等差中项：若成等差数列，则 等比中项：若成等比数列，则 性质：若，则 性质：若，则3、与的关系： 注意：该公

4、式适用于任何数列，常利用它来求数列的通项公式4、求数列通项公式的方法（1）公式法：若已知和，则用等差数列通项公式若已知和，则用等比数列通项公式（2）与的关系：例3：数列满足，求.解：设，则（1）当时，（2）当时， -，得 利用了与的关系 验证当时， 要验证n=1是否成立，不成立应当分开写 故.（3）构造法：形如（p，q为非零常数） 构造等比数列例4：已知数列满足，且，求.解：已知，且构造 构造等比数列 将假设出来的式子与原式比较，求出未知数 令 为等比数列 先写出等比数列的通项公式，再带值 又. 通过求出间接求出（4）累加法：形如，且可用求和，可用累加法例5：已知数列中，求.解：已知 累加的方

5、法是左边加左边，右边加右边累加后，得 利用了公式故.（5）累乘法：形如，且可用求积，可用累乘法例6：已知数列中，求.解：已知 累乘后，得 .（6）取倒数法：形如（p，q为非零常数）则两边同时取倒数例7：已知数列满足且，求. 解：已知 等式两边同时取倒数 满足等差数列的定义令，则 构造等差数列 为等差数列 . 先写出公式，再带值 5、求数列前n项和Sn的方法（1）公式法：除了用等差数列和等比数列前n项和的公式外，还应当记住以下求和公式 （2）裂项相消法： 例8：设等差数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.解：（1）已知， 写出题目所给的条件 ， 一定要先写出

6、要用的公式，再带值 先写出公式，再带值由式，解得 . 先写出公式，再带值 （2）由（1）知： 拆项后担心不对就通分回去验证 （3）错位相减法：形如“等差等比”的形式可用错位相减法例9：设数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.解：（1）已知，则 一定要先写出题目所给的条件 累加后，得 运用等比数列求和公式 所有的n取n-1，得到（2）由（1）知： 记 等式两边同时乘以等比部分的公比-，得 此处用错位相减法 . 运用求和公式（4）分组求和法：例10：已知等差数列满足.（1）若成等比数列，求m的值；（2）设，求数列的前n项和.解：（1）已知 写出题目所给的条件 由，得 . 先

7、写出通项公式的一般式，再带值 又成等比数列 利用等比中项列出方程. （2）由（1）知： 运用分组求和法记，则 .9、基本不等式： 注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题的时候用到，有时还用于证明数列不等式。答题步骤：抄条件：先抄题目所给的条件；（但不要抄题目）写公式：写出要用的公式，如等差数列的通项公式或前n项和；有过程：写出运算过程；得结论：写出结论；（不会就一个结果）猜公式：第二问一定不能放弃，先写出题目所给的条件，然后再写一些你认为可能考到的公式。 o 数列题型比较难的是放缩法题型三：空间立体几何1、线线关系线线平行：（很简单，基本上不考）线线垂直：先证明线面垂直，从而得到线线垂直。

8、（常考） 方法：（i）利用面与面垂直的性质，即一个平面内的一条直线垂直于两面交线必与另一平面垂直；（ii）利用线与面垂直的性质，即直线同时垂直于平面内的两条相交直线。例11：如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面，求证：.证明：取AD的中点为G，连接PG，BG，如图所示： 作辅助线一定要有说明 PAD是等边三角形 将条件圈出来 将条件圈出来又而 必须说明线与面的关系即.2、线面关系线面平行：只需证明直线与平面内的一条直线平行即可。方法：将直线平移到平面中，得到平面内的一条直线，只需证明它们互相平行即可。一般要用平行四边形或三角形中位线的性质证明。（最常考，一

9、定要掌握鸭）线面垂直：只需证明直线与平面内的两条相交直线都互相垂直即可。（最常考，一定要掌握鸭）方法：（i）利用面与面垂直的性质；（ii）直线同时垂直于平面内的两条相交直线。例12：如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E、F分别为C1D1、A1D1的中点（1）求证：DE平面BCE；（2）求证：AF平面BDE证明：（1）已知AA1=AD=a，AB=2a，E为C1D1的中点 又 ，且而.（2）连接EF，连接AC交BD于点M如图所示： 又 . 3、面面关系面面平行：只需证明第一个平面的两条相交直线与第二个平面的两条相交直线互相平行即可（很少考哦）。面面垂直：只

10、需证明有一条直线垂直于一个平面，而这条直线又恰好在另外一个平面内即可。（常考）例13：如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC，O，M分别为AB，VA的中点求证：平面MOC平面VAB证明：已知面VAB面ABC 将条件圈出来又 . 利用了线垂直于平面的性质答题模板：作辅助：需要作辅助线的一定要在图中作出辅助线，如取AB的中点为E；有说明：需要在图上连线时一定要有说明，如连接AB两点如图所示；抄条件：写出证明过程，并将条件圈出；再说明：说明线与面的关系，如面，而面；得结论：得出结论，证毕；写多分：第二问不要不写，能写多少写多少，哪怕是抄题目的条件。

11、文科常考锥体体积公式：理科常考二面角的余弦值： 其中和为两个平面的法向量点到平面的距离公式(理科)：设平面的法向量为，A为该平面内任意一点，则点P到平面的距离为： o 总之第二问一定要多写，多写多得分例14：(2018全国卷文)如图所示，在四棱锥PABCD中，AB/CD，且（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积 证明：（1） 写出题目的已知条件 又 将证明的条件圈出来 说明清楚线与面的关系又. 根据线面垂直的性质，得出结论（2）过P点作，垂足为点M，如图所示： 作辅助线一定要有说明 设，则 平行四边形的面积等于相邻两边的

12、乘积由题意可知： 故四棱锥P-ABCD的侧面积为： 要先将所有的侧面积表示出来，再相加 . 例15：(2018全国卷理)如图所示，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值 证明：（1）既然M为圆弧CD上的动点，不妨假设M在圆弧CD的中点处，建立空间直角坐标系D-xyz如图所示： A(2,0,0) B(2,2,0) C(0,2,0) D(0,0,0) 将所有点的坐标一一写出设面的法向量为，则 法向量一般要先假设出来 ，由 取 平面有无数多法向量，

13、任取一个即可设面的法向量为，则 ， 由 取 平面的法向量垂直，两平面必互相垂直即 面ADM面BCM. （2）由题意知，当M在点处时三棱锥M-ABC体积最大 设面的法向量为，则 ， 由 取而面的法向量取为 先写公式再带数值 . 利用公式求题型四：概率与统计1、茎叶图平均数：极差=最大值-最小值 注：极差越小，数据越集中方差： 注：方差越小，数据波动越小，越稳定标准差：例16：(2018全国卷理)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产

14、方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式86556899762701223456689877654332814452110090（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一章生产方式第二章生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828 解：（1）工作效率的高低看两种生产方式的平均工作时间，分别

15、为：第一种生产方式：第二种生产方式： 由 可知第二种生产方式的平均工作时间较低，因此第二种生产方式效率更高.（2）由茎叶图可知：中位数为列联表如下：超过m不超过m第一章生产方式155第二章生产方式515（3）由（2）中的列联表知： 要将公式抄写一遍，再带值所以有99的把握认为两种生产方式的效率有差异.2、频率分布直方图众数：最高小长方形的中间值中位数：小长方形面积之和为0.5的值频率=概率=组距=小长方形的面积所有小长方形的面积之和等于1平均数：每个小长方形的中间值相应小长方形的面积，然后将所得的数相加例17：(2019全国卷文)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200

16、只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分析得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）.解：（1）频率分布直方图的小矩形面积表示概率.由题意，得 a+0.20+0.15=0.70 a=0.35根据“各小矩形的面积之和等于1”，得 0.

17、05+b+0.15+0.35+0.20+0.15=1 b=0.10（2）根据平均值的求法，得 对甲离子：对乙离子：3、线性回归方程答题模板：（1）设方程：先假设回归方程为；（2）抄公式：写出公式， （不管题目有没有给，都要写出来哦o）（3）求各值：求出， 没时间计算就把式子列出来 ， 没时间计算就把式子列出来（4） 得ba：代入公式求出和；（5） 写方程：写出回归方程；（6）写多分：第二问也不难，一般给你x让你估计y的值，直接带公式OK！o例18：(2014全国卷理)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份200720082009201020112012

18、2013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农民居民家庭人均纯收入.附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，解：（1）设线性回归方程为，则 先假设出回归方程 写计算b，a的公式，不管题目有没有给出公式 ，故线性回归方程为：.由回归方程知：该地区农村居民人均纯收入是逐年提高的.2015年的年份代号为9，所以当t=9时，（千元）故预计该地区2015年农民居民家庭人均纯收入为6.92千元.题型

19、五：圆锥曲线1、椭圆（以焦点在x轴上的为例）定义： 准线：标准方程： 通径：离心率： 长轴长： 固定关系： 短轴长：例20：(2018北京卷文)已知椭圆M:的离心率为，焦距为，斜率为k的直线l与椭圆M有不同的交点A，B.（1）求椭圆M的方程；（2）若k=1，求|AB|的最大值；（3）设P(-2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和Q共线，求k.焦距： 解：（1）已知椭圆的标准方程为 首先假设椭圆的方程 ， 先写公式再带数值 先写公式再带数值故椭圆的方程为.（2）由题意，设AB所在的直线方程为，则 一定要假设出直线方程 将直线与椭圆联立方程 韦达定

20、理 保证直线与椭圆有两个交点 弦长公式因此当且仅当即时，的值最大，且.（3）设，则 未知点要先假设出坐标 PA所在的直线方程为： 代入直线的点斜式方程 将直线与椭圆联立方程又点A在椭圆上，因此有 韦达定理和点斜式方程 同理可得，又在同一直线上，因此 即.2、双曲线（以焦点在x轴上的为例）定义： 渐进线：标准方程： 通径：离心率： 实轴长： 固定关系： 虚轴长：焦距： 例21：已知C：的两个焦点，点在双曲线上.（1）求双曲线C的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点E，F，若的面积为，求直线l的方程. 解：（1）已知双曲线的标准方程为，则 先写出标准方程的原

21、始式子 由题意得，c=2，点在双曲线上 先写出a,b,c三者的固定关系再带数值解得故双曲线的标准方程为：.（2）设直线l的方程为，即，则 点O到直线EF的距离为： 先写出公式再带数值 弦长公式，先写出公式再带数值 由题意，得 点O到直线EF的距离就是三角形的高 即 将四次方看成平方的平方，再用十字相乘法解得 得到的k值还要验证是否能保证直线与双曲线有两个交点故直线l的方程为：或. 注：十字相乘法解方程 3、抛物线（以开口向右的为例）标准方程：焦点坐标：准线方程：定义：平面内到一个定点与到定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，其中定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.（常考，很重要的哦o

22、）通径：过焦点F且垂直于x轴的直线与抛物线相交于A，B两点，则.例22：(2017年全国卷文)设A，B为曲线C：上两点，A与B的横坐标之和为4（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程解：（1）设AB所在直线方程为y=kx+b，则 又.（2）设过点M与曲线相切且平行于直线AB的直线方程为y=x+m，则 即该直线方程为y=x-1.且M(2,1) 由式得， 又，都在直线y=x+b上 过焦点的弦长： ，分别为C，D两点的横坐标 解得或 由式知：b=-1（舍去）b=7 因此所求直线方程为y=x+7.答题步骤：设方程：假设出曲线的标准方程

23、；（不管题目有没有，都要假设哦o）抄条件：写出题目所给的条件，该带公式就带公式，如已知离心率为，在试卷上要写出；画图形：根据题意，画出图形；写过程：写出必要的解方程过程；得结论：写出结论（写出曲线方程，不会就猜一个）猜公式：第二问一定要写，要写什么参考以下第4点。嘻嘻o4、圆锥曲线大题第二问常考公式：直线方程： 或 题目说直线过某个定点时用第一个，只说直线时用第二个方法：把直线假设出来后一般都要和曲线联立方程： 大部分题目都要将直线与曲线联立方程，而且要写出根与系数的关系 注：为保证方程有两个实根，必须满足 这是很多同学容易漏写的一点，很重要韦达定理：， （根与系数的关系式） 联立方程后一般都

24、要写出根与系数的关系弦长公式： 一般在计算三角形的面积或两点之间的距离时要用到圆的标准方程： 圆心： 半径：点到直线的距离公式：已知点和直线，则 计算三角形的高斜率公式：看到直线与曲线相交于两点A，B时，要假设两点的坐标分别为，中点坐标公式：，两点的中点记为，则 例23：（2014全国卷文）（本小题满分12分）已知点A(0，-2)，椭圆E：的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.（1）求椭圆E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当的面积最大时，求l的方程.解：（1）已知椭圆的方程为，则 由题意，设，则 又 因此，椭圆的方程为.（2）设直线l的方程为，即设，则

25、 点O到直线PQ的距离为 故的面积为令，则当且仅当即时等号成立，此时 故直线l的方程为或.例24：(2017天津卷理)设椭圆:的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D.若的面积为，求直线AP的方程.解：（1）已知椭圆和抛物线的方程分别为，则设，则由题意知： 因此椭圆的方程为，抛物线的方程为.（2）设AP所在直线方程为，则 设BQ所在直线方程为，则 当时，即 因此，直线AP的方程为.题型六：导数1、常考求导公式： C为

26、常数 例如： 2、曲线的切线方程：3、导数的意义：曲线在处的切线的斜率，即4、性质：函数在极值点处的导数为零，即如果为函数的极值点（不管是极大值还是极小值），必有5、如图所示：x1，x3为极大值点，x2为极小值点；，为极大值，为极小值；，.注意：极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值；如果奇函数在原点处有定义，必有.6、利用导数求极值的方法：解方程如果在附近的左侧有，右侧，那么为极大值；如果在附近的左侧有，右侧，那么为极小值.7、利用导数求切线方程的方法：假设函数在点处的切线方程为；求；得出切线方程为.答题步骤：定义域：写出函数的定义域：一般看到的定义域为，其他都是求导数：求导：令导零：令

27、，得出方程的根 一般要分类讨论判单调：函数单调递增 函数单调递减得结论：写出函数的单调区间画图形：画出函数图像，判断极值点例25：(2017北京卷文)已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值解：（1）已知，定义域为R 将题中的原函数抄上来后，写出函数的定义域 求导，这是必做的一步 利用导数的几何意义，即又因此切线方程为. 先写出直线方程的原始表达式，再带值（2）由（1）知： 求二阶导数 当时，在上单调递减 用二阶导数的正负判断一阶导数的单调性 在上单调递减因此，.例26：(2017年全国卷理)已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.解

28、：已知， (i)当时，恒成立在R上单调递减；(ii)当时， 因此，在上单调递减，在上单调递增.（2）有两个零点必有由（1）知：必有 (i)当时，只有一个零点，不符题意；(ii)当时，没有零点，不符题意；(iii)当时，有两个零点.综上所述，得.题型七：极坐标与参数方程1、坐标与直角坐标的互相转化：极坐标化为直角坐标： 直角坐标化为极坐标：注：若点P的直角坐标为(x，y)，则极坐标为(，)2、参数方程（1）椭圆的参数方程：普通方程： 参数方程： 其中为参数（2）圆的参数方程：普通方程： 参数方程： 其中为参数（3）过定点，倾角为的直线的参数方程为： 其中t为参数（4）抛物线的参数方程：（少考，可以不记哦o）普通方程： 参数方程： 其中t为参数3、由参数方程转化为普通方程的方法：（1）直线方程消参：代入法 消元法 o目的都是为了消去参数t（2）椭圆和圆消参：公式法 利用公式 o目的都是为了消去参数4、极坐标与参数方程大题常考公式平方关系： 如果记不住曲线的参数方程，用该公式进行消参点到直线的距离公式：已知点和直线，则辅助角公式： 其中 用来求点到直线的距离或面积的最大值弦长公式：（i）已知，则（ii）已知A，B两点对应的极径分别为，