方阵的行列式课件.ppt

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1、补充补充 行列式行列式预备知识预备知识 二阶行列式二阶行列式用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的矩阵：称列）的矩阵：定义定义定义定义主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.例例例

2、例1 1 1 1解解行列式行列式第二节第二节 n 阶行列式的展开公式阶行列式的展开公式一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如对例如对二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义定理定理1 1 n n 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即行列式按行（列）展开法则行列式按行（列

3、）展开法则例例 1 计算行列式计算行列式解解按第一行展开，得按第一行展开，得注意到第二行零元素较多，按第二行展开，得注意到第二行零元素较多，按第二行展开，得例例2 计算行列式计算行列式解解 1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结三、小结作业作业P34：1（2）(4)（6）（）（8）行列式行列式第三节第三节 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等即，行列式与它的转置行列式相等即，行列式行列式 称为行列式

4、称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记证明证明证毕证毕说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质性质2 2 如果行列式中有两行（列）完全相同，则如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.性质性质3 3 如果行列式中某一行（列）元素是两组数如果行列式中某一行（列）元素是两组数的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式对应的行（

5、列）相同，即对应的行（列）相同，即则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如性质性质性质性质4 4 4 4 （行列式的（行列式的“初等变换初等变换”）若将初等行）若将初等行（列）变换用于（列）变换用于 n n 阶行列式：阶行列式：（1 1 1 1）行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.（2）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数一数 k 然后加到另一列然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列对应的元素上去，行列式的值不变式的值不变例如例如从

6、等号右端从等号右端看，利用性看，利用性质质3、性质、性质4的（的（1）及性）及性质质2即得等号即得等号左端。左端。（3 3 3 3）互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.证明证明证明证明设行列式写成分块形式，则设行列式写成分块形式，则推论推论推论推论1 1某一行（列）元素全为零的某一行（列）元素全为零的行列式等于零行列式等于零推论推论推论推论2 2若有两行（列）元素对应成比例，则若有两行（列）元素对应成比例，则行列行列式等于零，即式等于零，即推论推论推论推论3 3对对 n 阶行列式及数阶行列式及数 k,有有 性质性质5 5 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行

7、列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证同理同理相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质应用举例应用举例计算行列式常用方法一计算行列式常用方法一：利用运算让行列：利用运算让行列式中出现更多的式中出现更多的0，然后按行或列展开得行列式的，然后按行或列展开得行列式的值值或者在此过程当中适当使用其它性质以简化或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。计算。例例1 计算计算4阶行列式阶行列式按第按第4行行展开展开按第按第1列列展开展开例例6计算行列式常用方法计算行列式常用方法：对具体的行列式，利用运：对具

8、体的行列式，利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值得行列式的值或者在此过程当中适当使用其它或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。性质以简化计算。解解千万要注千万要注意意“行列行列式交换两式交换两行，符号行，符号要改变要改变.”上三角行列式上三角行列式性质性质6 6 设设 L L 是有如下分块形式的是有如下分块形式的 (n+p n+p)阶阶矩阵：矩阵：矩阵乘积的行列矩阵乘积的行列式等于行列式的式等于行列式的乘积！乘积！(行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同行列式的性质凡是对行成立的对

9、列也同样成立样成立).计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6个性质个性质 作业作业P35-374（1，3，5）5（1，2）6（1，2，3，4，5）7（1）8（1，2）第二章第二章 行列式行列式第四节第四节 行列式的计算行列式的计算例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式解法解法1将第将第 都加到第一列得都加到第一列得第第1行的行的(-1)倍分别加到倍分别加到其余各行！其余各行！例例2 2（续）（续）计算计算 阶行列式阶行列式解法解法2 证证用数学归纳法用数学归纳法例例4证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式二、小结二、小结